9.3分式方程 沪科版（2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）

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9.3分式方程沪科版（ 2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高倍，结果提前天开通了列车．设原计划每天修米，所列方程正确的是( )
A. B. C. D.
2.若分式方程无解，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
3.关于的分式方程，下列说法正确的是( )
A. 方程的解是 B. 当时，方程的解是负数
C. 当时，方程的解是正数 D. 以上说法均不正确
4.甲、乙两个车站相距千米，若快车和慢车同时从甲站开出，小时后快车在慢车前千米，快车比慢车早分钟到达乙站，则快车和慢车的速度各是多少设快车的速度为千米时，则下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
5.某校组织全体同学进行了两次地震应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每分钟撤离的人数比第一次的多，结果名同学全部撤离的时间比第一次节省了分钟，若设第一次平均每分钟撤离人，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
6.若关于的方程的解为正数，则的取值范围是( )
A. 且 B. 且 C. 且 D.
7.已知关于的方程的解是，则的值为( )
A. B. C. D.
8.若关于的方程无解，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或或 D. 或或
9.在下列方程中，有实数根的是( )
A. B. C. D.
10.如果关于的分式方程有正整数解，且关于的不等式组至少有两个整数解，则满足条件的整数的和为( )
A. B. C. D.
11.若关于的分式方程有增根，则的值是( )
A. B. C. D.
12.已知甲车行驶千米与乙车行驶千米所用时间相同，并且乙车每小时比甲车多行驶千米．若设甲车的速度为千米时，依题意列方程正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若关于的方程有无数多个解，则 ．
14.若关于的方程无解，则的值是 ．
15.正面分别标有数字、、、、、的六张不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同，现将其背面向上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为，则值使关于的分式方程的解不小于，且使关于的一元二次方程有实数解的概率是 ．
16.已知关于的方程无解，则的值为________．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
京广高铁线京武段于年月日实现高标运营．已知甲、乙两站之间相距千米，高标运营后预计平均速度将增加，时间节省分钟，求这两站之间高标运营前、后平均速度分别是多少千米小时？
18.本小题分
我们把形如不为零，且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．
例如为十字分式方程，可化为，，；
再如为十字分式方程，可化为，，应用上面的结论解答下列问题：
若为十字分式方程，则 ______， ______．
若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
19.本小题分
已知关于的分式方程．
若分式方程有增根，求的值；
若分式方程的解是负数，求的取值范围．
20.本小题分
阅读材料：若，都是非负实数，则，当且仅当时，“”成立．
证明：，．
，当且仅当时，“”成立．
已知，求的最小值；
如图，灯湖中学计划在一楼建造一个长方形活动区域，由长方形的休闲区即图中阴影部分和环休闲区运动跑道四周空白部分组成已知休闲区的面积为平方米，运动跑道的宽分别为米和米因为用地限制，要使整个活动区域所占面积最小，则休闲区的长和宽该如何设计？
21.本小题分
若关于的方程有解，求的取值范围．
22.本小题分
某网店直接从工厂购进、两款自拍杆，第一次用元购进款自拍杆，用元购进款自拍杆，款自拍杆所购数量是款自拍杆所购数量的倍，同时每个款自拍杆的进价比款自拍杆多元．
求这两款自拍杆每个的进价分别是多少元？
若该网店款自拍杆的售价为元个，款自拍杆的售价为元个，第一次购进的自拍杆售完后，该网店计划再次购进、两款自拍杆共个进货价和销售价都不变，且进货总价不高于元如何购进、两款自拍杆，才能使所获得的销售利润最大？最大利润值为多少？
