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第二轮 中考中档题满分特训
满分特训八 实际应用与方案设计
类型一 方程(组)与不等式的实际应用
1．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多40元，且用4 800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6 000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同．
(1)求甲、乙两种分类垃圾桶的单价；
(2)该社区计划用不超过3 600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？
解：(1) 设甲种分类垃圾桶的单价是x元，则乙种分类垃圾桶的单价是(x＋40)元．
根据题意，得＝，
解得x＝160.
经检验，x＝160是原方程的解，且符合题意，
∴x＋40＝160＋40＝200.
答：甲种分类垃圾桶的单价是160元，乙种分类垃圾桶的单价是200元．
(2)设购买甲种分类垃圾桶y个，则购买乙种分类垃圾桶(20－y)个．
根据题意，得200(20－y) ＋160y≤3 600，
解得y≥10.
∵y为正整数，
∴y的最小值为10.
答：最少需要购买甲种分类垃圾桶10个．
2．(2023·郴州)随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
解：(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x.
由题意，得1.6(1＋x)2＝2.5，
解得x1＝25%，x2＝－(不合题意，舍去).
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%.
(2)设5月份后10天日均接待游客人数是a万人．
由题意，得2.125＋10a≤2.5(1＋25%)，
解得a≤0.1.
答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．
3．(2024·长沙)刺绣是我国民间传统手工艺，湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A，B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1 200元．
(1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元；
(2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50 000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？
解：(1)设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元．
根据题意，得解得
答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元．
(2)设购买A种湘绣作品m件，则购买B种湘绣作品(200－m)件．
根据题意，得300m＋200(200－m)≤50 000，
解得m≤100，∴m的最大值为100.
答：最多能购买A种湘绣作品100件．
类型二 一次函数的实际应用
4．(2024·广安)某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元，购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元．
(1)求A，B两种花卉的单价；
(2)该物管中心计划采购A，B两种花卉共计10 000株，其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？求出最少总费用．
解：(1)设A种花卉的单价为x元/株，B种花卉的单价为y元/株．
由题意，得解得
答：A种花卉的单价为3元/株，B种花卉的单价为5元/株．
(2)设采购A种花卉m株，则采购B种花卉(10 000－m)株，总费用为W元．
由题意，得W＝3m＋5(10 000－m)＝－2m＋50 000.
∵m≤4(10 000－m)，解得m≤8 000.
∵－2＜0，
∴当 m＝8 000时，W有最小值，最小值为－2×8 000＋50 000＝34 000，
此时10 000－m＝2 000.
答：当购进A种花卉8 000株，B种花卉2 000株时，总费用最少，最少总费用为34 000元．
5．(2024·长春)区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小明驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20 km的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶 h，再立即减速以另一速度匀速行驶(减速时间忽略不计)，当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100 km/h.汽车在区间测速路段行驶的路程y(km)与在此路段行驶的时间x(h)之间的函数图象如图所示．
(1)a的值为____；
(2)当≤x≤a时，求y与x之间的函数关系式；
(3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．(此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120 km/h)
解：(2)设当≤x≤时，y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0).
把点(，17)，(，20)代入y＝kx＋b，
得解得
∴y＝90x＋2(≤x≤).
(3)当x＝时，y＝90×＋2＝9.5，
∴先匀速行驶 h的速度为9.5÷＝114(km/h).
∵114＜120，
∴该辆汽车减速前没有超速．
类型三 二次函数的实际应用
6．(2023·东营)如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
解：(1)设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70－2x＋2＝72－2x(m).
根据题意，得x(72－2x)＝640，
解得 x1＝16，x2＝20.
当x＝16时，72－2x＝72－32＝40；
当x＝20时，72－2x＝72－40＝32.
答：当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成一个面积为640 m2的羊圈．
(2)不能．理由如下：
根据题意，得x(72－2x)＝650，
整理，得 x2－36x＋325＝0，
∴Δ＝(－36)2－4×325＝－4＜0，
∴该方程没有实数根，
∴羊圈的面积不能达到650 m2.
7．(2024·烟台)每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12 160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
解：(1)由题意，得y＝(200－x)(60＋4×)＝－0.4(x－25)2＋12 250.
∵200－x≥180，∴x≤20.
∵－0.4＜0，
∴当x＝20时，y有最大值为－0.4×(20－25)2＋12 250＝12 240.
(2)由题意，得12 160＝－0.4(x－25)2＋12 250，
解得x1＝40(不合题意，舍去)，x2＝10，
∴售出轮椅的辆数为60＋4×＝64(辆).
答：这天售出了64辆轮椅．
8．(2024·河南)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h(m)满足关系式h＝－5t2＋v0t，其中t(s)是物体运动的时间，v0(m/s)是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．
(1)小球被发射后____s时离地面的高度最大；(用含v0的式子表示)
(2)若小球离地面的最大高度为20 m，求小球被发射时的速度；
(3)按(2)中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3 s．”已知实验楼高15 m，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
解：(2)当t＝时，h＝20，
∴－5×()2＋v0×＝20，
解得v0＝20.
答：小球被发射时的速度是20 m/s.
