2025届湖南省长沙市“长望浏宁”四县联考高三3月调研数学试题（PDF版，含解析）

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2025 年 3月高三调研考试
数学参考答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．已知集合M {x∣ 1 x 1},N {x∣0 x 2}，则M N
A．{x∣0 x 1} B．{x∣0 x 1}
C．{x∣ 1 x 1} D．{x∣ 1 x 2}
【答案】A
【详解】集合M {x∣ 1 x 1},N {x∣0 x 2}，所以M N {x∣0 x 1}.

2．已知向量 a 1,2 ， b m,3 ，且 a// a 2b ，则 m
3
A． 12 B．1 C． D．22
【答案】C

【详解】a 2b 1,2 2m,6 2m 1,8 ，由于 a// a 2b ，所以1 8 2 2m 1 ,m 3 .2
3．已知 z i 1 zi，则 | z |
A． 2 B．1 C． 5 D． 5
3 4
【答案】B
1 i 1 i 1 i
【详解】由 z i 1 zi，得 1 i z 1 i，所以 z i，所以 | z | 11 i 1 . i 1 i
4．已知某圆台的上、下底面半径分别为 r1 ，r2，且 r2 2r1，若半径为 2的球与圆台的上、
下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为
A． 28 B． 40 C． 56 D．112
3 3 3 3
【答案】C
【详解】根据题意，设 r1＝a，则 r2 2r1＝2a，圆台的内切球的半径为R，则 R＝2，
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如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形 ABCD 的内切圆，设圆O与梯形的腰相
切于点E，与上、下底分别切于点O1，O2，则有ED＝a，EA＝2a，
注意到OD与OA均为角平分线，因此∠DOA＝90°，
Rt△DOA 中，OE⊥DA，则有OE2＝DE EA，即 2a2＝4，
解可得 a= 2，半径为 2的球与圆台的上、下底面均相切，
则圆台的高为 h＝2R＝4，
56
故圆台的体积V= 1（πr2 2 13 1 +πr2 + πr12 × πr22）h= ×（2π+8π3 + 2π × 8π）×4= ．3
sin π
5．已知角 的始边为 x 轴非负半轴，终边经过点 P 1,2 ，则 的值为
sin cos
1 1 2 2
A． B． C． D．
3 3 3 3
【答案】D
【详解】∵角θ的始边为 x轴非负半轴，终边经过点P 1,2 ，∴ tan 2，
sin π 则 sin tan 2 2 .
sin cos sin cos tan 1 2 1 3
6.设函数 f x e x 1 1，则使得 f x 1 f x 成立的 x的取值范围是
0 1 1 1 1 1A． ， B． ， C． ， D． ，
2 2 2 2 2
【答案】B
1
【详解】因为 f x 的图像关于直线 x 1对称，所以 x 2 x 1，解得 x ，
2
7.已知 f x 、g x 分别是定义在R上的奇函数和偶函数，若函数 f x g x 的值域是 2，4 ，
则函数 f x g x 的最大值是
A． 2 B． 1 C．2 D．4
【答案】C
【详解】因为 2 f x g x 4，且 f x g x f x g x ，
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所以 4 f x g x 2，故 4 f x g x 2 ,所以 f x g x 的最大值
是2 .
8.甲、乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为 x, y，A表示事件“ x 4”，
B表示事件“ y为奇数”，C表示事件“ x y 8”，D表示事件“ x y 7”，则相互独
立的事件是
A． A与C B． B与C C．C与D D． B与D
【答案】D
P(A) 2 1【详解】对于A, . C 事件 x y 8的情况有：当 x 3时， y 6；当 x 4
6 3
时，y 5、y 6；当 x 5时，y 4、y 5、y 6；当 x 6时，y 3、y 4、y 5、
y 6 10 5 7，共 10种情况，所以 P(C) ，P(AC) P(A)P(C)，所以 A错误；
36 18 36
y P(B) 1 4 1对于B， 为奇数的概率 ， P(BC) P(B)P(C)，所以 B错误；
2 36 9
对于C，C与 D不能同时发生， P(CD) P(C)P(D)，所以C错误.
对于D , 事件 D对应的 x y 7，有 (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)这6种情况,
P(D) 6 1 , P(BD) 3 1 P(B)P(D)，所以D正确；
36 6 36 12
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得 6分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0分。
9．已知函数 f x sin x 0, π )的部分图象如图所示，则下列说法正确的是
2
A．
π

6
B． f x 是奇函数
C． 2
π
D．使 f x 取得最小值的 x的集合为 x | x 2kπ,k Z
3


【答案】AD
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7π π
【详解】由图可得， f x 的最小正周期T 2 2π，又 0，
6 6
2π π1 f sin π 0 π π所以 ，C错误.又 ，由图可得 2kπ k Z ，结合 ，T 6 6 6 2
π π π π所以 ，A正确.所以 f x sin x

