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第二轮 中考中档题满分特训
满分特训七 反比例函数的综合题
类型一 反比例函数与一次函数的综合
1．(2024·常州)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A(－1，n)，B(2，1).
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)连接OA，OB，求△OAB的面积．
解：(1)∵反比例函数y＝的图象过点A(－1，n)，B(2，1)，
∴m＝－n＝2，
∴m＝2，n＝－2，
∴反比例函数的解析式为y＝，A(－1，－2).
∵一次函数y＝kx＋b的图象过点A(－1，－2)，B(2，1)，
∴解得
∴一次函数的解析式为y＝x－1.
(2)设直线与x轴交于点C.
在函数y＝x－1中，
当y＝0时，x－1＝0，解得x＝1，
∴C(1，0)，即OC＝1，
∴S△OAB＝S△BOC＋S△AOC＝×1×1＋×1×2＝.
2．如图，直线y＝3x－b(b>0)与坐标轴交于A，B两点，与双曲线y＝(x>0)交于点D，过点D作DC⊥x轴于点C.连接OD.已知△AOB≌△ACD.
(1)若b＝3，求k的值；
(2)探究k与b的数量关系．
解：(1)当b＝3时，
直线y＝3x－3与坐标轴交点的坐标为A (1，0)，B(0，－3).
∵△AOB≌△ACD，
∴CD＝OB＝3，AC＝AO＝1，
∴点D的坐标为(2，3).
∵点D在双曲线y＝(x>0)上，
∴k＝2×3＝6.
(2)直线y＝3x－b与坐标轴交点的坐标为A(，0)，B(0，－b).
∵△AOB≌△ACD，
∴CD＝OB＝b，AC＝AO＝，
∴点D的坐标为(b，b).
∵点D在双曲线y＝(x>0)的图象上，
∴k＝b·b＝b2，
即k与b的数量关系为k＝b2.
3．(2024·凉山州)如图，正比例函数y1＝x与反比例函数y2＝(x＞0)的图象交于点A(m，2).
(1)求反比例函数的解析式；
(2)把直线y1＝x向上平移3个单位长度与y2＝(x＞0)的图象交于点B，连接AB，OB，求△AOB的面积．
解：(1)∵点A(m，2)在正比例函数y1＝x的图象上，
∴2＝m，解得m＝4，
∴A(4，2).
∵点A(4，2)在反比例函数y2＝的图象上，
∴k＝4×2＝8，
∴反比例函数的解析式为y2＝.
(2)把直线y1＝x向上平移3个单位长度的解析式为y＝x＋3.
当x＝0时，y＝3，
∴直线与y轴的交点坐标为D(0，3).
连接AD.由平移得BD∥OA，
∴S△AOB＝S△AOD＝×3×4＝6.
4．(2024·泰安)直线y1＝kx＋b(k≠0)与双曲线y2＝－相交于点A(－2，m)，B(n，－1)，与y轴交于点C.
(1)求直线y1的解析式；
(2)若y1＞y2，请直接写出x的取值范围；
(3)过点C作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点D，求△ACD的面积．
解：(1)将点A(－2，m)，B(n，－1)代入y2＝－，得－2m＝－8，－n＝－8，解得m＝4，n＝8，
∴A(－2，4)，B(8，－1).
把点A(－2，4)，B(8，－1)代入 y1＝kx＋b，
得解得
∴一次函数的解析式为y1＝－x＋3.
(2)当y1＞y2时，x＜－2或0＜x＜8.
(3)在y＝－x＋3中，当x＝0时，y＝3，∴C(0，3).
把y＝3代入y2＝－，得x＝－，
∴D(－，3)，∴CD＝，
∴S△ACD＝××(4－3)＝.
类型二 反比例函数与几何图形的综合
5．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为(6，0)，cos ∠AOC＝，反比例函数y＝(k＞0)的图象经过菱形的顶点A，且交BC于点D.
(1)求反比例函数的解析式，并直接写出顶点B的坐标；
(2)D是否为BC的中点？请说明理由．
解：(1)过点A作AE⊥OC于点E.
∵C(6，0)，∴OC＝6.
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝OC＝6.
∵cos ∠AOC＝＝，∴OE＝OA＝4，
∴AE＝＝2，
∴点A的坐标为(4，2).
把点A(4，2)代入y＝，得k＝4×2＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝.
点B的坐标为(10，2).
(2)D是BC的中点．理由如下：
由(1)知点B(10，2)，C(6，0)，
∴BC的中点的坐标为(8，).
当x＝8时，y＝＝，
∴BC的中点在反比例函数的图象上，
即D是BC的中点．
6．如图，已知矩形AOBC，AO＝2，BO＝3，反比例函数y＝的图象经过点C.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)将矩形AOBC分别沿直线AC，BC翻折，所得到的矩形分别与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点E，F，求五边形ODEFG的面积．
解：(1)∵四边形AOBC是矩形，
∴BC＝AO＝2，AC＝BO＝3，∴C(3，2).
