6.2无理数和实数 沪科版（2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）

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6.2无理数和实数沪科版（ 2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为则的值是( )
A. B. C. D.
2.如图，数轴上点表示一个无理数，这个无理数可能是( )
A. B. C. D.
3.在数轴上标注了四段范围，如图所示，则表示的点落在( )
A. B. C. D.
4.下列四个实数中，最大的数是( )
A. B. C. D.
5.下列无理数中，大小与最接近的是( )
A. B. C. D.
6.估计的值在( )
A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间
7.下列各数是无理数的是( )
A. B. C. D.
8.若的小数部分是，的小数部分是，则的值为( )
A. B. C. D.
9.在实数：，，，，，中，无理数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10.下列各数中的无理数是( )
A. B. C. D.
11.如图，数轴上，两点分别对应实数，，下列结论中一定正确的是
A. B. C. D.
12.估计的值在( )
A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知的整数部分是，小数部分是，则的相反数______．
14.淮北月考比较大小：__________ ．
15.若将三个数，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是_________．
16.把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被图中墨迹覆盖的是 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
现有五个实数：，，，，其中四个数已经在数轴上分别用点，，，表示．
点表示数______；点表示数______；点表示数______．
用圆规在数轴上精确地表示提示：注意观察正方形的面积
将上列五个数按从小到大的顺序用“”连接______．
将上列各数分别填入相应的横线上：
无理数：______；
负数：______．
18.本小题分
对于实数#替#换#丂#换#替，，我们定义运算“#”，例如：，，；又如，，．
问：下列各式的结果哪些是有理数？哪些是无理数？请说明理由．
；；；．
19.本小题分
阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分．又例如：，即，的整数部分是，小数部分为．
的整数部分是 ，小数部分是 ；
若，分别是的整数部分和小数部分，求的值．
20.本小题分
已知的小数部分是的整数部分是，求的值．
21.本小题分
探究发散：
完成下列填空
，
，
______，
，
，
______．
根据上述计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：______．
利用你发现的规律完成下题：有理数、、在数轴上的位置如图所示．
化简：．
22.本小题分
计算：；
求值：；
求值：；
如图，，是数轴上三个点、、所对应的实数试化简：．
23.本小题分
已知一个正数的两个不相等的平方根是与．
求和的值；
利用平方根的定义，求关于的方程的解．
24.本小题分
已知实数，，在数轴上的位置如图所示，
化简．
25.本小题分
计算：．
下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
．
解：，第一步
，第二步
，第三步
，第四步
第五步
任务一：
填空：
以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的；
第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
任务二：
请直接写出该不等式的正确解集．
答案和解析
1.【答案】
【解析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，无理数的估算，化简绝对值，先求出点表示的数为，再根据无理数的估算方法得到，据此化简绝对值求解即可．
【详解】解：一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，
点表示的数为，
，
，
，
，
，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：，，，，
，，，，
，，，
，
，，
由数轴可知，点表示的数可能是；
故选：．
分别估算出无理数的取值范围，根据点在数轴上的位置，进行判断即可．
本题考查实数与数轴，无理数的估算，熟练掌握以上知识点是关键．
3.【答案】
【解析】解：，，，
的点落在第段内．
故选：．
分别利用已知数据的平方得出最接近的数据即可得出答案．
本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是计算出各数的平方．
4.【答案】
【解析】解：，
最大的数是，
故选：．
根据正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小进行比较即可．
本题考查了实数大小比较．
5.【答案】
【解析】解：，
与最接近的无理数是：．
故选：．
直接利用估算无理数的大小方法得出最接近的无理数．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近的无理数是解题关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算无理数的大小，根据完全平方数的特点估算无理数的大小，即可解答．
【解答】
解：，
，
故选A．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，开方开不尽的数；以及像等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】
解：、是有理数，故A错误；
B、是有理数，故B错误；
C、是有理数，故C错误；
D、是无理数，故D正确．
8.【答案】
【解析】运用有理数逼近无理数，求无理数的近似值求解．
【详解】解：，
，
．，
，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】
解：，
所以，，是无理数．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】根据无理数的定义，即可得到答案．
