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第二轮 中考中档题满分特训
满分特训三 解直角三角形的应用
类型一 俯角、仰角问题
1．(2024·青海)如图，某种摄像头识别到最远点A的俯角α＝17°，识别到最近点B的俯角β＝45°，该摄像头安装在距地面5 m的点C处，求最远点与最近点之间的距离AB.(结果取整数，参考数据：sin 17°≈0.29，cos 17°≈0.96，tan 17°≈0.31)
解：由题意，得CE∥AD，CD＝5 m，
∴∠A＝∠α＝17°，∠CBD＝∠β＝45°.
在Rt△ACD中，∵CD＝5 m，tan A＝，
∴AD＝≈16.1 m.
在Rt△BCD中，∵∠CBD＝45°，
∴∠BCD＝90°－45°＝45°，
∴∠BCD＝∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝5 m，
∴AB＝AD－BD＝16.1－5≈11(m).
答：最远点与最近点之间的距离AB约是11 m．
2．(2024·内蒙古)综合与实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40 m的D处，测得操控者A的俯角为30°，测得楼BC楼顶C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者A和大楼BC之间的水平距离是80 m，求楼BC的高度．(参考数据：≈1.7)
解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，则四边形BCFE是矩形．
由题意，得AB＝80 m，DE＝40 m，∠ADE＝90°－30°＝60°，∠CDF＝90°－45°＝45°.
在Rt△ADE中，∵tan ∠ADE＝＝，
∴AE＝DE＝40 m，
∴BE＝AB－AE＝(80－40)m.
∵四边形BCFE是矩形，
∴CF＝BE＝(80－40)m.
在Rt△CDF中，∵∠CDF＝45°，
∴DF＝CF＝(80－40)m，
∴BC＝EF＝DE－DF＝40－80＋40≈28(m).
答：楼BC的高约为28 m．
3．(2024·天津)综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度(如图1).某学习小组设计了一个方案：如图2，点C，D，E在同一条水平直线上，DE＝36 m，EC⊥AB于点C.在D处测得桥塔顶部B的仰角(∠CDB)为45°，测得桥塔底部A的俯角(∠CDA)为6°，在E处测得桥塔顶部B的仰角(∠E)为31°.(结果取整数，参考数据：tan 31°≈0.6，tan 6°≈0.1)
(1)求线段CD的长；
(2)求桥塔AB的高度．
解：(1)设CD＝x m．∵DE＝36 m，
∴CE＝CD＋DE＝(x＋36)m.
∵EC⊥AB，∴∠BCE＝∠ACD＝90°.
∵∠CDB＝45°，∴∠CBD＝90°－∠CDB＝45°，
∴BC＝CD＝x m.
∵tan E＝，∠E＝31°，
∴BC＝CE·tan E≈(0.6x＋21.6)m，
∴x＝0.6x＋21.6，
解得x＝54.
答：线段CD的长约为54 m.
(2)∵tan ∠CDA＝，∠CDA＝6°，
∴AC＝CD·tan ∠CDA≈54×0.1＝5.4(m)，
∴AB＝AC＋BC＝5.4＋54≈59(m).
答：桥塔AB的高度约为59 m．
类型二 方向角问题
4．(2024·大庆)如图，CD是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由北向南行驶，在A处测得桥头C在南偏东30°方向上，继续行驶1 500 m后到达B处，测得桥头C在南偏东60°方向上，桥头D在南偏东45°方向上，求大桥CD的长度．(结果精确到1 m，参考数据：≈1.73)
解：分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别为M，N.
在Rt△CBM中，∠CBM＝60°，
∴tan ∠CBM＝＝，
∴CM＝BM.
在Rt△ACM中，∠A＝30°，
∴tan A＝＝，
∴＝，解得BM＝750，
∴CM＝750 m，
∴DN＝CM＝750 m.
在Rt△BDN中，∠DBN＝45°，
∴BN＝DN＝750 m，
∴MN＝BN－BM＝(750－750)m，
∴CD＝MN＝750－750≈548(m).
答：大桥CD的长度约为548 m．
5．(2024·泸州)如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上．已知A，C相距30 n mile，求C，D间的距离．(结果保留根号)
解：过点C作CH⊥AB于点H，过点D作DG⊥AB于点G.
由题意，
得∠CAB＝45°，AC＝30 n mile，
∴AH＝CH＝15 n mile.
∵∠CBH＝60°，
∴BC＝＝＝10(n mile).
∵∠DBG＝90°－60°＝30°，∴∠BDG＝60°，
∴∠CDB＝180°－60°－60°＝60°，
∴CD＝＝＝20(n mile).
