8.2整式乘法 沪科版（2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）

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8.2整式乘法沪科版（ 2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.要使的结果中不含项，则为( )
A. B. C. D.
2.如图，现有正方形卡片类、类和长方形卡片类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，那么需要类卡片的张数是( )
A. B. C. D.
3.若一个只含字母的多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘，称这为第一次操作；若第一次操作后所得多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘称这为第二此操作，以此类推．
将多项式以上述方式进行次操作后所得多项式项数是；
将多项式以上述方式进行次操作后，多项式的所有系数和为；
将多项式以上述方式进行次操作后，当时，所得多项式的值为；
将多项式以上述方式进行次操作后所得多项式为．
四个结论错误的有( )
A. B. C. D.
4.与的乘积中不含的一次项，则的值为( )
A. B. C. D.
5.若，则的值为( )
A. B. C. D.
6.如图，在数学兴趣活动中，小吴将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为，，则的值是( )
A. B. C. D.
7.若的结果中不含的一次项，则的值为( )
A. B. C. D.
8.下列各式中正确的是( )
A. B.
C. D.
9.已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项系数为，则的值为( )
A. B. C. D.
10.下列运算中正确的是( )
A. B. C. D.
11.化简的结果是( )
A. B. C. D.
12.若，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知，，，且的值与无关，则 ．
14.若与的乘积中不含的一次项，则的值为
15.个数，，，排列成，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为若，则 ．
16.若，则___________．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知计算的结果中不含和的项，求，的值．
18.本小题分
试说明代数式的值与，的取值有无关系；
已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值；
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
19.本小题分
若的结果中不含 和项，求的值；
已知单项式，是多项式，小虎计算 时，看成了 ，结果得，求正确的结果．
20.本小题分
现定义运算，对于任意有理数，，都有，如：，．
若，求的取值范围；
有理数，在数轴上的位置如图所示，计算：．
21.本小题分
我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．
例如图可以得到，基于此，请解答下列问题：
根据图，写出一个代数恒等式：______．
利用中得到的结论，解决下面的问题：若，，则______．
小明同学用图中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则______．
两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成图请你根据图中图形的关系，写出一个代数恒等式，并写出推导过程．
22.本小题分
如图：某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将部分进行绿化，中间将修建一座雕像．
则绿化的面积是多少平方米？用，的代数式表示．
若，满足时，求该绿化面积．
23.本小题分
数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合是初中数学非常重要的思想方法之一，数形结合可以使数与形之间相互转化如图，现有、、三种卡片若干．
观察图，请用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式；
现用卡片、张卡片、张卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值；
观察图，分解因式：．
24.本小题分
长方形的长为厘米，宽为厘米，其中，将原长方形的长和宽各增加厘米，得到的新长方形的面积记为；将原长方形的长和宽各减少厘米，得到的新长方形的面积记为若，为正整数，请说明：与的差一定是的倍数．
25.本小题分
根据以下素材，完成三个任务：
以下所有拼接的图形都是拼成既没有缝隙也没有重叠的图形．
素材一 某综合实践小组准备了如图所示的三种卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，且．
素材二 将张型卡片沿对角线剪开，得到两张直角三角形卡片．
素材三 小组操作发现，将张型卡片，张型卡片，张型卡片可以拼成一个长方形所拼成的长方形既没有缝隙也没有重叠得到了一个代数恒等式：．
【问题解决】
【任务】用张型和张型卡片拼成一个长方形，用含，的代数式表示这个长方形的周长．
【任务】现共有张型卡片，张型卡片和张型卡片，请你选取若干张卡片，每种卡片至少取一张，将取出的这些卡片拼成一个正方形请你列举两种拼正方形的方案写出各种型号的卡片数量和相应的正方形的边长；其中一种方案正方形的边长要最大
【任务】将张型卡片剪成张直角三角形卡片，再从，，型卡片中挑选若干张，拼成一个平行四边形长方形除外请画出示意图，并写出与该平行四边形的面积相关的代数恒等式用含，的数学等式表示
要求：张直角三角形卡片全部使用；、、型卡片至少选一种；拼出的平行四边形的面积最小才能得满分．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
由结果中不含项，得到，
解得：，
故选：．
原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果中不含项确定出的值即可．
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了多项式乘法，正确掌握多项式乘多项式运算法则是解题关键．计算出长为，宽为的大长方形的面积，再分别得出、、卡片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张．
【解答】
解：长为，宽为的大长方形的面积为：
卡片的面积为：
卡片的面积为：
卡片的面积为：
因此可知，拼成一个长为，宽为的大长方形，
需要块卡片，块卡片和块卡片．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：第次操作后，得，第次操作后，得，
第次操作后所得多项式项数是，
故错误；
第次操作后，得，第次操作后，得，第次操作后，得，
将多项式以上述方式进行次操作后，多项式的所有系数和为，
故正确；
第次操作后，得，第次操作后，得，第次操作后，得，第次操作后，得，
当时，，
故正确；
第次操作后，得，第次操作后，得，第次操作后，得第次操作后，得
第次操作后，得，
故错误；
综上，错误的有共个，
故选：．
根据题意，计算出进行次操作后所得多项式，即可判定；根据题意，计算出以上述方式进行次操作后所得多项式，即可判定；根据题意，计算出进行次操作后所得多项式，再把代入计算即可判定；根据题意，总结归纳出进行次操作后所得多项式规律，即可判定．
本题考查多项式乘多项式，数式规律探究，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查多项式乘以多项式及待定系数法根据乘积中不含的一次项，可得乘积展开合并后一次项的系数是，进而求出的值．
【解答】
解：
因为乘积中不含的一次项，所以，
解得．
所以、、是错误的，是正确的．
故选A．
5.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了单项式乘多项式，代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【解答】解：原式，
当时，，
原式，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：由于两根铁丝长度相同，乙长方形的长为，
则，，
所以；
故选：．
由两根铁丝长度相同，求出乙长方形的长，再分别计算出，，则可计算．
本题考查了多项式的乘法运算及整式的加减运算；
7.【答案】
【解析】解：原式，
因为的结果中不含的一次项，
所以，
所以，
故选：．
根据多项式乘多项式的运算法则进行化简，然后令含的一次项系数为零即可求出答案．
本题考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘多项式运算法则，本题属于基础题型．
8.【答案】
【解析】解：、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意．
故选：．
根据合并同类项的法则，幂的乘方计算，单项式乘以多项式进行计算即可．
本题主要考查了同底数幂乘法计算，合并同类项，幂的乘方计算，单项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，
关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项系数为，
，
解得，
，
故选：．
先根据多项式乘以多项式的计算法则求出，再根据乘积展开式中不含的二次项，且一次项系数为得到关于、的方程组，解方程组即可得到答案．
本题主要考查了解二元一次方程组，多项式乘以多项式，正确得到关于、的方程组是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：、，故此选项错误；
B、，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了单项式乘多项式的知识点，利用单项式乘多项式运算法则进行计算，即可解答．
【解答】
解：原式，
故选D．
12.【答案】
【解析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并后即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
故选：．
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查多项式乘多项式．先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把看作常数合并关于的同类项，令的系数为，得出关于的方程，求出的值．
【解答】
解：
，
又乘积中不含的一次项，
，
解得．
故答案为．
15.【答案】
【解析】略
16.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件即可求出与的值．
【解答】
解：
又，
，
，，
．
故答案为．
17.【答案】
【解析】略
18.【答案】解：
．
故代数式的值与的取值有关系，与的取值无关系；
两多项式乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，
且
解之：，
；
设另一个因式为．
根据题意得，，
，
，
，，
，，
另一个因式：，是．

