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第11章 一元一次不等式与不等式组（24大题型）
目录：
题型一 不等式的定义
题型二 不等式的基本性质
题型三 不等式的解集
题型四 一元一次不等式的定义
题型五 求一元一次不等式的解集
题型六 求一元一次不等式的整数解
题型七 求一元一次不等式解的最值
题型八 解|x|≥a型的不等式
题型九 列一元一次不等式
题型十 用一元一次不等式解决实际问题
题型十一 用一元一次不等式解决几何问题
题型十二 在数轴上表示不等式的解集
题型十三 一元一次不等式组的定义
题型十四 求不等式组的解集
题型十五 解特殊不等式组
题型十六 求一元一次不等式组的整数解
题型十七 由一元一次不等式组的解集求参数
题型十八 由不等式组解集的情况求参数
题型十九 不等式组和方程组相结合的问题
题型二十 一元一次不等式的实际应用之销售问题
题型二十一 一元一次不等式的实际应用之和差倍分问题
题型二十二 一元一次不等式的实际应用方案问题
题型二十三 一元一次不等式的实际应用之其他问题
题型二十四 一元一次不等式的新定义问题
题型一 不等式的定义
1．有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的定义：用符号“”、“”、“”、“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式，熟记不等式的定义是解题关键．根据不等式的定义逐个判断即可得．
【解析】不等式有①；②；⑤；⑥，共4个；而③是等式，④是多项式，
故选B．
2．给出下面5个式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题主要考查了不等式的识别，根据用不等号将两个式子连结起来表示不等关系的式子叫做不等式求解即可．
【解析】②③⑤是不等式，①是等式，④是代数式，其中不等式有3个．
故选B．
3．给出下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中属于不等式的是 ．（填序号）
【答案】②③④⑥
【分析】根据不等式的定义判断即可．
【解析】①a（b+c）=ab+ac是等式；
②-2＜0是用不等号连接的式子，故是不等式；
③x≠5是用不等号连接的式子，故是不等式；
④2a＞b+1是用不等号连接的式子，故是不等式；
⑤x2-2xy+y2是代数式；
⑥2x-3＞6是用不等号连接的式子，故是不等式，
故答案为：②③④⑥．
【点睛】本题考查的是不等式的定义，即用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
题型二 不等式的基本性质
4．下列四个不等式：①；②；③；④．其中能推出的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，结合不等式的性质进行作答即可．
【解析】∵，且，
∴，
故①不符合题意；
∵，且，
∴，
故②不符合题意；
∵，
∴，
故③符合题意；
∵，
∴，
故④不符合题意；
故选A．
5．若，且，则的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了不等式的性质．原不等式两边同时乘以后不等号改变方向，则，则．
【解析】∵若，且，
∴，
则；
故答案为：．
6．用“”或“”填空：
（1）已知，那么 ；
（2）已知，那么 ．
【答案】 < >
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
（1）根据不等式两边乘同一个正数，不等号的方向不变，即可作答；
（2）根据不等式两边除以同一个正数，不等号的方向不变，即可作答；
【解析】（1）∵，
∴，
故答案为：<；
（2）∵，
∴，
故答案为：>．
题型三 不等式的解集
7．下列说法正确的是（ ）
A．是不等式的解 B．是不等式的解集
C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式的解及解集的定义，如果不等式中含有未知数，能使这个不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集．根据不等式的解及解集的定义逐项分析即可．
【解析】A．∵当时，，∴不是不等式的解，故不正确；
B．∵当时，，∴是不等式的解而不是解集，故不正确；
C．∵，∴，∴不等式的解集是，故不正确；
D．∵当时，，∴是不等式的一个解，故正确；
故选D．
8．关于x的两个不等式x+1<7 2x与 1+x
(1)若两个不等式解集相同，求a的值；
(2)若不等式x+1<7 2x的解都是 1+x【答案】(1)a=1；(2)a≥1．
【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可；
（2）根据不等式x+1<7 2x的解都是 1+x【解析】（1）解：由x+1<7 2x得：x＜2，
由 1+x由两个不等式的解集相同，得到a+1=2，
解得：a=1；
（2）解：由不等式x+1<7 2x的解都是 1+x得到2≤a+1，
解得：a≥1．
【点睛】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值，利用不等关系求解．
9．阅读以下结论：
（1）若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．
（2）若|x|＞a（a＞0），则x＞a或x＜﹣a；
若|x|＜a（a＞0），则﹣a＜x＜a．
（3）若（x﹣a）（x﹣b）＞0（0＜a＜b），则x＞b或x＜a；
若（x﹣a）（x﹣b）＜0（0＜a＜b），则a＜x＜b．
根据上述结论，解答下面问题：
（1）解方程：|3x﹣2|﹣4＝0．
（2）解不等式：|3x﹣2|﹣4＞0．
（3）解不等式：|3x﹣2|﹣4＜0．
（4）解不等式：（x﹣2）（x﹣5）＞0．
（5）解不等式：（2x﹣3）（2x﹣5）＜0．
【答案】（1）x＝2或x＝﹣；（2）x＞2或x＜﹣；（3）﹣＜x＜2；（4）x＞5或x＜2；（5）＜x＜．
【分析】根据题目中的结论列式计算即可．
【解析】（1）解：|3x﹣2|﹣4＝0，
3x﹣2＝4或3x﹣2＝﹣4，
解得x＝2或x＝；
（2）解：|3x﹣2|﹣4＞0，
3x﹣2＞4或3x﹣2＜﹣4，
解得x＞2或x＜；
（3）解：|3x﹣2|﹣4＜0，
﹣4＜3x﹣2＜4，
解得＜x＜2；
（4）解：（x﹣2）（x﹣5）＞0，
x﹣5＞0或x﹣2＜0，
解得x＞5或x＜2；
（5）解不等式：（2x﹣3）（2x﹣5）＜0，
3＜2x＜5，
解得＜x＜．
【点睛】本题考查绝对值的性质，解方程，解不等式，解题的关键是根据题目给出的结论进行计算．
题型四 一元一次不等式的定义
10．下列不等式中，一元一次不等式有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要依据的知识是一元一次不等式的定义．熟记不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这是解题的关键．
根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1”，进行解答即可．
【解析】①不是一元一次不等式，因为最高次数是2；
②不是一元一次不等式，因为是分式；
③不是一元一次不等式，因为有两个未知数；
④是一元一次不等式；
⑤是一元一次不等式．
综上，只有2个是一元一次不等式．
故选B．
11．如果关于的不等式的解集为，则的值可以是（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得，然后进行分类讨论，当时，当时，即可解答．
【解析】根据题意可得：
，
解得：，
当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．
12．已知是关于x的一元一次不等式，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式的定义得出、求出k的值，然后代入不等式就x的解集．
【解析】是关于x的一元一次不等式，
∴ 解得
∴不等式为：，
解得，
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，一元一次不等式的解法，注意一次项系数不为0是解题关键．
题型五 求一元一次不等式的解集
13．解不等式
(1)；
(2)
【答案】(1)；(2)
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
（1）去括号，移项，合并同类项即可得解；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1即可得解．
【解析】（1）解：去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
化系数为1，得；
（2）解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化1，得
14．解不等式
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解题步骤是解题的关键．
（1）通过移项，合并同类项，系数化为1进行求解即可；
（2）先去分母，再移项，合并同类项，系数化为1即可．
【解析】（1）解：
解得：，
∴不等式的解集为：；
（2）解：
解得：，
∴不等式的解集为：．
15．解不等式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了解一元一次不等式的应用，掌握不等式的性质是解此题的关键．
（1）去括号、移项合并同类项、系数化，注意不等式两边同乘以或除以负数时不等号方向要改变．
（2）去分母、去括号、移项合并同类项、系数化，注意不等式两边同乘以或除以负数时不等号方向要改变．
【解析】（1）解：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
解得：．
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
解得：．
题型六 求一元一次不等式的整数解