答：C，D间的距离为20 n mile.
类型三 坡度问题
6．如图是某热水器的侧面示意图，已知屋面AE的倾斜角∠EAD＝22°，长为3 m的真空管AB的坡度为1∶.安装热水器的铁架竖直管CE＝0.5 m.
(1)求真空管上端B到水平线AD的距离；
(2)求安装热水器的铁架水平横管BC的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 22°≈，cos 22°≈，tan 22°≈0.4)
解：(1)过点B作BF⊥AD于点F.∵在Rt△ABF中，BF∶AF＝1∶＝3∶4，
∴设BF＝3x m，则AF＝4x m.
∵BF2＋AF2＝AB2，
∴(3x)2＋(4x)2＝32，解得x＝0.6，
∴BF＝3×0.6＝1.8(m).
答：真空管上端B到AD的距离为1.8 m.
(2)易得四边形BFDC是矩形，
∴CD＝BF＝1.8 m，BC＝FD.
∵EC＝0.5 m，∴DE＝CD－CE＝1.3 m.
由(1)得AF＝2.4 m.
在Rt△EAD中，tan ∠EAD＝，
则AD＝≈＝3.25(m)，
∴BC＝DF＝AD－AF＝3.25－2.4≈0.9(m).
答：安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9 m．
7．(2024·巴中)某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图，斜坡BE的坡度i＝1∶，BE＝6 m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°.
(1)求点B离水平地面的高度AB；
(2)求电线塔CD的高度．(结果保留根号)
解：(1)由题意，得BA⊥AE.
∵斜坡BE的坡度i＝1∶，
∴＝＝.
在Rt△ABE中，∵tan ∠BEA＝＝，
∴∠BEA＝30°，∴AB＝BE＝3 m.
答：点B离水平地面的高度AB为3 m.
(2)过点B作BF⊥CD于点F，
∴四边形ABFC为矩形，
∴CF＝AB＝3 m，BF＝AC.
设EC＝x m．由(1)得AE＝AB＝3 m，
∴BF＝AC＝AE＋EC＝(x＋3)m.
在Rt△CDE中，∠DEC＝60°，
∴CD＝EC·tan ∠DEC＝x m.
在Rt△BDF中，∠DBF＝45°，
∴DF＝BF·tan ∠DBF＝(x＋3)m.
∵DF＋CF＝CD，
∴x＋3＋3＝x，解得x＝6＋3，
∴CD＝x＝6＋9(m).
答：电线塔CD的高度为(6＋9)m.
类型四 生活中的问题
8．(2024·遂宁)小明的书桌上有一个L型台灯，灯柱AB高40 cm，他发现当灯带BC与水平线BM夹角为9°时(图1)，灯带的直射宽DE(BD⊥BC，CE⊥BC)为35 cm，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为30°时(图2)，直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C到桌面的距离．(结果保留1位小数，参考数据：sin 9°≈0.16，cos 9°≈0.99，tan 9°≈0.16)
解：在图2中，过点C作CK⊥AE′于点K，交BM于点J.
在图1中，∵DB⊥BC，CE⊥BC，∴BD∥CE.
∵BM∥DE，∴四边形BDEM是平行四边形，
∴BM＝DE＝35 cm，
∴BC＝BM·cos ∠CBM≈35×0.99＝34.65(cm).
在图2中，∵BM∥AE′，CK⊥AE′，
∴CJ⊥BM，∴CJ＝BC·sin ∠CBM≈17.33 cm.
∵AB⊥AE′，∴JK＝AB＝40 cm，
∴CK＝CJ＋JK＝17.33＋40≈57.3(cm).
答：台灯最高点C到桌面的距离约为57.3 cm.
9．(2024·安徽)科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B处发出，经水面点E折射到池底点A处．已知BE与水平线的夹角α＝36.9°，点B到水面的距离BC＝1.20 m，点A处水深为1.20 m，到池壁的水平距离AD＝2.50 m．点B，C，D在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为β，折射角为γ，求的值．(结果精确到0.1，参考数据：sin 36.9°≈0.60，cos 36.9°≈0.80，tan 36.9°≈0.75)
解：过点E作EH⊥AD于点H.
由题意可知∠CEB＝α＝36.9°，EH＝1.20 m，
∴CE＝≈＝1.60(m)，∴DH＝CE＝1.60 m，
∴AH＝AD－DH＝2.50－1.60＝0.90(m)，
∴AE＝＝＝1.50(m)，
∴sin γ＝＝＝0.60.
∵sin β＝sin ∠CBE＝＝cos ∠CEB＝cos α≈0.80，
∴＝≈1.3.
