/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
二、解答题压轴题高分突破
高分突破九 二次函数与几何综合题
类型一 角度问题
(2023·十堰)已知抛物线y＝ax2＋bx＋8过点B(4，8)，C(8，4)，与y轴交于点A.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接AB，BC，点D在线段AB上(与点A，B不重合)，F是OA的中点，连接FD，过点D作DE⊥FD，交BC于点E，连接EF，当△DEF的面积是△ADF面积的3倍时，求点D的坐标；
(3)如图2，P是抛物线上对称轴右侧的点，H(m，0)是x轴正半轴上的动点，若线段OB上存在点G(与点O，B不重合)，使得∠GBP＝∠HGP＝∠BOH，求m的取值范围．
【思路引导】(1)运用待定系数法将点B，C的坐标代入解析式可求解；(2)过点E作EG⊥AB，交AB的延长线于点G.用待定系数法求得直线BC的解析式为y＝－x＋12，可证△BGE是等腰直角三角形，设点D(t，8)，通过证明△AFD∽△GDE，利用相似三角形的性质得出n－t＝4，则DG＝AF，可证△AFD≌△GDE，由面积关系列出方程可求解；(3)通过证明△OGH∽△BPG，可得＝，由待定系数法可求BS的解析式，联立方程组可求点P的坐标，由勾股定理可求BP的长，由二次函数的性质可求解．
【自主解答】解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋8过点B(4，8)，C(8，4)，
∴解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋8.
(2)在y＝－x2＋x＋8中，
当x＝0时，y＝8，∴A(0，8)，∴OA＝8.
∵B(4，8)，∴AB∥x轴，AB＝4.
∵F是OA的中点，
∴F(0，4)，∴AF＝4.
设直线BC的解析式为y＝kx＋b′，
则解得
∴直线BC的解析式为y＝－x＋12.
设点E(n，－n＋12)(4＜n＜8).
过点E作EG⊥AB，交AB的延长线于点G，则∠G＝90°，
∴G(n，8)，
∴GE＝8－(－n＋12)＝n－4，BG＝n－4，
∴BG＝GE，∴△BGE是等腰直角三角形．
设点D(t，8)，则AD＝t，DG＝n－t.
易得△AFD∽△GDE，
∴＝，即＝，
∴t(n－t)＝4(n－4)，即(t－4)n＝(t－4)(t＋4).
∵t≠4，∴n＝t＋4，即n－t＝4，
∴DG＝AF，∴△AFD≌△GDE(ASA)，∴DF＝DE.
又∵DE⊥DF，∴△DEF是等腰直角三角形，
∴S△DEF＝DF2.
∵S△ADF＝AD·AF，S△DEF＝3S△ADF，
∴DF2＝3×AD·AF，∴DF2＝12AD＝12t.
在Rt△ADF中，DF2＝AD2＋AF2＝t2＋42，
∴t2＋42＝12t，解得t＝6－2或t＝2＋6(舍去)，
∴D(6－2，8).
(3)∵∠GBP＝∠HGP＝∠BOH，∠OGH＋∠HGP＝∠GBP＋∠BPG，
∴∠OGH＝∠BPG，
∴△OGH∽△BPG，∴＝.
设BP交x轴于点S，过点B作BT⊥x轴于点T.
∵∠GBP＝∠BOH，∴BS＝OS.
∵B(4，8)，∴OT＝4，BT＝8，
∴OB＝＝4.
设BS＝OS＝k，则TS＝OS－OT＝k－4.
在Rt△TBS中，BS2＝TS2＋BT2，
∴k2＝(k－4)2＋82，
解得k＝10，∴S(10，0).
设直线BS的解析式为y＝ex＋f，
则解得
∴直线BS的解析式为y＝－x＋.
联立解得或
∴P(，－)，
∴BP＝＝.
设OG＝d，则BG＝OB－OG＝4－d.
∵＝，∴＝，
整理，得m＝－＝－d2＋d＝－(d－2)2＋.
∵点G在线段OB上(与点O，B不重合)，
∴0＜OG＜4，∴0＜d＜4，
∴当d＝2时，m取得的最大值为，
∴0＜m≤.
1．(2023·仙桃、潜江、天门联考)如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－6(a≠0)与x轴交于点A(－2，0)，B(6，0)，与y轴交于点C，顶点为D，连接BC.
(1)抛物线的解析式为y＝x2－2x－6；
(2)在图1中，连接AC并延长，交BD的延长线于点E，求∠CEB的度数；
(3)如图2，若动直线l与抛物线交于M，N两点(直线l与BC不重合)，连接CN，BM，直线CN与BM交于点P.当MN∥BC时，点P的横坐标是否为定值？请说明理由．
解：(2)由点A(－2，0)，C(0，－6)，可得直线AC的解析式为y＝－3x－6.
易得点D的坐标为(2，－8)，由点D(2，－8)，B(6，0)，可得直线BD的解析式为y＝2x－12.
当－3x－6＝2x－12时，解得x＝，
∴点E的坐标为(，－).
由题意可得OA＝2，OB＝OC＝6，
∴AB＝8，AC＝＝2.
过点E作EF⊥x轴于点F，
∴AE＝＝＝.
∵＝＝，＝＝，
∴＝.
∵∠BAC＝∠EAB，∴△ABC∽△AEB，
∴∠ABC＝∠AEB.
∵OB＝OC，∠COB＝90°，∴∠ABC＝45°，
∴∠AEB＝45°，即∠CEB＝45°.
(3)点P的横坐标为定值．理由如下：
设点M的坐标为(m，m2－2m－6)，点N的坐标为(n，n2－2n－6).
∵直线MN与BC不重合，
∴m≠0且m≠6，n≠0且n≠6.
由点B(6，0)，C(0，－6)，可得直线BC的解析式为y＝x－6.
∵MN∥BC，
∴可设直线MN的解析式为y＝x＋t.
联立
得x2－3x－6－t＝0，∴m＋n＝6，
∴点N的坐标可以表示为(6－m，m2－4m).
由点C(0，－6)，N(6－m，m2－4m)，可得直线CN的解析式为y＝(－m＋1)x－6.
由点B(6，0)，M(m，m2－2m－6)，可得直线BM的解析式为y＝(m＋1)x－3m－6.
当(－m＋1)x－6＝(m＋1)x－3m－6时，
解得x＝3，
∴点P的横坐标为定值3.
2．(2024·武汉)抛物线y＝x2＋2x－交x轴于A，B两点(点A在点B的右边)，交y轴于点C.
(1)直接写出点A，B，C的坐标；
(2)如图1，连接AC，BC，过第三象限的抛物线上的点P作直线PQ∥AC，交y轴于点Q.若BC平分线段PQ，求点P的坐标；
(3)如图2，点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点(点E在x轴下方)，线段DE交抛物线于另一点G，连接FG.若∠EGF＝90°，求直线DE的解析式．
解：(1)A(1，0)，B(－5，0)，C(0，－).
(2)设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0).
把点A(1，0)，C(0，－)代入，得
解得
∴直线AC的解析式为y＝x－.
∵PQ∥AC，
∴设直线PQ的解析式为y＝x＋b′.
设点P(t，t2＋2t－)，
∴t2＋2t－＝t＋b′，
∴b′＝t2－t－，
∴直线PQ的解析式为y＝x＋t2－t－.
令x＝0，得y＝t2－t－，
∴Q(0，t2－t－).
∵BC平分线段PQ，
∴PQ的中点(，t2＋t－)在直线BC上．
由点B(－5，0)，C(0，－)得直线BC的解析式为y＝－x－，
∴t2＋t－＝－－，
解得t1＝－2，t2＝0(舍去)，
∴点P的坐标为(－2，－).