16．不等式的正整数解有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法．根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解集，从而得出答案．
【解析】∵，
∴，
∴，
则不等式的正整数解有1、2这2个，
故选B．
17．不等式的正整数解有2个，那么的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组解的情况求参数，解一元一次不等式组得，结合不等式的正整数解有2个，得出，求解即可．
【解析】解不等式得：，
不等式的正整数解有2个，
，
解得：，
故答案为：．
18．若关于x的方程的解是不等式的最大整数解，求a的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了解不等式，已知一元一次方程的解求参数，先求出不等式的解集为，然后得出最大大整数解是，再将代入，求出a的值即可．
【解析】解不等式，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
所以该不等式的最大整数解是，
因为方程的解是不等式的最大整数解，
所以，
解得：．
题型七 求一元一次不等式解的最值
19．已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（ ）
A．3 B．-3 C．4 D．-4
【答案】A
【分析】将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可．
【解析】∵是不等式的一个解，
∴，
解得，
∴整数k的最小值是3．
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
20．设表示大于的最小整数，如，，下列4个结论：①；②的最小值是0；③的最大值是1； ④存在实数，使成立．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】③④
【分析】利用题中的新定义判断即可．
【解析】[0）＝1，故①错误；
，所以有最大值，最大值为1，无最小值，故②错误，③正确；
如时，，故④正确；
故答案为：③④．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．已知两个整式，，其中系数被污染．
（1）若是，化简；
（2）若时，的值为18
①说明原题中是几？
②若再添加一个常数，使，，的和不为负数，求的最小值．
【答案】（1）；（2）①4；②-18
【分析】（1）直接根据整式的加减运算法则求解即可；
（2）①设，然后将代入，从而得到关于的方程，求解即可；②根据以及，，的和不为负数，直接建立不等式求解即可．
【解析】（1）
（2）①设，依题意得，
解之得，
②由于，所以、、的和不为负数时有．
即，解之得，，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查整式的混合运算，掌握基本的运算法则和顺序，并注意题中要求，是解题关键．
题型八 解|x|≥a型的不等式
22．不等式的解集是 ．
【答案】/
【分析】根据“|a|”的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离即可解答．
【解析】根据绝对值的几何意义可得：“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于，
不等式的解集是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
23．若关于的不等式有解，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据绝对值的几何意义，可把视为数轴上表示数x的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和，得到当x位于第8个点时，取得最小值15，即可求出a的取值范围．
【解析】由绝对值的几何意义可得，
把视为数轴上表示数x的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和，
∴当x位于第8个点时，即当x=-4时，
的最小值为15，
∵，
∴当关于的不等式有解时，
a的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了绝对值的几何意义和不等式性质，解题的关键是根据题意求得的最小值．
24．已知、在数轴上分别表示、.
(1)对照数轴填写下表：
、两点的距离
(2)写出数轴上到和的距离之和为的所有整数，并求这些整数的和；
(3)若数轴上表示数a的点位于与6之间，求的值；
(4)若x表示一个有理数，且，求有理数的取值范围．
【答案】(1)6；2；12(2)0
(3)10
(4)或
【分析】（1）根据数轴上点表示的有理数，即可求出两点间的距离．
（2）由数轴上两点间的距离，可得出只要在和7之间的整数均满足题意，进而即可求解．
（3）由题意得：，去绝对值即可求解．
（4）分类讨论：当时；当时；当时；去绝对值，解不等式即可求解．
【解析】（1）解：当，时，A、B两点的距离为；
当，时，A、B两点的距离为；
当，时，A、B两点的距离为，
、两点的距离 6 2 12
故答案为：6、2、12．
（2）7到的距离为，
7到之间的所有整数，均满足到和的距离之和为，
∴ 数轴上到7和的距离之和为14的所有整数有：，，，，，，，0，1，2，3，4，5，6，7；
，
答：所有这些整数的和为0．
（3）由题意得：，
则．
（4）当时，
不等式，即：，
解得：；
当时，
不等式，即，
则无解，
当时，不等式，即：，
解得：，
综上所述：有理数x的取值范围为：或．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离、解一元一次不等式及绝对值的意义，熟练掌握数轴上两点之间的距离及绝对值不等式的解法是解题的关键．
题型九 列一元一次不等式
25． 请写出满足下列条件的一个不等式：
（1），，0，1都是不等式的解： ；
（2）与的解集相同的不等式： ．
【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一）
【分析】本题考查了不等式的知识，解题的关键是熟练掌握不等式的性质；
（1）首先求出，，0，1四个数字中最大的值，再根据不等式的性质分析即可；
（2）结合题意，根据一元一次不等式的性质分析，即可得到答案．
【解析】（1）解：，，0，1四个数字中，最大的值为1，
∴，，0，1都是不等式的解，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）解：∵，
∴，即，
∴与的解集相同的不等式为：，
故答案为：（答案不唯一）．
26． 用不等式表示：
(1)a与1的差是非负数；
(2)a的2倍比a与3的和小；
(3)x的一半与3的差不大于2；
(4)x的3倍与1的和小于x的2倍与6的差．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
（1）根据非负数即列不等式即可．
（2）根据题意直接列出不等式即可．
（3）根据不大于即列不等式即可．
（4）根据题意直接列出不等式即可．
【解析】（1）解：a与1的差是非负数即
（2）解：a的2倍比a与3的和小即
（3）解：x的一半与3的差不大于2即
（4）解：x的3倍与1的和小于x的2倍与6的差即
27．用不等式表示下列关系：
(1)a是非负数：___________；
(2)与的差是负数：___________；
(3)y不小于2：___________；
(4)x与5的差的绝对值大于4：___________；
(5)a的3倍与y的和大于2：___________；
(6)小于5：___________．
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式．
（1）根据题意可知大于等于0，即可得出答案；
（2）根据题意可知与的差小于0，即可得出答案；
（3）根据题意可知大于等于2，即可得出答案；
（4）根据题意可知x与5的差的绝对值大于4，即可得出答案；
（5）根据题意可知与y的和大于2，即可得出答案；
（6）根据题意可知小于5，即可得出答案．
【解析】（1）a是非负数可表示为：；
（2）与的差是负数可表示为：；
（3）y不小于2可表示为：；
（4）x与5的差的绝对值大于4可表示为：；
（5）a的3倍与y的和大于2可表示为：；
（6）小于5可表示为：．
题型十 用一元一次不等式解决实际问题
28．已知握力体重指数（握力÷体重），初中男生的合格标准是．若小虎的体重是，且小虎的握力合格，则小虎的握力至少是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，
将数值代入关系式得出不等式，再求出解集，进而得出答案．
【解析】设小虎得握力是xkg，根据题意，得
，
解得．
所以小虎得握力至少是kg．
故选B．
29．某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元．若商品的单价是整数元，则它的最小值是（ ）
A．1元 B．99元 C．101元 D．199元
【答案】A
【分析】本题考查了不等式的性质，正确的理解题意，列出不等式是解题的关键．本题可先根据甲的消费情况确定商品的价格范围，再结合乙的消费情况列出不等式，进而求出B商品单价的最小值
【解析】∴
∵单笔消费金额每满100元立减10元，立减20元，说明消费金额满了2个100元，
∴2件商品的原价满足：，
∵乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元，说明消费金额满了3个100元，
∴，
∴时，B有最小值为1即可；
故选A
30．亚冬会即将来临之际，某纪念品商店分别采购大、小两种型号的亚冬会吉祥物纪念品“滨滨和妮妮”40套、60套，共花费5600元，其中采购每套大型纪念品的价钱是每套小型纪念品的价钱的2倍．
(1)采购每套大、小两种型号的纪念品的价钱分别为多少元？
(2)该商店决定再次采购两种型号的纪念品共60套，且采购费用不超过3200元，那么最多采购大型纪念品多少套？
【答案】(1)采购每套大、小两种型号的纪念品的价钱分别为80元、40元
