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二、解答题压轴题高分突破
高分突破八 几何综合探究题
类型一 动点问题
(2022·荆州)如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，O是边AB上一个动点(不与点A重合)，连接OD.将△OAD沿OD折叠，得到△OED；再以点O为圆心，OA的长为半径作半圆，交射线AB于点G，连接AE并延长，交射线BC于点F，连接EG.设OA＝x.
(1)求证：DE是半圆O的切线；
(2)当点E落在BD上时，求x的值；
(3)当点E落在BD下方时，设△AGE与△AFB面积的比值为y，确定y与x之间的函数关系式；
(4)直接写出当半圆O与△BCD的边有两个交点时，x的取值范围．
【思路引导】(1)由折叠可证明OE⊥DE，可得结论；(2)当点E落在BD上时，利用面积法构建方程求出x即可；(3)设DO与AE交于点J，利用S△ADO的面积求出AJ，进而得出AE，再利用相似三角形的性质求解即可；(4)当⊙O与CD相切时，x＝3，当⊙O经过点C时，x2＝(4－x)2＋32，解得x＝，结合图形，判断即可．
【自主解答】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAO＝90°.
∵将△OAD沿OD折叠，得到△OED，
∴∠OED＝∠DAO＝90°，∴OE⊥DE.
∵OE是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．
(2)解：如图3，当点E落在BD上时，
∵∠DAB＝90°，AD＝3，AB＝4，
∴BD＝＝＝5.
∵S△ADB＝S△ADO＋S△BDO，OE＝OA＝x，
∴×3×4＝×3×x＋×5×x，
解得x＝.
(3)解：如图4，设DO与AE交于点J.
∵∠DAO＝90°，
∴DO＝＝.
由折叠的性质，可得OD垂直平分线段AE，
∴S△ADO＝AD·AO＝DO·AJ，
∴AJ＝，
∴AE＝2AJ＝.
∵AG是直径，
∴∠AEG＝90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABF＝90°＝∠AEG.
∵∠EAG＝∠BAF，
∴△AEG∽△ABF，
∴y＝＝()2＝＝(0＜x＜).
(4)当＜x＜3或＜x≤4时，半圆O与△BCD的边有两个交点．
1．(2022·鄂州)如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA＝6，斜边OB＝10，P为线段AB上一动点．
(1)请直接写出点B的坐标；
(2)若动点P满足∠POB＝45°，求此时点P的坐标；
(3)如图2，若E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A′，当PA′⊥OB时，求此时点P的坐标；
(4)如图3，若F为线段OA上一点，且AF＝2，连接FP.将线段FP绕点F顺时针旋转60°得线段FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积．
解：(1)点B(8，6).
(2)过点P作PH⊥OB于点H，则∠BHP＝90°＝∠BAO.
∵∠POH＝45°，
∴PH＝OH.
设PH＝OH＝x.
∵∠B＝∠B，
∴△BHP∽△BAO，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BH＝x，PB＝x.
∵OB＝OH＋BH＝10，
∴x＋x＝10，
解得x＝，
∴PB＝×＝，
∴PA＝AB－PB＝8－＝，
∴点P(，6).
(3)设PA′交OB于点T.
∵∠BAO＝90°，OE＝EB，
∴EA＝EO＝EB＝5，
∴∠EAB＝∠B.
由翻折的性质可知∠EAB＝∠A′，EA′＝EA＝5，
∴∠A′＝∠B.
∵A′P⊥OB，
∴∠ETA′＝90°＝∠BAO，
∴△A′TE∽△BAO，
∴＝，
∴＝，
∴ET＝3，
∴BT＝EB－ET＝2.
∵cos B＝＝，
∴＝，
∴PB＝，
∴AP＝AB－PB＝8－＝，
∴点P(，6).
(4)OG的最小值为4.线段FP扫过的面积为.
类型二 旋转问题
(2022·十堰)已知∠ABN＝90°，在∠ABN内部作等腰三角形ABC，AB＝AC，∠BAC＝α(0°＜α≤90°).D为射线BN上任意一点(与点B不重合)，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接EC并延长，交射线BN于点F.
