8.3完全平方公式与平方差公式 沪科版（2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）

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8.3完全平方公式与平方差公式沪科版（ 2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，将余下部分剪拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式( )
A. B.
C. D.
2.利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：你根据图乙能得到的数学公式是( )
A. B.
C. D.
3.在下列计算中，不能用平方差公式计算的是( )
A. B.
C. D.
4.聪明的你请思考下列问题，其中正确的有( )
若，，则；
若，，则用含的代数式表示为；
若，则满足条件的值有个；
若，，则的值为
，，，，这个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有个．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片长为，宽为，搭成如图一个大正方形，面积为，中间空缺的小正方形的面积为下列结论中，正确的有 ．
；；；
A. B. C. D.
6.若是完全平方式，则的值等于( )
A. B. C. 或 D. 或
7.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
8.下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是( )
A. B.
C. D.
9.如图所示，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把剩下的部分剪拼成一个矩形如图所示，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )
A. B.
C. D.
10.的计算结果的个位数字是( )
A. B. C. D.
11.有若干张面积分别为、的正方形纸片和面积为的长方形纸片，小明从中抽取了张面积为的正方形纸片，张面积为的长方形纸片．若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为的正方形纸片 ( )
A. 张 B. 张 C. 张 D. 张
12.已知，，则的值为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13. ______； ______．
14.四张长为、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．
若，，则 ______．
若，则 ______．
15. ．
16.已知是完全平方式，则常数的值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
化简
；
．
18.本小题分
计算：．
19.本小题分
计算：
；
．
20.本小题分
计算：
；
．
21.本小题分
已知，求：的值，的值．
22.本小题分
如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形如图
观察图请你写出、、之间的等量关系是____；
根据中的结论，若，，则____；
拓展应用：若，求的值．
23.本小题分
计算：
；
；
；
．
24.本小题分
我们学过：，而该等式反过来也成立，即现有甲、乙两个正方形纸片，甲正方形的边长为，乙正方形的边长为，将甲、乙并列放置后得到图已知点为的中点，连接，，将乙纸片放到甲的内部得到图，图的阴影部分是一个小正方形．
______；用含，的代数式表示
求图的阴影部分的面积用含，的代数式表示；
若，，图的阴影部分的面积为，求图的阴影部分的面积．
25.本小题分
有一个边长为的正方形，按图切割成个小方块，分别为个小方块的面积．
请用图中所给图形的边长和面积，表示其中的等量关系：_______________．
利用中的结论解决：若则_________，_________．
如图所示，是线段上的一点，以，为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】解：、，不能用平方差公式计算，符合题意；
B、，能用平方差公式计算，不符合题意；
C、，能用平方差公式计算，不符合题意；
D、，能用平方差公式计算，不符合题意；
故选：．
根据判定即可．
本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构是解题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，幂的运算的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
根据平方差公式即可判断答案；根据同底数幂的除法法则、幂的乘方法则计算，然后等量代换；根据的任何次幂为，的偶次幂为，，可求得的值，即可作出判断；利用完全平方公式计算出和的值，计算，再代入和的值即可作出判断；设两个自然数的平方差求出的取值范围，分析与同奇同偶，进而得到这个数是奇数或是的倍数，求出表示成某两个自然数的平方差的数的个数，再求出不能表示成某两个自然数的平方差的个数．
【解答】
解：，
，故错误，不符合题意；
，
，
，故正确，符合题意；
根据的任何次幂为，的偶次幂为，可得：
当，解得：；
当，解得：，此时，不符合题意；
当，解得，此时，符合题意，
满足条件的值有个，故错误，不符合题意；
，，
又，即，
，
则，
，
，故错误，不符合题意；
设两个自然数的平方差，
与同奇同偶，
这个数是奇数或是的倍数，
在，，，，这个数中奇数有个，能被整除的有个，
不能表示成某两个自然数的平方差的数共有：个，
故错误，不符合题意．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查完全平方公式的意义和应用，平方差公式，通过图形直观得到图形面积之间的关系是正确判断的前提．根据正方形的面积可得，，依次判断，即可求解．
【解答】
解：大正方形的面积为，中间空缺的小正方形的面积为，
，，故正确，
又，
，，
，故错误；
，，
两式相减可得
，，故、正确，
正确的是．
故选A．
6.【答案】
【解析】解：依题意，得，
解得或．
故选：．
这里首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和积的倍．
本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．注意积的倍的符号，避免漏解．
7.【答案】
【解析】解：因为，故A选项不符合题意；
B.因为，故B选项符合题意；
C.因为，故C选项不符合题意；
D.因为，故D选项不符合题意．
