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二、解答题压轴题高分突破
高分突破十 创新题型
类型一 阅读理解题
（2022·黄石）阅读材料，解答问题：
材料1：为了解方程(x2)2－13x2＋36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2－13y＋36＝0，经过运算，原方程的解为x1＝2，x2＝－2，x3＝3，x4＝－3.我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2：已知实数m，n满足m2－m－1＝0，n2－n－1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2－x－1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m＋n＝1，mn＝－1.
根据上述材料，解答以下问题：
(1)直接应用：方程x4－5x2＋6＝0的解为 x1＝，x2＝－，x3＝，x4＝－ ；
(2)间接应用：已知实数a，b满足2a4－7a2＋1＝0，2b4－7b2＋1＝0且a≠b，求a4＋b4的值；
(3)拓展应用：已知实数m，n满足＋＝7，n2－n＝7且n＞0，求＋n2的值．
【自主解答】解：(2)①当a≠b且a2≠b2时，令a2＝m，b2＝n，∴m≠n，则2m2－7m＋1＝0，2n2－7n＋1＝0，
∴m，n是方程2x2－7x＋1＝0的两个不相等的实数根，
∴m＋n＝，mn＝，
此时a4＋b4＝m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝；
②当a≠b且a2＝b2（即a＝－b）时，解方程2a4－7a2＋1＝0，得a2＝b2＝，
此时a4＋b4＝2a4＝2(a2)2＝.
综上所述，a4＋b4＝或.
(3)令＝a，－n＝b，则a2＋a－7＝0，b2＋b－7＝0.
∵n＞0，∴≠－n，即a≠b，
∴a，b是方程x2＋x－7＝0的两个不相等的实数根，
∴a＋b＝－1，ab＝－7，
∴＋n2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝15.
1．（2022·随州）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
(1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①：(a＋b＋c)d＝ad＋bd＋cd
公式②：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd
公式③：(a－b)2＝a2－2ab＋b2
公式④：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
图1对应公式 ① ，图2对应公式 ② ，图3对应公式 ④ ，图4对应公式 ③ ；
(2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）
(3)如图6，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，E为AC上任意一点（不与端点重合），过点E作EG⊥BC于点G，作EH⊥AD于点H，过点B作BF∥AC交EG的延长线于点F.记△BFG与△CEG的面积之和为S1，△ABD与△AEH的面积之和为S2.
①若E为AC的中点，则的值为 2 ；
②若E不为AC的中点时，①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(2)证明：由图可知，矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，
∵AK＝BM＝BF－MF＝a－b，BD＝BC－CD＝a－b，
∴S矩形AKLC＝AC·AK＝a(a－b)＝BF·BD＝S矩形DBFG，
∴S正方形BCEF＝a2＝S矩形CDHL＋S矩形DBFG＋S正方形EGHL＝S矩形CDHL＋S矩形AKLC＋b2，
∴a2＝S矩形AKHD＋b2.
∵S矩形AKHD＝AK·AD＝(a－b)(a＋b)，
∴a2＝(a－b)(a＋b)＋b2，
∴(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
(3)解：②E不为AC的中点时，①中的结论仍成立．
证明如下：
设BD＝a，DG＝b，
由已知可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，
∴AD＝CD＝BD＝a，AH＝HE＝DG＝b，EG＝CG＝a－b，FG＝BG＝a＋b，
∴S1＝S△BFG＋S△CEG＝(a＋b)2＋(a－b)2＝a2＋b2，
S2＝S△ABD＋S△AEH＝a2＋b2＝(a2＋b2)，
∴＝2.
类型二 开放探究题
（2024·湖北）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下：
活动项目 测量校园中树AB的高度
活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案
方案示意图
实施过程 ①选取与树底B位于同一水平地面的D处； ②测量D，B两点间的距离； ③站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角∠ACF；④测量C处到地面的高度CD. ①选取与树底B位于同一水平地面的E处； ②测量E，B两点间的距离； ③在E处水平放置一个平面镜，沿射线BE方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； ④测量E，D两点间的距离； ⑤测量C到地面的高度CD.
测量数据 ①BD＝10 m； ②∠ACF＝32.5°； ③CD＝1.6 m． ①BE＝10 m； ②DE＝2 m； ③CD＝1.6 m．
备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③参考数据：tan 32.5°≈0.64. ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得∠CED＝∠AEB.
