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第二轮 中考中档题满分特训
满分特训四 三角形、四边形中的计算与证明
类型一 三角形中的计算与证明
1．(2024·南充)如图，在△ABC中，D为边BC的中点，过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E.
(1)求证：△BDE≌△CDA；
(2)若AD⊥BC，求证：BA＝BE.
证明：(1)∵D为BC的中点，
∴BD＝CD.
∵BE∥AC，
∴∠EBD＝∠C，∠E＝∠CAD，
∴△BDE≌△CDA.
(2)∵D为BC的中点，AD⊥BC，
∴直线AD为线段BC的垂直平分线，
∴BA＝CA.
由(1)可知△BDE≌△CDA，
∴BE＝CA，
∴BA＝BE.
2．(2023·潍坊)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于点E，过点E作EF∥BC，交AC于点F，G为BC的中点，连接FG.求证：FG＝AB.
证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD.
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠FEC，∴EF＝CF.
∵AE⊥CD，∴∠AEC＝90°，
∴∠EAC＋∠ACD＝90°，∠AEF＋∠FEC＝90°，
∴∠EAC＝∠AEF，
∴AF＝EF，∴AF＝CF，∴F为AC的中点．
∵G为BC的中点，
∴FG＝AB.
3．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD，CE.
(1)求证：△CAE∽△BAD；
(2)若AC∶BC＝1∶2，求的值．
(1)证明：∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽ΔADE，
∴＝，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，＝，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD.
(2)解：∵AC∶BC＝1∶2，
∴BC＝2AC.
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝AC.
由(1)知△CAE∽△BAD，
∴＝＝＝.
4．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE.已知∠A＝50°，∠ACE＝30°.
(1)求证：CE＝CM；
(2)若AB＝4，求线段FC的长．
(1)证明：∵∠ACB＝90°，M为边AB的中点，
∴MC＝MA＝MB，
∴∠MCA＝∠A＝50°，
∠MCB＝∠B＝90°－∠A＝40°，
∴∠EMC＝∠MCB＋∠B＝80°.
∵∠ACE＝30°，
∴∠MEC＝∠A＋∠ACE＝80°，
∴∠MEC＝∠EMC，∴CE＝CM.
(2)解：∵AB＝4，M为边AB的中点，
∴CM＝AB＝2.
由(1)知CE＝CM，∴CE＝2.
∵EF⊥AC，∠ACE＝30°，
∴FC＝CE·cos ∠ACE＝.
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2＝CE·CB.
(1)求证：AE⊥CD；
(2)连接BF，若E是BC的中点，求证：∠EBF＝∠EAB.
证明：(1)∵AC2＝CE·CB，
∴＝.
∵∠ACB＝∠ECA＝90°，
∴△ACB∽△ECA，
∴∠ABC＝∠EAC.
∵D是AB的中点，
∴CD＝AD，∴∠ACD＝∠CAD.
∵∠CAD＋∠ABC＝90°，
∴∠ACD＋∠EAC＝90°，
∴∠AFC＝90°，∴AE⊥CD.
(2)∵AE⊥CD，∴∠EFC＝90°，
∴∠ACE＝∠EFC.
又∵∠AEC＝∠CEF，
∴△ECF∽△EAC，∴＝.
∵E是BC的中点，
∴EC＝BE，∴＝.
∵∠BEF＝∠AEB，∴△BEF∽△AEB，
∴∠EBF＝∠EAB.
类型二 四边形中的计算与证明
6．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F.
(1)求证：△BOF≌△DOE；
(2)连接BE，DF，求证：四边形EBFD是菱形．
证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO.
∵O是BD的中点，∴DO＝BO.
又∵∠EOD＝∠FOB，
∴△BOF≌△DOE.
(2)由(1)知△BOF≌△DOE，∴BF＝DE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，即DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
∵EF⊥BD，∴四边形EBFD是菱形．
7．(2023·浙江)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF.
(1)求证：AE＝AF；
(2)若∠B＝60°，求∠AEF的度数．
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D.
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴△ABE≌△ADF，∴AE＝AF.