，由 x 2kπ,k Z，解得6 6 6 2
x π

2kπ,k Z，所以 f x 取得最小值的 x的集合为 x x π 2kπ ,k Z ，D正确.3 3
由函数图象可知， f x 既不是奇函数也不是偶函数，B错误.
10.下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是
A．数据 3， 1,3,7,8,9,11,15的第 25百分位数是 1；
B．若一组样本数据 x 1i , yi （ i 1，2，…，n）的对应样本点都在直线 y x 1上，3
1
则这组样本数据的相关系数为 ；
3
C．已知随机变量 X B n, p ，若 E X 36，D X 9，则 n 48；
D．某班有 50 名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布 N 100,102 ,则理
论上说在 90~100 分的人数约为 17 人.（参考数据：p( X ) 0.6827 ,
p( 2 X 2 ) 0.9545 , p( 3 X 3 ) 0.9973）
【答案】ACD
【详解】对于选项 A，8个数据从小到大排列，由于8 25% 2，
-1+3
所以第 25百分位数应该是第二个与第三个的平均数 =1，故 A正确；
2
1
对于选项B，因为样本点都在直线 y x 1上，说明是负相关且线性相关性很强，
3
所以相关系数为 1，故 B错误.
对于选项C，因为 X B n, p ， E X 36，D X 9，
np 36 3
所以 ，解得 p ,n 48，故 C正确；
np(1 p) 9 4
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1
对于选项D，由 P 90 x 100 P( x ) 0.34135，可得在 90~100
2
分的人数是50 0.34135 17，故D正确，故选：ACD.
11.环境监测设备在污染物浓度实时监测中起到关键作用.研究发现，设备对污染物的动态响
x a
应关系可用“环境监测函数”近似描述，其监测值 S x a ，x 0，1 ,a 0 .x a 1 x
其中 x表示污染物浓度,a为设备灵敏度参数（a越大，灵敏度越高）.下列结论中正确的是：
A. S(x)
1
过定点 ,
1 ； B. S(x)在污染物浓度区间
2 2 [0,1]上单调递增；
C. S(x)
1 1
关于 x 对称； D.取定 x的值（0 x ），灵敏度越高，监测值越小．
2 2
【答案】ABD
1 a
1 1 2 1 1 1
【详解】对于 A，在 S(x)中，令 x ，则 S a ，过定点

,
，故A正确；
2 2 1 2 2 2

2 2
a 1
a x 1 x
对于B， S x a 2 ，当 x 0,1 ， S x 0，则 S x 为单调递增，故 B正确； xa 1 x
对于C，由 B选项知 S x 为单调递增，故不存在轴对称性，故 C错误；
a x 1 x x
对于D，以 a为自变量，设 S x 为T a ，则T a 2 lna 1 x， a
x 1 x
a x 1 x
a 0，故 2 0，T a 的正负取决于 ln x ，
xa 1 x
a 1 x