请你从以上两种方案中任选一种，计算树AB的高度．
【思路引导】方案一：根据解直角三角形求解；方案二：根据相似三角形的性质求解．
【自主解答】解：方案一：由题意，得CF＝BD＝10 m，BF＝CD＝1.6 m.
在Rt△ACF中，AF＝CF·tan ∠ACF≈10×0.64＝6.4(m)，
∴AB＝AF＋BF＝6.4＋1.6＝8(m).
方案二：由题意，得∠CED＝∠AEB，∠CDE＝∠ABE＝90°，∴△CDE∽△ABE，
∴＝，即＝，∴AB＝8 m.
答：树AB的高度为8 m．
2．（2024·贵州）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，∠ABC＝90°，有下列条件：①AB∥CD，②AD＝BC.
(1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形；
(2)在(1)的条件下，若AB＝3，AC＝5，求四边形ABCD的面积．
解：(1)选择①，证明如下：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
选择②，证明如下：
∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
(2)∵∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，
∴BC＝＝4，
∴S四边形ABCD＝AB·BC＝3×4＝12.
类型三 学科融合题
某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道AB，长度为1 m的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿AB方向从左向右匀速滑动，滑动速度为9 m/s，滑动开始前滑块左端与点A重合，当滑块右端到达点B时，滑块停顿2 s，然后再以小于9 m/s的速度匀速返回，直到滑块的左端与点A重合，滑动停止．设时间为t(s)时，滑块左端离点A的距离为l1(m)，右端离点B的距离为l2(m)，记d＝l1－l2，d与t具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当t＝4.5 s和5.5 s时，与之对应的d的两个值互为相反数；滑块从点A出发到最后返回点A，整个过程用时27 s（含停顿时间）.请根据所给条件解答下列问题：
(1)滑块从点A到点B的滑动过程中，d的值 由负到正 ；（填“由负到正”或“由正到负”）
(2)滑块从点B到点A的滑动过程中，求d与t的函数解析式；
(3)在整个往返过程中，若d＝18，求t的值．
【思路引导】(1)根据等式d＝l1－l2，结合题意，即可求解；(2)设轨道AB的长为n，根据已知条件得出l1＋l2＋1＝n，则d＝l1－l2＝18t－n＋1，根据当t＝4.5 s和5.5 s时，与之对应的d的两个值互为相反数，则当t＝5时，d＝0，得出d＝91，继而求得滑块返回的速度为(91－1)÷15＝6(m/s)，得出l2＝6(t－12)，代入d＝l1－l2，即可求解；(3)当d＝18时，有两种情况，由(2)可得，①当0≤t≤10时，②当12≤t≤27时，分别令d＝18，进而即可求解．
【自主解答】解：(2)设轨道AB的长为n，当滑块从左向右滑动时，
∵l1＋l2＋1＝n，∴l2＝n－l1－1，
∴d＝l1－l2＝l1－(n－l1－1)＝2l1－n＋1＝2×9t－n＋1＝18t－n＋1，
∴d是t的一次函数，
∵当t＝4.5 s和5.5 s时，与之对应的d的两个值互为相反数，
∴当t＝5时，d＝0，∴18×5－n＋1＝0，∴n＝91，
∴滑块从点A到点B所用的时间为(91－1)÷9＝10(s).
∵整个过程用时27 s（含停顿时间），当滑块右端到达点B时，滑块停顿2 s，
∴滑块从B返回到A所用的时间为27－10－2＝15(s)，
∴滑块返回的速度为(91－1)÷15＝6(m/s)，
∴当12≤t≤27时，l2＝6(t－12)，
∴l1＝91－1－l2＝90－6(t－12)＝162－6t，
∴l1－l2＝162－6t－6(t－12)＝－12t＋234，
∴d与t的函数解析式为d＝－12t＋234.
(3)当d＝18时，有两种情况：
由(2)可得，
①当0≤t≤10时，18t－90＝18，
∴t＝6；
②当12≤t≤27时，－12t＋234＝18，
∴t＝18.
综上所述，当t＝6或18时，d＝18.