(1)如图1，当α＝90°时，线段BF与CF之间的数量关系是BF＝CF；
(2)如图2，当0°＜α＜90°时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3)若α＝60°，AB＝4，BD＝m，过点E作EP⊥BN，垂足为P，请求出PD的长．(用含有m的式子表示)
【思路引导】(1)连接AF，先根据“SAS”证明△ACE≌△ABD，得出∠ACE＝∠ABD＝90°，再证明Rt△ABF≌Rt△ACF，即可得出结论；(2)连接AF，先说明∠EAC＝∠DAB，然后根据“SAS”证明△ACE≌△ABD，得出∠ACE＝∠ABD＝90°，再证明Rt△ABF≌Rt△ACF，即可得出结论；(3)先根据α＝60°，AB＝AC，得出△ABC为等边三角形，再按照∠BAD的大小分三种情况进行讨论，得出结果即可．
【自主解答】解：(2)成立．证明如下：连接AF.
根据旋转可知∠DAE＝α，AE＝AD.
∵∠BAC＝α，∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE＋∠CAD＝∠BAC＋∠CAD，
∴∠EAC＝∠DAB.
在△ACE和△ABD中，
∴△ACE≌△ABD(SAS)，
∴∠ACE＝∠ABD＝90°，∴∠ACF＝90°.
在Rt△ABF和Rt△ACF中，
∴Rt△ABF≌△ACF(HL)，
∴BF＝CF.
(3)∵α＝60°，AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC＝4.
①当∠BAD＜60°时，如图3，连接AF.
∵Rt△ABF≌Rt△ACF，
∴∠BAF＝∠CAF＝∠BAC＝30°.
在Rt△ABF中，BF＝AB·tan 30°＝4，
∴CF＝BF＝4.
由(2)知△ACE≌△ABD，∴CE＝BD＝m，
∴EF＝CF＋CE＝4＋m，∠FBC＝∠FCB＝90°－60°＝30°，
∴∠EFP＝∠FBC＋∠FCB＝60°.
又∵∠EPF＝90°，
∴∠FEP＝90°－60°＝30°，
∴PF＝EF＝2＋m，
∴BP＝BF＋PF＝6＋m，
∴PD＝BP－BD＝6－m；
②当∠BAD＝60°时，如图4，AD与AC在同一条直线上．
∵∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴△ADE为等边三角形，
∴∠ADE＝60°.
∵∠ADB＝90°－∠BAC＝30°，
∴∠BDE＝∠ADE＋∠ADB＝90°，
∴此时点P与点D重合，PD＝0；
③当∠BAD＞60°时，如图5，连接AF.
同理①可得BP＝6＋m，
∴PD＝BD－BP＝m－6.
综上所述，PD的长为6－m或0或m－6.
2．(2023·黄冈、孝感、咸宁联考)【问题呈现】
△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CB＝mCA，CE＝mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．
【问题探究】
(1)如图1，当m＝1时，直接写出AD，BE的位置关系：AD⊥BE；
(2)如图2，当m≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
(3)当m＝，AB＝4，DE＝4时，将△CDE绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一条直线上，求BE的长．
解：(2)成立．证明如下：
延长BE，交AC于点H，交AD于点N.
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE.
又∵＝＝，
∴△DCA∽△ECB，
∴∠DAC＝∠CBE.
∵∠CAB＋∠ABE＋∠CBE＝90°，
∴∠CAB＋∠ABE＋∠DAC＝90°，
∴∠ANB＝90°，
∴AD⊥BE.
(3)分两种情况讨论：
①如图3，当点E在线段AD上时，连接BE.
∵△DCA∽△ECB，
∴＝＝m＝，
∴BE＝AD＝(4＋AE).
∵AD⊥BE，
∴AB2＝AE2＋BE2，
∴112＝AE2＋3(4＋AE)2，
∴AE＝2或AE＝－8(舍去)，
∴BE＝6；
②如图4，当点D在线段AE上时，连接BE.
∵△DCA∽△ECB，
∴＝＝m＝，
∴BE＝AD＝(AE－4).
∵AD⊥BE，
∴AB2＝AE2＋BE2，
∴112＝AE2＋3(AE－4)2，
∴AE＝8或AE＝－2(舍去)，
∴BE＝4.