故选：．
A.应用合并同类项法则进行求解即可得出答案；
B.应用积的乘方运算法则进行计算即可得出答案；
C.应用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可得出答案；
D.应用完全平方公式进行计算即可得出答案．
本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则和完全平方公式，熟练掌握运算法则进行求解是解决本题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平方差公式有关知识，根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．
对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】
解：含的项符号相反，含的项符号相反，不能用平方差公式计算；
B.含的项符号相同，含的项符号相反，能用平方差公式计算；
C.含的项符号相反，含的项符号相同，能用平方差公式计算；
D.含的项符号相同，含的项符号相反，能用平方差公式计算．
9.【答案】
【解析】【分析】本题考查平方差公式的几何背景．左图中阴影部分的面积，右图中矩形面积，根据二者相等，即可解答．
【详解】解：左图中阴影部分的面积，右图中矩形面积，
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了平方差公式，数字的变化类，尾数特征的有关知识，原式变形后，利用平方差公式计算得到结果，归纳总结即可确定出结果的个位数字．
【解答】
解：原式
，
，，，，，，
其结果个位数以，，，循环，
，
的个位数字为，
原式的个位数字为．
故选B．
11.【答案】
【解析】要拼成正方形，则是完全平方式， ，
故还需面积为的正方形纸片张．
故选C．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了完全平方公式．
根据完全平方公式，把两个式子都展开，然后进行相减，得出结果．
【解答】
解：，
即：
，
即：，
得：，
解得：．
故选A．
13.【答案】
【解析】解：；．
故答案为：；．
根据完全平方公式和平方差公式填空即可．
本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，熟知乘法公式是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由题意可得：空白部分的面积为个直角三角形直角边为、，个直角三角形直角边为、和中间正方形边长为的面积和，
，
，，
，
故答案为：；
由得：，
大正方形的面积为，
，
又，
，
整理得：，
，即，
故答案为：．
空白部分的面积为个直角三角形直角边为、，个直角三角形直角边为、和中间正方形边长为的面积和，据此求解即可；
用含有、的式子表示出，，再根据求解与的关系．
本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟练掌握以上知识点是关键．
15.【答案】
【解析】略
16.【答案】或
【解析】略
17.【答案】解：
；
．
【解析】根据完全平方公式及平方差公式计算后，再合并即可得解；
先把除法变为乘法，再按分式的乘法法则计算即可得解．
本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式、平方差公式及分式的除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：
．
【解析】利用平方差公式、完全平方公式及二次根式的性质计算即可．
此题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是首先化最简二次根式，同时也注意利用公式简化计算．
19.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】先化简每一项，再合并同类二次根式；
先运用平方差公式和完全平方公式化简，再合并计算．
本题考查了二次根式的加减运算，二次根式的化简，二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握知识点，正确化简计算是解题的关键．
20.【答案】解：
；
．
【解析】先化简二次根式，再进行四则混合运算即可；
利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可．
此题靠考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和乘法公式是解题的关键．
21.【答案】解：，
，
；
，
，
，即，
．
【解析】由已知得，，两边除以得；
利用完全平方公式求得，则所求式．
本题考查了完全平方公式及分式的混合运算，解决本题的关键是将式子整理变形，对分式进行化简．
22.【答案】解：；
由题可得，大正方形的面积，
大正方形的面积，
，
故答案为：；
或；
，
，
或，
故答案为：或；
，
又，
，
．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
23.【答案】解：
；
；
；
．
【解析】先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则计算即可；
先用平方差公式和完全平方公式化简，然后合并同类二次根式计算即可．
先化简括号内二次根式，然后计算加减，然后计算括号外的除法即可；
先化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，再根据二次根式的加减运算法则计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，化简为最简二次根式是解题的关键．
24.【答案】
【解析】解：由题意得：，
点为的中点，
，
故答案为：；
由题意可得：
，
，
，
，
答：图的阴影部分的面积为；
，，
，
图的阴影部分的面积为．
由甲正方形的边长为，乙正方形的边长为，点为的中点直接可得；
用甲、乙两个正方形的面积和减去再减去面积即可；
图的阴影部分的面积为，再利用，和完全平方公式代入即可．
本题考查了完全平方公式，割补法求几何图形面积．
25.【答案】解：
如图
分别延长，交于点，分别延长，交于点，
则四边形是正方形，
设，，
，
即，
，
，

【解析】【分析】
本题考查完全平方公式的几何背景．
大正方形的边长为，因此面积为，等于所切割成个小方块的面积和，即可得出等式；
由，可得，再根据，可求出的值，由即可求得的值
分别延长，交于点，分别延长，交于点，则四边形是正方形，设，，根据即可得解．
【解答】
解：大正方形的边长为，因此面积为，切割成个小方块的面积和为，
所以，
故答案为：；
，
，
即，
又，
；
见答案．
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