0 x当 1 1，即 0 x 时，T a 0，随着 a的增大， S x 减小；
1 x 2
x 1
当 1，即 x 1时，T a 0，随着 a的增大， S x 增大，故D正确.
1 x 2
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三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知抛物线 y2 4x上，点 A(m, 4)在此抛物线上，F 为抛物线的焦点， 则 | AF |
。
【答案】5
【详解】点 A(m, 4)在此抛物线上，解得m 4，所以 | AF | 4+1=5.
13.甲、乙两人进行投篮比赛，谁先投篮是随机的，一个人投完一球就要换成另一个人投篮，
共投 3个球，投中次数多者为胜。每次投篮，甲投中的概率为 0.9，乙投中的概率为 0.8，
则甲获胜的概率为 。
【答案】0.441
【详解】甲获胜包括以下情况，甲先投时，甲以 2：0、2：1、1：0获胜；乙先投时，甲
以 1：0获胜，所以甲获胜的概率为：
p 0.5 0.9 1 0.9 0.5 0.9 0.2 0.1 2 0.5 0.2 0.9 0.2 0.441 .
14.若函数 f x ln x ae x ln a 有两个不同的零点，则a的取值范围是__________。
【答案】 (0, 1)
e
【详解】由函数 f x ln x ae x ln a有两个不同的零点得 lnx aex lna有两个不等实
根，整理得 ln x e x lna lna，则 lnx x ex lna (x lna)，即 lnx elnx ex lna (x lna)，
令函数h(x) x e x，则 lnx elnx ex lna (x lna)即为 h(lnx) h(x lna)，函数 h(x)在
R上单调递增，则 lnx x lna，即 lna lnx x，
令 g x ln x x，x 0, ，易知 g x 在(0,1)上单调递增，在 (1, )上单调递减，
g x max g 1 1，因此 g x 在(0,1)的值域为 ( , 1)；当 x 2时，令
(x) ln x 1 x， (x) 1 1 0，函数 (x)在 (2, )上单调递减，
2 x 2
(x) (2) ln 2 1 0 ln x 1 x x 1 1，则 ，当 2时， f (x) lnx x x x x，
2 2 2
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1
显然函数 y x在 (2, )取值集合为 ( , 1)，因此函数 f (x)在 (1, )的取值集合
2
为 ( , 1) 1，则 lna lnx x有两个根，必有 lna 1，解得0 a ，所以 a的取值范
e
围为 (0, 1)
e
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分 13 分）已知 a,b,c分别为 ABC三个内角 A,B,C 的对边，且
2bcosC acosC ccosA .
(1)求C；
(2)若 c 13，且 ABC 的面积为3 3，求 a,b的值.
解：（1）因为 2bcosC acosC ccosA ，由正弦定理可得
2sin BcosC sin AcosC sinCcosA sin A C sin B，………………3分
1 π
又 B ∈ 0, π ，所以 sin B 0，所以 cosC ，因为C 0, π ，所以C ；…………5分
2 3
π
（2）因为 c 13，C 且 ABC 的面积为3 3，3
所以 a2 b2 2ab cosC c2…………………………………………………………………7分
S 1且 ABC ab sinC 3 3 ，…………………………………………………………………9分2
a2 b2 ab 13
即 ，…………………………………………………………………………11分
ab 12
a 4 a 3
解得 或 .b …………………………………………………………………………13
分
3 b 4
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16．（本小题满分 15 分）如图所示，在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AB //CD ，
AB AD，且 AB AD 1，CD 2， AA1 2 2，M 是DD1的中点．
（Ⅰ）证明： BC B1M ；
（Ⅱ）求点B到平面MB1C的距离．
解：（Ⅰ）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则：B(1，1，0)，
C(0，2，0)，B1(1，1，2 2)，M(0，0， 2)，………………4分
→ →
则BC B1M= ( 1，1，0) ( 1， 1， 2) = 1 1 + 0 = 0，…6分
故BC⊥B1M；………………7分
（Ⅱ）解：由于 B 1，1，0 ，C 0，2，0 ，
B1 1，1，2 2 ，M(0，0， 2)，
设平面MB1C的一个法向量为
→
m= (x，y，z)，……8分
→ →
则 m MB1= x + y + 2z = 0→ → ，据此可得
→
m= (3， 1， 2)，…………………10分
m CB1= x y + 2 2z = 0
→
且CB = (1， 1，0)，…………………12分
→ →
故点B到平面MB1C的距离 d = |m CB| = |3+1+0| = 2 3→ ．…………………15分
|m| 12 3
3
17.（本小题满分 15分）已知数列 an 的前 n项和为 Sn， a1 ， Sn 2an 1 3．2
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）若 bn (n 1)an ，求数列 bn 的前 n项和 Tn ；
n2 n
（3）若 cn ，求使 cn取得最大值时的 n的值。an
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解：（1）因为 S1＝2a2﹣3，且S1 = a
3
1 = ，所以a =
9
2 ，………………………………1分2 4
由 Sn＝2an+1﹣3，可得：Sn﹣1＝2an﹣3（n≥2），………………………………2分
两式相减得：an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an+1﹣2an，………………………………3分
因为 a ≠0，所以当 n≥2时，an+1n =
3
an 2
，………………4分
又a2 = 3a 2，综上，当 n≥1时，
