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二、解答题压轴题高分突破
高分突破六 与圆的切线有关的计算与证明
类型一 与切线判定有关的计算与证明
(2023·随州)如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，C是的中点，AE垂直于过点C的直线DC，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点F.
(1)求证：DC是⊙O的切线；
(2)若AE＝2，sin F＝.
①求⊙O的半径；
②求线段DE的长．
【思路引导】(1)连接OC，易得∠DAC＝∠CAB，然后利用等腰三角形的性质可得∠CAB＝∠OCA，从而可得∠DAC＝∠OCA，进而可得AD∥OC，即可解答；(2)①过点O作OG⊥AE，垂足为G，易得OG∥DF，然后利用平行线的性质可得∠AFD＝∠AOG，从而可得sin ∠AOG＝sin F＝，最后在Rt△AGO中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答；②根据平角定义可得∠OCD＝90°，从而可得四边形OGDC是矩形，然后利用矩形的性质可得DG＝OC＝3，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【自主解答】(1)证明：连接OC.
∵AD⊥DF，∴∠D＝90°.
∵C是的中点，∴＝，
∴∠DAC＝∠CAB.
∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，
∴∠OCF＝∠D＝90°，∴OC⊥DC.
∵OC是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线．
(2)解：①过点O作OG⊥AE，垂足为G，
∴AG＝EG＝AE＝1，∠AGO＝∠DGO＝90°.
∵∠D＝90°＝∠AGO，∴OG∥DF，
∴∠F＝∠AOG，∴sin ∠AOG＝sin F＝.
在Rt△AGO中，OA＝＝3，
∴⊙O的半径为3.
②由(1)知∠OCF＝90°，
∴∠OCD＝180°－∠OCF＝90°.
∵∠OGE＝∠D＝90°，
∴四边形OGDC是矩形，∴DG＝OC＝3.
由①知EG＝1，
∴DE＝DG－EG＝3－1＝2.
1．(2022·十堰)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G.
(1)求证：FG是⊙O的切线；
(2)若BG＝1，BF＝3，求CF的长．
(1)证明：连接OF.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵OF＝OC，∴∠C＝∠OFC，
∴∠OFC＝∠B，∴OF∥AB.
∵FG⊥AB，∴FG⊥OF.
又∵OF是⊙O的半径，
∴FG是⊙O的切线．
(2)解：连接OE，过点O作OH⊥CF于点H.
由(1)知FG⊥AB，∴∠BGF＝90°，
∴FG＝＝＝2.
∵⊙O与AB相切于点E，
∴OE⊥AB，∴∠OEG＝90°.
∵OF⊥GF，∴∠OFG＝90°，
∴四边形GFOE是矩形，
∴OE＝FG＝2，∴OC＝OE＝2.
又∵OH⊥CF，∴CH＝FH.
∵∠B＝∠C，∴cos C＝cos B＝＝＝，
∴CH＝，∴CF＝.
2．(2023·荆州)如图，在菱形ABCD中，DH⊥AB于点H，以DH为直径的⊙O分别交AD，BD于点E，F，连接EF.
(1)求证：①CD是⊙O的切线；
②△DEF∽△DBA；
(2)若AB＝5，BD＝6，求sin ∠DFE.
(1)证明：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD.
∵DH⊥AB，
∴CD⊥OD.
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
②连接HF，即∠DEF＝∠DHF.
∵DH为⊙O的直径，
∴∠DFH＝90°，
∴∠DHF＝90°－∠BDH.
∵DH⊥AB，
∴∠DHB＝90°，
∴∠DBA＝90°－∠BDH，
∴∠DHF＝∠DBA＝∠DEF.
∵∠EDF＝∠BDA，
∴△DEF∽△DBA.
(2)解：连接AC，交BD于点G.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝5，AC⊥BD，AG＝GC，DG＝GB＝BD＝3.
在Rt△AGB中，AG＝＝4，
∴AC＝2AG＝8.
∵S菱形ABCD＝AC·BD＝AB·DH，
∴DH＝＝.
由△DEF∽△DBA知∠DFE＝∠DAH，
∴sin ∠DFE＝sin ∠DAH＝＝＝.
