7.1不等式及其基本性质 沪科版（2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）

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7.1不等式及其基本性质沪科版（ 2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
2.不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
3.若，则下列不等式变形正确的是( )
A. B. C. D.
4.实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
5.若，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
6.已知，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
7.若二次根式有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
8.不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
9.在数轴上表示不等式的解集，正确的是( )
A. B.
C. D.
10.解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是．
A. B. C. D.
11.若代数式的值是负数，则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
12.已知、、满足等式，则下列结论不正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知，若，则的取值范围是________．
14.已知一次函数，当函数值时，自变量的取值范围在数轴上表示正确的是______．
15.已知，且，，且，则的取值范围是______．
16.如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是_____________
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
根据不等式的性质，可以得到：若，则，若，则，若，则这是利用“作差法”比较两个数成两个代数式值的大小，已知，，请你运用前面介绍的方法比较整式与的大小．
18.本小题分
解不等式组，并将解集表示在数轴上．
19.本小题分
解方程组：．
解不等式：，并在数轴上将解集表示出来．
20.本小题分
计算：；
解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
21.本小题分
解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
22.本小题分
解下列不等式组，并把解集表示在数轴上．
；
．
23.本小题分
解不等式；
解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
24.本小题分
阅读下列材料：
数学问题已知，且，，试确定的取值范围．
问题解决，．
又，
，．
又，
同理得：
由得：．
即：．
类比探究
在数学问题中的条件下，的取值范围是____．
已知，且，，则的取值范围为_____________的取值范围为_______________．
已知，，若，直接写出的取值范围用含的代数式表示．
25.本小题分
【阅读】在说明“如果，，那么”时，小明的方法如下：
因为，
所以________．
所以________．
因为，，
所以________．
所以________．
所以．
【问题解决】
请将上面的过程填写完整．
有以下几个条件：，，，请从中选择两个作为已知条件，得出结论你选择的条件序号是________，并给出说明过程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
去分母得，，
移项合并同类项得，，
系数化为得：，
解集在数轴上表示为：
故选：．
根据解一元一次不等式基本步骤，去分母，移项、合并同类项、系数化为可得不等式解集，再将不等式解集表示在数轴上即可．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，将不等式解集表示在数轴上，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是一元一次不等式的解法以及在数轴上表示不等式的解集，熟知实心原点与空心原点的区别是解答此题的关键．先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】
解：，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化成，得，
在数轴上表示为：
．
故选C．
3.【答案】
【解析】【分析】本题考查了不等式的性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质，逐项进行判断即可．
【详解】解：，
，故本选项不符合题意；
B.，
，故本选项不符合题意；
C.，
，
，故本选项符合题意；
D.，
，故本选项不符合题意．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了不等式的性质，实数与数轴熟记性质并准确识图，正确确定出、、的关系是解题的关键．
根据数轴判断出、，的的大小，再根据不等式的性质对各选项分析判断即可得解．
【解答】
解：由图可知，，，
A.，正确，故本选项不符合题意；
B.，正确，故本选项不符合题意；
C.，正确，故本选项不符合题意；
D.应为，故本选项符合题意．
故选D．
5.【答案】
【解析】【分析】根据不等式基本性质逐一判断即可．
【详解】解：、根据不等式性质，不等式两边都减去可得，原变形不成立，故此选项不符合题意；
B、根据不等式性质，不等式两边都乘以可得，原变形不成立，故此选项不符合题意；
C、根据不等式性质，不等式两边都除以可得，原变形不成立，故此选项不符合题意；
D、根据不等式性质，不等式两边都除以可得，原变形成立，故此选项符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质：
不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
6.【答案】
【解析】解：、，，故此选项不合题意；
B、，当时，，故此选项不合题意；
C、，，故此选项符合题意；
D、，当时，，故此选项不合题意；
故选：．
根据不等式的性质逐项一一排除即可得答案．
此题考查了不等式的性质．熟练掌握该知识点是关键．
7.【答案】
【解析】解：要使二次根式有意义，则，，
解得，
在数轴上表示为：
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件得出的取值范围进而得出答案．
本题主要考查了二次根式有意义的条件及在数轴上表示不等式的解集，正确理解二次根式的定义是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
，
解集表示在数轴上如图：
故选：．
解出每个不等式，取公共解集，再表示在数轴上即可．
本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握取公共解集的方法．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，注意：在数轴上，右边表示的数总比左边表示的数大，不包括该点时，用“圆圈”，包括时用“黑点”．
求出不等式的解集，在数轴上表示出不等式的解集，即可选出答案．
【解答】
解：，
，
在数轴上表示不等式的解集为：
．
10.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
根据数轴表示出不等式的解集，确定出所求不等式组即可．
【解答】
解：若解集在数轴上的表示如图所示，可得解集为，
则这个不等式组可以是．
故选D．
11.【答案】
【解析】解：根据题意得：，即，
解得：
故选B
根据代数式的值为负数，求出的范围即可．
此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等式的性质和不等式的性质．根据题意得到，则，再逐一计算判断即可．
【解答】
解：，
，则，
若，则，
，故A正确，不符合题意；
若，则，
，故B不正确，符合题意；
，
，
，
，，故 C正确，不符合题意；
，
，
，即，
，故 D正确，不符合题意；
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是不等式的基本性质，不等式的基本性质：
不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
根据已知条件可以求得，然后将其代入不等式，通过解该不等式即可求得的取值范围．
【解答】
解：由，得，
，
，
；
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：一次函数，
函数值时，，
解得，，
表示在数轴上为：
．
由已知条件知，通过解不等式可以求得然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集．熟练掌握该知识点是关键．
15.【答案】
【解析】解：，
，，
或，
，，
，，
，
故答案为：．
根据题意得出，，进而推出或，然后将，代入求解即可．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是关键．
16.【答案】．
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质，不等式的解集因关于的不等式的解集为，所以根据不等式性质，，解之即可得出答案．
【解答】
解：关于的不等式的解集为，
，
，
故答案为．
17.【答案】，