(2)最多采购大型纪念品20套
【分析】本题考查了一元一次方程，一元一次不等式的应用，理解题意，正确的列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设采购每套小型纪念品的价钱分别为元，依题意列出方程即可得解；
（2）设采购大型纪念品能套，依题意列出不等式即可得解；
【解析】（1）设采购每套小型纪念品的价钱分别为元．
根据题意得．
解得．
．
答：采购每套大、小两种型号的纪念品的价钱分别为80元、40元．
（2）设采购大型纪念品能套．
根据题意得．
解得．
答：最多采购大型纪念品20套．
题型十一 用一元一次不等式解决几何问题
31．如图是由黑白两种正方形地砖拼成的图案，且每块正方形地砖边长为0.6m．
(1)按图示规律，图1的长为______m，图2的长为______m，图3的长为______m；
(2)设图案的长为，当黑色地砖块数为n（n为正整数）时，______（用含n的代数式表示）；
(3)若要使不小于72m，则至少需要黑色地砖多少块
【答案】(1)1.8；3；4.2(2)
(3)至少需要黑色地砖60块
【分析】本题考查的是图形的变化规律，从图形中找出砖块的变化规律是解题的关键．
（1）根据上述图形计算即可；
（2）根据（1）中的规律，可知：当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时，；
（3）由题可知，，求解即可．
【解析】（1）解：图1的长为：；
图2的长为：；
图3的长为：；
故答案为：1.8；3；4.2；
（2）解：根据（1）中的规律，可知：
当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时，
，
故答案为：；
（3）解：由题可知，，
，
（块，
至少需要黑色地砖块60块．
32．如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为，宽为．
(1)写出用表示的式子______．当时，求的值；
(2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围．
【答案】(1)a=50-2b，15．(2)
【分析】（1）根据等量关系“围栏的长度为50”可以列出代数式，再将a=20代入所列式子中求出b的值即可；
（2）由（1）可得a、b之间的关系式，再用含有b的式子表示a，然后再结合，列出关于b的不等式组，解不等式组求出b的取值范围即可．
【解析】（1）解：由题意得，即a=50-2b
当时，．解得．
（2）解：∵，，
∴
解这个不等式组得：．
答：矩形花园宽的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了列代数式、代数式求值、解不等式组等知识点，审清题意、正确列出不等式组是解答本题的关键．
33．如图是测量一颗玻璃球体积的过程：
（1）将的水倒进一个容量为的杯子中；
（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；
（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．
根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，则，解出，即可．
【解析】一颗玻璃球的体积为，
∵将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满，
∴，
解得：；
∵五颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出，
∴，
解得：；
∴一颗玻璃球的体积的取值范围为：，
故答案为：．
题型十二 在数轴上表示不等式的解集
34．解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴表示见解析．
【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，能求出不等式的解集是解题的关键．
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【解析】去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为，得，
解集在数轴上表示如图，
35．解不等式，并将该不等式的解集在如图所示的数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，注意在数轴上表示解集时，大于等于或小于等于用实心点，大于或小于用空心点．首先解不等式，求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
【解析】去分母，得：，
解得，
把解集在数轴上表示出来，如图所示：
．
36．解不等式，并将其解集在数轴上表示出来：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)，数轴见解析
(2)，数轴见解析
(3)，数轴见解析
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集；熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．
（1）按照去括号、移项、合并同类项的步骤求解即可；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可；
（3）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可；
【解析】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
题型十三 一元一次不等式组的定义
37．有下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次不等式组的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据两个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1次的，可得答案．
【解析】①是一元一次不等式组，故①正确；
②是一元一次不等式组，故②正确；
③是一元二次不等式组，故③错误；
④，含有分式，不是一元一次不等式组，故④错误；
⑤是二元一次不等式组，故⑤错误；
⑥是一元一次不等式组，故⑥正确.
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组．
38．下面给出的不等式组中①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式组的特点即可得出答案．
【解析】由一元一次不等式组的定义可知，①②④符合条件，
③中未知数的最高次数为2次，不是1次，故不是一元一次不等式组，
⑤中有2个未知数，不是1个，故不是一元一次不等式组．
故一元一次不等式组有3个．
故选B
【点睛】本题考查一元一次不等式的识别，注意理解一元一次不等式的三个特点：①不等式的两边都是整式；②只含1个未知数；③未知数的最高次数为1次．
39．下列不等式组中，是一元一次不等式组的有 ．（填序号）
① ② ③ ④ ⑤
【答案】①②④
【分析】本题主要考查一元一次不等式组的定义，熟练掌握定义并灵活运用是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次，对各选项判断后即可得解．
【解析】根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组；
③含有两个未知数，
⑤含有一个未知数，但未知数的最高次数是2，
所以③⑤都不是一元一次不等式组．
故答案为：①②④．
题型十四 求不等式组的解集
40．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后把解集在数轴上表示出来即可得．
【解析】，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为．
把解集在数轴上表示出来如下：
41．解不等式组
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组．分别求出两个不等式的解集，找出解集的公共部分，确定出不等式组的解集．
【解析】，
解不等式，得，
解不等式，得，
故不等式组的解集为．
42．解下列不等式组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；(2)．
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大 ；同小取小；大小小大中间找；大大小小 找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可．
【解析】（1），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
故不等式组的解集为．
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
故不等式组的解集为．
题型十五 解特殊不等式组
43．下列说法中，①若m＞n，则ma2＞na2；②x＞4是不等式8﹣2x＜0的解集；③不等式两边乘（或除以）同一个数，不等号的方向不变；④是方程x﹣2y＝3的唯一解；⑤不等式组无解．正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】利用不等式的基本性质，解集与解的定义判断即可．
【解析】①若m＞n且a≠0，则ma2＞na2，不正确，不符合题意；
②x＞4是不等式8﹣2x＜0的解集，符合题意；
③不等式两边乘（或除以）同一个数（不为0），不等号的方向不变，故不符合题意；
④ 是方程x﹣2y＝3的一组解，不是唯一解，故不符合题意；
⑤不等式组 的解集为x＝1，故不符合题意．
所以正确的个数是：1个
故选B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解、解一元一次不等式组．熟悉二元一次方程的解，以及一元一次不等式组的解集是解题的关键．