23.本小题分
一辆汽车开往距离出发地千米的目的地，出发后按原计划的速度匀速行驶，行驶小时后因汽车故障耽误半小时，故障排除后继续以原计划速度的倍匀速行驶，结果比原计划提前分钟到达目的地，求汽车原计划的行驶速度．
24.本小题分
北二外成都附中第二届校园欢乐跑活动在聚萃校区如期举行，活动期间，八年级向某商家订购了甲、乙两种功能性饮料，其中购买甲种功能性饮料共花费元，购买乙种功能性饮料共花费元已知乙种功能性饮料的销售单价比甲种功能性饮料贵，且乙种功能性饮料的购买数量比甲种功能性饮料的购买数量多瓶．
求甲、乙两种功能性饮料的销售单价；
由于需求量较大，学校追订这两种功能性饮料共瓶，且本次订购甲种功能性饮料的瓶数不少于乙种功能性饮料瓶数的，该商家决定：甲种功能性饮料售价打折出售，乙种功能性饮料售价不变已知甲种功能性饮料的成本为元，乙种功能性饮料的成本为元当订购甲种功能性饮料的数量为多少时，商家获得的利润最大？利润最大为多少元？
25.本小题分
为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多元，该单位以零售价分别用元和元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．
求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？
由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了元桶、元桶的批发价求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】解：，
去分母得：，
，
，
，
当，即时，整式方程无解；
当，即时，若，即时，分式方程无解，
此时：，解得：，
综上可知：分式方程无解时，的值为或，
故选：．
先将分式方程化为整式方程，再根据整式方程无解和分式方程无解两种情况分类讨论，即可得出答案．
本题主要考查了解分式方程，解题关键是熟练掌握分式方程有解和无解的解题方法．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的分式方程的解，分式方程的解法的有关知识，分式方程去分母转化为整式方程，根据方程的解为正数，负数，确定出的范围，即可作出判断．
【解答】
解：关于的分式方程，
去分母得：，
解得：，
当，即时，分式方程无解；
当，即时，方程的解是正数，故C正确．
当，即，且时，分式方程的解是负数
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
设快车的速度为千米时，根据快车比慢车早分钟到达乙站，列方程求解．
【解答】
解：快车的速度为千米时，
慢车的速度为千米时，
由题意可得．
故选C．
5.【答案】
【解析】略
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了分式方程的解，分式方程的解法，一元一次不等式，解决本题的关键是根据方程的解是正数得出不等式．
先求出方程的解，根据解是正数列出不等式，且分母不为，综合即可解答．
【解答】
解：
解得：
方程的解是正数，
，
，
，即，
，
且
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解与分式方程的关系是解题的关键．将代入方程，即可求的值．
【解答】
解：关于的方程的解是，
，
解得，
经检验是原分式方程的解．
故选B．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是分式方程的解，解分式方程的有关知识，掌握分式方程无解的条件是解题的关键．先去分母得到关于的整式方程，然后根据分式方程无解得到关于的方程，从而求得的值．
【解答】
解：去分母得：．
整理得：．
当时，解得：，此时分式方程无解；
当时，分式方程有增根，增根为或，
当时，，解得：；
当时，，解得：．
所以，当或或时，分式方程无解．
9.【答案】
【解析】解：．，
，
算术平方根具有非负性，
此方程无实数根，故本选项不符合题意；
B.，
，
所以此方程无实数根，故本选项不符合题意；
C.，
方程两边平方得：，
即，
解得：或，
经检验：是原方程的解，不是原方程的解，
所以此方程有实数根，故本选项符合题意；
D.，
方程两边都乘，得，
经检验是增根，
即此方程无实数根，故本选项不符合题意；
故选：．
选项A：移项后根据算术平方根具有非负性判断即可；根据根的判别式即可判断选项B；方程两边平方后得出，求出方程的解，再进行检验即可判断选项C；方程两边都乘求出，再进行检验即可判断选项D．
本题考查了解无理方程，根的判别式和解分式方程等知识点，能把无理方程转化成有理方程和能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，方程的整数解，注意分式方程有可能产生增根是解题的关键．