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＋∠BAD＝180°.
∵∠B＝60°，∴∠BAD＝120°.
由(1)知∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°－∠B＝30°.
由(1)知△ABE≌△ADF，
∴∠DAF＝∠BAE＝30°，
∴∠EAF＝∠BAD－∠BAE－∠DAF＝60°.
由(1)知AE＝AF，
∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°.
8．(2024·兰州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC.
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)若BC＝4，CE＝3，求EF的长．
(1)证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°.
∵CE∥AD，
∴∠ECD＝∠ADB＝90°.
∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°，
∴四边形ADCE是矩形．
(2)解：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴BD＝CD＝BC＝2.
由(1)可知四边形ADCE是矩形，
∴AE＝CD＝2，∠AEC＝90°，
∴AC＝＝.
∵EF⊥AC，∴S△AEC＝AC·EF＝AE·CE，
∴EF＝＝＝.
9．(2024·宁夏)如图，在 ABCD中，点M，N在边AD上，AM＝DN，连接CM并延长，交BA的延长线于点E，连接BN并延长，交CD的延长线于点F.求证：AE＝DF.
小丽的思考过程如下：
参考小丽的思考过程，完成推理．
解：∵AM＝DN，
∴AM＋MN＝DN＋MN，
∴AN＝DM，∴＝.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴AE∥DC，DF∥AB，
∴△AME∽△DMC，△DNF∽△ANB，
∴＝，＝，
∴＝，∴＝＝1，
∴AE＝DF.
10．如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上(不与点A，D重合)，射线BE与射线CD交于点F.
(1)若ED＝，求DF的长；
(2)求证：AE·CF＝1；
(3)以点B为圆心，BC长为半径画弧，交BE于点G.若EG＝ED，求ED的长．
(1)解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB＝AD＝BC＝CD＝1，∴△DEF∽△CBF，
∴＝，
∴＝，∴DF＝.
(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠F，
∴△ABE∽△CFB，∴＝，
∴AE·CF＝AB·CB＝1.
(3)解：设EG＝ED＝x，
则AE＝AD－ED＝1－x，BE＝BG＋EG＝BC＋EG＝1＋x.
在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
∴1＋(1－x)2＝(1＋x)2，解得x＝，
∴ED＝.
11．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC 的平分线交AD于点E，F是BE的中点，连接AF并延长，交BC于点G，连接EG，CF.
(1)求证：四边形AEGB是菱形；
(2)若tan ∠ABC＝，CD＝8，AD＝10，求CF 的长．
(1)证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∴∠CBE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB＝∠CBE，∴AB＝AE.
∵F是BE的中点，∴EF＝BF.
∵∠AFE＝∠GFB，∴△AFE≌△GFB，
∴AE＝BG，
∴四边形AEGB是平行四边形．
∵AB＝AE，∴四边形AEGB是菱形．
(2)解：∵tan ∠ABC＝，∴∠ABC＝60°，
∴∠GBE＝∠ABC＝30°.
过点F作FM⊥BC于点M.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝8，BC＝AD＝10.
由(1)知四边形AEGB是菱形，
∴BG＝AB＝8，AG⊥BE，
∴FG＝BG＝4，∴BF＝FG＝4，
∴FM＝BF＝2，
∴BM＝FM＝6，
∴CM＝BC－BM＝10－6＝4.
在Rt△FMC中，根据勾股定理，得
CF＝＝＝2.
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中考数学
二轮复习课件
通用版
2025年中考数学 二轮复习（中档题满分特训）
第二轮 中考中档题满分特训
满分特训四
三角形、四边形
中的计算与证明
证明：(1)∵D为BC的中点，
∴BD＝CD.
∵BE∥AC，
∴∠EBD＝∠C，∠E＝∠CAD，
∴△BDE≌△CDA.
证明：(2)∵D为BC的中点，AD⊥BC，
∴直线AD为线段BC的垂直平分线，
∴BA＝CA.
由(1)可知△BDE≌△CDA，
∴BE＝CA，
∴BA＝BE.
证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO.