3．【综合与实践】有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”，某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务，
【知识背景】如图，称重物时移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得(m0＋m)·l＝M·(a＋y)，其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．
【方案设计】目标：设计简易杆秤．设定m0＝10，M＝50，最大可称重物质量为1 000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(2)当秤盘放入质量为1 000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(3)根据(1)和(2)所列方程，求l和a的值；
任务二：确定刻线的位置．
(4)根据任务一，求y关于m的函数解析式；
(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
解：(1)由题意，得m＝0，y＝0.
∵m0＝10，M＝50，∴10l＝50a，∴l＝5a.
(2)由题意，得m＝1 000，y＝50，
∴(10＋1 000)l＝50(a＋50)，
∴101l－5a＝250.
(3)由(1)(2)，得解得
(4)由(3)可知l＝2.5，a＝0.5，
∴2.5(10＋m)＝50(0.5＋y)，∴y＝m.
(5)由(4)可知y＝m.当m＝100时，y＝5，
∴相邻刻线间的距离为5厘米．
4．电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，该读数可以换算为人的质量m.
温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
(1)k的值为 －2 ，b的值为 240 ；
(2)求R1关于U0的函数解析式；
(3)用含U0的代数式表示m；
(4)若电压表量程为0～6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．
解：(2)由题意得可变电阻两端的电压＝电源电压－电表电压，即可变电阻两端的电压＝8－U0.
∵I＝，通过可变电阻和定值电阻的电流大小相等，
∴＝，化简得R1＝R0（－1）.
∵R0＝30，∴R1＝－30.
(3)将R1＝－2m＋240(0≤m≤120)代入R1＝－30，
得－2m＋240＝－30，
化简得m＝－＋135(0≤m≤120).
(4)∵m＝－＋135中－120<0，且0≤U0≤6，
∴m随U0的增大而增大，
∴当U0取最大值6时，mmax＝－＋135＝115（千克）.
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二、解答题压轴题高分突破
高分突破十 创新题型
类型一 阅读理解题
（2022·黄石）阅读材料，解答问题：
材料1：为了解方程(x2)2－13x2＋36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2－13y＋36＝0，经过运算，原方程的解为x1＝2，x2＝－2，x3＝3，x4＝－3.我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2：已知实数m，n满足m2－m－1＝0，n2－n－1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2－x－1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m＋n＝1，mn＝－1.
根据上述材料，解答以下问题：
(1)直接应用：方程x4－5x2＋6＝0的解为 x1＝，x2＝－，x3＝，x4＝－ ；
(2)间接应用：已知实数a，b满足2a4－7a2＋1＝0，2b4－7b2＋1＝0且a≠b，求a4＋b4的值；
(3)拓展应用：已知实数m，n满足＋＝7，n2－n＝7且n＞0，求＋n2的值．
【自主解答】解：(2)①当a≠b且a2≠b2时，令a2＝m，b2＝n，∴m≠n，则2m2－7m＋1＝0，2n2－7n＋1＝0，
∴m，n是方程2x2－7x＋1＝0的两个不相等的实数根，
∴m＋n＝，mn＝，
此时a4＋b4＝m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝；
②当a≠b且a2＝b2（即a＝－b）时，解方程2a4－7a2＋1＝0，得a2＝b2＝，
此时a4＋b4＝2a4＝2(a2)2＝.
综上所述，a4＋b4＝或.
(3)令＝a，－n＝b，则a2＋a－7＝0，b2＋b－7＝0.
∵n＞0，∴≠－n，即a≠b，
∴a，b是方程x2＋x－7＝0的两个不相等的实数根，
∴a＋b＝－1，ab＝－7，
∴＋n2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝15.
1．（2022·随州）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
(1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①：(a＋b＋c)d＝ad＋bd＋cd
公式②：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd
公式③：(a－b)2＝a2－2ab＋b2
公式④：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
图1对应公式 ① ，图2对应公式 ② ，图3对应公式 ④ ，图4对应公式 ③ ；
(2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）
(3)如图6，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，E为AC上任意一点（不与端点重合），过点E作EG⊥BC于点G，作EH⊥AD于点H，过点B作BF∥AC交EG的延长线于点F.记△BFG与△CEG的面积之和为S1，△ABD与△AEH的面积之和为S2.
①若E为AC的中点，则的值为 2 ；
②若E不为AC的中点时，①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(2)证明：由图可知，矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，
∵AK＝BM＝BF－MF＝a－b，BD＝BC－CD＝a－b，
∴S矩形AKLC＝AC·AK＝a(a－b)＝BF·BD＝S矩形DBFG，
∴S正方形BCEF＝a2＝S矩形CDHL＋S矩形DBFG＋S正方形EGHL＝S矩形CDHL＋S矩形AKLC＋b2，
∴a2＝S矩形AKHD＋b2.