综上所述，BE＝6或4.
类型三 折叠问题
(2024·湖北)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上．将四边形ABFE沿EF翻折，使点A的对称点P落在CD上，B的对称点为G，PG交BC于点H.
(1)求证：△EDP∽△PCH；
(2)若P为CD的中点，且AB＝2，BC＝3，求GH的长；
(3)如图2，连接BG，若P为CD的中点，H为BC的中点，探究BG与AB的数量关系，并说明理由．
【思路引导】(1)证明对应角相等，即可得到△EDP∽△PCH；(2)根据△EDP∽△PCH，求得PH的长，从而得出GH的长；(3)延长AB，PG交于点M，连接AP，先证明△MBH≌△PCH，得到相等的边，再根据△MBG∽△MAP，得出数量关系．
【自主解答】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∴∠DPE＋∠DEP＝90°.
由折叠知∠EPH＝∠A＝90°，
∴∠DPE＋∠CPH＝90°，
∴∠DEP＝∠CPH，
∴△EDP∽△PCH.
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝3.
∵P为CD的中点，
∴DP＝CP＝CD＝1.
设EP＝AE＝x，则ED＝AD－AE＝3－x.
在Rt△EDP中，EP2＝ED2＋DP2，
即x2＝(3－x)2＋1，解得x＝，
∴EP＝AE＝，ED＝.
由(1)知△EDP∽△PCH，
∴＝，
∴＝，解得PH＝.
∵PG＝AB＝2，
∴GH＝PG－PH＝.
(3)解：AB＝BG.理由如下：
延长AB，PG交于点M，连接AP.
由折叠知AP⊥EF，BG⊥EF，
∴BG∥AP.
∵AE＝EP，
∴∠EAP＝∠EPA，
∴∠BAP＝∠GPA，
∴△MAP是等腰三角形，
∴MA＝MP.
∵P为CD的中点，
∴可设DP＝CP＝y，
∴AB＝PG＝CD＝2y.
∵H为BC的中点，
∴BH＝CH.
∵∠BHM＝∠CHP，∠CBM＝∠PCH＝90°，
∴△MBH≌△PCH(ASA)，
∴BM＝CP＝y，HM＝PH，
∴MP＝MA＝MB＋AB＝3y，
∴PH＝MP＝y.
在Rt△PCH中，CH＝＝y，
∴BC＝2CH＝y，
∴AD＝BC＝y.
在Rt△APD中，AP＝＝y.
∵BG∥AP，
∴△MBG∽△MAP，
∴＝＝＝，
∴BG＝AP＝y，
∴＝＝，∴AB＝BG.
3．(2022·黄冈、孝感、咸宁联考)问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝.小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝.
尝试证明：
(1)请参照小慧提供的思路，利用图2证明：＝；
应用拓展：
(2)如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；
②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的长．(用含m，α的式子表示)
(1)证明：∵CE∥AB，
∴∠E＝∠EAB，∠B＝∠ECB，
∴△CED∽△BAD，∴＝.
∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAB＝∠CAD，
∴∠E＝∠CAD，
∴CE＝CA，∴＝.
(2)解：①由折叠知∠CAD＝∠BAD，CD＝DE.
由(1)知＝.
又∵AC＝1，AB＝2，∴＝，∴BD＝2CD.
∵∠BAC＝90°，
∴BC＝＝＝，
∴BD＋CD＝，∴3CD＝，
∴CD＝，∴DE＝.
②由折叠知∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，∠C＝∠AED＝α.
在Rt△ABC中，tan C＝tan α＝.
由(1)知＝，
∴tan α＝，∴BD＝CD·tan α.
∵BC＝BD＋CD＝m，∴CD·tan α＋CD＝m，
∴CD＝，∴DE＝.
类型四 类比探究问题
(2024·武汉)(1)如图1，在矩形ABCD
中，E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE；
(2)如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，求的值．
【自主解答】(1)证明：∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴＝，＝.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠EBF＝∠C＝90°，
∴＝，∴△BCD∽△FBE.
(2)证明：取BD的中点H，连接EH，CH.
∵E是AB的中点，H是BD的中点，
∴EH＝AD，EH∥AD.