44．对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则．反之，当为非负整数时，如果时，则，如，，，，…若关于的不等式组的整数解恰有个，则a的范围（）
A．1.5≤a＜2.5 B．0.5＜a≤1.5 C．1.5＜a≤2.5 D．0.5≤a＜1.5
【答案】D
【分析】将 a 看作一个字母，通过解不等式组以及不等式组的整数解即可求出a的取值范围．
【解析】解不等式组，解得：，
由不等式组的整数解恰有个得：，
故，故答案选D．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的应用以及新定义，根据题意正确理解的意义是解题的关键．
45．已知（为常数）的解集为，则关于的一元一次不等式 的解集为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），熟练掌握不等式的基本性质即可获得答案．将整理为，结合可得，，进而可得，然后将其代入并求解，即可获得答案．
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得．
故答案为：．
题型十六 求一元一次不等式组的整数解
46．若关于x的一元一次不等式组有3个整数解，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查的是求不等式组的解集．先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可．
【解析】解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组有3个整数解，即1，0，，
∴，
解得：，
故选A．
47．关于x的一元一次方程的解为1，则不等式组的整数解的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了方程解的定义，求不等式组的整数解．利用方程解的定义求得，解不等式组得，得到不等式组的整数解，据此求解即可．
【解析】∵关于x的一元一次方程的解为1，
∴，解得，
∴不等式组为，
解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为0，1，2，共3个，
故选B．
48．若关于x的不等式组 仅有5个整数解，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，先解每一个不等式，再根据不等式组有5个整数解，确定含a的式子的取值范围求解即可．
【解析】，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组有5个整数解，即：，0，1，2，3，
，
，
故答案为：．
题型十七 由一元一次不等式组的解集求参数
49．不等式组的解集是，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题考查的是含参数的一元一次不等式组，掌握解集的取法：“同大取大”是解决此题的关键．根据解集的取法：“同大取大”即可列出关于m的不等式，从而求出结论．
【解析】∵不等式组的解集是，
∴，
解得：，
∴，
∴
故答案为：．
50．已知关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据不等式的解集求参数，根据不等式的性质求解集，根据解集求参数，掌握不等式的性质，不等式组的整数解的取值方法是解题的关键．
【解析】，
由①得，，
∵不等式组有3个整数解，即，
∴在范围内，
当，即，可取到的整数有；
当时，即，可取到，不符合题意，
∴；
∴综上所述，，
故答案为： ．
51．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，求a的取值范围．
【答案】
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组恰有3个整数解，即可求解a的取值范围．
【解析】
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∵不等式组有3个整数解，
∴．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题关键．
题型十八 由不等式组解集的情况求参数
52．若关于的不等式组的解集中的任意的值，都能使不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了不等式组求解集，掌握不等式的性质，不等式组解集的取值方法是解题的关键．
根据题意得到，再解不等式组得到或，分类讨论：当时，不等式组的解集为；当时，不等式组的解集为；由此即可求解．
【解析】，∴，
，
解①得，
解②得，，
当时，即，不等式组的解集为，
∵，
∴，
解得，；
当时，即，不等式组的解集为，
∵，
∴，
解得，；此时无解
∴，
故选C ．
53．关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先分别求出不等式组中两个不等式得解集，再根据不等式组无解进行求解即可．
【解析】
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组无解，
∴，
故选C．
54．关于x的不等式组无解，a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
首先解每个不等式，然后根据不等式无解，即两个不等式的解集没有公共解即可求得答案．
【解析】
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于x的不等式组无解，
∴，解得：
故答案为：．
题型十九 不等式组和方程组相结合的问题
55．关于、的方程组的解中与的和不小于，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，把两个方程相减，可得，与的和不小于，即可求出答案．
【解析】把两个方程相减，可得
与的和不小于
解得：
k的取值范围为．
故答案为：．
56．关于 x 、y 的方程组的解满足 x + y >0，则k的值满足的范围为 ．
【答案】k＞ 4
【分析】两方程相加，再等式两边都除以4，根据已知x＋y＞0得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可．
【解析】
①＋②得：4x＋4y＝k＋4，
x＋y＝k＋1，
∵关于x，y的方程组的解满足x＋y＞0，
∴k＋1＞0，
解得：k＞ 4，
故答案为：k＞ 4．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，一元一次不等式的应用，解此题的关键是能得出关于k的一元一次不等式．
57．已知关于，的方程组其中，给出下列结论：①是方程组的解；②若，则；③若．则的最小值为；④若，则；其中正确的有 ．（填写正确答案的序号）
【答案】①③④
【分析】先解方程组，求得t=0，符合-3≤t≤1，可判断①；把t=-2代入求得x=-3，y=-3，可判断②；求得M=2t+3，即可得到M随t的增大而增大，把t=-3代入求得M的最小值为-3，可判断③；当y≥-1时，求得t≥0，则1≤2t+1≤3，即1≤x≤3，可判断④．
【解析】解方程组得，
①当时，则，解得t=0，符合题意，故正确；
②当t=-2时，x=-3，y=-3，x-y=0，故错误；
③M=2x-y-t=2（2t+1）-（t-1）-t=2t+3，
∴M随t的增大而增大，
∴当t=-3时M有最小值M=2×（-3）+3=-3，故正确；
④当y≥-1时，t-1≥-1，t≥0，
∴0≤t≤1，
∴1≤2t+1≤3，即1≤x≤3，故正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，得到方程组的解是解此题的关键．
题型二十 一元一次不等式的实际应用之销售问题
58．根据以下素材，探索完成任务．
奖品购买及兑换方案设计
素材1 小明在瓷都爱心超市购物时发现：顾客甲购买2个风琴包和1个精美书签花了35元，顾客乙购买1个风琴包和3个精美书签花了30元．
素材2 瓷都中学花费600元购买该超市的风琴包和精美书签作为奖品颁发给七年级期末考试优秀学生，两种奖品的购买数量均不少于20个，且购买精美书签的数量是10的倍数．
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用列方程组的方法，求出风琴包与精美书签的单价．
任务2 探究购买方案 探究购买风琴包和精美书签数量的所有方案．
【答案】（1）风琴包的单价为15元，精美书签的单价为5元；（2）见解析
【分析】本题考查了方程组的应用，不等式组的应用，整数解，熟练掌握方程组的应用是解题的关键．
（1）设风琴包的单价为元，精美书签的单价为元．根据题意得，解方程组即可．
（2）设购买个风琴包，个精美书签，根据题意得：，所以．又因为，，，为整数，且是10的倍数，解答即可．
【解析】（1）设风琴包的单价为元，精美书签的单价为元．
根据题意得，
解得．
答：风琴包的单价为15元，精美书签的单价为5元．
（2）解：设购买个风琴包，个精美书签，
根据题意得：，
故．
∵，，
∴，
解得，
∵是10的倍数，
∴或或或或，
∵，为整数，
∴或，
∴共有2种购买方案，
方案1：购买30个风琴包，30个精美书签；方案2：购买20个风琴包，60个精美书签．
59．某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进价和销售价如下表所示：
甲 乙
进价（元/件） 14 35
售价（元/件） 20 43
(1)若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品分别购进多少件？
(2)若商店计划投入资金少于5040元，且销售完所有商品后获利多于1312元，请问有哪几种购货方案？
【答案】(1)甲种商品应购进100件，乙种商品应购进80件
(2)共有3种购货方案