3．(2023·仙桃、潜江、天门联考)如图，等腰三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD是边AC上的中线，过点C作AB的平行线，交BD的延长线于点E，BE交⊙O于点F，连接AE，FC.
(1)求证：AE为⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，BC＝6，求FC的长．
(1)证明：∵AB∥CE，
∴∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠ECD.
∵BD是边AC上的中线，
∴AD＝CD，
∴△ABD≌△CED(AAS)，
∴AB＝CE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴AE∥BC.
过点A作AH⊥BC于点H，∴AH⊥AE.
∵AB＝AC，
∴AH为BC的垂直平分线，
∴点O在AH上，
∴OA⊥AE.
∵OA是⊙O的半径，
∴AE为⊙O的切线．
(2)解：过点D作DM⊥BC于点M，连接OB.
由(1)知AH为BC的垂直平分线，
∴BH＝HC＝BC＝3，
∴OH＝＝＝4，
∴AH＝OA＋OH＝5＋4＝9，
∴AB＝AC＝＝＝3，
∴AD＝CD＝AC＝.
∵AH⊥BC，DM⊥BC，
∴DM∥AH，
∴△CMD∽△CHA，
∴＝＝＝，
∴MH＝HC＝，DM＝AH＝，
∴BM＝BH＋MH＝，
∴BD＝＝＝.
∵∠CFD＝∠BAD，∠FDC＝∠ADB，
∴△FCD∽△ABD，
∴＝，即＝，
∴FC＝5.
类型二 与切线性质有关的计算与证明
(2023·宜昌)如图1，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB＝4，PB＝3.
(1)∠PBA的度数是90°，PA的长为5；
(2)求△ABC的面积；
(3)如图2，CD⊥AB，垂足为D，E是上一点，AE＝5EC.延长AE，与DC，BP的延长线分别交于点F，G，求的值．
【思路引导】(1)由切线的性质可求∠PBA的度数，由勾股定理可求PA的长；(2)由面积法可求BC的长，由勾股定理可求AC的长，即可求解；(3)通过证明△EAC∽△CAF，由相似三角形的性质可求CF的长，通过证明△ADC∽△ACB，可求AD的长，通过等腰直角三角形的性质可求EF的长，即可求解．
【自主解答】解：(2)∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.
∵S△ABP＝AP·BC＝AB·BP，∴BC＝，
∴AC＝＝＝，
∴S△ABC＝AC·BC＝××＝.
(3)∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°＝∠ACB，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°＝∠ABC＋∠BCD，
∴∠ACD＝∠ABC.
∵四边形ABCE是圆的内接四边形，
∴∠ABC＋∠AEC＝180°.
∵∠ACD＋∠ACF＝180°，∴∠AEC＝∠ACF.
又∵∠EAC＝∠FAC，
∴△EAC∽△CAF，∴＝＝.
∵AE＝5EC，∴CF＝AC·＝×＝.
∵∠ADC＝∠ACB，∠BAC＝∠DAC，
∴△ADC∽△ACB，∴＝＝，
即＝＝，∴AD＝，CD＝，
∴DB＝，DF＝CD＋CF＝＝AD，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴AF＝DF＝，∴＝，
∴AE＝2，∴EF＝AF－AE＝.
∵DF∥BG，∴＝，即＝，
∴FG＝，∴＝＝.
4．(2021·鄂州)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为边BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径的⊙O与边AC相切于点D，交BC于点E.
(1)求证：AB＝AD；
(2)连接DE，若tan ∠EDC＝，DE＝2，求线段EC的长．
(1)证明：∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥OB.
∵OB是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线，切点为B.
又∵⊙O与边AC相切于点D，∴AB＝AD.
(2)解：连接BD.∵BE为⊙O的直径，
∴∠BDE＝90°，∴∠CDE＋∠ADB＝90°.
∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，
∴∠CDE＋∠ABD＝90°.
∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＋∠EBD＝90°，
∴∠EBD＝∠EDC，
∴tan ∠EBD＝tan ∠EDC＝，即＝，
∴BD＝2DE＝4，∴BE＝＝2.