(3)小明的说法不正确．理由如下：
由(2)得h＝－5t2＋20t.
当h＝15时，15＝－5t2＋20t，
解得t1＝1，t2＝3.
∵3－1＝2(s)，
∴小明的说法不正确．
类型四 方案设计
9．“十一”期间，小明一家乘高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)设租车时间为x h，租用甲公司的车每日所需费用为y1元，租用乙公司的车每日所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数解析式；
(2)当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同？
(3)根据(2)的计算结果，请你帮小明选择更划算的出游方案．
解：(1)设y1＝k1x＋80.
把点(1，95)代入，得95＝k1＋80，解得k1＝15，
∴y1＝15x＋80(x≥0).
设y2＝k2x.把点(1，30)代入，得30＝k2，即k2＝30，
∴y2＝30x(x≥0).
(2)当y1＝y2时，15x＋80＝30x，解得x＝.
答：当租车时间为 h时，两种方案所需费用相同．
(3)由(2)知，当y1＝y2时，x＝；
当y1>y2时，15x＋80>30x，解得x<；
当y1，
∴当租车时间为 h时，任意选择其中的一个方案；当租车时间小于 h时，选择方案二划算；当租车时间大于 h时，选择方案一划算．
10．(2024·达州)为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A，B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元，且出售25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共3 500元．
(1)求A，B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元；
(2)已知加工A，B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A，B两种柑橘礼盒共1 000盒，且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54 050元.要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A，B两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
解：(1)设A种柑橘礼盒每件的售价为x元，则B种柑橘礼盒每件的售价为(x＋20)元．
由题意，得25x＋15(x＋20)＝3 500，解得x＝80，
∴x＋20＝100.
答：A种柑橘礼盒每件的售价为80元，B种柑橘礼盒每件的售价为100元．
(2)设销售A种柑橘礼盒为m盒，则销售B种柑橘礼盒为(1 000－m)盒．
由题意，得
解得595≤m≤600.
设收益为w元．
由题意，得w＝(80－50)m＋(100－60)(1 000－m)＝－10m＋40 000.
∵－10＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝595时，w有最大值，最大值为－10×595＋40 000＝34 050，
此时1 000－m＝1 000－595＝405.
答：使农户收益最大，应该安排销售A种柑橘礼盒为595盒，B种柑橘礼盒为405盒，农户在这次农产品展销活动中的最大收益为34 050元．
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2025年中考数学 二轮复习（中档题满分特训）
第二轮 中考中档题满分特训
满分特训八 实际应用与方案设计
解：(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x.
由题意，得1.6(1＋x)2＝2.5，
解得x1＝25%，x2＝－2.25(不合题意，舍去).
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%.
(2)设5月份后10天日均接待游客人数是a万人．
由题意，得2.125＋10a≤2.5(1＋25%)，
解得a≤0.1.
答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．
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第二轮 中考中档题满分特训
满分特训八 实际应用与方案设计
类型一 方程(组)与不等式的实际应用
1．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多40元，且用4 800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6 000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同．
(1)求甲、乙两种分类垃圾桶的单价；
(2)该社区计划用不超过3 600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？
解：(1) 设甲种分类垃圾桶的单价是x元，则乙种分类垃圾桶的单价是(x＋40)元．
根据题意，得＝，
解得x＝160.
经检验，x＝160是原方程的解，且符合题意，
∴x＋40＝160＋40＝200.
答：甲种分类垃圾桶的单价是160元，乙种分类垃圾桶的单价是200元．
(2)设购买甲种分类垃圾桶y个，则购买乙种分类垃圾桶(20－y)个．
根据题意，得200(20－y) ＋160y≤3 600，
解得y≥10.
∵y为正整数，
∴y的最小值为10.
答：最少需要购买甲种分类垃圾桶10个．
2．(2023·郴州)随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
解：(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x.
由题意，得1.6(1＋x)2＝2.5，
解得x1＝25%，x2＝－(不合题意，舍去).
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%.
(2)设5月份后10天日均接待游客人数是a万人．
由题意，得2.125＋10a≤2.5(1＋25%)，
解得a≤0.1.
答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．
3．(2024·长沙)刺绣是我国民间传统手工艺，湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A，B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1 200元．
(1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元；
(2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50 000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？
解：(1)设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元．
根据题意，得解得
答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元．
(2)设购买A种湘绣作品m件，则购买B种湘绣作品(200－m)件．
根据题意，得300m＋200(200－m)≤50 000，
解得m≤100，∴m的最大值为100.
答：最多能购买A种湘绣作品100件．
类型二 一次函数的实际应用
4．(2024·广安)某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元，购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元．
(1)求A，B两种花卉的单价；
(2)该物管中心计划采购A，B两种花卉共计10 000株，其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？求出最少总费用．
解：(1)设A种花卉的单价为x元/株，B种花卉的单价为y元/株．
由题意，得解得
答：A种花卉的单价为3元/株，B种花卉的单价为5元/株．
(2)设采购A种花卉m株，则采购B种花卉(10 000－m)株，总费用为W元．
由题意，得W＝3m＋5(10 000－m)＝－2m＋50 000.
∵m≤4(10 000－m)，解得m≤8 000.