∵S矩形AKHD＝AK·AD＝(a－b)(a＋b)，
∴a2＝(a－b)(a＋b)＋b2，
∴(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
(3)解：②E不为AC的中点时，①中的结论仍成立．
证明如下：
设BD＝a，DG＝b，
由已知可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，
∴AD＝CD＝BD＝a，AH＝HE＝DG＝b，EG＝CG＝a－b，FG＝BG＝a＋b，
∴S1＝S△BFG＋S△CEG＝(a＋b)2＋(a－b)2＝a2＋b2，
S2＝S△ABD＋S△AEH＝a2＋b2＝(a2＋b2)，
∴＝2.
类型二 开放探究题
（2024·湖北）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下：
活动项目 测量校园中树AB的高度
活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案
方案示意图
实施过程 ①选取与树底B位于同一水平地面的D处； ②测量D，B两点间的距离； ③站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角∠ACF；④测量C处到地面的高度CD. ①选取与树底B位于同一水平地面的E处； ②测量E，B两点间的距离； ③在E处水平放置一个平面镜，沿射线BE方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； ④测量E，D两点间的距离； ⑤测量C到地面的高度CD.
测量数据 ①BD＝10 m； ②∠ACF＝32.5°； ③CD＝1.6 m． ①BE＝10 m； ②DE＝2 m； ③CD＝1.6 m．
备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③参考数据：tan 32.5°≈0.64. ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得∠CED＝∠AEB.
请你从以上两种方案中任选一种，计算树AB的高度．
【思路引导】方案一：根据解直角三角形求解；方案二：根据相似三角形的性质求解．
【自主解答】解：方案一：由题意，得CF＝BD＝10 m，BF＝CD＝1.6 m.
在Rt△ACF中，AF＝CF·tan ∠ACF≈10×0.64＝6.4(m)，
∴AB＝AF＋BF＝6.4＋1.6＝8(m).
方案二：由题意，得∠CED＝∠AEB，∠CDE＝∠ABE＝90°，∴△CDE∽△ABE，
∴＝，即＝，∴AB＝8 m.
答：树AB的高度为8 m．
2．（2024·贵州）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，∠ABC＝90°，有下列条件：①AB∥CD，②AD＝BC.
(1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形；
(2)在(1)的条件下，若AB＝3，AC＝5，求四边形ABCD的面积．
解：(1)选择①，证明如下：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
选择②，证明如下：
∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
(2)∵∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，
∴BC＝＝4，
∴S四边形ABCD＝AB·BC＝3×4＝12.
类型三 学科融合题
某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道AB，长度为1 m的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿AB方向从左向右匀速滑动，滑动速度为9 m/s，滑动开始前滑块左端与点A重合，当滑块右端到达点B时，滑块停顿2 s，然后再以小于9 m/s的速度匀速返回，直到滑块的左端与点A重合，滑动停止．设时间为t(s)时，滑块左端离点A的距离为l1(m)，右端离点B的距离为l2(m)，记d＝l1－l2，d与t具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当t＝4.5 s和5.5 s时，与之对应的d的两个值互为相反数；滑块从点A出发到最后返回点A，整个过程用时27 s（含停顿时间）.请根据所给条件解答下列问题：
(1)滑块从点A到点B的滑动过程中，d的值 由负到正 ；（填“由负到正”或“由正到负”）
(2)滑块从点B到点A的滑动过程中，求d与t的函数解析式；
(3)在整个往返过程中，若d＝18，求t的值．
【思路引导】(1)根据等式d＝l1－l2，结合题意，即可求解；(2)设轨道AB的长为n，根据已知条件得出l1＋l2＋1＝n，则d＝l1－l2＝18t－n＋1，根据当t＝4.5 s和5.5 s时，与之对应的d的两个值互为相反数，则当t＝5时，d＝0，得出d＝91，继而求得滑块返回的速度为(91－1)÷15＝6(m/s)，得出l2＝6(t－12)，代入d＝l1－l2，即可求解；(3)当d＝18时，有两种情况，由(2)可得，①当0≤t≤10时，②当12≤t≤27时，分别令d＝18，进而即可求解．
【自主解答】解：(2)设轨道AB的长为n，当滑块从左向右滑动时，
∵l1＋l2＋1＝n，∴l2＝n－l1－1，
∴d＝l1－l2＝l1－(n－l1－1)＝2l1－n＋1＝2×9t－n＋1＝18t－n＋1，
∴d是t的一次函数，
∵当t＝4.5 s和5.5 s时，与之对应的d的两个值互为相反数，
∴当t＝5时，d＝0，∴18×5－n＋1＝0，∴n＝91，
∴滑块从点A到点B所用的时间为(91－1)÷9＝10(s).