∵∠C＝∠C，∠EBD＝∠EDC，
∴△CDE∽△CBD，∴＝＝＝.
设CE＝x，则CD＝2x，BC＝BE＋CE＝2＋x，
∴(2x)2＝x(x＋2)，∴x1＝0(舍去)，x2＝，
∴EC＝.
5．(2022·恩施州)如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，切点分别为A，B，直线PO交⊙O于点D，E，交AB于点C.
(1)求证：∠ADE＝∠PAE；
(2)若∠ADE＝30°，求证：AE＝PE；
(3)若PE＝4，CD＝6，求CE的长．
(1)证明：连接OA.
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠OAE＋∠PAE＝90°.
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DAE＝90°，
∴∠ADE＋∠AED＝90°.
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠AED，
∴∠ADE＝∠PAE.
(2)证明：∵∠DAE＝90°，
∴∠AED＝90°－∠ADE＝60°.
由(1)知∠PAE＝∠ADE＝30°.
∵∠AED＝∠PAE＋∠APE，
∴∠APE＝30°＝∠PAE，
∴AE＝PE.
(3)解：设CE＝x，则DE＝CD＋CE＝6＋x，
∴OA＝OE＝，
∴OC＝OE－CE＝，OP＝OE＋PE＝.
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴PA＝PB，PO平分∠APB，
∴PO⊥AB，
∴∠OCA＝90°.
由(1)知OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°＝∠OCA.
又∵∠AOC＝∠POA，
∴△OAC∽△OPA，
∴＝，
∴＝，即x2＋10x－24＝0，
解得x1＝2，x2＝－12(不合题意，舍去)，
∴CE＝2.
类型三 求阴影部分的面积或弧长
(2023·十堰)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，以点O为圆心，OA长为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且E是弧DF的中点．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若CE＝，求图中阴影部分的面积(结果保留π).
【思路引导】(1)连接OE，OD，证出OE⊥BC，即可得出结论；(2)根据S阴影＝S△OEB－S扇形OEF，分别求出△OEB和扇形OEF的面积即可．
【自主解答】
(1)证明：连接OE，OD.
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠OAD＝∠B＝45°.
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠OAD＝45°，
∴∠DOF＝∠ADO＋∠OAD＝90°.
∵E是弧DF的中点，
∴∠DOE＝∠EOF＝∠DOF＝45°，
∴∠OEB＝180°－∠EOF－∠B＝90°，
∴OE⊥BC.
∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线．
(2)解：由(1)知∠B＝∠EOF，
∴BE＝OE.
∵OE＝OA，∴BE＝OA.
设BE＝OE＝OA＝x，则OB＝x，BC＝BE＋CE＝＋x，
∴AB＝OA＋OB＝x＋x.
∵AB＝BC，
∴x＋x＝(＋x)，
解得x＝2，
∴S阴影＝S△OEB－S扇形OEF＝×2×2－＝2－.
6．(2023·襄阳)如图，在△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，与BC交于点E，F，DG是⊙O的直径，弦GF的延长线交AC于点H，且GH⊥AC.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若DE＝2，GH＝3，求的长l.
(1)证明：连接OA，过点O作OM⊥AC于点M.
∵AB＝AC，O是BC的中点，
∴AO为∠BAC的平分线．
∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB.
又∵OM⊥AC，
∴OM＝OD，即OM为⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线．
(2)解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∴设∠B＝∠C＝α.
由(1)知OD⊥AB，∴∠BDO＝90°，
∴∠DOB＝90°－∠B＝90°－α，
∴∠GOF＝∠DOB＝90°－α.
∵GH⊥AC，∴∠FHC＝90°，
∴∠CFH＝90°－∠C＝90°－α，
∴∠OFG＝∠CFH＝90°－α，
∴∠GOF＝∠OFG，∴GO＝GF.
又∵OF＝OG，
∴△OGF为等边三角形，
∴∠DOE＝∠GOF＝60°.
∵OD＝OE，∴△ODE是等边三角形，
∴OE＝DE＝2，
∴的长l＝＝.
7．(2021·黄石)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，AC是⊙O的直径，连接OP，交⊙O于点D，交AB于点E.