【分析】（1）设甲种商品应购进件，乙种商品应购进件，根据“该商店购进甲、乙两种商品共180件，且计划销售完这批商品后能获利1240元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据“商店计划投入资金少于5040元，且销售完这批商品后获利多于1312元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出各购货方案．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
【解析】（1）解：设甲种商品应购进件，乙种商品应购进件，
依题意得：，
解得：．
答：甲种商品应购进100件，乙种商品应购进80件．
（2）解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
可以为61，62，63，
共有3种购货方案，
方案1：购进甲种商品61件，乙种商品119件；
方案2：购进甲种商品62件，乙种商品118件；
方案3：购进甲种商品63件，乙种商品117件．
60．为响应教育部“足球进校园”的号召，大力发展校园足球运动，某校决定购买甲、乙两种足球，已知购买3个甲种足球和2个乙种足球共需410元；购买2个甲种足球和5个乙种足球共需530元．
(1)购买一个甲种足球．一个乙种足球各需要多少钱？
(2)学校为开展足球大课间活动，决定购买80个足球，此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过6200元，且购买甲种足球的数量不少于乙种足球数量的一半．学校共有几种购买方案？
【答案】(1)购买一个甲种足球90元，一个乙种足球70元；
(2)学校共有四种购买方案
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用．
（1）设购买一个甲种足球x元，一个乙种足球y元．列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设甲种足球买m个，则乙种足球买个．可得出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案．
【解析】（1）解：设购买一个甲种足球x元，一个乙种足球y元，
依题意得，
解得，
答：购买一个甲种足球90元，一个乙种足球70元；
（2）解：设甲种足球买m个，则乙种足球买个，
所以，
解得．
m为整数，
或28或29或30．
答：学校共有四种购买方案．
题型二十一 一元一次不等式的实际应用之和差倍分问题
61． 2023年4月23日是第28个“世界读书日”，长丰县图书馆举行了“阅来悦好书香长丰”阅读服务活动．为满足全县人民的读书需求，假设县图书馆计划采购社科图书和儿童读物两类图书．经了解，20本社科图书和40本儿童读物共需要1600元，20本社科图书比30本儿童读物多200元（注：所采购的社科图书价格都一样，所采购的儿童读物价格都一样）．
(1)求每本社科图书和儿童读物各多少元．
(2)若县图书馆要求购买社科图书和儿童读物总数不少于70本，其中儿童读物要比社科图书多20本，且总费用不超过2000元，请列出所有符合条件的购书方案．
【答案】(1)每本社科图书40元，每本儿童读物20元
(2)有两种购书方案：方案一：购买社科图书25本，儿童读物45本；方案二：购买社科图书26本，儿童读物46本
【分析】（1）设每本社科图书元，每本儿童读物元，根据题意列出二元一次方程组并求解即可；
（2）设学校要求购买社科图书本，则购买儿童读物本，根据题意列出一元一次不等式组求解，并取整数解进行讨论即可．
【解析】（1）解：设每本社科图书元，每本儿童读物元，根据题意，得
，
解得，
答：每本社科图书40元，每本儿童读物20元
（2）解：设学校要求购买社科图书本，则购买儿童读物本，
根据题意，得
解得，
∵为整数，
∴
∴有两种购书方案：
方案一：购买社科图书25本，儿童读物45本；
方案二：购买社科图书26本，儿童读物46本．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，理解题意，准确建立相应二元一次方程组和一元一次不等式组并求解是解题关键．
62．某班开展植树活动，欲购买甲、乙两种树苗．已知购买25棵甲树苗和10棵乙树苗共需1250元，购买15棵甲树苗和5棵乙树苗共需700元．
(1)求购买的甲、乙两种树苗的单价；
(2)经商量，决定用不超过1600元的费用购买甲、乙两种树苗共40棵，其中乙树苗的数量不少于甲树苗数量的，求则买的甲树苗数量的取值范围．
【答案】(1)甲种树苗单价为30元，乙种树苗单价为50元(2)
【分析】（1）设购买甲，乙两种树苗的单价分别为元，元，根据题意列方程，求解即可；
（2）设购买甲种树苗棵，根据题意列一元一次不等式组，求解不等式组即可．
【解析】（1）解：设购买甲，乙两种树苗的单价分别为元，元，
根据题意，得，
解方程组，得，
购买甲种树苗单价为30元，乙种树苗单价为50元．
（2）设购买甲种树苗棵，则乙种树苗棵，
根据题意，得，
解不等式组，得，
购买甲种树苗数量的取值范围是．
【点睛】本题考查了二元一次方程组应用和一元一次不等式组应用，根据题意建立二元一次方程组和一元一次不等式组是解决本题的关键．
63．围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有4000多年的历史．中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为活跃学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋．已知购买4副象棋和4副围棋共需220元，购买5副象棋和3副围棋共需215元．
(1)求象棋和围棋的单价；
(2)学校准备购买象棋和围棋总共120副，围棋的数量不少于40副，且不多于象棋数量，总费用可以是3500元吗？
【答案】(1)象棋的单价是25元，围棋的单价是30元
(2)总费用不能是3500元
【分析】（1）设象棋单价是元，围棋的单价是元，根据购买4副象棋和4副围棋共需220元，购买5副象棋和3副围棋共需215元列出方程组，解之即可；
（2）设购买象棋m副，根据围棋的数量不少于40副，且不多于象棋数量，列出不等式组，求出m的范围，再根据总费用为3500元列出方程，解之，结合m的范围即可判断．
【解析】（1）解：设象棋单价是元，围棋的单价是元，
根据题意得，
解得，
答：象棋的单价是25元，围棋的单价是30元．
（2）设购买象棋m副，则购买围棋副，
由题意得，
解得：，
令，
解得，
不符合，
∴总费用不能是3500元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式以及一元一次方程的应用，根据题意列出方程（组）与不等式是解题的关键．
题型二十二 一元一次不等式的实际应用方案问题
64．某校注重电化教学，为提高教学质量，要购进一批多媒体设备，了解到某商场销售A，B两种品牌的多媒体教学设备，这两种多媒体教学设备的进价和售价如表所示．
A B
进价（万元/套） 2
售价（万元/套） 2
(1)若该商场计划购进两种多媒体教学设备若干套，共需124万元，全部销售后可获毛利润36万元．则该商场计划购进A，B两种品牌的多媒体教学设备各多少套？
(2)通过市场调研，该商场决定在（1）中所购总数量不变的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量．若该商场用于购进这两种多媒体教学设备的总资金不超过120万元，且全部销售后可获毛利润不少于万元．问有几种购买方案？并写出购买方案．
(3)在商场购买多媒体设备可选方案中，选哪种方案商场获得利润最高，最高利润为多少万元？
【答案】(1)商场计划购进A种设备50套，B种设备15套；
(2)有三种购买方案，可购买A种设备38套，购买B种设备27套；或购买A种设备39套，购买B种设备26套；或购买A种设备40套，购买B种设备25套；
(3)购买A种设备40套，购买B种设备25套时，商场获得利润最高，最高利润为34万元．
【分析】（1）设该商场计划购进A种设备x套，B种设备y套，根据总价＝单价×数量，结合总利润＝单套利润×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该商场购进A种设备a套，则购进B种设备套，根据购进设备的总资金不超过120万元且全部销售后可获毛利润不少于万元，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，再结合a为整数即可得出各购买方案；
（3）根据（2）的结果分别计算出利润，取最高的即可．
【解析】（1）解：设商场计划购进A种设备x套，B种设备y套，
由题意得，
解得：，
答：商场计划购进A种设备50套，B种设备15套；
（2）解：设商场购进A种设备a套，则B种设备套，
由题意得
解得：
答：有三种购买方案，
可购买A种设备38套，购买B种设备27套；
或购买A种设备39套，购买B种设备26套；
或购买A种设备40套，购买B种设备25套．
（3）解：购买A种设备38套，购买B种设备27套时，
获利（万元）；
购买A种设备39套，购买B种设备26套时，
获利（万元）；
购买A种设备40套，购买B种设备25套时，
获利（万元），
答：购买A种设备40套，购买B种设备25套时，商场获得利润最高，最高利润为34万元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
65．每年5月份的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司要将一批新研发的物资运往A 市，计划租用A，B两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，若租用4辆A型货车和6辆B 型货车可装载190箱物资；若租用5辆A型货车和10辆B型货车可装载275箱物资．
(1)A，B两种型号的货车每辆分别可装载多少箱物资？
(2)初步估算，运输的这批物资不超过725箱，若该公司计划租用A，B两种型号的货车共40辆，且B型货车的数量不超过A型货车数量的3倍，则该公司一次性将这批物资运往超市共有几种租车方案？请具体说明．
【答案】(1)A型货车每辆可装载25箱物资，型货车每辆可装载15箱物资
(2)租车方案共有3种，具体如下：①型货车10辆，型货车30辆；②型货车11辆，型货车29辆；③型货车12辆，型货车28辆
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式．