∵整个过程用时27 s（含停顿时间），当滑块右端到达点B时，滑块停顿2 s，
∴滑块从B返回到A所用的时间为27－10－2＝15(s)，
∴滑块返回的速度为(91－1)÷15＝6(m/s)，
∴当12≤t≤27时，l2＝6(t－12)，
∴l1＝91－1－l2＝90－6(t－12)＝162－6t，
∴l1－l2＝162－6t－6(t－12)＝－12t＋234，
∴d与t的函数解析式为d＝－12t＋234.
(3)当d＝18时，有两种情况：
由(2)可得，
①当0≤t≤10时，18t－90＝18，
∴t＝6；
②当12≤t≤27时，－12t＋234＝18，
∴t＝18.
综上所述，当t＝6或18时，d＝18.
3．【综合与实践】有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”，某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务，
【知识背景】如图，称重物时移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得(m0＋m)·l＝M·(a＋y)，其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．
【方案设计】目标：设计简易杆秤．设定m0＝10，M＝50，最大可称重物质量为1 000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(2)当秤盘放入质量为1 000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(3)根据(1)和(2)所列方程，求l和a的值；
任务二：确定刻线的位置．
(4)根据任务一，求y关于m的函数解析式；
(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
解：(1)由题意，得m＝0，y＝0.
∵m0＝10，M＝50，∴10l＝50a，∴l＝5a.
(2)由题意，得m＝1 000，y＝50，
∴(10＋1 000)l＝50(a＋50)，
∴101l－5a＝250.
(3)由(1)(2)，得解得
(4)由(3)可知l＝2.5，a＝0.5，
∴2.5(10＋m)＝50(0.5＋y)，∴y＝m.
(5)由(4)可知y＝m.当m＝100时，y＝5，
∴相邻刻线间的距离为5厘米．
4．电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，该读数可以换算为人的质量m.
温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
(1)k的值为 －2 ，b的值为 240 ；
(2)求R1关于U0的函数解析式；
(3)用含U0的代数式表示m；
(4)若电压表量程为0～6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．
解：(2)由题意得可变电阻两端的电压＝电源电压－电表电压，即可变电阻两端的电压＝8－U0.
∵I＝，通过可变电阻和定值电阻的电流大小相等，
∴＝，化简得R1＝R0（－1）.
∵R0＝30，∴R1＝－30.
(3)将R1＝－2m＋240(0≤m≤120)代入R1＝－30，
得－2m＋240＝－30，
化简得m＝－＋135(0≤m≤120).
(4)∵m＝－＋135中－120<0，且0≤U0≤6，
∴m随U0的增大而增大，
∴当U0取最大值6时，mmax＝－＋135＝115（千克）.
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中考数学
二轮复习课件
通用版
2025年中考数学 二轮复习（压轴题高分突破）
高分突破十 创新题型
第二轮 中考压轴题高分突破
二、解答题压轴题高分突破
①
②
④
③
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实施过程 ①选取与树底B位于同一水平地面的D处； ②测量D，B两点间的距离； ③站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角∠ACF；④测量C处到地面的高度CD. ①选取与树底B位于同一水平地面的E处；
②测量E，B两点间的距离；
③在E处水平放置一个平面镜，沿射线BE方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A；
④测量E，D两点间的距离；
⑤测量C到地面的高度CD.
测量数据 ①BD＝10 m； ②∠ACF＝32.5°； ③CD＝1.6 m． ①BE＝10 m；
②DE＝2 m；
③CD＝1.6 m．
备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③参考数据：tan 32.5°≈0.64. ①图上所有点均在同一平面内；
②AB，CD均与地面垂直；
③把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得∠CED＝∠AEB.
由负到正
－2
240
谢谢
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