【解析】本题主要考查整式的混合运算，可根据多项式乘多项式、单项式乘多项式法则计算即可求解；
本题主要考查多项式，利用多项式与多项式相乘的法则计算，再根据展开式中不含的一次项，且常数项为，可得方程组，解方程组求得，，再代入计算求解即可；
本题考查了因式分解的意义，掌握多项式乘多项式的法则，在第三问中正确设出另一个因式为是解题关键．根据二次三项式中二次项的系数和常数项可知另一个因式中一定含有项和常数项，因此设另一个因式为列出等式求出、．
19.【答案】解：原式
不含有和项，
且，
可得，，
则，
故的值为；
，，
，
，
故正确的结果．
【解析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
利用多项式乘以多项式的法则，先把原式展开，从中找出 和项合并同类项后再让它的系数为，从而得到，的方程组，解方程求解即可，最后代入代数式可得结果；
先根据乘除法的互逆，利用单项式乘以多项式的法则求出，然后再计算．
20.【答案】解：，
．
，
．
，
，
．
由数轴可得，，，
，
，
，
．
【解析】因为，所以，又因为，，根据题意解不等式即可；
由数轴可得，，，则，，整理后代入所求式子即可．
本题考查一元一次不等式的解法，新定义，有理数的混合运算，能够理解所给定义，并将定义与所学知识相结合是解题的关键．
21.【答案】解：；
；
；
．
推导过程为：
梯形面积，梯形面积，
，
．
【解析】【分析】
本题考查代数式求值，多项式乘以多项式法则的几何意义．利用数形结合思想求解是解题的关键．
根据大正方形面积三个小正方形面积加个长方形面积列式 即可；
由，利用即可得，再把代入计算即可；
根据图形列出等式：，即可求出、、的值，从而求得值；
根据梯形面积，梯形面积，得出，即可得出结论 ．
【解答】
解：大正方形面积，大正方形面积，
，
故答案为；
，
，
由知：，
，
，
，
故答案为；
根据题意得：
，
，，，
，
故答案为；
见答案．
22.【答案】解：绿化的面积是：
；
答：绿化的面积是平方米．
，
，
，，
．
答：该绿化面平方米．
【解析】绿化的面积大长方形面积小正方形面积；
根据求出、的值，代入计算．
本题考查多项式与多项式相乘，掌握多项式与多项式相乘法则，理解题意列出算式是解题关键．
23.【答案】解：由题知，
图的面积可表示为：；
图的面积还可表示为：，
所以代数恒等式为：．
因为，
又因为卡片的面积为，卡片的面积为，卡片的面积为，
所以，，，
所以．
由图可知，
图由张卡片，张卡片，张卡片组成．
又因为图是一个长为，宽为的长方形，
所以图的面积可表示为，
所以．
【解析】根据题意，用两种不同的方法表示出图的面积即可解决问题．
用，表示出长方形的面积，再结合，，三种卡片的面积即可解决问题．
根据所给图形，得出大长方形的长和宽即可解决问题．
本题主要考查了因式分解的应用、多项式乘多项式及完全平方公式的几何背景，熟知多项式乘多项式法则及能用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解题的关键．
24.【答案】解：由条件可知，，
则
，
所以与的差一定是的倍数．
【解析】先根据整式的乘法分别求出与，再求出它们的差即可得．
本题考查了整式乘法的应用，整式的加减以及因式分解的应用．熟练掌握以上知识点是关键．
25.【答案】解：任务：如图所示：周长为：；
任务：，，，，，，
对应的图形如下：
任务：如下图所示：．

【解析】任务：根据矩形的周长公式求解；
任务：根据完全平方公式求解；
任务：根据平行四边形的性质求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握完全平方公式和因式分解是解题的关键．
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