把点C(3，2)代入y＝，得k＝2×3＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝.
(2)根据题意，得OD＝2AO＝4，OG＝2BO＝6.
当y＝4时，x＝＝；当x＝6时，y＝＝1，
∴E(，4)，F(6，1)，∴DE＝，FG＝1，
延长DE，GF交于点M，则四边形OGMD是矩形，
∴EM＝6－＝，FM＝4－1＝3，∠M＝90°，
∴S五边形ODEFG＝S矩形OGMD－S△EFM＝6×4－×3×＝.
7．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(－2，3)，双曲线y＝(k<0)经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE.
(1)求k的值及点E的坐标；
(2)若F是边OC上一点，且∠BDE＝∠CFB，求直线FB的解析式．
解：(1)∵点B的坐标为(－2，3)，
∴点D的坐标为(－1，3).
∵y＝(k<0)经过点D，
∴3＝，解得k＝－3.
∵点E在AB上，
∴点E的横坐标是－2.
∵y＝－经过点E，
∴点E的纵坐标为，
∴点E的坐标为(－2，).
(2)由(1)得BD＝1，BE＝，BC＝2.
∵四边形OABC是矩形，
∴∠DBE＝∠FCB＝90°，
∵∠BDE＝∠CFB，
∴△DEB∽△FBC，
∴＝，即＝，∴CF＝，
∴OF＝，即点F的坐标为(0，).
设直线FB的解析式为y＝k1x＋b，
则解得
∴直线FB的解析式为y＝－x＋.
8．(2023·雅安)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，点A，C在坐标轴上，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点B.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2，S△OBD＝3，求直线BD的解析式．
解：(1)∵四边形OABC是边长为2的正方形，
∴点B(2，2).
∵点B(2，2)在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝.
(2)过点D作DE⊥x轴于点E.
∵四边形OABC是边长为2的正方形，
∴OA＝AB＝2，∠OAB＝90°，
∴BA⊥x轴，
∴S△DOE＝S△AOB＝OA·AB＝×2×2＝2.
设点D(m，)，则OE＝m，DE＝.
∵S△OBD＝3，
∴S△OBD＝S△AOB＋S梯形ABDE－S△DOE＝S梯形ABDE＝(AB＋DE)·(xD－xB)＝3，
∴×(2＋)×(m－2)＝3，
解得m＝4或m＝－1(舍去)，
∴点D(4，1).
设直线BD的解析式为y＝ax＋b.
把点B，D的坐标代入，得
解得
∴直线BD的解析式为y＝－x＋3.
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第二轮 中考中档题满分特训
满分特训七 反比例函数的综合题
类型一 反比例函数与一次函数的综合
1．(2024·常州)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A(－1，n)，B(2，1).
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)连接OA，OB，求△OAB的面积．
解：(1)∵反比例函数y＝的图象过点A(－1，n)，B(2，1)，
∴m＝－n＝2，
∴m＝2，n＝－2，
∴反比例函数的解析式为y＝，A(－1，－2).
∵一次函数y＝kx＋b的图象过点A(－1，－2)，B(2，1)，
∴解得
∴一次函数的解析式为y＝x－1.
(2)设直线与x轴交于点C.
在函数y＝x－1中，
当y＝0时，x－1＝0，解得x＝1，
∴C(1，0)，即OC＝1，
∴S△OAB＝S△BOC＋S△AOC＝×1×1＋×1×2＝.
2．如图，直线y＝3x－b(b>0)与坐标轴交于A，B两点，与双曲线y＝(x>0)交于点D，过点D作DC⊥x轴于点C.连接OD.已知△AOB≌△ACD.
(1)若b＝3，求k的值；
(2)探究k与b的数量关系．
解：(1)当b＝3时，
直线y＝3x－3与坐标轴交点的坐标为A (1，0)，B(0，－3).
∵△AOB≌△ACD，
∴CD＝OB＝3，AC＝AO＝1，
∴点D的坐标为(2，3).
∵点D在双曲线y＝(x>0)上，
∴k＝2×3＝6.
(2)直线y＝3x－b与坐标轴交点的坐标为A(，0)，B(0，－b).
∵△AOB≌△ACD，
∴CD＝OB＝b，AC＝AO＝，
∴点D的坐标为(b，b).
∵点D在双曲线y＝(x>0)的图象上，
∴k＝b·b＝b2，
即k与b的数量关系为k＝b2.
3．(2024·凉山州)如图，正比例函数y1＝x与反比例函数y2＝(x＞0)的图象交于点A(m，2).
(1)求反比例函数的解析式；
(2)把直线y1＝x向上平移3个单位长度与y2＝(x＞0)的图象交于点B，连接AB，OB，求△AOB的面积．
解：(1)∵点A(m，2)在正比例函数y1＝x的图象上，
∴2＝m，解得m＝4，
∴A(4，2).
∵点A(4，2)在反比例函数y2＝的图象上，
∴k＝4×2＝8，
∴反比例函数的解析式为y2＝.