(1)求证：BC∥OP；
(2)若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是16，求阴影部分的面积；
(3)若sin ∠BAC＝，且AD＝2，求切线PA的长．
(1)证明：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB.
∵OA＝OB，∴OP⊥AB.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，
∴BC∥OP.
(2)解：∵E是OD的中点，∴OE＝DE.
由(1)知AB⊥OD，∴AO＝AD.
∵OA＝OD，∴AD＝OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°.
设OE＝m，则AE＝BE＝m，OA＝2m，
∴OP＝4m，AB＝AE＋BE＝2m.
∵四边形OAPB的面积是16，
∴OP·AB＝16，
∴×4m×2m＝16，
解得m＝2或－2(舍去)，
∴OE＝2，AB＝4，OA＝4.
∵OD⊥AB，∴＝，
∴∠AOD＝∠BOD＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
∴S阴影＝S扇形OAB－S△AOB＝－×4×2＝－4.
(3)解：在Rt△AOE中，sin ∠BAC＝＝，
∴设OE＝x，则OD＝OA＝3x，
∴DE＝2x，AE＝＝2x.
在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，
∴(2)2＝(2x)2＋(2x)2，
解得x＝1或－1(舍去)，
∴OE＝1，OA＝3，AE＝2.
∵PA是切线，∴PA⊥OA，∴∠OAP＝90°，
∴∠CAB＋∠BAP＝90°.
∵∠AEP＝90°，∴∠APO＋∠PAE＝90°，
∴∠CAB＝∠APO，
∴sin ∠APO＝sin ∠BAC＝＝，
∴PA＝3AE＝6.
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二、解答题压轴题高分突破
高分突破六 与圆的切线有关的计算与证明
类型一 与切线判定有关的计算与证明
(2023·随州)如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，C是的中点，AE垂直于过点C的直线DC，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点F.
(1)求证：DC是⊙O的切线；
(2)若AE＝2，sin F＝.
①求⊙O的半径；
②求线段DE的长．
【思路引导】(1)连接OC，易得∠DAC＝∠CAB，然后利用等腰三角形的性质可得∠CAB＝∠OCA，从而可得∠DAC＝∠OCA，进而可得AD∥OC，即可解答；(2)①过点O作OG⊥AE，垂足为G，易得OG∥DF，然后利用平行线的性质可得∠AFD＝∠AOG，从而可得sin ∠AOG＝sin F＝，最后在Rt△AGO中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答；②根据平角定义可得∠OCD＝90°，从而可得四边形OGDC是矩形，然后利用矩形的性质可得DG＝OC＝3，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【自主解答】(1)证明：连接OC.
∵AD⊥DF，∴∠D＝90°.
∵C是的中点，∴＝，
∴∠DAC＝∠CAB.
∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，
∴∠OCF＝∠D＝90°，∴OC⊥DC.
∵OC是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线．
(2)解：①过点O作OG⊥AE，垂足为G，
∴AG＝EG＝AE＝1，∠AGO＝∠DGO＝90°.
∵∠D＝90°＝∠AGO，∴OG∥DF，
∴∠F＝∠AOG，∴sin ∠AOG＝sin F＝.
在Rt△AGO中，OA＝＝3，
∴⊙O的半径为3.
②由(1)知∠OCF＝90°，
∴∠OCD＝180°－∠OCF＝90°.
∵∠OGE＝∠D＝90°，
∴四边形OGDC是矩形，∴DG＝OC＝3.
由①知EG＝1，
∴DE＝DG－EG＝3－1＝2.
1．(2022·十堰)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G.
(1)求证：FG是⊙O的切线；
(2)若BG＝1，BF＝3，求CF的长．
(1)证明：连接OF.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵OF＝OC，∴∠C＝∠OFC，
∴∠OFC＝∠B，∴OF∥AB.
∵FG⊥AB，∴FG⊥OF.
又∵OF是⊙O的半径，
∴FG是⊙O的切线．
(2)解：连接OE，过点O作OH⊥CF于点H.
由(1)知FG⊥AB，∴∠BGF＝90°，
∴FG＝＝＝2.