(3)过点G作TS∥x轴，过点E，F分别作TS的垂线，垂足分别为T，S，
∴∠T＝∠S＝∠EGF＝90°，
∴∠EGT＋∠FGS＝90°，∠FGS＋∠GFS＝90°，
∴∠EGT＝∠GFS，
∴△ETG∽△GSF，
∴＝，
∴ET·FS＝GS·GT.
∵点D与原点O关于点C(0，－)对称，
∴D(0，－5).
设直线EF的解析式为y＝k1x，直线ED的解析式为y＝k2x－5，
联立得k1x＝x2＋2x－，
∴x2＋(2－k1)x－＝0.
联立得k2x－5＝x2＋2x－，
∴x2＋(2－k2)x＋＝0.
设xE＝e，xF＝f，xG＝g，
∴ef＝－5，eg＝5，e＋g＝2k2－4，
∴f＝－g，ET＝e2＋2e－－(g2＋2g－)＝(e＋g＋4)(e－g)，FS＝f2＋2f－－(g2＋2g－)＝(f＋g＋4)(f－g).
∵ET·FS＝GS·GT，
∴(e＋g＋4)(e－g)·(f＋g＋4)(f－g)＝(g－e)(f－g)，
∴(e＋g＋4)(e－g)·(－g＋g＋4)(－g－g)＝(g－e)(－g－g)，
∴e＋g＝－5，
∴2k2－4＝－5，解得k2＝－，
∴直线DE的解析式为y＝－x－5.
类型二 线段问题
(2023·黄石)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于两点A(－3，0)，B(4，0)，与y轴交于点C(0，4).
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知抛物线上有一点P(x0，y0)，其中y0＜0，若∠CAO＋∠ABP＝90°，求x0的值；
(3)若D，E分别是线段AC，AB上的动点，且AE＝2CD，求CE＋2BD的最小值．
【思路引导】(1)由待定系数法即可求解；(2)由∠ABP＝∠ACO可得tan ∠ABP＝tan ∠ACO＝，得到直线BP的解析式为y＝(x－4)，进而求解；(3)作∠EAG＝∠BCD，AG＝2BC，证明△BCD∽△GAE且相似比为1∶2，故当点C，E，G共线时，CE＋2BD＝CE＋EG＝CG为最小，进而求解．
【自主解答】解：(1)由抛物线交x轴于点A(－3，0)，B(4，0)可得抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－4)＝a(x2－x－12)，
∴－12a＝4，
∴a＝－，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4.
(2)∵∠CAO＋∠ABP＝90°，∠CAO＋∠ACO＝90°，
∴∠ABP＝∠ACO，
∴tan ∠ABP＝tan ∠ACO＝，
∴直线BP的解析式为y＝(x－4).
联立
解得或
∵y0＜0，
∴x0＝－.
(3)作∠EAG＝∠BCD，AG＝2BC.
∵AE＝2CD，
∴＝，
∴△GAE∽△BCD，
∴＝＝2，
∴GE＝2BD，
∴CE＋2BD＝CE＋EG.
当点C，E，G共线时，CE＋EG＝CG最小，即CE＋2BD最小．
在△ABC中，设边AC上的高为h，
则S△ABC＝AC·h＝AB·OC.
∵AC＝＝5，AB＝7，OC＝4，
∴5h＝7×4，解得h＝.
∵BC＝＝4，
∴sin ∠ACB＝＝＝＝sin ∠EAG，AG＝8.
过点G作GN⊥x轴于点N，
则NG＝AG·sin ∠EAG＝，
∴AN＝＝，
∴ON＝OA－AN＝，
∴点G(－，－).
由点C，G的坐标，得CG＝＝，
即CE＋2BD的最小值为.
3．(2022·武汉)抛物线y＝x2－2x－3交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P.
(1)点A，B的坐标分别为A(－1，0)，B(3，0)；
(2)如图1，当OP＝OA时，在抛物线上存在点D(异于点B)，使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；
(3)如图2，直线BP交抛物线于另一点E，连接CE，交y轴于点F，点C的横坐标为m，求的值．(用含m的代数式表示)
解：(2)由(1)知点A的坐标为(－1，0)，
∴OA＝1，
∴OP＝OA＝1，
∴点P的坐标为(0，1).
由点A，P的坐标易得直线AC的解析式为y＝x＋1.
分两种情况讨论：
①当点D在AC的下方时，
过点B作直线AC的平行线，交抛物线于点D1.
由(1)知点B的坐标为(3，0)，
∴易得直线BD1的解析式为y＝x－3.
联立解得或
∴点D1的横坐标为0；
②当点D在直线AC的上方时，点D1关于点P的对称点G的坐标为(0，5).
过点G作AC的平行线，交抛物线于点D2，D3，
∴易得直线D2D3的解析式为y＝x＋5.
联立
解得或
∴点D2，D3的横坐标分别为，.
综上所述，满足条件的点D的横坐标为0或或.
(3)设点E的横坐标为n，直线BP的解析式为y＝kx＋b，则OP＝b.
联立得x2－(2＋k)x－3－b＝0，
∴xB，xE是方程x2－(2＋k)x－3－b＝0的两根，
∴xBxE＝－3－b.
∵xB＝3，
∴xE＝－1－，∴n＝－1－.
设直线AP的解析式为y＝k′x＋b，
同理可得xAxC＝－3－b.
∵xA＝－1，∴xC＝3＋b，∴m＝3＋b.
设直线CE的解析式为y＝px＋q，
同理可得mn＝－3－q，
∴q＝－mn－3，
∴q＝－(3＋b)(－1－)－3＝b2＋2b，
∴OF＝b2＋2b，
∴FP＝OF－OP＝b2＋b，
∴＝b＋1＝(m－3)＋1＝m.
类型三 面积问题
(2023·荆州)已知y关于x的函数y＝(a－2)x2＋(a＋1)x＋b.
(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值是0或2或－；
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A(－2，0)，B(4，0)，并与动直线l：x＝m(0＜m＜4)交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E.设△PBE的面积为S1，△CDE的面积为S2.
①当P为抛物线的顶点时，求△PBC的面积；
②探究直线l在运动过程中，S1－S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【思路引导】(1)y关于x的函数应分一次函数与二次函数两种情况，其中二次函数应分为①与x轴有两个交点且一个交点为原点；②与x轴有一个交点，与y轴有一个交点两种情况讨论；(2)①设直线l与BC交于点F，用待定系数法求得抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋8，得到C(0，8)，P(1，9)，求得直线BC的解析式，从而得到点F的坐标，根据三角形的面积公式即可得到结果；②设直线x＝m交x轴于点H，由①得OB＝4，AO＝2，AB＝6，OC＝8，AH＝2＋m，P(m，－m2＋2m＋8)，得到PH＝－m2＋2m＋8，根据相似三角形的性质得到OD＝8－2m，再根据S1－S2＝S△PAB－S△AOD－S△OBC即可得到结果．
【自主解答】解：①设直线l与BC交于点F.根据题意，得
解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋8.
当x＝0时，y＝8，∴C(0，8).
∵y＝－x2＋2x＋8＝－(x－1)2＋9，
∴P(1，9).
∵B(4，0)，C(0，8)，
∴直线BC的解析式为y＝－2x＋8，
∴F(1，6)，∴PF＝3，
∴S△PBC＝OB·PF＝×4×3＝6.
②S1－S2存在最大值．
设直线x＝m交x轴于点H.
由①得OB＝4，AO＝2，AB＝6，OC＝8，AH＝2＋m，P(m，－m2＋2m＋8)，
∴PH＝－m2＋2m＋8.
∵OD∥PH，∴△AOD∽△AHP，
∴＝，
∴＝，
∴OD＝8－2m，
∴S1－S2＝S△PAB－S△AOD－S△OBC＝－－＝－3m2＋8m＝－3(m－)2＋.
∵－3＜0，0＜m＜4，
∴当m＝时，S1－S2存在最大值，最大值为.