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池底/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第二轮 中考中档题满分特训
满分特训三 解直角三角形的应用
类型一 俯角、仰角问题
1．(2024·青海)如图，某种摄像头识别到最远点A的俯角α＝17°，识别到最近点B的俯角β＝45°，该摄像头安装在距地面5 m的点C处，求最远点与最近点之间的距离AB.(结果取整数，参考数据：sin 17°≈0.29，cos 17°≈0.96，tan 17°≈0.31)
解：由题意，得CE∥AD，CD＝5 m，
∴∠A＝∠α＝17°，∠CBD＝∠β＝45°.
在Rt△ACD中，∵CD＝5 m，tan A＝，
∴AD＝≈16.1 m.
在Rt△BCD中，∵∠CBD＝45°，
∴∠BCD＝90°－45°＝45°，
∴∠BCD＝∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝5 m，
∴AB＝AD－BD＝16.1－5≈11(m).
答：最远点与最近点之间的距离AB约是11 m．
2．(2024·内蒙古)综合与实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40 m的D处，测得操控者A的俯角为30°，测得楼BC楼顶C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者A和大楼BC之间的水平距离是80 m，求楼BC的高度．(参考数据：≈1.7)
解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，则四边形BCFE是矩形．
由题意，得AB＝80 m，DE＝40 m，∠ADE＝90°－30°＝60°，∠CDF＝90°－45°＝45°.
在Rt△ADE中，∵tan ∠ADE＝＝，
∴AE＝DE＝40 m，
∴BE＝AB－AE＝(80－40)m.
∵四边形BCFE是矩形，
∴CF＝BE＝(80－40)m.
在Rt△CDF中，∵∠CDF＝45°，
∴DF＝CF＝(80－40)m，
∴BC＝EF＝DE－DF＝40－80＋40≈28(m).
答：楼BC的高约为28 m．
3．(2024·天津)综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度(如图1).某学习小组设计了一个方案：如图2，点C，D，E在同一条水平直线上，DE＝36 m，EC⊥AB于点C.在D处测得桥塔顶部B的仰角(∠CDB)为45°，测得桥塔底部A的俯角(∠CDA)为6°，在E处测得桥塔顶部B的仰角(∠E)为31°.(结果取整数，参考数据：tan 31°≈0.6，tan 6°≈0.1)
(1)求线段CD的长；
(2)求桥塔AB的高度．
解：(1)设CD＝x m．∵DE＝36 m，
∴CE＝CD＋DE＝(x＋36)m.
∵EC⊥AB，∴∠BCE＝∠ACD＝90°.
∵∠CDB＝45°，∴∠CBD＝90°－∠CDB＝45°，
∴BC＝CD＝x m.
∵tan E＝，∠E＝31°，
∴BC＝CE·tan E≈(0.6x＋21.6)m，
∴x＝0.6x＋21.6，
解得x＝54.
答：线段CD的长约为54 m.
(2)∵tan ∠CDA＝，∠CDA＝6°，
∴AC＝CD·tan ∠CDA≈54×0.1＝5.4(m)，
∴AB＝AC＋BC＝5.4＋54≈59(m).
答：桥塔AB的高度约为59 m．
类型二 方向角问题
4．(2024·大庆)如图，CD是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由北向南行驶，在A处测得桥头C在南偏东30°方向上，继续行驶1 500 m后到达B处，测得桥头C在南偏东60°方向上，桥头D在南偏东45°方向上，求大桥CD的长度．(结果精确到1 m，参考数据：≈1.73)
解：分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别为M，N.
在Rt△CBM中，∠CBM＝60°，
∴tan ∠CBM＝＝，
∴CM＝BM.
在Rt△ACM中，∠A＝30°，
∴tan A＝＝，
∴＝，解得BM＝750，
∴CM＝750 m，
∴DN＝CM＝750 m.
在Rt△BDN中，∠DBN＝45°，
∴BN＝DN＝750 m，
∴MN＝BN－BM＝(750－750)m，
∴CD＝MN＝750－750≈548(m).
答：大桥CD的长度约为548 m．
5．(2024·泸州)如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上．已知A，C相距30 n mile，求C，D间的距离．(结果保留根号)
解：过点C作CH⊥AB于点H，过点D作DG⊥AB于点G.
由题意，
得∠CAB＝45°，AC＝30 n mile，
∴AH＝CH＝15 n mile.
∵∠CBH＝60°，
∴BC＝＝＝10(n mile).
∵∠DBG＝90°－60°＝30°，∴∠BDG＝60°，
∴∠CDB＝180°－60°－60°＝60°，
∴CD＝＝＝20(n mile).