【解析】略
18.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
．
【解析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后将它在数轴上表示出来即可．
本题考查了解一元一次不等式组、数轴，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．
19.【答案】解：，
由，可得，
解得 ，
将代入，可得 ，
解得，
所以，该方程组的解为；
，
不等号两边同时乘以，可得 ，
去括号，可得 ，
移项、合并同类项，可得，
系数化为可得 ，
数轴上将解集表示出来，如下图所示：

【解析】利用加减消元法解该方程组即可；
首先求解该一元一次不等式的解集，然后将解集在数轴上表示出来即可．
本题主要考查了解二元一次方程、解一元一次不等式以及将不等式的解集在数轴上表示出来，熟练掌握解二元一次方程和解一元一次不等式的方法和步骤是解题关键．
20.【答案】解：原式
；
去分母，得，
去括号，得，
移项，，
合并同类项，，
化系数为，．
不等式的解集在数轴上表示如图所示：

【解析】先根据二次根式的性质，绝对值，零指数幂和负整数指数幂进行计算，再算加减即可；
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算和解一元一次不等式等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解的关键，掌握一元一次不等式的解法是解的关键．
21.【答案】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
则不等式组的解集是：，
不等式组的解集在数轴上表示为：
【解析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．
本题考查了不等式组的解法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
22.【答案】解：，
，
，
不等式的解即为，
在数轴上表示为：
，
解不等式得，，
解不等式得，，
不等式组的解集为，
在数轴上表示为：

【解析】先去括号，合并同类项，系数化为即可；
分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可．
本题考查解一元一次不等式和一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．
23.【答案】解：，
去分母得，，
移项得，，
合并同类项，化系数为得，，
即不等式的解集是．
原不等式组可化为，
由得，
由得，
即，
原不等式组的解集为．
它的解集在数轴上表示出来如图．

【解析】根据解不等式的一般步骤解答即可，解答的一般步骤为：去分母，去括号，移项及合并同类项，系数化为．
分别解两个不等式，即可得到不等式组的解集．
本题考查了一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握一元一次不等式组的解答步骤．
24.【答案】；
，
，
又，
，
，
又，，
，
，
，
的取值范围是．
【解析】本题考查不等式的性质；能够根据例子，仿照例子结合不等式的基本性质解题，注意不等式的同号可加性是隐含的限定条件．
仿照例子，根据不等式的基本性质即可求解；
仿照例子，注意由到的转化，再由不等式同号可加性进行求解；
仿照例子，注意确定不等式有解集时，的取值范围．
解：，
，
，
；
故答案为：．
，
．
又，
，
，
又，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
．
见答案．
25.【答案】【小题】
【小题】
选择因为，，所以所以，因为，所以所以．

【解析】 见答案
见答案
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