4．(2022·黄冈、孝感、咸宁联考)抛物线y＝x2－4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D.
(1)直接写出点B和点D的坐标；
(2)如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan ∠PDO＝时，求点P的坐标；
(3)如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m(0＜m＜5)，连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E.设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．
解：(1)B(5，5)，D(2，－4).
(2)过点D作DC⊥y轴于点C，
∴CD＝2，OC＝4，
∴tan ∠DOC＝＝.
∵tan ∠PDO＝，∴∠DOC＝∠PDO.
分两种情况讨论：
①当点P在线段OD的右侧时，DP∥y轴，如图3，
∴P(2，0)；
②当点P在线段OD左侧时，如图4，设直线DP与y轴交于点G，则△ODG是等腰三角形，
∴OG＝DG.
设OG＝t，则DG＝t，GC＝4－t.
在Rt△DGC中，DG2＝DC2＋GC2，
即t2＝22＋(4－t)2，解得t＝，
∴G(0，－)，
∴直线DG的解析式为y＝－x－.
令y＝0，则－x－＝0，解得x＝－，
∴P(－，0).
综上所述，点P的坐标为(2，0)或(－，0).
(3)∵点B(5，5)与点M关于对称轴直线x＝2对称，
∴M(－1，5).
分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，
∴N(－1，－1)，Q(m，m2－4m)，K(m，m)，
∴MN＝6，KQ＝m－(m2－4m)＝－m2＋5m.
∵MN∥KQ，∴△EQK∽△EMN，
∴＝，
∴＝＝＝＝－(m－)2＋.
∵－＜0，0＜m＜5，
∴当m＝时，的最大值为.
类型四 特殊三角形存在性问题
(2023·恩施州)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与y轴交于点A，抛物线的对称轴与x轴交于点B.
(1)如图，若A(0，)，抛物线的对称轴为直线x＝3.求抛物线的解析式，并直接写出y≥时x的取值范围；
(2)在(1)的条件下，若P为y轴上的点，C为x轴上方抛物线上的点，当△PBC为等边三角形时，求点P，C的坐标；
(3)若抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点D(m，2)，E(n，2)，F(1，－1)，且m＜n，求正整数m，n的值．
【思路引导】(1)把点A的坐标代入抛物线的解析式，可得c，由对称轴是直线x＝，可求得b；当y＝时，结合图象求得x的范围；(2)连接AB，在对称轴上截取BE＝AB，分两种情况进行讨论，根据题意可得A，B，C，P四点共圆，先证A，E，C在同一条直线上，根据等边三角形的性质，两点之间的距离公式，坐标系中的交点坐标特征等即可求解；(3)由抛物线过点D(m，2)，E(n，2)可设设抛物线解析式为y＝－(x－m)(x－n)＋2，于是再将点F(1，－1)代入解析式中可得(m－1)(n－1)＝6，再利用m＜n，m，n为正整数求解即可．
【自主解答】解：(1)∵A(0，)，抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴c＝，－＝3，
解得b＝3，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋.
当y＝时，－x2＋3x＋＝，解得x1＝0，x2＝6，
∴x的取值范围是0≤x≤6.
(2)连接AB，在对称轴上截取BE＝AB.
∵OA＝，OB＝3，
∴在Rt△AOB中，tan ∠OAB＝＝＝，
∴∠OAB＝60°，∴∠PAB＝180°－∠OAB＝120°.
∵△PBC是等边三角形，
∴∠BCP＝∠BPC＝60°，PB＝PC，
∴∠PAB＋∠BCP＝180°，
∴A，B，C，P四点共圆，∴∠BAC＝∠BPC＝60°.
∵BE＝AB，∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝60°，BE＝AB＝＝2，
∴点E在AC上，E(3，2).
设直线AE的解析式为y＝kx＋b′，
则解得
∴直线AE的解析式为y＝x＋.
由x＋＝－x2＋3x＋，
得x1＝0，x2＝－＋6.
当x＝－＋6时，y＝3－，
∴C(－＋6，3－).
设P(0，y).∵PB＝PC，
∴y2＋32＝(－＋6)2＋(3－－y)2，
解得y＝3－，∴P(0，3－)；
当点C与点A重合时，∵∠OAB＝60°，
∴点P与点A关于x轴对称，符合题意，
此时，P(0，－)，C(0，).
综上所述，C(－＋6，3－)，P(0，3－)或P(0，－)，C(0，).
(3)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点D(m，2)，E(n，2)，
∴设抛物线的解析式为y＝－(x－m)(x－n)＋2.
将点F(1，－1)代入y＝－(x－m)(x－n)＋2中，
得－(1－m)(1－n)＋2＝－1，
整理得(m－1)(n－1)＝6.
∵m＜n，且m，n为正整数，∴1＜m＜n，
∴m－1，n－1为正整数，且m－1＜n－1，
∴当m－1＝1，n－1＝6时，解得m＝2，n＝7；
当m－1＝2，n－1＝3时，解得m＝3，n＝4.
∴m＝2，n＝7或m＝3，n＝4.
5．(2021·随州)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为(1，－4).
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图1，若点P在抛物线上，且满足∠PCB＝∠CBD，求点P的坐标；
(3)如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N，Q是直线AC上一个动点，当△QMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标．
解：(1)抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.
(2)∵抛物线的对称轴为直线x＝1，A(－1，0)，
∴B(3，0).
设直线BD的解析式为y＝kx＋e，
∴解得
∴直线BD的解析式为y＝2x－6.
分两种情况讨论：
①当点P在直线BC的上方时，如图1，过点C作CP1∥BD，交抛物线于点P1.
设直线CP1的解析式为y＝2x＋d.
将点C(0，－3)代入，得－3＝2×0＋d，
解得d＝－3，
∴直线CP1的解析式为y＝2x－3.
联立
解得或
∴点P1(4，5)；
②当点P在直线BC的下方时，过点B作y轴的平行线，过点C作x轴的平行线交于点G.
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝∠OBG＝∠OCG＝90°，
∴四边形OBGC是正方形，
∴BG＝CG＝OC＝3，∠G＝∠COB，∠OCB＝∠GCB＝45°.
设CP1与x轴交于点E，则点E(，0).
在x轴下方作∠BCF＝∠BCE，交BG于点F，
∴∠OCB－∠BCE＝∠GCB－∠BCF，
即∠OCE＝∠GCF，
∴△OCE≌△GCF(ASA)，
∴FG＝OE＝，
∴BF＝BG－FG＝3－＝，
∴点F(3，－).
设直线CF的解析式为y＝k1x＋e1，
∴解得
∴直线CF的解析式为y＝x－3.
联立
解得或
∴点P2(，－).
综上所述，点P(4，5)或(，－).
(3)点M及其对应点Q的坐标为M1(，)，Q1(－，)；M2(，－)，Q2(－，－)；M3(5，2)，Q3(－5，12)；M4(2，－1)，Q4(0，－3)；M5(7，4)，Q5(－7，18)；M6(1，－2)，Q6(0，－3).
类型五 特殊四边形问题
(2022·随州)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)与x轴分别交于点A，B(1，0)，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝－1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)设M为抛物线对称轴上一动点，当点P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，求出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路引导】(1)由A，B两点的坐标，可得抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)，把点(0，3)代入抛物线的解析式，可得结论；(2)连接OP.设点P(m，－m2－2m＋3)，由S＝S△PAO＋S△POC＋S△OBC构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可；(3)分两种情况，点N在y轴上，点N在x轴上，分别求解即可．
【自主解答】解：(1)抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
(2)连接OP.
设点P(m，－m2－2m＋3).
∵A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)，
∴－3＜m＜0，S＝S△PAO＋S△POC＋S△OBC＝×3×(－m2－2m＋3)＋×3×(－m)＋×1×3＝(－m2－3m＋4)＝－(m＋)2＋.
