10.3平行线的性质 沪科版（2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）

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10.3平行线的性质沪科版（ 2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，，，相交于，，，则的度数是( )
A. B. C. D.
2.已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
3.为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，小聪把它抽象成图的数学问题：已知，，，则的度数是( )
A. B. C. D.
4.如图，已知，按以下步骤作图：在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点；连接，分别以点、为圆心，长为半径作弧，交于点、；连接，根据以上作图过程及所作图形，下论中错误的有个．
；
点与点关于直线对称；
若，则；
；
．
A. B. C. D.
5.如图，，若，，则等于( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，直线，直线与直线，分别交于，两点，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
7.小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，，则( )
A.
B.
C.
D.
9.一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，，平分，平分，且，下列结论：平分；；；其中结论正确的有( )
A. B. C. D.
11.如图是婴儿车的平面示意图，，，那么的度数为( )
A.
B.
C.
D.
12.如图，，交于点，平分交于点，已知，则的大小为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，平分，交于点，点在线段上不与点，点重合，连接，已知若，且为常数，且为正数，则的值为______．
14.如图，已知，直线交，得与，若，则的度数为______．
15.如图，已知，为的中点，若，，则 ．
16.有一条直的等宽纸带，按如图所示进行折叠，使得，则的度数为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，已知，，．
直接写出，，的数量关系为______________________________；
求证：．
18.本小题分
如图，已知，点在上，交于点，连接，若，．
求证：；
若，平分，求的度数．
19.本小题分
如图，，，垂足分别为，，，，．
试说明：；
求的度数．
20.本小题分
如图，已知．
请你判断与的位置关系，并证明你的结论；
若平分，试求的度数．
21.本小题分
如图，已知，平分，．
与相等吗？判断并说明理由；
若，求的度数．
22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足，线段交轴于点。
求点、、的坐标；
如图，若点为轴负半轴上一动点，过点作，分别作，的平分线交于点，试问在点的运动过程中，的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的值；
在轴上是否存在这样的点，使的面积等于的面积的？若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由。
23.本小题分
如图，在中，点，分别在边，上，若，，求的度数．
24.本小题分
已知点在射线上，．
如图，若，求证：；
如图，若，垂足为，交于点，请探究与的数量关系，写出你的探究结论，并说明理由；
如图，在的条件下，过点作交射线于点，当，时，求的度数．
25.本小题分
如图，在四边形中，，，平分，平分，，分别交，于点，．
求证：；
若，求的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
过点作，可得，，可得，进而可求的度数．
【解答】
解：如图，过点作，
，
，
，
．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：如图，过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论、平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：由作法得，
，
，故正确；
，，
垂直平分，
点与点关于对称，故正确；
如图所示，连接
，
为等边三角形，
，
，故正确；
如图所示，连接，
，
，
，故正确；
如图所示，连接，
，
，
又，
，故错误．
综上所述，错误的有个．
故选：．
根据等弧所对圆周角相等可以判断；
根据，，可得垂直平分，可以判断；
根据平行线的判定可以判断；证明出为等边三角形，然后由得到，进而判断；
根据同弧所对的圆周角相等得到，即可判断；
根据圆周角定理即可判断．
本题考查了作图复杂作图，圆周角定理，等边三角形的性质和判定，平行线的判定，同弧所对的圆周角相等等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是平行线的性质，三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质，由三角形的外角性质求出的度数是关键先由三角形的外角性质求出的度数，再根据平行线的性质得出即可．
【解答】解：，，
，
，
；
故选B．
6.【答案】
【解析】解：直线，，
，
与是邻补角，
，
．
故选：．
先根据平行线的性质求出的度数，再根据邻补角的定义即可解答．
本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行、同位角相等是解答本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：如图：
直尺的两边平行，，
，
，
，
．
故选：．
由两直线平行，内错角相等，可求得的度数，然后求得的度数．
此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，内错角相等定理的应用是解此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：过点作，
，
，
，
，
，
即，
故选：．
过点作，根据平行线的性质进行计算，即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：如图，
根据题意得，，
，
，
，
故选：．
利用平行线的性质得出，利用平角定义求出，即可求解．
本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质定理的应用．
10.【答案】
【解析】解：，
，，，
平分，平分，
，，
，
，
，，
，
，故正确；
，
平分，，故正确，错误；
，
，故正确；
故选：．
先由平行线的性质得到，，，再由角平分线的定义得到，进而推出，则，据此逐一判断即可．
本题主要考查了平行线的判定与性质，关键是平行线性质的熟练掌握．
11.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
．
故选：．
由，可得，由可得其补角，再由三角形外角得性质可得，，由此得解．
本题考查了平行线的性质，熟悉掌握相关知识是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：平分，
，
，
，，
，
，
故选D．
由角平分线的定义可得，由，可得，，从而可得结论．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系，求得．
13.【答案】
【解析】解：是的角平分线，
，
又，
，
；
过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
又，
，
，
，即，
．
故答案为：．
根据角平分线的定义结合题意推出，即可判定，过点作，根据平行线的性质及角的和差即可求出，进而根据平行线的性质求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，关键是平行线判定定理的应用．
14.【答案】
【解析】解：，，，
，
，
，
解得，
故答案为：．
根据对顶角相等可得，，再利用平行线的性质，即可解答，
本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
15.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定与性质是解题的关键．
根据平行线的性质以及对顶角的性质推出，，即可利用证明≌，推出，进而可得出答案．
【解答】
解：，为的中点，
，，
又，
≌
，
，
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：等宽纸带，
，
折叠，
，
，
，
，即，
解得，
，
故答案为：．
由平行线的性质求得，由折叠的性质求得，结合平角的定义，列式计算即可求解．
本题考查了折叠的性质，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
17.【答案】【小题】