答：C，D间的距离为20 n mile.
类型三 坡度问题
6．如图是某热水器的侧面示意图，已知屋面AE的倾斜角∠EAD＝22°，长为3 m的真空管AB的坡度为1∶.安装热水器的铁架竖直管CE＝0.5 m.
(1)求真空管上端B到水平线AD的距离；
(2)求安装热水器的铁架水平横管BC的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 22°≈，cos 22°≈，tan 22°≈0.4)
解：(1)过点B作BF⊥AD于点F.∵在Rt△ABF中，BF∶AF＝1∶＝3∶4，
∴设BF＝3x m，则AF＝4x m.
∵BF2＋AF2＝AB2，
∴(3x)2＋(4x)2＝32，解得x＝0.6，
∴BF＝3×0.6＝1.8(m).
答：真空管上端B到AD的距离为1.8 m.
(2)易得四边形BFDC是矩形，
∴CD＝BF＝1.8 m，BC＝FD.
∵EC＝0.5 m，∴DE＝CD－CE＝1.3 m.
由(1)得AF＝2.4 m.
在Rt△EAD中，tan ∠EAD＝，
则AD＝≈＝3.25(m)，
∴BC＝DF＝AD－AF＝3.25－2.4≈0.9(m).
答：安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9 m．
7．(2024·巴中)某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图，斜坡BE的坡度i＝1∶，BE＝6 m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°.
(1)求点B离水平地面的高度AB；
(2)求电线塔CD的高度．(结果保留根号)
解：(1)由题意，得BA⊥AE.
∵斜坡BE的坡度i＝1∶，
∴＝＝.
在Rt△ABE中，∵tan ∠BEA＝＝，
∴∠BEA＝30°，∴AB＝BE＝3 m.
答：点B离水平地面的高度AB为3 m.
(2)过点B作BF⊥CD于点F，
∴四边形ABFC为矩形，
∴CF＝AB＝3 m，BF＝AC.
设EC＝x m．由(1)得AE＝AB＝3 m，
∴BF＝AC＝AE＋EC＝(x＋3)m.
在Rt△CDE中，∠DEC＝60°，
∴CD＝EC·tan ∠DEC＝x m.
在Rt△BDF中，∠DBF＝45°，
∴DF＝BF·tan ∠DBF＝(x＋3)m.
∵DF＋CF＝CD，
∴x＋3＋3＝x，解得x＝6＋3，
∴CD＝x＝6＋9(m).
答：电线塔CD的高度为(6＋9)m.
类型四 生活中的问题
8．(2024·遂宁)小明的书桌上有一个L型台灯，灯柱AB高40 cm，他发现当灯带BC与水平线BM夹角为9°时(图1)，灯带的直射宽DE(BD⊥BC，CE⊥BC)为35 cm，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为30°时(图2)，直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C到桌面的距离．(结果保留1位小数，参考数据：sin 9°≈0.16，cos 9°≈0.99，tan 9°≈0.16)
解：在图2中，过点C作CK⊥AE′于点K，交BM于点J.
在图1中，∵DB⊥BC，CE⊥BC，∴BD∥CE.
∵BM∥DE，∴四边形BDEM是平行四边形，
∴BM＝DE＝35 cm，
∴BC＝BM·cos ∠CBM≈35×0.99＝34.65(cm).
在图2中，∵BM∥AE′，CK⊥AE′，
∴CJ⊥BM，∴CJ＝BC·sin ∠CBM≈17.33 cm.
∵AB⊥AE′，∴JK＝AB＝40 cm，
∴CK＝CJ＋JK＝17.33＋40≈57.3(cm).
答：台灯最高点C到桌面的距离约为57.3 cm.
9．(2024·安徽)科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B处发出，经水面点E折射到池底点A处．已知BE与水平线的夹角α＝36.9°，点B到水面的距离BC＝1.20 m，点A处水深为1.20 m，到池壁的水平距离AD＝2.50 m．点B，C，D在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为β，折射角为γ，求的值．(结果精确到0.1，参考数据：sin 36.9°≈0.60，cos 36.9°≈0.80，tan 36.9°≈0.75)
解：过点E作EH⊥AD于点H.
由题意可知∠CEB＝α＝36.9°，EH＝1.20 m，
∴CE＝≈＝1.60(m)，∴DH＝CE＝1.60 m，
∴AH＝AD－DH＝2.50－1.60＝0.90(m)，
∴AE＝＝＝1.50(m)，
∴sin γ＝＝＝0.60.
∵sin β＝sin ∠CBE＝＝cos ∠CEB＝cos α≈0.80，
∴＝≈1.3.
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