∵－＜0，
∴当m＝－时，S的值最大，最大值为，
此时点P(－，).
(3)存在．
分两种情况：
①如图3，当点N在y轴上时，四边形PMCN是矩形，此时P(－1，4)，N(0，4)；
②如图4，当点N在x轴上时，四边形PMCN是矩形时．
设M(－1，n)，P(t，－t2－2t＋3)，则N(t＋1，0).
由题意，
消去n，得3t2＋5t－10＝0，解得t＝，
∴P(，)，N(，0)或P′(，)，N′(，0).
综上所述，满足条件的点P(－1，4)，N(0，4)或P(，)，N(，0)或P(，)，N(，0).
6．(2021·恩施州)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B，D(－4，5)，且与直线DC交于另一点E.
(1)求抛物线的解析式；
(2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM＋MP＋PB是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．
备用图
解：(1)由点D(－4，5)，可知正方形ABCD的边长为5，点A(－4，0)，则OB＝AB－AO＝5－4＝1，
∴点B(1，0)，
则解得
∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.
(2)存在．理由如下：
∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，
∴其对称轴为直线x＝－1，故设点F(－1，m).
∵点D，E关于抛物线对称轴对称，∴点E(2，5).
由点B，E的坐标，得BE2＝(2－1)2＋(5－0)2＝26.
设点Q(s，t).
∵以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，点B向右平移1个单位长度，向上平移5个单位长度得到点E，
∴点Q(F)向右平移1个单位长度，向上平移5个单位长度得到点F(Q)，且BE＝EF(BE＝EQ)，
则或
解得或
故点F的坐标为（－1，5＋）或（－1，5－）或（－1，）或（－1，－）.
(3)存在．理由如下：
由题意，得抛物线的对称轴交x轴于点B′(－1，0)，∴将点B′向左平移1个单位长度得到点B″(－2，0).
连接B″E，交抛物线的对称轴于点M，过点M作MP⊥y轴于点P.
∵B′B″＝PM＝1，且B′B″∥PM，
∴四边形B″B′PM为平行四边形，则MB″＝PB′.易得PB＝PB′，
则EM＋MP＋PB＝EM＋1＋MB″.
当点B″，M，E在同一直线上时，EM＋1＋MB″最小，B″E＋1的值最小．
由点B″，E的坐标，得直线B″E的解析式为y＝(x＋2)，B″E＝＝，
则EM＋MP＋PB的最小值B″E＋1＝＋1.
当x＝－1时，y＝(x＋2)＝，
∴点M（－1，）.
类型六 相似三角形（含全等）问题
（2023·随州）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(2，0)和C(0，2)，连接BC，P(m，n)(m＞0)为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N.
(1)直接写出抛物线和直线BC的解析式；
(2)如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；
(3)当点P在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应）？若存在，求出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路引导】(1)由题得抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，将点C的坐标代入求a，进而得到抛物线的解析式．由B，C两点坐标即可得到直线BC的解析式；(2)由题可得点M的坐标，分别求出OC2，OM2，CM2，对等腰三角形OCM中相等的边分类讨论，进而列方程求解；(3)对点P在点B左右两侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解m，进而得到点P，Q的坐标．
【自主解答】解：(1)抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2.
直线BC的解析式为y＝－x＋2.
(2)∵点M在直线BC上，且点P(m，n)，
∴点M(m，－m＋2)，
∴OM2＝m2＋(－m＋2)2＝2m2－4m＋4.
∵C(0，2)，
∴OC2＝4，CM2＝(m－0)2＋(－m＋2－2)2＝2m2.
当△OCM为等腰三角形时，分三种情况讨论：
①若CM＝OM，则CM2＝OM2，
即2m2＝2m2－4m＋4，解得m＝1；
②若CM＝OC，则CM2＝OC2，
即2m2＝4，解得m＝或m＝－（舍去）；
③若OM＝OC，则OM2＝OC2，
即2m2－4m＋4＝4，解得m＝2或m＝0（舍去）.
综上所述，m＝1或m＝或m＝2.
(3)∵OC＝OB＝2，
∴CB＝2，∠CBO＝45°.
∵点P与点C相对应，
∴△POQ∽△CBN或△POQ∽△CNB.
①若点P在点B的左侧，则∠CBN＝45°，BN＝2－m.
当△POQ∽△CBN，即∠POQ＝45°时，＝.
∵∠POQ＝45°，∴∠POB＝45°，
∴直线OP的解析式为y＝x，
∴－m2＋m＋2＝m，解得m＝或m＝－（舍去），
∴P（，），
∴OP＝2，
∴＝，解得OQ＝－1，
∴Q（0，－1）；
当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝45°时，＝.
易得PQ＝m，OQ＝－m2＋m＋2＋m＝－m2＋2m＋2，
∴＝，解得m＝1±（舍去）；
②若点P在点B的右侧，则∠CBN＝135°，BN＝m－2.
当△POQ∽△CBN，即∠POQ＝135°时，＝.
∵∠POQ＝135°，∴∠POB＝45°，
∴直线OP的解析式为y＝－x，
∴－m2＋m＋2＝－m，
解得m＝1＋或m＝1－（舍去），
∴P（1＋，－1－），
∴OP＝m＝＋，
∴＝，解得OQ＝1，
∴Q(0，1)；
当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝135°时，＝.
易得PQ＝m，OQ＝m2－2m－2，
∴＝，
解得m＝1＋或m＝1－（舍去），
∴P（1＋，－3－），Q(0，－2).
综上所述，P（，），Q（0，－1）或P（1＋，－1－），Q(0，1)或P（1＋，－3－），Q(0，－2).
7．（2021·孝感）已知抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴相交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，N(n，0)是x轴上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若n＜3，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线BC于点G.过点P作PD⊥BC于点D，当n为何值时，△PDG≌△BNG
(3)如图2，将直线BC绕点B顺时针旋转，它恰好经过线段OC的中点，然后将它向上平移个单位长度，得到直线OB1.
①tan ∠BOB1的值为 ；
②当点N关于直线OB1的对称点N1落在抛物线上时，求点N的坐标．
解：(1)由题意，得抛物线的解析式为y＝a(x－3)(x＋1)＝ax2－2ax－3a，
∴－3a＝－3，解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.
(2)分两种情况讨论：
①当点N在y轴右侧时，
由抛物线的解析式，得C(0，－3)，
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴NB＝3－n＝NG，
∴BG＝(3－n).
∵△PDG≌△BNG，
∴PG＝BG＝(3－n)，
∴PN＝NG＋PG＝3－n＋(3－n)＝(3－n)（1＋），
∴点P[n，－(3－n)（1＋）].
将点P的坐标代入y＝x2－2x－3，
得(n－3)（1＋）＝n2－2n－3，
解得n＝3（舍去）或n＝；
②当点N在y轴左侧时，
同理可得n＝－.
综上所述，n＝±.
(3)②设线段NN1交OB1于点H，则OB1是NN1的垂直平分线．
∵tan ∠BOB1＝，NN1⊥OB1，
∴tan ∠HON＝＝.
∵ON＝n，
∴HN＝n，OH＝n.
过点H作HT⊥ON于点T，则HT＝＝n，
∴OT＝n，
∴H（n，n）.
∵H是NN1的中点，
∴点N1（，）.
将点N1（，）代入y＝x2－2x－3，
得＝（）2－2×－3，
解得n＝，
∴点N（，0）或（，0）.
类型七 图形区域字母的取值范围问题
（2024·湖北）如图，二次函数y＝－x2＋bx＋3的图象交x轴于点A(－1，0)，B，交y轴于点C.
(1)求b的值；
(2)M为函数图象上一点，满足∠MAB＝∠ACO，求点M的横坐标；
(3)将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为L，L与y轴交于点D，记DC＝d，记L的顶点横坐标为n.