∵AD＝2CF，∴EH＝CF，
∴四边形EHCF是平行四边形，
∴EF∥CH，∴∠HCB＝∠GFB.
∵∠BCD＝90°，H是BD的中点，
∴CH＝BD＝BH，
∴∠HCB＝∠HBC，
∴∠GFB＝∠HBC，∴BG＝FG.
(3)解：过点F作FM⊥AD于点M，取BD的中点H，连接EH，AF，则四边形CDMF是矩形，
∴CF＝DM，CD＝MF.
∵AD＝2CF，∴AD＝2DM，
∴AM＝DM＝CF.
设CF＝a，则AM＝DM＝a，AD＝CD＝MF＝2a，
∴AF＝＝a.
∵AG＝FG，BG＝FG，∴AG＝BG.
∵E是AB的中点，
∴FE垂直平分AB，∴BF＝AF＝a.
由(2)知EH＝AD，EH∥AD，∴EH＝a.
∵AD∥BC，∴EH∥BC，
∴△EGH∽△FGB，
∴＝＝＝.
4．(2022·襄阳)在矩形ABCD中，＝(k＞1)，E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F.
【特例证明】
(1)如图1，当k＝2时，求证：AE＝EF；
小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．
证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH.
∵k＝2，
∴AB＝BC.
∵∠B＝90°，BH＝BE，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴∠AHE＝180°－∠1＝135°.
∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，
∴∠3＝∠DCG＝45°，
∴∠ECF＝∠3＋∠4＝135°，
∴……
【类比探究】
(2)如图2，当k≠2时，求的值；(用含k的式子表示)
【拓展运用】
(3)如图3，当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，PF＝，求BC的长．
解：(1)补充过程如下：
∴∠AHE＝∠ECF.
∵AE⊥EF，∴∠6＋∠AEB＝90°.
∵∠5＋∠AEB＝90°，∴∠5＝∠6.
∵AB＝BC，BH＝BE，
∴AH＝EC，
∴△AHE≌△ECF(ASA)，
∴AE＝EF.
(2)在BA上截取BH＝BE，连接EH.
∵∠B＝90°，BH＝BE，
∴∠BHE＝∠BEH＝45°，
∴∠AHE＝135°.
∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，
∴∠DCF＝∠DCG＝45°，
∴∠ECF＝135°.
∵AE⊥EF，∴∠FEC＋∠AEB＝90°.
∵∠BAE＋∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∴△AHE∽△ECF，∴＝.
∵E是边BC的中点，∴CE＝BH＝BC.
∵＝，∴AB＝BC，
∴AH＝AB－BH＝(－)BC，
∴＝k－1，∴＝k－1.
(3)过点P作PQ⊥AE于点Q，过点Q作MN∥AD分别交AB，CD于点M，N.
设BE＝EC＝2x，则AB＝BC＝3BE＝6x，
∴AE＝＝2x.
易得△AMQ≌△QNP，∴AM＝QN.
设MQ＝n.
∵tan ∠BAE＝＝＝＝，
∴AM＝3n，∴QN＝AM＝3n.
∵MQ＋QN＝MN，
∴n＋3n＝4x，∴n＝x，
∴MQ＝x，
∴AQ＝PQ＝＝x，
∴QE＝AE－QA＝x.
由(2)知AE∶EF＝k－1＝2，
∴EF＝x.
可证得四边形QEFP是正方形，
∴PF＝x.
∵PF＝，∴x＝，
∴BC＝4x＝2.
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高分突破八 几何综合探究题
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二、解答题压轴题高分突破
二、解答题压轴题高分突破
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BF＝CF
AD⊥BE
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图3/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
二、解答题压轴题高分突破
高分突破八 几何综合探究题
类型一 动点问题
(2022·荆州)如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，O是边AB上一个动点(不与点A重合)，连接OD.将△OAD沿OD折叠，得到△OED；再以点O为圆心，OA的长为半径作半圆，交射线AB于点G，连接AE并延长，交射线BC于点F，连接EG.设OA＝x.