(2)把直线y1＝x向上平移3个单位长度的解析式为y＝x＋3.
当x＝0时，y＝3，
∴直线与y轴的交点坐标为D(0，3).
连接AD.由平移得BD∥OA，
∴S△AOB＝S△AOD＝×3×4＝6.
4．(2024·泰安)直线y1＝kx＋b(k≠0)与双曲线y2＝－相交于点A(－2，m)，B(n，－1)，与y轴交于点C.
(1)求直线y1的解析式；
(2)若y1＞y2，请直接写出x的取值范围；
(3)过点C作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点D，求△ACD的面积．
解：(1)将点A(－2，m)，B(n，－1)代入y2＝－，得－2m＝－8，－n＝－8，解得m＝4，n＝8，
∴A(－2，4)，B(8，－1).
把点A(－2，4)，B(8，－1)代入 y1＝kx＋b，
得解得
∴一次函数的解析式为y1＝－x＋3.
(2)当y1＞y2时，x＜－2或0＜x＜8.
(3)在y＝－x＋3中，当x＝0时，y＝3，∴C(0，3).
把y＝3代入y2＝－，得x＝－，
∴D(－，3)，∴CD＝，
∴S△ACD＝××(4－3)＝.
类型二 反比例函数与几何图形的综合
5．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为(6，0)，cos ∠AOC＝，反比例函数y＝(k＞0)的图象经过菱形的顶点A，且交BC于点D.
(1)求反比例函数的解析式，并直接写出顶点B的坐标；
(2)D是否为BC的中点？请说明理由．
解：(1)过点A作AE⊥OC于点E.
∵C(6，0)，∴OC＝6.
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝OC＝6.
∵cos ∠AOC＝＝，∴OE＝OA＝4，
∴AE＝＝2，
∴点A的坐标为(4，2).
把点A(4，2)代入y＝，得k＝4×2＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝.
点B的坐标为(10，2).
(2)D是BC的中点．理由如下：
由(1)知点B(10，2)，C(6，0)，
∴BC的中点的坐标为(8，).
当x＝8时，y＝＝，
∴BC的中点在反比例函数的图象上，
即D是BC的中点．
6．如图，已知矩形AOBC，AO＝2，BO＝3，反比例函数y＝的图象经过点C.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)将矩形AOBC分别沿直线AC，BC翻折，所得到的矩形分别与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点E，F，求五边形ODEFG的面积．
解：(1)∵四边形AOBC是矩形，
∴BC＝AO＝2，AC＝BO＝3，∴C(3，2).
把点C(3，2)代入y＝，得k＝2×3＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝.
(2)根据题意，得OD＝2AO＝4，OG＝2BO＝6.
当y＝4时，x＝＝；当x＝6时，y＝＝1，
∴E(，4)，F(6，1)，∴DE＝，FG＝1，
延长DE，GF交于点M，则四边形OGMD是矩形，
∴EM＝6－＝，FM＝4－1＝3，∠M＝90°，
∴S五边形ODEFG＝S矩形OGMD－S△EFM＝6×4－×3×＝.
7．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(－2，3)，双曲线y＝(k<0)经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE.
(1)求k的值及点E的坐标；
(2)若F是边OC上一点，且∠BDE＝∠CFB，求直线FB的解析式．
解：(1)∵点B的坐标为(－2，3)，
∴点D的坐标为(－1，3).
∵y＝(k<0)经过点D，
∴3＝，解得k＝－3.
∵点E在AB上，
∴点E的横坐标是－2.
∵y＝－经过点E，
∴点E的纵坐标为，
∴点E的坐标为(－2，).
(2)由(1)得BD＝1，BE＝，BC＝2.
∵四边形OABC是矩形，
∴∠DBE＝∠FCB＝90°，
∵∠BDE＝∠CFB，
∴△DEB∽△FBC，
∴＝，即＝，∴CF＝，
∴OF＝，即点F的坐标为(0，).
设直线FB的解析式为y＝k1x＋b，
则解得
∴直线FB的解析式为y＝－x＋.
8．(2023·雅安)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，点A，C在坐标轴上，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点B.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2，S△OBD＝3，求直线BD的解析式．
解：(1)∵四边形OABC是边长为2的正方形，
∴点B(2，2).
∵点B(2，2)在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝.
(2)过点D作DE⊥x轴于点E.
∵四边形OABC是边长为2的正方形，
∴OA＝AB＝2，∠OAB＝90°，
∴BA⊥x轴，
∴S△DOE＝S△AOB＝OA·AB＝×2×2＝2.
设点D(m，)，则OE＝m，DE＝.
∵S△OBD＝3，
∴S△OBD＝S△AOB＋S梯形ABDE－S△DOE＝S梯形ABDE＝(AB＋DE)·(xD－xB)＝3，
∴×(2＋)×(m－2)＝3，
解得m＝4或m＝－1(舍去)，
∴点D(4，1).
设直线BD的解析式为y＝ax＋b.
把点B，D的坐标代入，得
解得
∴直线BD的解析式为y＝－x＋3.
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