（1）设A型号的货车每辆可装载x箱物资，B型号的货车每辆可装载y箱物资，由题意：若租用4辆A型货车和6辆B 型货车可装载190箱物资；若租用5辆A型货车和10辆B型货车可装载275箱物资，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设租用m辆A型号的货车，则租用辆B型号的货车，由题意：公司要运输的这批防疫物资不超过725箱．且B型货车的数量不超过A型货车数量的3倍，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题．
【解析】（1）解：设A型货车每辆可装载箱物资，型货车每辆可装载箱物资，
由题意，得：，
解得，
答：A型货车每辆可装载25箱物资，型货车每辆可装载15箱物资．
（2）解：设租用A型货车辆，型货车辆．由题意，得
，
解得，
因为是整数，
所以或，
所以租车方案共有3种，具体如下：①型货车10辆，型货车30辆；②型货车11辆，型货车29辆；③型货车12辆，型货车28辆．
66．李老师预购买一些盲盒作为期末奖品．已知2个A款盲盒，5个B款盲盒共需60元；4个A款盲盒，3个B款盲盒共需64元．解答下列问题：
(1)求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？
(2)正逢开展“618”促销活动，线下实体店优惠方案：会员卡35元，成为会员后凭会员卡购买店内任何商品可享受8折优惠（已知小昕不是该实体店的会员）；线上淘宝店优惠方案：一律按商品价格的9折出售且包邮．
①小听计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒个，若在线下实体店购买．所需费用______元；若在线上淘宝店购买，所需费用______元．（均用含的代数式表示）
②请你帮小听算一算，购买A款盲盒的数量的范围是______时，线下购买方式更合算．
【答案】(1)A款盲盒销售单价为10元，B款盲盒的销售单价为8元
(2)①；；②
【分析】（1）设A款盲盒销售单价为元，B款盲盒的销售单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程，即可求解；
（2）根据题意列出线下购买的费用的代数式和线上淘宝购买费用的代数式，即可求解；结合题意，列出一元一次不等式，解不等式，即可求解；
本题考查了二元一次方程组的应用，整式加减的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找到关系式．
【解析】（1）解：设A款盲盒销售单价为元，B款盲盒的销售单价为元
解得：
答：A款盲盒销售单价为10元，B款盲盒的销售单价为8元．
（2）①依题意，若在线下商店购买，
共需要
若在线上淘宝店购买，共需要
②当，
解得，
答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算．
题型二十三 一元一次不等式的实际应用之其他问题
67．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，调水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失．
阅读并结合以上信息解决下列问题：
(1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水，则再接温水的时间为______s；
(2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的总时长是，求乙同学分别接温水和开水所用的时间；
(3)丙同学先接的开水，再接的温水，如果要使最后杯中水的体积不多于，大于，应接多长时间的开水？（接水时间取整秒数）
【答案】(1)14
(2)乙同学接温水所用的时间为，接开水所用的时间为
(3)应接或的开水
【分析】本题考查了一元一次方程、二元一次方程组，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程或根据不等关系列出不等式．
（1）设再接温水的时间为秒，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解；
（2）设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解；
（3）根据题意列出不等式组，解不等式组即可．
【解析】（1）解：设再接温水的时间为秒，依题意得，
解得：
答：再接温水的时间为秒
（2）解：依题意，设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意得，
解得：
答：乙同学接温水所用的时间为，接开水所用的时间为；
（3）解：根据题意得：
解得：，
∵x为整数，
∴或，
答：应接或的开水．
68． “节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式．某家电商场计划用万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台．三种家电的进价及售价如表．
品名 单价（台元）
电视机 5000
洗衣机 2000
空调 2400
在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机数量的3倍，请问商场有哪几种进货方案？
【答案】共有3 种方案：方案一：购进电视机8台，洗衣机8台，空调24台；方案二：购进电视机9台，洗衣机9台，空调22台；方案三：购进电视机10台，洗衣机10台，空调20台
【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式即可求解．设购进电视机台，则购进洗衣机台、购进空调台，根据若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机数量的3倍，且以及都是非负整数，即可确定的范围，从而确定进货方案．
【解析】设购进电视机台，则购进洗衣机台、购进空调台，
根据题意，得，
解得：．
∴共有3 种方案：
方案一：购进电视机8台，洗衣机8台，空调24台；
方案二：购进电视机9台，洗衣机9台，空调22台；
方案三：购进电视机10台，洗衣机10台，空调20台．
69．定义新运算：对于任意数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：．
(1)求的值；
(2)若的值小于16而大于10，求x的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了新定义下的有理数四则运算，解一元一次不等式组；
（1）根据新定义运算法则直接计算即可；
（2）根据新定义可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
熟练新定义的运算法则列出相应的式子是解题的关键．
【解析】（1）解：
（2）由题意得，
解不等式①得；
解不等式②得；
，
的取值范围为．
题型二十四 一元一次不等式的新定义问题
70．现定义新运算“”，对于任意的实数、，都有，若关于的不等式的解集为，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了不等式的解集和新定义运算，根据新定义列出关于的不等式是解题的关键．先列出关于的不等式，再求出其解，利用解集为，得出的等式，即可求解．
【解析】由，
得：，
解得：，
由不等式的解集为，
所以，
解得：．
71．将二元一次方程组的解中的所有数的全体记为，将不等式（组）的解集记为，给出定义：若中的数都在内，则称包含．如，方程组的解为，记，不等式的解集为，记．因为0，2都在内，所以包含．
(1)将方程组的解中的所有数的全体记为，将不等式的解集记为，请问能否包含？说明理由；
(2)将方程组的解中的所有数的全体记为，将关于的不等式组的解集记为，若包含，求的取值范围．
【答案】(1)能包含，理由见详解．(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式以及解一元一次不等式组等知识．
（1）分解解出二元一次方程组的解以及一元一次不等式的解，标准好A，B，根据定义判断即可．
（2）解二元一次方程组得出，解一元一次不等式，得出，根据包含，则：，解不等式组求出关于a的解集即可．
【解析】（1）解：
解得：，
∴，
解，得，
∴，
∵，3都在内，
∴所以B包含A．
（2）解：，
解得：，
∴
解：
解得：，
∴，
若包含，则：，
解得：
∴．
72．定义新概念：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式（组的解，则称该一元一次方程为该不等式（组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以，方程为不等式组的关联方程．
(1)若不等式的一个关联方程的解是非零偶数，求此关联方程（求出一个即可）；
(2)若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围．
【答案】(1)（答案不唯一）；(2)
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解答此题的关键．
（1）解不等式组得出其零偶数解，再写出以此解为解得一元一次方程即可得；
（2）解不等式组得出，根据不等式组整数解的确定可得答案．
【解析】（1）解：解不等式组得：，
因此不等式组的非零偶数解为，，
则该不等式的关联方程为（答案不唯一）．
（2）解：解不等式组，得：．
方程的解为，方程的解为，
，
的取值范围为．中小学教育资源及组卷应用平台
第11章 一元一次不等式与不等式组（24大题型）
目录：
题型一 不等式的定义
题型二 不等式的基本性质
题型三 不等式的解集
题型四 一元一次不等式的定义
题型五 求一元一次不等式的解集
题型六 求一元一次不等式的整数解
题型七 求一元一次不等式解的最值
题型八 解|x|≥a型的不等式
题型九 列一元一次不等式
题型十 用一元一次不等式解决实际问题
题型十一 用一元一次不等式解决几何问题
题型十二 在数轴上表示不等式的解集
题型十三 一元一次不等式组的定义
题型十四 求不等式组的解集
题型十五 解特殊不等式组