【小题】
证明：延长，交于点，延长，交于点．
，，
，，
，，
，，
．

【解析】 解：在点右侧作 ，
， ，，，
；
本题考查了平行线的性质，在点右侧作 ，根据两直线平行同旁内角互补即可解答．
本题考查了平行线的判定与性质，延长，交于点，延长，交于点，根据平行线的判定与性质证明即可．
18.【答案】【小题】
证明：，
，
，
，
；
【小题】
解：，，
，
，
，
平分，
，
，
．

【解析】
本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是：
根据平行线的性质得出，结合已知可得出，然后根据平行线的判定即可得证；

结合已知，根据平行线的性质可求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，最后根据平行线的性质求解即可．
19.【答案】【小题】
解：，，
，
．
又，
，
．
【小题】
解：，
，．
，，
．
又，
，．

【解析】 略
略
20.【答案】【小题】
解：，理由：
，
，
，
又，
，
．
【小题】
，
，
又平分，
，
，
又，

【解析】
本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
根据证得，已知，等量代换得出，证得；

根据证得，，根据平分得出，求出的度数，再根据垂直的定义求出即可．
21.【答案】【小题】
解：与相等，理由如下；
，
，
，
平分，
，
；
【小题】
解：由知，，
，
，
，
的度数为．

【解析】
本题考查了平行线的判定与性质，角平分线．熟练掌握平行线的判定与性质，角平分线是解题的关键．
由，可证，则，由平分，可得，进而可得；

由知，，则，由，可得，然后作答即可．
22.【答案】解：；；；
的度数不发生变化，
理由如下：过点作，
，
，
，，，
，
，
、分别为，的平分线，
，，
；

【解析】【分析】
本题考查的是平行线的性质、三角形的面积计算、非负数的性质，掌握平行线的性质定理、三角形的面积公式是解题的关键．
根据非负数的性质分别求出、、，得到点、、的坐标．
作，根据平行线的性质得到，，，根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义计算，得到答案；
设点的坐标为，用含的代数式表示出的面积和的面积，根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】
解：，，，，
，，，
解得，，，，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；
见答案；
设点的坐标为，
点在轴负半轴上，
，
由题意得，，，
的面积，
的面积梯形的面积的面积的面积
，
由题意得，，
解得，，
则的面积等于的面积的时，点坐标的坐标为
23.【答案】解：，
，
，
，
，
的度数为．
【解析】由可得，由平行线的性质可得，最后由三角形外角的定义可得，进行计算即可得到答案．
本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形外角的定义，熟练掌握平行线的判定与性质，三角形外角的定义，是解题的关键．
24.【答案】证明：，
，
又，
，
；
解：
理由如下：是的外角，
，
，
，
在中，，
，
又，
；
解：设，则，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
，
，
在中，，
的度数为．
【解析】根据，可得，再根据，即可得到，即可得证；
根据三角形外角的性质，可得到，根据直角三角形两锐角互余，有，再根据即可得到与的数量关系；
设，则，，根据，即可得到，再根据，即可得到，求得的值，即可运用三角形内角和定理得到的度数．
本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余．灵活运用三角形内角和定理是解题的关键．
25.【答案】证明：，
，
，
，
，
平分，平分，
．，
．
，
，
，
，
平分，
，
，
，
．
【解析】由平行可知，，从而可得，再由角平分线即可得证；
由平行可知，从而可得，再由角平分线可得，再由平行可得，进而求出答案．
本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
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