∵⊙O与AB相切于点E，
∴OE⊥AB，∴∠OEG＝90°.
∵OF⊥GF，∴∠OFG＝90°，
∴四边形GFOE是矩形，
∴OE＝FG＝2，∴OC＝OE＝2.
又∵OH⊥CF，∴CH＝FH.
∵∠B＝∠C，∴cos C＝cos B＝＝＝，
∴CH＝，∴CF＝.
2．(2023·荆州)如图，在菱形ABCD中，DH⊥AB于点H，以DH为直径的⊙O分别交AD，BD于点E，F，连接EF.
(1)求证：①CD是⊙O的切线；
②△DEF∽△DBA；
(2)若AB＝5，BD＝6，求sin ∠DFE.
(1)证明：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD.
∵DH⊥AB，
∴CD⊥OD.
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
②连接HF，即∠DEF＝∠DHF.
∵DH为⊙O的直径，
∴∠DFH＝90°，
∴∠DHF＝90°－∠BDH.
∵DH⊥AB，
∴∠DHB＝90°，
∴∠DBA＝90°－∠BDH，
∴∠DHF＝∠DBA＝∠DEF.
∵∠EDF＝∠BDA，
∴△DEF∽△DBA.
(2)解：连接AC，交BD于点G.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝5，AC⊥BD，AG＝GC，DG＝GB＝BD＝3.
在Rt△AGB中，AG＝＝4，
∴AC＝2AG＝8.
∵S菱形ABCD＝AC·BD＝AB·DH，
∴DH＝＝.
由△DE3．(2023·仙桃、潜江、天门联考)如图，等腰三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD是边AC上的中线，过点C作AB的平行线，交BD的延长线于点E，BE交⊙O于点F，连接AE，FC.
(1)求证：AE为⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，BC＝6，求FC的长．
(1)证明：∵AB∥CE，
∴∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠ECD.
∵BD是边AC上的中线，
∴AD＝CD，
∴△ABD≌△CED(AAS)，
∴AB＝CE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴AE∥BC.
过点A作AH⊥BC于点H，∴AH⊥AE.
∵AB＝AC，
∴AH为BC的垂直平分线，
∴点O在AH上，
∴OA⊥AE.
∵OA是⊙O的半径，
∴AE为⊙O的切线．
(2)解：过点D作DM⊥BC于点M，连接OB.
由(1)知AH为BC的垂直平分线，
∴BH＝HC＝BC＝3，
∴OH＝＝＝4，
∴AH＝
类型二 与切线性质有关的计算与证明
(2023·宜昌)如图1，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB＝4，PB＝3.
(1)∠PBA的度数是90°，PA的长为5；
(2)求△ABC的面积；
(3)如图2，CD⊥AB，垂足为D，E是上一点，AE＝5EC.延长AE，与DC，BP的延长线分别交于点F，G，求的值．
【思路引导】(1)由切线的性质可求∠PBA的度数，由勾股定理可求PA的长；(2)由面积法可求BC的长，由勾股定理可求AC的长，即可求解；(3)通过证明△EAC∽△CAF，由相似三角形的性质可求CF的长，通过证明△ADC∽△ACB，可求AD的长，通过等腰直角三角形的性质可求EF的长，即可求解．
【自主解答】解：(2)∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.
∵S△ABP＝AP·BC＝AB·BP，∴BC＝，
∴AC＝＝＝，
∴S△ABC＝AC·BC＝××＝.
(3)∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°＝∠ACB，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°＝∠ABC＋∠BCD，
∴∠ACD＝∠ABC.
∵四边形ABCE是圆的内接四边形，
∴∠ABC＋∠AEC＝180°.
∵∠ACD＋∠ACF＝180°，∴∠AEC＝∠ACF.
又∵∠EAC＝∠FAC，
∴△EAC∽△CAF，∴＝＝.
∵AE＝5EC，∴CF＝AC·＝×＝.
∵∠ADC＝∠ACB，∠BAC＝∠DAC，
∴△ADC∽△ACB，∴＝＝，
即＝＝＝.
4．(2021·鄂州)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为边BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径的⊙O与边AC相切于点D，交BC于点E.