∵O是BD的中点，∴DO＝BO.
又∵∠EOD＝∠FOB，
∴△BOF≌△DOE.
证明：(2)由(1)知△BOF≌△DOE，
∴BF＝DE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，即DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
∵EF⊥BD，
∴四边形EBFD是菱形．
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D.
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴△ABE≌△ADF，∴AE＝AF.
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＋∠BAD＝180°.
∵∠B＝60°，∴∠BAD＝120°.
由(1)知∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°－∠B＝30°.
由(1)知△ABE≌△ADF，
∴∠DAF＝∠BAE＝30°，
∴∠EAF＝∠BAD－∠BAE－∠DAF＝60°.
由(1)知AE＝AF，
∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°.
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满分特训四 三角形、四边形中的计算与证明
类型一 三角形中的计算与证明
1．(2024·南充)如图，在△ABC中，D为边BC的中点，过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E.
(1)求证：△BDE≌△CDA；
(2)若AD⊥BC，求证：BA＝BE.
证明：(1)∵D为BC的中点，
∴BD＝CD.
∵BE∥AC，
∴∠EBD＝∠C，∠E＝∠CAD，
∴△BDE≌△CDA.
(2)∵D为BC的中点，AD⊥BC，
∴直线AD为线段BC的垂直平分线，
∴BA＝CA.
由(1)可知△BDE≌△CDA，
∴BE＝CA，
∴BA＝BE.
2．(2023·潍坊)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于点E，过点E作EF∥BC，交AC于点F，G为BC的中点，连接FG.求证：FG＝AB.
证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD.
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠FEC，∴EF＝CF.
∵AE⊥CD，∴∠AEC＝90°，
∴∠EAC＋∠ACD＝90°，∠AEF＋∠FEC＝90°，
∴∠EAC＝∠AEF，
∴AF＝EF，∴AF＝CF，∴F为AC的中点．
∵G为BC的中点，
∴FG＝AB.
3．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD，CE.
(1)求证：△CAE∽△BAD；
(2)若AC∶BC＝1∶2，求的值．
(1)证明：∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽ΔADE，
∴＝，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，＝，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD.
(2)解：∵AC∶BC＝1∶2，
∴BC＝2AC.
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝AC.
由(1)知△CAE∽△BAD，
∴＝＝＝.
4．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE.已知∠A＝50°，∠ACE＝30°.
(1)求证：CE＝CM；
(2)若AB＝4，求线段FC的长．
(1)证明：∵∠ACB＝90°，M为边AB的中点，
∴MC＝MA＝MB，
∴∠MCA＝∠A＝50°，
∠MCB＝∠B＝90°－∠A＝40°，
∴∠EMC＝∠MCB＋∠B＝80°.
∵∠ACE＝30°，
∴∠MEC＝∠A＋∠ACE＝80°，
∴∠MEC＝∠EMC，∴CE＝CM.
(2)解：∵AB＝4，M为边AB的中点，
∴CM＝AB＝2.
由(1)知CE＝CM，∴CE＝2.
∵EF⊥AC，∠ACE＝30°，
∴FC＝CE·cos ∠ACE＝.
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2＝CE·CB.
(1)求证：AE⊥CD；
(2)连接BF，若E是BC的中点，求证：∠EBF＝∠EAB.
证明：(1)∵AC2＝CE·CB，
∴＝.
∵∠ACB＝∠ECA＝90°，
∴△ACB∽△ECA，
∴∠ABC＝∠EAC.
∵D是AB的中点，
∴CD＝AD，∴∠ACD＝∠CAD.
∵∠CAD＋∠ABC＝90°，
∴∠ACD＋∠EAC＝90°，
∴∠AFC＝90°，∴AE⊥CD.
(2)∵AE⊥CD，∴∠EFC＝90°，
∴∠ACE＝∠EFC.
又∵∠AEC＝∠CEF，
∴△ECF∽△EAC，∴＝.
∵E是BC的中点，
∴EC＝BE，∴＝.
∵∠BEF＝∠AEB，∴△BEF∽△AEB，
∴∠EBF＝∠EAB.