①求d与n的函数解析式；
②记L与x轴围成的图象为U，U与△ABC重合部分（不计边界）记为W，若d随n的增加而增加，且W内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出n的取值范围．
【思路引导】(1)用待定系数法求解即可；(2)设点M(m，－m2＋2m＋3)，作MN⊥x轴于点N，构造直角三角形，利用锐角三角函数或者相似建立关于m的方程求解即可；(3)①由二次函数平移可得出图象L的解析式为y＝－(x－n)2＋4＝－x2＋2nx－n2＋4，从而得到DC＝d＝|－n2＋4－3|＝|－n2＋1|，再分类讨论去绝对值即可；②根据题干条件得出整数点(0，1)，(0，2)，(1，1)，再分别两两进行分类讨论，建立二次函数不等式即可解决．
【自主解答】解：(1)∵二次函数y＝－x2＋bx＋3的图象与x轴交于点(－1，0)，
∴0＝－1－b＋3，解得b＝2.
(2)由(1)知b＝2，
∴二次函数的解析式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4.
令y＝0，解得x＝－1或3；令x＝0，得y＝3，
∴点B(3，0)，C(0，3).
过点M作MN⊥x轴于点N.
设点M(m，－m2＋2m＋3)，则N(m，0).
分两种情况：
当点M在x轴上方时，如图1.
∵∠MAB＝∠ACO，
∴tan ∠MAB＝tan ∠ACO，即＝＝，
∴＝，解得m＝或－1（舍去）；
当点M在x轴下方时，如图2，
∵∠MAB＝∠ACO，
∴tan ∠MAB＝tan ∠ACO，即＝＝，
∴＝，解得m＝或－1（舍去）.
综上所述，m＝或m＝.
(3)①由题意，得图象L的解析式为y＝－(x－n)2＋4＝－x2＋2nx－n2＋4，
∴D(0，－n2＋4)，
∴DC＝d＝|－n2＋4－3|＝|－n2＋1|，
∴d＝
②－1≤n≤1－或≤n＜.
【解析】由①得d＝
则函数图象如图3所示．
图3
∵d随着n增加而增加，
∴－1≤n≤0或n≥1，△ABC中含(0，1)，(0，2)，(1，1)三个整点（不含边界）.
当W内恰有2个整数点(0，1)，(0，2)时，
当x＝0时，yL＞2，
当x＝1时，yL≤1，
∴
∴－＜n＜，n≥1＋或n≤1－，
∴－＜n≤1－.
∵－1≤n＜0 或n≥1，∴－1≤n≤1－；
当W内恰有2个整数点(0，1)，(1，1)时，
当x＝0时，1＜yL≤2，
当x＝1时，yL＞1，
∴
∴－＜n≤－或≤n＜，1－＜n＜1＋.
∴≤n＜.
∵－1≤n＜0或n≥1，∴≤n＜；
当W内恰有2个整数点(0，2)，(1，1)时，此种情况不存在，舍去．
综上所述，n的取值范围为－1≤n≤1－或≤n＜.
8．（2022·宜昌节选）已知抛物线y＝ax2＋bx－2与x轴交于A(－1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，直线l由直线BC平移得到，与y轴交于点E(0，n).四边形MNPQ的四个顶点的坐标分别为M(m＋1，m＋3)，N(m＋1，m)，P(m＋5，m)，Q(m＋5，m＋3).
(1)填空：a＝ ，b＝ － ；
(2)若点M在第二象限，直线l与经过点M的双曲线y＝有且只有一个交点，求n2的最大值；
(3)当直线l与四边形MNPQ、抛物线y＝ax2＋bx－2都有交点时，存在直线l，对于同一条直线l上的交点，直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛物线y＝ax2＋bx－2的交点的纵坐标．当m＝－3时，求n的取值范围．
解：(2)∵B(4，0)，C(0，－2)，
∴直线BC的解析式为y＝x－2.
∵直线BC平移得到直线l，直线l与y轴交于点E(0，n)，
∴直线l的解析式为y＝x＋n.
∵双曲线y＝经过点M(m＋1，m＋3)，
∴k＝(m＋1)(m＋3)＝m2＋4m＋3，
∴y＝.
联立方程组
整理，得x2＋2nx－2m2－8m－6＝0.
∵直线l与双曲线y＝有且只有一个交点，
∴Δ＝0，即4n2－4(－2m2－8m－6)＝0，
∴n2＋2m2＋8m＋6＝0，
∴n2＝－2m2－8m－6＝－2(m＋2)2＋2.
∵点M在第二象限，
∴
∴－3＜m＜－1，
∴当m＝－2时，n2可以取得最大值2.
(3)如图1，当直线l与抛物线有交点时，
联立方程组
整理，得x2－4x－4－2n＝0.
∵Δ≥0，即16－4(－4－2n)≥0，解得n≥－4.
当n＝－4时，直线y＝x－4与抛物线的交点为F(2，－3).
当m＝－3时，四边形NMPQ的顶点分别为M(－2，0)，N(－2，－3)，P(2，－3)，Q(2，0)，
如图2，当直线l经过点P(2，－3)时，此时点P点与点F重合，
∴当n＝－4时，直线l与四边形MNPQ、抛物线都有交点，且满足直线l与矩形MNPQ的交点的纵坐标都不大于与抛物线的交点的纵坐标；
如图3，当直线l经过点A时，n＝；
如图4，当直线l经过点M时，n＝1，
∴≤n≤1.
综上所述，n的取值范围为≤n≤1或n＝－4.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共112张PPT)
中考数学
二轮复习课件
通用版
2025年中考数学 二轮复习（压轴题高分突破）
高分突破九
二次函数与几何综合题
第二轮 中考压轴题高分突破
二、解答题压轴题高分突破
(－1，0)
(3，0)
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin
21世纪载言
山山山.
:
1总纪教肩
2他有
W,27GG⊙
版权声明
21世纪教育网www.21cjy.com(以下简称“本网站”)系属深圳市二一教育股份有限公司（以下简称“本公司”）
旗下网站，为维护本公司合法权益，现依据相关法律法规作出如下郑重声明：
一、本网站上所有原创内容，由本公司依据相关法律法规，安排专项经费，运营规划，组织名校名师创作完成，
著作权归属本公司所有。
二、经由网站用户上传至本网站的试卷、教案、课件、学案等内容，由本公司独家享有信息网络传播权，其作品
仅代表作者本人观点，本网站不保证其内容的有效性，凡因本作品引发的任何法律纠纷，均由上传用户承担法律责任，
本网站仅有义务协助司法机关了解事实情况。
三、任何个人、企事业单位（含教育网站）或者其他组织，未经本公司许可，不得使用本网站任何作品及作品的
组成部分（包括但不限于复制、发行、表演、广播、信息网络传播、改编、汇编、翻译等方式），一旦发现侵权，本
公司将联合司法机关获取相关用户信息并要求侵权者承担相关法律责任。
四、一旦发现侵犯本网站作品著作权的行为，欢迎予以举报。
举报电话：4006379991
举报信息一经核实，本公司将依法追究侵权人法律责任！
五、本公司将结合广大用户和网友的举报，联合全国各地文化执法机关和相关司法机关严厉打击侵权盗版行为，
依法追究侵权人的民事、行政和刑事责任！
特此声明！
深圳市二一教育股份有限公司
21世纪载言
www.21cny.com
刃
F
A
B x
D
E
图1
O
B
X
G
C
P
E
D
F
0
H
B
X
P
0
B
式
y↑
P
O
B
X
11
B
B
B
X
图1
图2
备用图
i
C
B
B
B
A
O
A
A
0
图
1
图
2
备用图
D
M
B
A
B
B
X
N
B
B
B
Nx
图1
图
2
N
H
B
B
T Nx
图2/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
二、解答题压轴题高分突破
高分突破九 二次函数与几何综合题
类型一 角度问题
(2023·十堰)已知抛物线y＝ax2＋bx＋8过点B(4，8)，C(8，4)，与y轴交于点A.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接AB，BC，点D在线段AB上(与点A，B不重合)，F是OA的中点，连接FD，过点D作DE⊥FD，交BC于点E，连接EF，当△DEF的面积是△ADF面积的3倍时，求点D的坐标；
(3)如图2，P是抛物线上对称轴右侧的点，H(m，0)是x轴正半轴上的动点，若线段OB上存在点G(与点O，B不重合)，使得∠GBP＝∠HGP＝∠BOH，求m的取值范围．
【思路引导】(1)运用待定系数法将点B，C的坐标代入解析式可求解；(2)过点E作EG⊥AB，交AB的延长线于点G.用待定系数法求得直线BC的解析式为y＝－x＋12，可证△BGE是等腰直角三角形，设点D(t，8)，通过证明△AFD∽△GDE，利用相似三角形的性质得出n－t＝4，则DG＝AF，可证△AFD≌△GDE，由面积关系列出方程可求解；(3)通过证明△OGH∽△BPG，可得＝，由待定系数法可求BS的解析式，联立方程组可求点P的坐标，由勾股定理可求BP的长，由二次函数的性质可求解．
【自主解答】解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋8过点B(4，8)，C(8，4)，
∴解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋8.