(1)求证：DE是半圆O的切线；
(2)当点E落在BD上时，求x的值；
(3)当点E落在BD下方时，设△AGE与△AFB面积的比值为y，确定y与x之间的函数关系式；
(4)直接写出当半圆O与△BCD的边有两个交点时，x的取值范围．
【思路引导】(1)由折叠可证明OE⊥DE，可得结论；(2)当点E落在BD上时，利用面积法构建方程求出x即可；(3)设DO与AE交于点J，利用S△ADO的面积求出AJ，进而得出AE，再利用相似三角形的性质求解即可；(4)当⊙O与CD相切时，x＝3，当⊙O经过点C时，x2＝(4－x)2＋32，解得x＝，结合图形，判断即可．
【自主解答】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAO＝90°.
∵将△OAD沿OD折叠，得到△OED，
∴∠OED＝∠DAO＝90°，∴OE⊥DE.
∵OE是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．
(2)解：如图3，当点E落在BD上时，
∵∠DAB＝90°，AD＝3，AB＝4，
∴BD＝＝＝5.
∵S△ADB＝S△ADO＋S△BDO，OE＝OA＝x，
∴×3×4＝×3×x＋×5×x，
解得x＝.
(3)解：如图4，设DO与AE交于点J.
∵∠DAO＝90°，
∴DO＝＝.
由折叠的性质，可得OD垂直平分线段AE，
∴S△ADO＝AD·AO＝DO·AJ，
∴AJ＝，
∴AE＝2AJ＝.
∵AG是直径，
∴∠AEG＝90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABF＝90°＝∠AEG.
∵∠EAG＝∠BAF，
∴△AEG∽△ABF，
∴y＝＝()2＝＝(0＜x＜).
(4)当＜x＜3或＜x≤4时，半圆O与△BCD的边有两个交点．
1．(2022·鄂州)如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA＝6，斜边OB＝10，P为线段AB上一动点．
(1)请直接写出点B的坐标；
(2)若动点P满足∠POB＝45°，求此时点P的坐标；
(3)如图2，若E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A′，当PA′⊥OB时，求此时点P的坐标；
(4)如图3，若F为线段OA上一点，且AF＝2，连接FP.将线段FP绕点F顺时针旋转60°得线段FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积．
解：(1)点B(8，6).
(2)过点P作PH⊥OB于点H，则∠BHP＝90°＝∠BAO.
∵∠POH＝45°，
∴PH＝OH.
设PH＝OH＝x.
∵∠B＝∠B，
∴△BHP∽△BAO，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BH＝x，PB＝x.
∵OB＝OH＋BH＝10，
∴x＋x＝10，
解得x＝，
∴PB＝×＝，
∴PA＝AB－PB＝8－＝，
∴＝，
∴ET＝3，
∴BT＝EB－ET＝2.
∵cos B＝＝，
∴＝，
∴PB＝，
∴AP＝AB－PB＝8－＝，
∴点P(，6).
(
类型二 旋转问题
(2022·十堰)已知∠ABN＝90°，在∠ABN内部作等腰三角形ABC，AB＝AC，∠BAC＝α(0°＜α≤90°).D为射线BN上任意一点(与点B不重合)，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接EC并延长，交射线BN于点F.
(1)如图1，当α＝90°时，线段BF与CF之间的数量关系是BF＝CF；
(2)如图2，当0°＜α＜90°时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3)若α＝60°，AB＝4，BD＝m，过点E作EP⊥BN，垂足为P，请求出PD的长．(用含有m的式子表示)
【思路引导】(1)连接AF，先根据“SAS”证明△ACE≌△ABD，得出∠ACE＝∠ABD＝90°，再证明Rt△ABF≌Rt△ACF，即可得出结论；(2)连接AF，先说明∠EAC＝∠DAB，然后根据“SAS”证明△ACE≌△ABD，得出∠ACE＝∠ABD＝90°，再证明Rt△ABF≌Rt△ACF，即可得出结论；(3)先根据α＝60°，AB＝AC，得出△ABC为等边三角形，再按照∠BAD的大小分三种情况进行讨论，得出结果即可．
【自主解答】解：(2)成立．证明如下：连接AF.
根据旋转可知∠DAE＝α，AE＝AD.
∵∠BAC＝α，∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE＋∠CAD＝∠BAC＋∠CAD，
∴∠EAC＝∠DAB.