(1)求证：AB＝AD；
(2)连接DE，若tan ∠EDC＝，DE＝2，求线段EC的长．
(1)证明：∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥OB.
∵OB是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线，切点为B.
又∵⊙O与边AC相切于点D，∴AB＝AD.
(2)解：连接BD.∵BE为⊙O的直径，
∴∠BDE＝90°，∴∠CDE＋∠ADB＝90°.
∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，
∴∠CDE＋∠ABD＝90°.
∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＋∠EBD＝90°，
∴∠EBD＝∠EDC，
∴tan ∠EBD＝tan ∠EDC＝，即＝，
∴BD＝2DE＝4，∴BE＝＝2.
∵∠C＝∠C，∠EBD＝∠EDC，
∴△
5．(2022·恩施州)如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，切点分别为A，B，直线PO交⊙O于点D，E，交AB于点C.
(1)求证：∠ADE＝∠PAE；
(2)若∠ADE＝30°，求证：AE＝PE；
(3)若PE＝4，CD＝6，求CE的长．
(1)证明：连接OA.
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠OAE＋∠PAE＝90°.
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DAE＝90°，
∴∠ADE＋∠AED＝90°.
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠AED，
∴∠ADE＝∠PAE.
(2)证明：∵∠DAE＝90°，
∴∠AED＝90°－
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴PA＝PB，PO平分∠APB，
∴PO⊥AB，
∴∠OCA＝90°.
由(1)知OA⊥，
∴CE＝2.
类型三 求阴影部分的面积或弧长
(2023·十堰)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，以点O为圆心，OA长为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且E是弧DF的中点．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若CE＝，求图中阴影部分的面积(结果保留π).
【思路引导】(1)连接OE，OD，证出OE⊥BC，即可得出结论；(2)根据S阴影＝S△OEB－S扇形OEF，分别求出△OEB和扇形OEF的面积即可．
【自主解答】
(1)证明：连接OE，OD.
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠OAD＝∠B＝45°.
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠OAD＝45°，
∴∠DOF＝∠ADO＋∠OAD＝90°.
∵E是弧DF的中点，
∴∠DOE＝∠EOF＝∠DOF＝45°，
∴∠OEB＝180°－∠EOF－∠B＝90°，
∴OE⊥BC.
∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线．
(2)解：由(1)知∠B＝∠EOF，
∴BE＝OE.
∴S阴影＝S△OEB－S扇形OEF＝×2×2－＝2－.
6．(2023·襄阳)如图，在△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，与BC交于点E，F，DG是⊙O的直径，弦GF的延长线交AC于点H，且GH⊥AC.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若DE＝2，GH＝3，求的长l.
(1)证明：连接OA，过点O作OM⊥AC于点M.
∵AB＝AC，O是BC的中点，
∴AO为∠BAC的平分线．
∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB.
又∵OM⊥AC，
∴OM＝OD，即OM为⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线．
(2)解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∴设∠B＝∠C＝α.
由(1)知OD⊥AB，∴∠BDO＝90°，
∴∠DOB＝90°－∠B＝90°－α，
∴∠GOF＝∠DOB＝90°－α.
∵GH⊥
∴的长l＝＝.
7．(2021·黄石)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，AC是⊙O的直径，连接OP，交⊙O于点D，交AB于点E.
(1)求证：BC∥OP；
(2)若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是16，求阴影部分的面积；
(3)若sin ∠BAC＝，且AD＝2，求切线PA的长．
由(1)知AB⊥OD，∴AO＝AD.
∵OA＝OD，∴AD＝OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°.
设OE＝m，则AE＝BE＝m，OA＝2m，
∴OP＝4m，AB＝AE＋BE＝2m.
∴OE＝2，AB＝4，OA＝4.
∵OD⊥AB，∴＝，
∴∠AOD＝∠BOD＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
∴S阴影＝S扇形OAB－S△AOB＝－×4×2＝－4.
(3)解：在Rt△AOE中，sin ∠BAC＝＝，
∴设OE＝x，则OD＝OA＝3x，
∴DE＝2x，AE＝＝2x.
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