(2)在y＝－x2＋x＋8中，
当x＝0时，y＝8，∴A(0，8)，∴OA＝8.
∵B(4，8)，∴AB∥x轴，AB＝4.
∵F是OA的中点，
∴F(0，4)，∴AF＝4.
设直线BC的解析式为y＝kx＋b′，
则解得
∴直线BC的解析式为y＝－x＋12.
设点E(n，－n＋12)(4＜n＜8).
过点E作EG⊥AB，交AB的延长线于点G，则∠G＝90°，
∴G(n，8)，
∴GE＝8－(－n＋12)＝n－4，BG＝n－4，
∴BG＝GE，∴△BGE是等腰直角三角形．
设点D(t，8)，则AD＝t，DG＝n－t.
易得△AFD∽△GDE，
∴＝，
∵B(4
1．(2023·仙桃、潜江、天门联考)如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－6(a≠0)与x轴交于点A(－2，0)，B(6，0)，与y轴交于点C，顶点为D，连接BC.
(1)抛物线的解析式为y＝x2－2x－6；
(2)在图1中，连接AC并延长，交BD的延长线于点E，求∠CEB的度数；
(3)如图2，若动直线l与抛物线交于M，N两点(直线l与BC不重合)，连接CN，BM，直线CN与BM交于点P.当MN∥BC时，点P的横坐标是否为定值？请说明理由．
解：(2)由点A(－2，0)，C(0，－6)，可得直线AC的解析式为y＝－3x－6.
易得点D的坐标为(2，－8)，由点D(2，－8)，B(6，0)，可得直线BD的解析式为y＝2x－12.
当－3x－6＝2x－12时，解得x＝，
∴点E的坐标为(，－).
由题意可得OA＝2，OB＝OC＝6，
∴AB＝8，AC＝＝2.
过点E作EF⊥x轴于点F，
∴AE＝＝＝.
∵＝＝，＝＝，
∴＝.
∵∠BAC＝∠EAB，∴△ABC∽△AEB，
∴∠ABC＝∠AEB.
∵OB＝OC，∠COB＝90°，∴∠ABC＝45°，
∴∠AEB＝45°，即∠CEB＝45°.
(3)点P的横坐标为定值．理由如下：
设点M的坐
2．(2024·武汉)抛物线y＝x2＋2x－交x轴于A，B两点(点A在点B的右边)，交y轴于点C.
(1)直接写出点A，B，C的坐标；
(2)如图1，连接AC，BC，过第三象限的抛物线上的点P作直线PQ∥AC，交y轴于点Q.若BC平分线段PQ，求点P的坐标；
(3)如图2，点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点(点E在x轴下方)，线段DE交抛物线于另一点G，连接FG.若∠EGF＝90°，求直线DE的解析式．
解：(1)A(1，0)，B(－5，0)，C(0，－).
(2)设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0).
把点f－g)，
∴(e＋g＋4)(e－g)·(－g＋g＋4)(－g－g)＝(g－e)(－g－g)，
∴e＋g＝－5，
∴2k2－4＝－5，解得k2＝－，
∴直线DE的解析式为y＝－x－5.
类型二 线段问题
(2023·黄石)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于两点A(－3，0)，B(4，0)，与y轴交于点C(0，4).
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知抛物线上有一点P(x0，y0)，其中y0＜0，若∠CAO＋∠ABP＝90°，求x0的值；
(3)若D，E分别是线段AC，AB上的动点，且AE＝2CD，求CE＋2BD的最小值．
【思路引导】(1)由待定系数法即可求解；(2)由∠ABP＝∠ACO可得tan ∠ABP＝tan ∠ACO＝，得到直线BP的解析式为y＝(x－4)，进而求解；(3)作∠EAG＝∠BCD，AG＝2BC，证明△BCD∽△GAE且相似比为1∶2，故当点C，E，G共线时，CE＋2BD＝CE＋EG＝CG为最小，进而求解．
【自主解答】解：(1)由抛物线交x轴于点A(－3，0)，B(4，0)可得抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－4)＝a(x2－x－12)，
∴－12a＝4，
∴a＝－，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4.
(2)∵∠CAO＋∠ABP＝90°，∠CAO＋∠ACO＝90°，
∴∠ABP＝∠ACO，
∴tan ∠ABP＝tan ∠ACO＝，
∴直线BP的解析式为y＝(x－4).
联立AG＝8.
过点G作GN⊥x轴于点N，
则NG＝AG·sin ∠EAG＝，
∴AN＝＝，
∴ON＝OA－AN＝，
∴点G(－，－).
由点C，G的坐标，得CG＝＝，
即CE＋2BD的最小值为.
3．(2022·武汉)抛物线y＝x2－2x－3交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P.
(1)点A，B的坐标分别为A(－1，0)，B(3，0)；
(2)如图1，当OP＝OA时，在抛物线上存在点D(异于点B)，使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；
(3)如图2，直线BP交抛物线于另一点E，连接CE，交y轴于点F，点C的横坐标为m，求的值．(用含m的代数式表示)
解：(2)由(1)知点A的坐标为(－1，0)，
∴OA＝1，
∴OP＝OA＝1，
∴点P的坐标为(0，1).
由点A，P的坐标易得直线AC的解析式为y＝x＋1.
分两种情况讨论：
①当点D在AC的下方时，
过点B作直线AC的平行线，交抛物线于点D1.
由(1)知点B的坐标为(3，0)，
∴易得直线BD1的解析式为y＝x－3.
联立解得或
∴点D1的横坐标为0；
②当点D在直线AC的上方时，点D1关于点P的对称点G的坐标为(0，5).
过点G作AO
同理可得mn＝－3－q，
∴q＝－mn－3，
∴q＝－(3＋b)(－1－)－3＝b2＋2b，
∴OF＝b2＋2b，
∴FP＝OF－OP＝b2＋b，
∴＝b＋1＝(m－3)＋1＝m.
类型三 面积问题
(2023·荆州)已知y关于x的函数y＝(a－2)x2＋(a＋1)x＋b.
(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值是0或2或－；
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A(－2，0)，B(4，0)，并与动直线l：x＝m(0＜m＜4)交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E.设△PBE的面积为S1，△CDE的面积为S2.
