8.1幂的运算 沪科版（2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）

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8.1幂的运算 沪科版（2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
2.下列计算结果正确的是( )
A. B.
C. D.
3.已知的值为( )
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
5.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
6.下列各式运算结果为的是( )
A. B. C. D.
7.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
8.下列运算结果正确的是( )
A. B. C. D.
9.已知，，，则下列结论：；；其中不正确的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10.下列计算结果正确的是( )
A. B. C. D.
11.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
12.已知，，，则，，的关系为：，，，，其中正确的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若，则________．
14.已知，，，现给出，，之间的四个关系式：；；；其中正确的关系式是 填序号
15.若的值为，则____．
16.已知，，，则的值是 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
一个长方形的长是，宽是，求此长方形的面积及周长．
18.本小题分
计算下列各题：
；
；
利用公式计算
19.本小题分
计算：
；
．
20.本小题分
若已知，求的值
已知，求出式中的．
21.本小题分
已知，，求：
的值；
的值； 已知，求的值．
22.本小题分
已知：，，．
求的值；
求的值；
23.本小题分
计算：．
化简：．
24.本小题分
先化简再求值：
，其中，；
，其中．
25.本小题分
规定两数，之间的种运算，记作：如果，那么例如：因为，所以．
根据上述规定，填空：___；___；__；
小明在研究这种运算时发现一个特例：对任意的正整数，小明给了如下的证明：设，则，即，所以，即，所以请根据以上规律：计算：．
试说明下面这个等式：成立．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方和同底数幂的除法，掌握其运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；合并同类项的原则是，系数相加，子母和字母的指数不变；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方等于乘方的积；同底数幂的除法，底数不变，指数相减，逐一判定即可．
【解答】
解：，故本选项错误；
B.，故本选项错误；
C.，故本选项错误；
D.，故本选项正确．
2.【答案】
【解析】解：，因此选项A不符合题意；
，因此选项B不符合题意；
，因此选项C不符合题意；
，因此选项D符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘、除法、幂的乘方积的乘方以及平方差公式进行计算即可．
本题考查同底数幂的乘、除法、幂的乘方积的乘方以及完全平方公式，掌握计算法则是正确计算的前提．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方运算及求代数式的值的知识，解答本题的关键是把式子写成，然后再运用代入法计算即可．
【解答】
解：，
．
故选D．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，分别根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法逐项计算即可．
【解答】
解：与不是同类项，所以不能合并，原式错误，不符合题意
B.，计算正确，符合题意
C.，原式错误，不符合题意
D.，原式错误，不符合题意．
5.【答案】
【解析】解：、与不是同类项不能合并，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项正确．
故选D．
根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解．
主要考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，熟练掌握运算性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查同底数幂乘除法，幂的乘方的运算及合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键．
根据合并同类项、同底数幂相乘底数不变，指数相加、同底数幂相除底数不变，指数相减、幂的乘方底数不变，指数相乘的法则逐一计算即可．
【解答】
解：，故A错误；
B.，故B错误；
C.，故C错误；
D.，故D正确．
故选D．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的乘法．
根据合并同类项法则；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂的除法，底数不变指数相减对各选项计算后求解．
【解答】
解： 不能合并，故本选项错误；
B.，故本选项错误；
C.，故本选项正确；
D.，故本选项错误．
故选C
8.【答案】
【解析】【分析】
此题考查同底数幂的乘法和除法，以及幂的乘方与积的乘方，合并同类项，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
根据幂的运算性质逐个计算得到结果，即可做出判断．
【解答】
解：． ，故A错误；
B. ，故B错误；
C. ，故C正确，
D.，故D错误．
9.【答案】
【解析】略
10.【答案】
【解析】解：、，故该选项错误；
B、，故该选项错误；
C、，故该选项错误；
D、，故该选项正确；
故选：．
根据同底数幂相乘，积的乘方，负整数指数幂，逐项判断即可求解．
本题主要考查了同底数幂相乘，积的乘方，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了同底数幂的基本运算，解题关键在于要注意指数在计算过程中是相加还是相乘．
根据幂的运算对选项进行逐一计算即可．
【解答】
解：，选项错误；
，选项错误；
，选项正确；
，选项错误；
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘除法有关知识，利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘除法法则进行计算即可．
【解答】
解：，，，
，
，
，故正确，
，
则，即，故正确，
，
则，故正确，
，
，故正确．
故选D．
13.【答案】
【解析】解：因为
本题考查了同底数幂的运算法则，属于基础题，注意整体思想的应用．
将看成的次方后代入，再使用同底数幂运算法则即可求解．
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是同底数幂的乘法及除法，幂的乘方与积的乘方有关知识，将变形为，然后再进行解答
【解答】
解：因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
故答案为．
16.【答案】
【解析】因为，，，所以．
17.【答案】面积长宽
周长长宽
．
综上可得，长方形的面积为，周长为．

【解析】略
18.【答案】解：原式
；
；
原式
．
【解析】利用零指数幂、绝对值、负整数指数幂分别运算，再合并即可求解；
利用积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法和除法运算法则分别计算，再合并同类项即可求解；
利用平方差公式进行计算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，掌握实数和整式的运算法则和运算公式是解题的关键．
19.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】先计算单项式乘单项式，幂的乘方，积的乘方，再合并同类项即可；
先进行零指数幂，负整数指数幂的运算，乘方，再进行加减运算即可．
本题考查幂的运算，实数的混合运算，正确进行计算是解题关键．
20.【答案】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，代数式求值的有关知识．
根据同底数幂的乘法，幂的乘方计算，然后再代入求值即可；
逆用同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法的计算法则将变形为，求解即可．
21.【答案】解：，，
；
；
，
，
，
解得：．
【解析】本题考查同底数幂的乘法、除法以及幂的乘方和积的乘方；
根据同底数幂的乘法法则和除法法则求解即可；
把各个数字化为以为底数的形式，按照同底数幂的乘法法则，求解即可．
22.【答案】解：；
．
【解析】本题考查同底数幂的运算，幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法，幂的乘方和除法的运算法则，本题属于基础题型．
根据幂的乘方的运算法则计算即可；
根据同底数幂的乘除运算法则即可求出答案．
23.【答案】解：
．
．
【解析】先计算零次幂，负整数指数幂，算术平方根，再合并即可；
先计算多项式除以单项式，积的乘方运算，再合并即可．
本题考查的是实数的混合运算，零次幂，负整数指数幂的含义，多项式除以单项式的运算，积的乘方运算，掌握运算法则是解本题的关键．
24.【答案】解：原式
，
，，
原式．
原式
．
，
，
原式 ．
【解析】先根据整式混合计算，再根据实数运算法则计算出，的值，然后代入化简式计算即可；
先根据分式混合运算法则计算，然后根据得，然后整理体代入化简式，计算即可．
本题考查整式化简求值，分式化简求值，实数混合运算，零指数幂，负整指数幂，积的乘方逆用等知识．熟练掌握掌握相关运算法则是解题的关键．
25.【答案】解：；；；
；
设，，
则，，
，
，
，
又，
．
【解析】【分析】
本题考查了新定义运算，同底数幂的除法、幂的乘方、负整数指数幂、零指数幂，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
根据题目中的规定，进行运算即可得出结果；
可转化为，可转化为，从而可求解；
设，，则，，从而可得，得，即有，从而得证．
【解答】
解：，
；
，
；
，
；
见答案；
见答案．
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