题型十六 求一元一次不等式组的整数解
题型十七 由一元一次不等式组的解集求参数
题型十八 由不等式组解集的情况求参数
题型十九 不等式组和方程组相结合的问题
题型二十 一元一次不等式的实际应用之销售问题
题型二十一 一元一次不等式的实际应用之和差倍分问题
题型二十二 一元一次不等式的实际应用方案问题
题型二十三 一元一次不等式的实际应用之其他问题
题型二十四 一元一次不等式的新定义问题
题型一 不等式的定义
1．有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．给出下面5个式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．给出下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中属于不等式的是 ．（填序号）
题型二 不等式的基本性质
4．下列四个不等式：①；②；③；④．其中能推出的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．若，且，则的取值范围是 ．
6．用“”或“”填空：
（1）已知，那么 ；
（2）已知，那么 ．
题型三 不等式的解集
7．下列说法正确的是（ ）
A．是不等式的解 B．是不等式的解集
C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解
8．关于x的两个不等式x+1<7 2x与 1+x(1)若两个不等式解集相同，求a的值；
(2)若不等式x+1<7 2x的解都是 1+x9．阅读以下结论：
（1）若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．
（2）若|x|＞a（a＞0），则x＞a或x＜﹣a；
若|x|＜a（a＞0），则﹣a＜x＜a．
（3）若（x﹣a）（x﹣b）＞0（0＜a＜b），则x＞b或x＜a；
若（x﹣a）（x﹣b）＜0（0＜a＜b），则a＜x＜b．
根据上述结论，解答下面问题：
（1）解方程：|3x﹣2|﹣4＝0．
（2）解不等式：|3x﹣2|﹣4＞0．
（3）解不等式：|3x﹣2|﹣4＜0．
（4）解不等式：（x﹣2）（x﹣5）＞0．
（5）解不等式：（2x﹣3）（2x﹣5）＜0．
题型四 一元一次不等式的定义
10．下列不等式中，一元一次不等式有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如果关于的不等式的解集为，则的值可以是（ ）
A．1 B．0 C． D．
12．已知是关于x的一元一次不等式，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
题型五 求一元一次不等式的解集
13．解不等式
(1)；
(2)
14．解不等式
(1)
(2)
15．解不等式：
(1)；
(2)．
题型六 求一元一次不等式的整数解
16．不等式的正整数解有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
17．不等式的正整数解有2个，那么的取值范围是 ．
18．若关于x的方程的解是不等式的最大整数解，求a的值．
题型七 求一元一次不等式解的最值
19．已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（ ）
A．3 B．-3 C．4 D．-4
20．设表示大于的最小整数，如，，下列4个结论：①；②的最小值是0；③的最大值是1； ④存在实数，使成立．其中正确的是 ．（填序号）
21．已知两个整式，，其中系数被污染．
（1）若是，化简；
（2）若时，的值为18
①说明原题中是几？
②若再添加一个常数，使，，的和不为负数，求的最小值．
题型八 解|x|≥a型的不等式
22．不等式的解集是 ．
23．若关于的不等式有解，则的取值范围是 .
24．已知、在数轴上分别表示、.
(1)对照数轴填写下表：
、两点的距离
(2)写出数轴上到和的距离之和为的所有整数，并求这些整数的和；
(3)若数轴上表示数a的点位于与6之间，求的值；
(4)若x表示一个有理数，且，求有理数的取值范围．
、两点的距离 6 2 12
题型九 列一元一次不等式
25． 请写出满足下列条件的一个不等式：
（1），，0，1都是不等式的解： ；
（2）与的解集相同的不等式： ．
26． 用不等式表示：
(1)a与1的差是非负数；
(2)a的2倍比a与3的和小；
(3)x的一半与3的差不大于2；
(4)x的3倍与1的和小于x的2倍与6的差．
27．用不等式表示下列关系：
(1)a是非负数：___________；
(2)与的差是负数：___________；
(3)y不小于2：___________；
(4)x与5的差的绝对值大于4：___________；
(5)a的3倍与y的和大于2：___________；
(6)小于5：___________．
题型十 用一元一次不等式解决实际问题
28．已知握力体重指数（握力÷体重），初中男生的合格标准是．若小虎的体重是，且小虎的握力合格，则小虎的握力至少是（ ）
A． B． C． D．
29．某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元．若商品的单价是整数元，则它的最小值是（ ）
A．1元 B．99元 C．101元 D．199元
30．亚冬会即将来临之际，某纪念品商店分别采购大、小两种型号的亚冬会吉祥物纪念品“滨滨和妮妮”40套、60套，共花费5600元，其中采购每套大型纪念品的价钱是每套小型纪念品的价钱的2倍．
(1)采购每套大、小两种型号的纪念品的价钱分别为多少元？
(2)该商店决定再次采购两种型号的纪念品共60套，且采购费用不超过3200元，那么最多采购大型纪念品多少套？
题型十一 用一元一次不等式解决几何问题
31．如图是由黑白两种正方形地砖拼成的图案，且每块正方形地砖边长为0.6m．
(1)按图示规律，图1的长为______m，图2的长为______m，图3的长为______m；
(2)设图案的长为，当黑色地砖块数为n（n为正整数）时，______（用含n的代数式表示）；
(3)若要使不小于72m，则至少需要黑色地砖多少块
32．如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为，宽为．
(1)写出用表示的式子______．当时，求的值；
(2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围．
33．如图是测量一颗玻璃球体积的过程：
（1）将的水倒进一个容量为的杯子中；
（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；
（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．
根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 ．
题型十二 在数轴上表示不等式的解集
34．解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
35．解不等式，并将该不等式的解集在如图所示的数轴上表示出来．
．
36．解不等式，并将其解集在数轴上表示出来：
(1)；
(2)；
(3)．
题型十三 一元一次不等式组的定义
37．有下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次不等式组的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
38．下面给出的不等式组中①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
39．下列不等式组中，是一元一次不等式组的有 ．（填序号）
① ② ③ ④ ⑤
题型十四 求不等式组的解集
40．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
41．解不等式组
42．解下列不等式组：
(1)；
(2)．
题型十五 解特殊不等式组
43．下列说法中，①若m＞n，则ma2＞na2；②x＞4是不等式8﹣2x＜0的解集；③不等式两边乘（或除以）同一个数，不等号的方向不变；④是方程x﹣2y＝3的唯一解；⑤不等式组无解．正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
44．对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则．反之，当为非负整数时，如果时，则，如，，，，…若关于的不等式组的整数解恰有个，则a的范围（）
A．1.5≤a＜2.5 B．0.5＜a≤1.5 C．1.5＜a≤2.5 D．0.5≤a＜1.5
45．已知（为常数）的解集为，则关于的一元一次不等式 的解集为 ．
题型十六 求一元一次不等式组的整数解
46．若关于x的一元一次不等式组有3个整数解，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
47．关于x的一元一次方程的解为1，则不等式组的整数解的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
48．若关于x的不等式组 仅有5个整数解，则的取值范围为 ．
题型十七 由一元一次不等式组的解集求参数
49．不等式组的解集是，则的取值范围是 ．
50．已知关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是 ．
51．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，求a的取值范围．
题型十八 由不等式组解集的情况求参数
52．若关于的不等式组的解集中的任意的值，都能使不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
53．关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
54．关于x的不等式组无解，a的取值范围为 ．
题型十九 不等式组和方程组相结合的问题
55．关于、的方程组的解中与的和不小于，则的取值范围为 .