①当P为抛物线的顶点时，求△PBC的面积；
②探究直线l在运动过程中，S1－S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【思路引导】(1)y关于x的函数应分一次函数与二次函数两种情况，其中二次函数应分为①与x轴有两个交点且一个交点为原点；②与x轴有一个交点，与y轴有一个交点两种情况讨论；(2)①设直线l与BC交于点F，用待定系数法求得抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋8，得到C(0，8)，P(1，9)，求得直线BC的解析式，从而得到点F的坐标，根据三角形的面积公式即可得到结果；②设直线x＝m交x轴于点H，由①得OB＝4，AO＝2，AB＝6，OC＝8，AH＝2＋m，P(m，－m2＋2m＋8)，得到PH＝－m2＋2m＋8，根据相似三角形的性质得到OD＝8－2m，再根据S1－S2＝S△PAB－S△AOD－S△OBC即可得到结果．
【自主解答】解：①设直线l与BC交于点F.根据题意，得
解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋8.
当x＝0时，y＝8，∴C(0，8).
∵y＝－x2＋2x＋8＝－(x－1)2＋9，
∴P(1，9).
∵B(4，0)，C(0，8)，
∴直线BC的解析式为y＝－2x＋8，
∴F(1，6)，∴PF＝3，
∴S△PBC＝OB·PF＝×4×3＝6.
②S1－S2存在最大值．
设直线x＝m交x轴于点H.
由①得OB＝4，AO＝2，AB＝6，OC＝8，AH＝2＋m，P(m，－m2＋2m＋8)，
∴PH＝－m2＋2m＋8.
∵OD∥PH，∴△AOD∽△AHP，
∴＝，
∴＝，
∴OD＝8－2m，
∴S1－S2＝S△PAB－S△AOD－S△OBC＝－－＝－3m2＋8m＝－3(m－)2＋.
∵－3＜0，0＜m＜4，
∴当m＝时，S1－S2存在最大值，最大值为.
4．(2022·黄冈、孝感、咸宁联考)抛物线y＝x2－4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D.
(1)直接写出点B和点D的坐标；
(2)如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan ∠PDO＝时，求点P的坐标；
(3)如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m(0＜m＜5)，连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E.设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．
解：(1)B(5，5)，D(2，－4).
(2)过点D作DC⊥y轴于点C，
∴CD＝2，OC＝4，
∴tan ∠DOC＝＝.
∵tan ∠PDO＝，∴∠DOC＝∠PDO.
分两种情况讨论：
①当点P在线段OD的右侧时，DP∥y轴，如图3，
∴P(2，0)；
②当点P在线段OD左侧时，如图4，设直线DP与y轴交于点G，则△ODG是等腰三角形，
∴OG＝DG.
设OG＝t，则DG＝t，GC＝4－t.
在Rt△DGC中，DG2＝DC2＋GC2，
即t2＝22＋(4－K，
∴N(－1，－1)，Q(m，m2－4m)，K(m，m)，
∴MN＝6，KQ＝m－(m2－4m)＝－m2＋5m.
∵MN∥KQ，∴△EQK∽△EMN，
∴＝，
∴＝＝＝＝－(m－)2＋.
∵－＜0，0＜m＜5，
∴当m＝时，的最大值为.
类型四 特殊三角形存在性问题
(2023·恩施州)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与y轴交于点A，抛物线的对称轴与x轴交于点B.
(1)如图，若A(0，)，抛物线的对称轴为直线x＝3.求抛物线的解析式，并直接写出y≥时x的取值范围；
(2)在(1)的条件下，若P为y轴上的点，C为x轴上方抛物线上的点，当△PBC为等边三角形时，求点P，C的坐标；
(3)若抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点D(m，2)，E(n，2)，F(1，－1)，且m＜n，求正整数m，n的值．
【思路引导】(1)把点A的坐标代入抛物线的解析式，可得c，由对称轴是直线x＝，可求得b；当y＝时，结合图象求得x的范围；(2)连接AB，在对称轴上截取BE＝AB，分两种情况进行讨论，根据题意可得A，B，C，P四点共圆，先证A，E，C在同一条直线上，根据等边三角形的性质，两点之间的距离公式，坐标系中的交点坐标特征等即可求解；(3)由抛物线过点D(m，2)，E(n，2)可设设抛物线解析式为y＝－(x－m)(x－n)＋2，于是再将点F(1，－1)代入解析式中可得(m－1)(n－1)＝6，再利用m＜n，m，n为正整数求解即可．
∴c＝，－＝3，
解得b＝3，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋.
当y＝时，－x2＋3x＋＝，解得x1＝0，x2＝6，
∴x的取值范围是0≤x≤6.
(2)连接AB，在对称轴上截取BE＝AB.
∵OA＝，OB＝3，
∴在Rt△AOB中，tan ∠OAB＝＝＝，
∴∠OAB＝60°，∴∠PAB＝180°－∠OAB＝120°.
∵△PBC是等边三角形，
∴∠BC
解得y＝3－，∴P(0，3－)；
当点C与点A重合时，∵∠OAB＝60°，
∴点P与点A关于x轴对称，符合题意，
此时，P(0，－)，C(0，).
综上所述，C(－＋6，3－)，P(0，3－)或P(0，－)，C(0，).
(3)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点D(m，2)，E(n，2)，
∴设抛物线的解析式为y＝－(x－m)(x－n)＋2.
将点F(1，－1)代入y＝－(x－m)(x－n)＋2中，
得－(1－m)(1－n)＋2＝－1，
整理得(m－1)(n－1)＝6.
∵m＜n，且m，n为正整数，∴1＜m＜n，
∴m－1，n－1为正整数，且m－1＜n－1，
∴当m－1＝1，n－1＝6时，解得m＝2，n＝7；
当m－1＝2，n－1＝3时，解得m＝3，n＝4.
∴m＝2，n＝7或m＝3，n＝4.
5．(2021·随州)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为(1，－4).
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图1，若点P在抛物线上，且满足∠PCB＝∠CBD，求点P的坐标；
(3)如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N，Q是直线AC上一个动点，当△QMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标．
解：(1)抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.
(2)∵抛物线的对称轴为直线x＝1，A(－1，0)，
∴B(3，0).
设直线BD的解析式为y＝kx＋e，
∴解得
∴直线BD的解析式为y＝2x－6.
分两种情况讨论：
①当点P在直线BC的上方时，如图1，过点C作CP1∥BD，交抛物线于点P1.
设直线CP1的解析式为y＝2x＋d.
将点C(0，－3)代入，得－3＝2×0＋d，
解得d＝－3，
∴直线CP1的
∴直线CF的解析式为y＝x－3.
联立
解得1(，)，Q1(－，)；M2(，－)，Q2(－，－)；M3(5，2)，Q3(－5，12)；M4(2，－1)，Q4(0，－3)；M5(7，4)，Q5(－7，18)；M6(1，－2)，Q6(0，－3).
类型五 特殊四边形问题
(2022·随州)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)与x轴分别交于点A，B(1，0)，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝－1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)设M为抛物线对称轴上一动点，当点P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，求出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路引导】(1)由A，B两点的坐标，可得抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)，把点(0，3)代入抛物线的解析式，可得结论；(2)连接OP.设点P(m，－m2－2m＋3)，由S＝S△PAO＋S△POC＋S△OBC构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可；(3)分两种情况，点N在y轴上，点N在x轴上，分别求解即可．
【自主解答】解：(1)抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
(2)连接OP.
设点P(m，－m2－2m＋3).
∵A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)，
∴－3＜m＜0，S＝S△PAO＋S△POC＋S△OBC＝×3×(－m2－2m＋3)＋×3×(－m)＋×1×3＝(－m2－3m＋4)＝－(m＋)2＋.
∵－＜0，
∴当m＝－时，S的值最大，最大值为，
此时点P(－，).
(3)存在．
分两种情况：
①如图3，当点N在y轴上时，四边形PMCN是矩形，此时P(－1，4)，N(0，4)；
②如图4，当点N在x轴上时，四边形PMCN是矩形时．
设M(－1，n)，P(t，－t2－2t＋3)，则N(t＋1，0).