在△ACE和△ABD中，
∴△ACE≌△ABD(SAS)，
∴∠ACE＝∠ABD＝90°，∴∠ACF＝90°.
在Rt△ABF中，BF＝AB·tan 30°＝4，
∴CF＝BF＝4.
由(2)知△ACE≌△ABD，∴CE＝BD＝m，
∴EF＝CF＋CE＝4＋m，∠FBC＝∠FCB＝90°－60°＝30°，
∴∠EFP＝∠FBC＋∠FCB＝60°.
又∵∠EPF＝90°，
∴∠FEP＝90°－60°＝30°，
∴PF＝EF＝2＋m，
∴BP＝BF＋PF＝6＋m，
∴PD＝BP－BD＝6－m；
②当∠BAD＝60°时，如图4，AD与AC在同一条直线上．
∵∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴△ADE为等边三角形，
∴∠ADE＝60°.
∵∠ADB＝90°－∠BAC＝30°，
∴∠BDE＝∠ADE＋∠ADB＝90°，
∴此时＝m－6.
2．(2023·黄冈、孝感、咸宁联考)【问题呈现】
△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CB＝mCA，CE＝mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．
【问题探究】
(1)如图1，当m＝1时，直接写出AD，BE的位置关系：AD⊥BE；
(2)如图2，当m≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
(3)当m＝，AB＝4，DE＝4时，将△CDE绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一条直线上，求BE的长．
解：(2)成立．证明如下：
延长BE，交AC于点H，交AD于点N.
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE.
又∵＝＝，
∴△DCA∽△ECB，
∴∠DAC＝∠CBE.
∵∠CAB＋∠ABE＋∠CBE＝90°，
∴∠CAB＋∠ABE＋∠DAC＝90°，
∴∠ANB＝90°，
∴AD⊥BE.
(3)分两种情况讨论：
①如图3，当点E在线段AD上时，连接BE.
∵△DCA∽△ECB，
∴＝＝m＝，
∴BE＝AD＝(4＋AE).
∵AD⊥BE，
∴AB2＝AE2＋BE2，
∴112＝AE2＋3(4＋AE)2，
∴AE＝2或AE＝－8(舍去)，
∴BE＝6；
②如图4，当点D在线段AE上时，连接BE.
∵△DCA∽△ECB，
∴＝＝m＝，
∴BE＝AD＝(AE－4).
∵AD⊥BE，
∴AB2＝AE2＋BE2，
∴112＝AE2＋3(AE－4)2，
∴AE＝8或AE＝－2(舍去)，
∴BE＝4.
综上所述，BE＝6或4.
类型三 折叠问题
(2024·湖北)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上．将四边形ABFE沿EF翻折，使点A的对称点P落在CD上，B的对称点为G，PG交BC于点H.
(1)求证：△EDP∽△PCH；
(2)若P为CD的中点，且AB＝2，BC＝3，求GH的长；
(3)如图2，连接BG，若P为CD的中点，H为BC的中点，探究BG与AB的数量关系，并说明理由．
【思路引导】(1)证明对应角相等，即可得到△EDP∽△PCH；(2)根据△EDP∽△PCH，求得PH的长，从而得出GH的长；(3)延长AB，PG交于点M，连接AP，先证明△MBH≌△PCH，得到相等的边，再根据△MBG∽△MAP，得出数量关系．
【自主解答】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∴∠DPE＋∠DEP＝90°.
∴∠EAP＝∠EPA，
∴∠BAP＝∠GPA，
∴△MAP是等腰三角形，
∴MA＝MP.
∵P为CD的中点，
∴可设DP＝CP＝y，
∴AB＝PG＝CD＝2y.
∵H为BC的中点，
∴BH＝CH.
∵∠BHM＝∠CHP，∠CBM＝∠PCH＝90°，
∴△MBH≌△PCH(ASA)，
∴BM＝CP＝y，HM＝PH，
∴MP＝MA＝MB＋AB＝3y，
∴PH＝MP＝y.
在Rt△PCH中，CH＝＝y，
∴BC＝2CH＝y，
∴AD＝BC＝y.