56．关于 x 、y 的方程组的解满足 x + y >0，则k的值满足的范围为 ．
57．已知关于，的方程组其中，给出下列结论：①是方程组的解；②若，则；③若．则的最小值为；④若，则；其中正确的有 ．（填写正确答案的序号）
题型二十 一元一次不等式的实际应用之销售问题
58．根据以下素材，探索完成任务．
奖品购买及兑换方案设计
素材1 小明在瓷都爱心超市购物时发现：顾客甲购买2个风琴包和1个精美书签花了35元，顾客乙购买1个风琴包和3个精美书签花了30元．
素材2 瓷都中学花费600元购买该超市的风琴包和精美书签作为奖品颁发给七年级期末考试优秀学生，两种奖品的购买数量均不少于20个，且购买精美书签的数量是10的倍数．
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用列方程组的方法，求出风琴包与精美书签的单价．
任务2 探究购买方案 探究购买风琴包和精美书签数量的所有方案．
59．某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进价和销售价如下表所示：
甲 乙
进价（元/件） 14 35
售价（元/件） 20 43
(1)若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品分别购进多少件？
(2)若商店计划投入资金少于5040元，且销售完所有商品后获利多于1312元，请问有哪几种购货方案？
60．为响应教育部“足球进校园”的号召，大力发展校园足球运动，某校决定购买甲、乙两种足球，已知购买3个甲种足球和2个乙种足球共需410元；购买2个甲种足球和5个乙种足球共需530元．
(1)购买一个甲种足球．一个乙种足球各需要多少钱？
(2)学校为开展足球大课间活动，决定购买80个足球，此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过6200元，且购买甲种足球的数量不少于乙种足球数量的一半．学校共有几种购买方案？
题型二十一 一元一次不等式的实际应用之和差倍分问题
61． 2023年4月23日是第28个“世界读书日”，长丰县图书馆举行了“阅来悦好书香长丰”阅读服务活动．为满足全县人民的读书需求，假设县图书馆计划采购社科图书和儿童读物两类图书．经了解，20本社科图书和40本儿童读物共需要1600元，20本社科图书比30本儿童读物多200元（注：所采购的社科图书价格都一样，所采购的儿童读物价格都一样）．
(1)求每本社科图书和儿童读物各多少元．
(2)若县图书馆要求购买社科图书和儿童读物总数不少于70本，其中儿童读物要比社科图书多20本，且总费用不超过2000元，请列出所有符合条件的购书方案．
62．某班开展植树活动，欲购买甲、乙两种树苗．已知购买25棵甲树苗和10棵乙树苗共需1250元，购买15棵甲树苗和5棵乙树苗共需700元．
(1)求购买的甲、乙两种树苗的单价；
(2)经商量，决定用不超过1600元的费用购买甲、乙两种树苗共40棵，其中乙树苗的数量不少于甲树苗数量的，求则买的甲树苗数量的取值范围．
63．围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有4000多年的历史．中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为活跃学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋．已知购买4副象棋和4副围棋共需220元，购买5副象棋和3副围棋共需215元．
(1)求象棋和围棋的单价；
(2)学校准备购买象棋和围棋总共120副，围棋的数量不少于40副，且不多于象棋数量，总费用可以是3500元吗？
题型二十二 一元一次不等式的实际应用方案问题
64．某校注重电化教学，为提高教学质量，要购进一批多媒体设备，了解到某商场销售A，B两种品牌的多媒体教学设备，这两种多媒体教学设备的进价和售价如表所示．
A B
进价（万元/套） 2
售价（万元/套） 2
(1)若该商场计划购进两种多媒体教学设备若干套，共需124万元，全部销售后可获毛利润36万元．则该商场计划购进A，B两种品牌的多媒体教学设备各多少套？
(2)通过市场调研，该商场决定在（1）中所购总数量不变的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量．若该商场用于购进这两种多媒体教学设备的总资金不超过120万元，且全部销售后可获毛利润不少于万元．问有几种购买方案？并写出购买方案．
(3)在商场购买多媒体设备可选方案中，选哪种方案商场获得利润最高，最高利润为多少万元？
65．每年5月份的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司要将一批新研发的物资运往A 市，计划租用A，B两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，若租用4辆A型货车和6辆B 型货车可装载190箱物资；若租用5辆A型货车和10辆B型货车可装载275箱物资．
(1)A，B两种型号的货车每辆分别可装载多少箱物资？
(2)初步估算，运输的这批物资不超过725箱，若该公司计划租用A，B两种型号的货车共40辆，且B型货车的数量不超过A型货车数量的3倍，则该公司一次性将这批物资运往超市共有几种租车方案？请具体说明．
66．李老师预购买一些盲盒作为期末奖品．已知2个A款盲盒，5个B款盲盒共需60元；4个A款盲盒，3个B款盲盒共需64元．解答下列问题：
(1)求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？
(2)正逢开展“618”促销活动，线下实体店优惠方案：会员卡35元，成为会员后凭会员卡购买店内任何商品可享受8折优惠（已知小昕不是该实体店的会员）；线上淘宝店优惠方案：一律按商品价格的9折出售且包邮．
①小听计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒个，若在线下实体店购买．所需费用______元；若在线上淘宝店购买，所需费用______元．（均用含的代数式表示）
②请你帮小听算一算，购买A款盲盒的数量的范围是______时，线下购买方式更合算．
题型二十三 一元一次不等式的实际应用之其他问题
67．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，调水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失．
阅读并结合以上信息解决下列问题：
(1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水，则再接温水的时间为______s；
(2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的总时长是，求乙同学分别接温水和开水所用的时间；
(3)丙同学先接的开水，再接的温水，如果要使最后杯中水的体积不多于，大于，应接多长时间的开水？（接水时间取整秒数）
68． “节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式．某家电商场计划用万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台．三种家电的进价及售价如表．
品名 单价（台元）
电视机 5000
洗衣机 2000
空调 2400
在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机数量的3倍，请问商场有哪几种进货方案？
69．定义新运算：对于任意数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：．
(1)求的值；
(2)若的值小于16而大于10，求x的取值范围．
题型二十四 一元一次不等式的新定义问题
70．现定义新运算“”，对于任意的实数、，都有，若关于的不等式的解集为，求的值．
71．将二元一次方程组的解中的所有数的全体记为，将不等式（组）的解集记为，给出定义：若中的数都在内，则称包含．如，方程组的解为，记，不等式的解集为，记．因为0，2都在内，所以包含．
(1)将方程组的解中的所有数的全体记为，将不等式的解集记为，请问能否包含？说明理由；
(2)将方程组的解中的所有数的全体记为，将关于的不等式组的解集记为，若包含，求的取值范围．
72．定义新概念：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式（组的解，则称该一元一次方程为该不等式（组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以，方程为不等式组的关联方程．
(1)若不等式的一个关联方程的解是非零偶数，求此关联方程（求出一个即可）；
(2)若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围．