由题意，
消去n，得3t2＋5t－10＝0，解得t＝，
∴P(，)，N(，0)或P′(，)，N′(，0).
综上所述，满足条件的点P(－1，4)，N(0，4)或P(，)，N(，0)或P(，)，N(，0).
6．(2021·恩施州)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B，D(－4，5)，且与直线DC交于另一点E.
(1)求抛物线的解析式；
(2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM＋MP＋PB是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．
＝5－4＝1，
∴点B(1，0)，
则解得
∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.
(2)存在．理由如下：
∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，
∴其对称轴为直线x＝－1，故设点F(－1，m).
∵点D，E关于抛物线对称轴对称，∴点E(2，5).
由点B，E的坐标，得BE2＝(2－1)2＋(5－0)2＝26.
设点Q(s，t).
∵以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，点B向右平移1个单位长度，向上平移5个单位长度得到点E，
∴点Q(F)向右平移1个单位长度，向上平移5个单位长度得到点F(Q)，且BE＝EF(BE＝EQ)，
则＝，
则EM＋MP＋PB的最小值B″E＋1＝＋1.
当x＝－1时，y＝(x＋2)＝，
∴点M（－1，）.
类型六 相似三角形（含全等）问题
（2023·随州）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(2，0)和C(0，2)，连接BC，P(m，n)(m＞0)为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N.
(1)直接写出抛物线和直线BC的解析式；
(2)如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；
(3)当点P在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应）？若存在，求出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路引导】(1)由题得抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，将点C的坐标代入求a，进而得到抛物线的解析式．由B，C两点坐标即可得到直线BC的解析式；(2)由题可得点M的坐标，分别求出OC2，OM2，CM2，对等腰三角形OCM中相等的边分类讨论，进而列方程求解；(3)对点P在点B左右两侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解m，进而得到点P，Q的坐标．
【自主解答】解：(1)抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2.
直线BC的解析式为y＝－x＋2.
(2)∵点M在直线BC上，且点P(m，n)，
∴点M(m，－m＋2)，
∴OM2＝m2＋(－m＋2)2＝2m2－4m＋4.
∵C(0，2)，
∴OC2＝4，CM2＝(m－0)2＋(－m＋2－2)2＝2m2.
当△OCM为等腰三角形时，分三种情况讨论：
①若CM＝OM，则CM2＝OM2，
即2m2＝2m2－4m＋4，解得m＝1；
②若CM＝OC，则CM2＝OC2，
即2m2＝4，解得m＝或m＝－（舍去）；
③若OM＝OC，则OM2＝OC2，
即2m2－4m＋4＝4，解得m＝2或m＝0（舍去）.
综上所述
∴＝，
解得m＝1＋或m＝1－（舍去），
∴P（1＋，－3－），Q(0，－2).
综上所述，P（，），Q（0，－1）或P（1＋，－1－），Q(0，1)或P（1＋，－3－），Q(0，－2).
7．（2021·孝感）已知抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴相交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，N(n，0)是x轴上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若n＜3，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线BC于点G.过点P作PD⊥BC于点D，当n为何值时，△PDG≌△BNG
(3)如图2，将直线BC绕点B顺时针旋转，它恰好经过线段OC的中点，然后将它向上平移个单位长度，得到直线OB1.
①tan ∠BOB1的值为 ；
②当点N关于直线OB1的对称点N1落在抛物线上时，求点N的坐标．
解：(1)由题意，得抛物线的解析式为y＝a(x－3)(x＋1)＝ax2－2ax－3a，
∴－3a＝－3，解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.
(2)分两种情况讨论：
①当点N在y轴右侧时，
由抛物线的解析式，得C(0，－3)，
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴NB＝3－n＝NG，
∴BG＝(3－n).
∵△PDG≌△BNG，
∴PG＝BG＝(3－n)，
∴PN＝NG＋PG＝3－n＋(3－n)＝(3－n)（1＋），
∴点P[n，类型七 图形区域字母的取值范围问题
（2024·湖北）如图，二次函数y＝－x2＋bx＋3的图象交x轴于点A(－1，0)，B，交y轴于点C.
(1)求b的值；
(2)M为函数图象上一点，满足∠MAB＝∠ACO，求点M的横坐标；
(3)将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为L，L与y轴交于点D，记DC＝d，记L的顶点横坐标为n.
①求d与n的函数解析式；
②记L与x轴围成的图象为U，U与△ABC重合部分（不计边界）记为W，若d随n的增加而增加，且W内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出n的取值范围．
【思路引导】(1)用待定系数法求解即可；(2)设点M(m，－m2＋2m＋3)，作MN⊥x轴于点N，构造直角三角形，利用锐角三角函数或者相似建立关于m的方程求解即可；(3)①由二次函数平移可得出图象L的解析式为y＝－(x－n)2＋4＝－x2＋2nx－n2＋4，从而得到DC＝d＝|－n2＋4－3|＝|－n2＋1|，再分类讨论去绝对值即可；②根据题干条件得出整数点(0，1)，(0，2)，(1，1)，再分别两两进行分类讨论，建立二次函数不等式即可解决．
【自主解答】解：(1)∵二次函数y＝－x2＋bx＋3的图象与x轴交于点(－1，0)，
∴0＝－1－b＋3，解得b＝2.
(2)由(1)知b＝2，
∴二次函数的解析式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4.
令y＝0，解得x＝－1或3；令x＝0，得y＝3，
∴点B(3，0)，C(0，3).
过点M作MN⊥x轴于点N.
设点M(m，－m2＋2m＋3)，则N(m，0).
分两种情况：
当点M在x轴上方时，如图1.
∵∠MAB＝∠ACO，
∴tan ∠MAB＝tan ∠ACO，即＝＝，
∴ 图3
∵d随着n增加而增加，
∴－1≤n≤0或n≥1，△ABC中含(0，1)，(0，2)，(1，1)三个整点（不含边界）.
当W内恰有2个整数点(0，1)，(0，2)时，
当x＝0时，yL＞2，
当x＝1时，yL≤1，
∴
∴－＜n＜，n≥1＋或n≤1－，
∴－＜n≤1－.
∵－1≤n＜0 或n≥1，∴－1≤n≤1－；
当W内恰有2个整数点(0，1)，(1，1)时，
当x＝0时，1＜yL≤2，
当x＝1时，yL＞1，
∴
∴－＜n≤－或≤n＜，1－＜n＜1＋.
∴≤n＜.
∵－1≤n＜0或n≥1，∴≤n＜；
当W内恰有2个整数点(0，2)，(1，1)时，此种情况不存在，舍去．
综上所述，n的取值范围为－1≤n≤1－或≤n＜.
8．（2022·宜昌节选）已知抛物线y＝ax2＋bx－2与x轴交于A(－1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，直线l由直线BC平移得到，与y轴交于点E(0，n).四边形MNPQ的四个顶点的坐标分别为M(m＋1，m＋3)，N(m＋1，m)，P(m＋5，m)，Q(m＋5，m＋3).
(1)填空：a＝ ，b＝ － ；
(2)若点M在第二象限，直线l与经过点M的双曲线y＝有且只有一个交点，求n2的最大值；
(3)当直线l与四边形MNPQ、抛物线y＝ax2＋bx－2都有交点时，存在直线l，对于同一条直线l上的交点，直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛物线y＝ax2＋bx－2的交点的纵坐标．当m＝－3时，求n的取值范围．
解：(2)∵B(4，0)，C(0，－2)，
∴直线BC的解析式为y＝x－2.
∵直线BC平移得到直线l，直线l与y轴交于点E(0，n)，
∴直线l的解析式为y＝x＋n.
∵双曲线y＝经过点M(m＋1，m＋3)，
∴k＝(m＋1)(m＋3)＝m2＋4m＋3，
∴y＝
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