类型二 四边形中的计算与证明
6．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F.
(1)求证：△BOF≌△DOE；
(2)连接BE，DF，求证：四边形EBFD是菱形．
证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO.
∵O是BD的中点，∴DO＝BO.
又∵∠EOD＝∠FOB，
∴△BOF≌△DOE.
(2)由(1)知△BOF≌△DOE，∴BF＝DE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，即DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
∵EF⊥BD，∴四边形EBFD是菱形．
7．(2023·浙江)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF.
(1)求证：AE＝AF；
(2)若∠B＝60°，求∠AEF的度数．
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D.
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴△ABE≌△ADF，∴AE＝AF.
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＋∠BAD＝180°.
∵∠B＝60°，∴∠BAD＝120°.
由(1)知∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°－∠B＝30°.
由(1)知△ABE≌△ADF，
∴∠DAF＝∠BAE＝30°，
∴∠EAF＝∠BAD－∠BAE－∠DAF＝60°.
由(1)知AE＝AF，
∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°.
8．(2024·兰州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC.
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)若BC＝4，CE＝3，求EF的长．
(1)证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°.
∵CE∥AD，
∴∠ECD＝∠ADB＝90°.
∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°，
∴四边形ADCE是矩形．
(2)解：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴BD＝CD＝BC＝2.
由(1)可知四边形ADCE是矩形，
∴AE＝CD＝2，∠AEC＝90°，
∴AC＝＝.
∵EF⊥AC，∴S△AEC＝AC·EF＝AE·CE，
∴EF＝＝＝.
9．(2024·宁夏)如图，在 ABCD中，点M，N在边AD上，AM＝DN，连接CM并延长，交BA的延长线于点E，连接BN并延长，交CD的延长线于点F.求证：AE＝DF.
小丽的思考过程如下：
参考小丽的思考过程，完成推理．
解：∵AM＝DN，
∴AM＋MN＝DN＋MN，
∴AN＝DM，∴＝.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴AE∥DC，DF∥AB，
∴△AME∽△DMC，△DNF∽△ANB，
∴＝，＝，
∴＝，∴＝＝1，
∴AE＝DF.
10．如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上(不与点A，D重合)，射线BE与射线CD交于点F.
(1)若ED＝，求DF的长；
(2)求证：AE·CF＝1；
(3)以点B为圆心，BC长为半径画弧，交BE于点G.若EG＝ED，求ED的长．
(1)解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB＝AD＝BC＝CD＝1，∴△DEF∽△CBF，
∴＝，
∴＝，∴DF＝.
(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠F，
∴△ABE∽△CFB，∴＝，
∴AE·CF＝AB·CB＝1.
(3)解：设EG＝ED＝x，
则AE＝AD－ED＝1－x，BE＝BG＋EG＝BC＋EG＝1＋x.
在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
∴1＋(1－x)2＝(1＋x)2，解得x＝，
∴ED＝.
11．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC 的平分线交AD于点E，F是BE的中点，连接AF并延长，交BC于点G，连接EG，CF.
(1)求证：四边形AEGB是菱形；
(2)若tan ∠ABC＝，CD＝8，AD＝10，求CF 的长．
(1)证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∴∠CBE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB＝∠CBE，∴AB＝AE.
∵F是BE的中点，∴EF＝BF.
∵∠AFE＝∠GFB，∴△AFE≌△GFB，
∴AE＝BG，
∴四边形AEGB是平行四边形．
∵AB＝AE，∴四边形AEGB是菱形．
(2)解：∵tan ∠ABC＝，∴∠ABC＝60°，
∴∠GBE＝∠ABC＝30°.
过点F作FM⊥BC于点M.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝8，BC＝AD＝10.
由(1)知四边形AEGB是菱形，
∴BG＝AB＝8，AG⊥BE，
∴FG＝BG＝4，∴BF＝FG＝4，
∴FM＝BF＝2，
∴BM＝FM＝6，
∴CM＝BC－BM＝10－6＝4.
在Rt△FMC中，根据勾股定理，得
CF＝＝＝2.
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