在Rt△APD中，AP＝＝y.
∵BG∥AP，
∴△MBG∽△MAP，
∴＝＝＝，
∴BG＝AP＝y，
∴＝＝，∴AB＝BG.
3．(2022·黄冈、孝感、咸宁联考)问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝.小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝.
尝试证明：
(1)请参照小慧提供的思路，利用图2证明：＝；
应用拓展：
(2)如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；
②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的长．(用含m，α的式子表示)
(1)证明：∵CE∥AB，
∴∠E＝∠EAB，∠B＝∠ECB，
∴△CED∽△BAD，∴＝.
∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAB＝∠CAD，
∴∠E＝∠CAD，
∴CE＝CA，∴＝.
(2)解：①由折叠知∠CAD＝∠BAD，CD＝DE.
由(1)知＝.
又∵AC＝1，AB＝2，∴＝，∴BD＝2CD.
∵∠BAC＝90°，
∴BC＝＝＝，
∴BD＋CD＝，∴3CD＝，
∴CD＝，∴DE＝.
②由折叠知∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，∠C＝∠AED＝α.
在Rt△ABC中，tan C＝tan α＝.
由(1)知＝，
∴tan α＝，∴BD＝CD·tan α.
∵BC＝BD＋CD＝m，∴CD·tan α＋CD＝m，
∴CD＝，∴DE＝.
类型四 类比探究问题
(2024·武汉)(1)如图1，在矩形ABCD
中，E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE；
(2)如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，求的值．
【自主解答】(1)证明：∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴＝，＝.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠EBF＝∠C＝90°，
∴＝，∴△BCD∽△FBE.
(2)证明：取BD的中点H，连接EH，CH.
∵E是AB的中点，H是BD的中点，
∴EH＝AD，EH∥AD.
∵AD＝2CF，∴EH＝CF，
∴四边形EHCF是平行四边形，
∴EF∥CH，∴∠HCB＝∠GFB.
∵∠BCD＝90°，H是BD的中点，
∴CH＝BD＝BH，
∴∠HCB＝∠HBC，
∴∠GFB＝∠HBC，∴BG＝FG.
(3)解：过点F作FM⊥AD于点M，取BD的中点H，连接EH，AF，则四边形CDMF是矩形，
∴CF＝DM，CD＝MF.
∵AD＝2CF，∴AD＝2DM，
∴AM＝DM＝CF.
设CF＝a，则AM＝DM＝a，AD＝CD＝MF＝2a，
∴AF＝＝a.
∵AG＝FG，BG＝FG，∴AG＝BG.
∵E是AB的中点，
∴FE垂直平分AB，∴BF＝AF＝a.
由(2)知EH＝AD，EH∥AD，∴EH＝a.
∵AD∥BC，∴EH∥BC，
∴△EGH∽△FGB，
∴＝＝＝.
4．(2022·襄阳)在矩形ABCD中，＝(k＞1)，E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F.
【特例证明】
(1)如图1，当k＝2时，求证：AE＝EF；
小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．
证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH.
∵k＝2，
∴AB＝BC.
∵∠B＝90°，BH＝BE，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴∠AHE＝180°－∠1＝135°.
∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，
∴∠3＝∠DCG＝45°，
∴∠ECF＝∠3＋∠4＝135°，
∴……
【类比探究】
(2)如图2，当k≠2时，求的值；(用含k的式子表示)
【拓展运用】
(3)如图3，当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，PF＝，求BC的长．
解：(1)补充过程如下：
∴∠AHE＝∠ECF.
∵AE⊥EF，∴∠6＋∠AEB＝90°.
∵∠5＋∠AEB＝90°，∴∠5＝∠6.
∵AB＝BC，BH＝BE，
∴AH＝EC，
∴△AHE≌△ECF(ASA)，
∴AE＝EF.
(2)在BA上截取BH＝BE，连接EH.
∵∠B＝90°，BH＝BE，
∴∠BHE＝∠BEH＝45°，
∴∠AHE＝135°.
∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，
∴∠DCF＝∠DCG＝45°，
∴∠ECF＝135°.
∵AE⊥EF，∴∠FEC＋∠AEB＝90°.
∵∠BAE＋∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝
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