∵－2＜0，
∴当 m＝8 000时，W有最小值，最小值为－2×8 000＋50 000＝34 000，
此时10 000－m＝2 000.
答：当购进A种花卉8 000株，B种花卉2 000株时，总费用最少，最少总费用为34 000元．
5．(2024·长春)区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小明驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20 km的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶 h，再立即减速以另一速度匀速行驶(减速时间忽略不计)，当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100 km/h.汽车在区间测速路段行驶的路程y(km)与在此路段行驶的时间x(h)之间的函数图象如图所示．
(1)a的值为____；
(2)当≤x≤a时，求y与x之间的函数关系式；
(3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．(此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120 km/h)
解：(2)设当≤x≤时，y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0).
把点(，17)，(，20)代入y＝kx＋b，
得解得
∴y＝90x＋2(≤x≤).
(3)当x＝时，y＝90×＋2＝9.5，
∴先匀速行驶 h的速度为9.5÷＝114(km/h).
∵114＜120，
∴该辆汽车减速前没有超速．
类型三 二次函数的实际应用
6．(2023·东营)如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
解：(1)设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70－2x＋2＝72－2x(m).
根据题意，得x(72－2x)＝640，
解得 x1＝16，x2＝20.
当x＝16时，72－2x＝72－32＝40；
当x＝20时，72－2x＝72－40＝32.
答：当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成一个面积为640 m2的羊圈．
(2)不能．理由如下：
根据题意，得x(72－2x)＝650，
整理，得 x2－36x＋325＝0，
∴Δ＝(－36)2－4×325＝－4＜0，
∴该方程没有实数根，
∴羊圈的面积不能达到650 m2.
7．(2024·烟台)每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12 160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
解：(1)由题意，得y＝(200－x)(60＋4×)＝－0.4(x－25)2＋12 250.
∵200－x≥180，∴x≤20.
∵－0.4＜0，
∴当x＝20时，y有最大值为－0.4×(20－25)2＋12 250＝12 240.
(2)由题意，得12 160＝－0.4(x－25)2＋12 250，
解得x1＝40(不合题意，舍去)，x2＝10，
∴售出轮椅的辆数为60＋4×＝64(辆).
答：这天售出了64辆轮椅．
8．(2024·河南)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h(m)满足关系式h＝－5t2＋v0t，其中t(s)是物体运动的时间，v0(m/s)是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．
(1)小球被发射后____s时离地面的高度最大；(用含v0的式子表示)
(2)若小球离地面的最大高度为20 m，求小球被发射时的速度；
(3)按(2)中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3 s．”已知实验楼高15 m，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
解：(2)当t＝时，h＝20，
∴－5×()2＋v0×＝20，
解得v0＝20.
答：小球被发射时的速度是20 m/s.
(3)小明的说法不正确．理由如下：
由(2)得h＝－5t2＋20t.
当h＝15时，15＝－5t2＋20t，
解得t1＝1，t2＝3.
∵3－1＝2(s)，
∴小明的说法不正确．
类型四 方案设计
9．“十一”期间，小明一家乘高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)设租车时间为x h，租用甲公司的车每日所需费用为y1元，租用乙公司的车每日所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数解析式；
(2)当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同？
(3)根据(2)的计算结果，请你帮小明选择更划算的出游方案．
解：(1)设y1＝k1x＋80.
把点(1，95)代入，得95＝k1＋80，解得k1＝15，
∴y1＝15x＋80(x≥0).
设y2＝k2x.把点(1，30)代入，得30＝k2，即k2＝30，
∴y2＝30x(x≥0).
(2)当y1＝y2时，15x＋80＝30x，解得x＝.
答：当租车时间为 h时，两种方案所需费用相同．
(3)由(2)知，当y1＝y2时，x＝；
当y1>y2时，15x＋80>30x，解得x<；
当y1，
∴当租车时间为 h时，任意选择其中的一个方案；当租车时间小于 h时，选择方案二划算；当租车时间大于 h时，选择方案一划算．
10．(2024·达州)为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A，B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元，且出售25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共3 500元．
(1)求A，B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元；
(2)已知加工A，B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A，B两种柑橘礼盒共1 000盒，且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54 050元.要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A，B两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
解：(1)设A种柑橘礼盒每件的售价为x元，则B种柑橘礼盒每件的售价为(x＋20)元．
由题意，得25x＋15(x＋20)＝3 500，解得x＝80，
∴x＋20＝100.
答：A种柑橘礼盒每件的售价为80元，B种柑橘礼盒每件的售价为100元．
(2)设销售A种柑橘礼盒为m盒，则销售B种柑橘礼盒为(1 000－m)盒．
由题意，得
解得595≤m≤600.
设收益为w元．
由题意，得w＝(80－50)m＋(100－60)(1 000－m)＝－10m＋40 000.
∵－10＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝595时，w有最大值，最大值为－10×595＋40 000＝34 050，
此时1 000－m＝1 000－595＝405.
答：使农户收益最大，应该安排销售A种柑橘礼盒为595盒，B种柑橘礼盒为405盒，农户在这次农产品展销活动中的最大收益为34 050元．
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