先求分式方程的解，由已知可得的值为，，，，，，再由，可得的值为，，，，然后解不等式组得到的取值范围，进而得到的值，再把值相加即可．
【解答】
解：，
去分母得：
，
去括号得：
，
移项，合并同类项得：
，
．
，
，
．
关于的分式方程有正整数解，
，，，，．
不等式组
由得，
由得，
不等式组至少有两个整数解，
，
，
整数，，．
满足条件的整数的和为，
故选A．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了分式方程的增根，理解增根产生的原因是解题的关键．方程两边同时乘，将分式方程转化为整式方程，解这个整式方程得到方程的解，根据方程有增根，得到，列出方程计算出的值即可．
【解答】
解：方程两边同时乘得：，
解得：，
方程有增根，
，
，
，
，
故选A．
12.【答案】
【解析】解：设甲车的速度为千米时，则乙车的速度为千米时，
由题意得，．
故选：．
设甲车的速度为千米时，则乙车的速度为千米时，根据甲车行驶千米与乙车行驶千米所用时间相同，列方程．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是分式方程的解法，分式方程的解的有关知识，先将分式方程转化为整式方程，然后根据关于的方程有无数多个解，可以得到，求解即可．
【解答】
解：，
，
方程两边同时乘以得：
，
整理得：，
关于的方程有无数多个解，
，
．
故答案为．
14.【答案】 或
【解析】将分式方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根两种情况求解．
【解答】解： ，
方程两边同乘： ，得： ，
整理得： ，
整式方程无解： ，解得： ；
分式方程有增根： 或 ，解得： 或 ；
当 时：整式方程无解；
当 时： ，解得： ；
综上，当 或 时，分式方程无解；
故答案为： 或 ．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，分式方程的解及解法，一元一次不等式的解法，根的判别式等，得到使一元二次方程有实数根和分式方程的解不小于是解决本题的关键．
先求出分式方程的解为：，然后根据分式方程的解不小于，得的值为，，，由一元二次方程有实数根，得的值为，，，求出的值为，，最后根据概率公式进行计算即可．
【解答】
解：，
，解得，
关于的分式方程的解为：，
且，
解得：且且，
为，，，
一元二次方程有实数根，
且，
，
为，，，
使关于的分式方程的解不小于，且使关于的一元二次方程有实数解的的值为，，
其概率为．
16.【答案】、、
【解析】【分析】
本题考查了分式方程的解，分式方程的解法，掌握分式方程无解的条件是解题的关键．
先去分母得到关于的整式方程，然后根据分式方程无解得到关于的方程，进而得出的值．
【解答】
解：去分母得：，
去括号得：，
，
原方程无解，
或或．
当时，解得：；
当时，，
解得：
当时，，
解得：．
故、、．
17.【答案】解：设高标运营前平均速度分别是千米小时，则高标运营后平均速度是千米小时，分钟小时．
由题意，可得，
解得，
经检验是分式方程的解，
高标运营前平均速度分别是千米小时，高标运营后平均速度是千米小时．

【解析】略
18.【答案】
【解析】解：由题意，，
，．
故答案为：；．
由题意，十字分式方程的两个解分别为，，
，．
又，
．
由题意，，
．
．
又关于的十字分式方程的两个解分别为，，
，．
，．
．
依据题意，由，进而可以判断得解；
依据题意，由十字分式方程的两个解分别为，，从而，，再结合，进而代入计算可以得解；
依据题意，由，从而，即，结合关于的十字分式方程的两个解分别为，，从而，，则，，进而计算可以得解．
本题主要考查了解分式方程、分式方程的定义、分式方程的解，解题时要能读懂题意，列出关系式是关键．
19.【答案】解：，
去分母得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程得：；
解得：，
根据分式方程的解为负数，得到，且，
解得：．
【解析】此题考查了分式方程的解，分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
将分式方程去分母化为整式方程，由分式方程有增根，得到，即，代入整式方程计算即可求出的值；
表示出分式方程的解，由分式方程的解是负数，求出的范围即可．
20.【答案】解：根据题意得，
当时，
解得负值舍去，
当时，原式的最小值为；
设休闲区的长为，则宽为 ，根据题意，得：
公园的面积
，
当 时，
解得负值舍去，
所以当时，面积最小为 ．
则 ，
所以休闲区的长为，宽为，整个活动区域所占面积最小．
【解析】根据，可得答案；