【详解】解：．是有理数，故本选项不符合题意；
是有理数，故本选项不符合题意；
是无理数，故本选项符合题意；
是有理数，故本选项不符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查了无理数的定义，解题的关键是熟记定义进行解题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了数轴与有理数的运算，数轴上右边的数总是大于左边的数．
先观察，在数轴上的位置，得，，然后对四个选项逐一分析．
【解答】
解：
，，
，，，则，B错误，C正确
，
，则D错误
12.【答案】
【解析】解：将原式整理运算：，
，
，
，
的值在和之间，
故选：．
先计算得到，再估算的范围，再根据不等式的性质即可求解．
本题主要考查了无理数的估算，不等式的性质，二次根式的运算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数在哪两个整数之间．
13.【答案】
【解析】解：，
的整数部分是，
的整数部分是，即，
的小数部分是，即，
，
的相反数为．
故答案为：．
先判断在那两个整数之间，用小于的整数与相加，得出整数部分，再用减去整数部分即可求出小数部分．
本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算出在之间．
14.【答案】
【解析】【分析】
因为分母相同所以比较分子的大小即可，可以估算的整数部分，然后根据整数部分即可解决问题．
本题考查了实数大小的比较，估算无理数的大小，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较次方的方法等．当分母相同时比较分子的大小即可．
【详解】
因为，
所以，
所以．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了实数与数轴，估算无理数的大小，
从图形中可以看到，被墨迹覆盖的数在和之间，估算无理数在哪两个相邻的整数之间可以确定答案．
【解答】
解：由题意：被墨迹覆盖的数在和之间．
，
不是被墨迹覆盖的数．
，
．
是被墨迹覆盖的数．
，
．
不是被墨迹覆盖的数．
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了实数与数轴的关系以及估算无理数的大小有关知识，根据被覆盖的数在到之间，可得被覆盖的数化为带根号的数的被开方数的范围，然后即可得解．
【解答】
解：墨迹覆盖的数在之间，
即，
符合条件的数是．
故答案为．
17.【答案】 ， ，
【解析】解：根据、、在数轴上的位置，
可知，点表示数，点表示数，点表示数；
故答案为：，，；
如图，
由数轴可知，；
故答案为：；
无理数：，；
负数：，．
故答案为：，，．
根据、、在数轴上的位置即可判断出答案；
根据数轴是数从左到右是从小到大的顺序即可得出答案；
根据实数的分类填空即可．
本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，正确利用数轴比较大小是关键．
18.【答案】解：原式；
原式；
原式；
原式．
故是有理数，是无理数．
【解析】先判断这两个数的大小，再选择公式计算即可．
本题考查了实数的运算，体现了分类讨论的数学思想，先判断两个数的大小，再选择公式计算是解题的关键．
19.【答案】解：；；
，
，
，
，，
．
【解析】【分析】
本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是掌握估算无理数的大小的方法．
由可得答案；
由得出，则，得出，，再代入求值即可．
【解答】
解：，
的整数部分是，小数部分是；
故答案为；；
见答案．
20.【答案】解：，，
，，
的整数部分为，的整数部分为，
的小数部分是，的整数部分是，
，
．

【解析】略
21.【答案】 不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数
【解析】解：，，
故答案为：；；
不一定等于，
规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数．
故答案为：不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数；
由、、在数轴上的位置可知，，，
，，，
．
先计算平方，再计算算术平方根即可；
结合中计算可知，不一定等于，并发现其中规律即可；
由、、在数轴上的位置可知，，，进而判断式子正负，再结合所得规律化简算术平方根，同时去绝对值符号，再合并同类项即可．
本题考查了算术平方根、数轴、相反数和绝对值，整式的加减运算等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键．
22.【答案】解：原式
．
，
，
，
或，
解得．
原方程移项得，
，
，
解得．
由数轴可知，，
，，，
原式
．
【解析】根据平方根和立方根的概念计算即可；
运用平方根的概念解方程；
运用立方根的概念解方程；
根据数轴确定，，的符号，再由绝对值的性质，和平方根，立方根的性质化简即可．
本题主要考查数轴上的点，绝对值的性质，平方根和立方根，掌握平方根和立方根的概念是解题的关键．
23.【答案】解：由题意得：，
解得：，
．
原方程为：，
，
解得：．
【解析】本题考查了平方根得意义，掌握一个正数的平方根有两个是解题的关键．
利用一个正数得平方根有两个，是互为相反数，其和相加得，列方程求解；
利用直接开平方根法求解．
24.【答案】解：由数轴可知：，
，，
则原式．
【解析】本题考查实数与数轴，以及绝对值和二次根式的化简，分析得出和的正负情况是解题关键．
首先根据数轴得出，然后分析和的正负情况，再化简绝对值和二次根式，然后计算加减即可．
25.【答案】不等式的基本性质 三 移项时，的符号没有改变
【解析】解：
；
任务一：以上解题过程中，第一步是依据不等式的基本性质进行变形的；
第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项时，的符号没有改变；
任务二：，
，
，
，
．
首先计算负整数指数幂，化简绝对值，计算特殊角的三角函数值，然后计算加减；
任务一：根据不等式的基本性质求解即可；
根据移项的性质求解即可；
任务二：不等式去分母，去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解．
此题考查了负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，解一元一次不等式，解题的关键是掌握以上运算法则
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