设休闲区的长为，进而表示出宽，再表示出面积，然后根据材料提示可得答案．
本题主要考查了完全平方公式，解分式方程，分式方程的应用，解题的关键是弄清题意，求出最小值．
21.【答案】解：去分母，得，
去括号，合并同类项，得解得．
因为原分式方程有解，
所以不能为增根．
又因为原分式方程若有增根，则增根为，
所以解得．
【解析】本题主要考查了分式方程的解，关键是掌握分式方程有解时，分母不为零可得的取值范围，进而可得的取值范围．
首先去分母可得，根据分式方程有解则，，则，进一步求得答案即可．
22.【答案】解：设该网店款自拍杆的进价为元个，款自拍杆的进价为元个，
根据题意，得：，
解得：，，
经检验，是原分式方程的解，
答：该网店款自拍杆的进价为元个，款自拍杆的进价为元个；
设购进个款自拍杆，则购进个款自拍杆，
根据题意，得：，
解得：，
设再次购进、两款自拍杆的销售利润为元，
则，
即，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，，
．
答：、两款自拍杆各购进个时，销售利润最大，最大利润为元．
【解析】设该网店款自拍杆的进价为元个，款自拍杆的进价为元个，根据“第一次用元购进款自拍杆，用元购进款自拍杆，款自拍杆所购数量是款自拍杆所购数量的倍，”列出分式方程，即可求解；
设购进个款自拍杆，则购进个款自拍杆，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设再次购进、两款自拍杆的销售利润为元，利用总利润每个的销售利润销售数量购进数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．
23.【答案】解：设汽车原计划的行驶速度是千米时，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：汽车原计划的行驶速度是千米时．
【解析】设汽车原计划的行驶速度是千米时，根据一辆汽车开往距离出发地千米的目的地，出发后按原计划的速度匀速行驶，行驶小时后因汽车故障耽误半小时，故障排除后继续以原计划速度的倍匀速行驶，结果比原计划提前分钟到达目的地，列出分式方程，解分式方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24.【答案】解：设甲功能性饮料的销售单价为元瓶，则乙功能性饮料的销售单价为元瓶，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
，
答：甲、乙两种功能性饮料的销售单价为元瓶、元瓶；
设订购甲种功能性饮料瓶，则订购乙种功能性饮料瓶，商家获得的利润为元，
根据题意，得，
本次订购甲种功能性饮料的瓶数不少于乙种功能性饮料瓶数的，
，且，
解得，
，
随的增大而减小，
当时，最大，最大值为元，
答：订购甲种功能性饮料瓶时，商家获得的利润最大，利润最大为元．
【解析】设甲功能性饮料的销售单价为元瓶，则乙功能性饮料的销售单价为元瓶，根据“乙种功能性饮料的购买数量比甲种功能性饮料的购买数量多瓶”列出分式方程解出即可；
设订购甲种功能性饮料瓶，商家获得的利润为元，列出关于的函数关系式，求出的取值范围，根据函数增减性即可解决问题．
本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，理解题意，准确列出方程组和函数表达式是解题的关键．
25.【答案】解：设乙种消毒液的零售价为元桶，则甲种消毒液的零售价为元桶，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲种消毒液的零售价为元桶，乙种消毒液的零售价为元桶．
设购买甲种消毒液桶，则购买乙种消毒液桶，
依题意得：，
解得：．
设所需资金总额为元，则，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值．
答：当甲种消毒液购买桶时，所需资金总额最少，最少总金额是元．
【解析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
设乙种消毒液的零售价为元桶，则甲种消毒液的零售价为元桶，根据数量总价单价，结合该单位以零售价分别用元和元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购买甲种消毒液桶，则购买乙种消毒液桶，根据购进甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设所需资金总额为元，根据所需资金总额甲种消毒液的批发价购进数量乙种消毒液的批发价购进数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
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