an+1 = 3，
1 an 2
所以数列 a 3n 是首项和公比均为 的等比数列an = a1 × qn 1 = ( 3 )n；………………5分2 2
（2）由题意，bn = (n + 1)(
3 )n，………………6分
2
所以Tn = 2 × (
3 )1 + 3 × ( 3 )2 + 4 × ( 3 )3 + . . . + (n + 1) × ( 3 )n，①
2 2 2 2
3T = 2 × ( 3 )2 + 3 × ( 3 )3n + 4 × (
3 )4 + + (n + 1) × ( 3 )n+1，②………………8分
2 2 2 2 2
①﹣②得： 1 T = 3 + ( 3 )2 + ( 3 )3 + . . . + ( 3 )n (n + 1) × ( 3 )n+1
2 n 2 2 2 2
9 3 n 1
= 3 + 4
×[1 (2) ] (n + 1)( 3 )n+1
1 3 22
= 3 + 9 × ( 3 )n 1 (n + 1)( 3 )n+1 = 3 + (1 n)( 3 )n+1，
2 2 2 2 2 2
所以Tn = 3 + 2(n 1)(
3 )n+1；………………………………………………10分
2
（3）由（1）可得，所以c = ( 2 )n(n2n + n)，………………………………………11分3
2
当 n≥2时，由 cn = 2(n +n) 2(n+1)
c 3(n2
= ＞1，可得 n＜5；…………………12分
n 1 n) 3(n 1)
当 n＜5时，c1＜c2＜c3＜c4，当 n＞5时，c5＞c6＞c7＞ ，…………………13分
当 n＝4时，c = ( 24 )4(42 + 4) =
320，当 n＝5时，c = ( 2 55 ) (52 + 5) =
320，
3 81 3 81
所以 c4＝c5，所以 c1＜c2＜c3＜c4＝c5＞c6＞c7＞ ，…………………14分
综上，当 n＝4或 n＝5时，c 320n取得最大值 ．…………………15分81
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2 2
18.（本小题满分 17分）已知双曲线C : x y2 2 1 a 0,b 0 的左、右焦点为 F1、F ，a b 2
过F2作平行于 y轴的直线交C于P、Q两点，若 | F1P | 5， | PQ | 6，
(1)求双曲线C的方程；
(2) 设直线 l 与双曲线C相切，切点为 A，与渐近线相交于D,E两点.
（i）证明：OD OE为定值；
（ii）设直线 l与圆O : x2 y2 r 2相切于点 B，若 AB 的长度为圆O的直径，求直线 l的方
程.
解：（1）由题意得 | PF2 | 3，……………………………………………………1分
得 || PF1 | | PF2 || 2a 2, ………………………………………………………………2分
又由勾股定理得 | F1F2 | 4………………………………………………………………3分
解得 a 1,c 2，所以b 3，……………………………………………………4分
2
故双曲线C的标准方程为 x2 y 1．………………………………………………5分
3
（2）（i）①当 l与 x轴垂直时， l : x 1，解得D(1, 3),E(1, 3), OD OE 2
………………………………………………………………………7分
②当 l与 x轴不垂直时，设D x1, y1 ,E x2 , y2 , A x3, y3 ,设 l : y kx m
与 x2 y
2
1联立可得： 3 k 2 x2 2kmx m2 3 0，………………8分
3
且有3 k 2 0, 4k 2m2 4(3 k 2 )(m2 3) 12(m2 k 2 3) 0，
故m2 k 2 3，…………………………………………………………9分
且 x km k , y kx m m
2 k 2 3
3 2 3 k m 3 3
．
m m
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2
将 l : y kx m与 x2 y 0联立可得： 3 k 2 x2 2kmx m2 0．
3
x x 2km 2k m
2
1 2 2 , x1x2 2 1，………………10分3 k m 3 k
OD OE x1x2 y1y2 x1x2 (kx1 m)(kx2 m) （1 k
2 )x x km(x 21 2 1 x2 ) m 1 k
2 km
2k
m
2 1 k 2 m2 2．综上所述，OD OE 2，所以得证.………………11分
m
m
（ii）由 l与圆相切可知： r ．………………………………………………13分
1 k 2
因为 | AB | 2r，所以 |OA | 5r．………………………………………………14分
k 3 2 2
由（i）可知 A , ，则 |OA |2 k 3 m
2
5 ．而m2m m 2 k
2 3．
m m 1 k
消去 k可得：m4 4m2 12 m2 2 m2 6 0, m2 6,k 2 9，………15分
故 l : y 3x 6．……………………………………………………………17分
19.已知函数 f (x) x a ln x 1
(1).讨论函数 f (x)的单调性；
(2).若 f (x) 0恒成立，求实数a的值；
(3).若 a 01 ，证明： x 1 ln x 1 a， .
ea e x
解：（1） f (x) 1 a x a x 0 .---------------------------------1 分
x x
(ⅰ) 当 a 0时， f (x) 0恒成立，所以 f (x)在 0, 上单调递增；-----------2 分
(ⅱ) 当 a 0时，由 f (x) 0解得 x a，所以 f (x)在 a, 上单调递增；
由 f (x) 0解得0 x a，所以 f (x)在 0，a 上单调递减.
综上所述，当a 0时， f (x)在 0, 上单调递增；当 a 0时， f (x)在 0，a 上单调递
减，在 a, 上单调递增.-------------------------------------------------------4 分
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（2）由(1)知：(ⅰ) 当a 0时， f (x)在 0, 上单调递增且 f (1) 0，
所以 x 0,1 时 f (x) 0,不符合题意.----------------------------------5 分
(ⅱ) 当 a 0时， f (x)在 0，a 上单调递减，在 a, 上单调递增.
故 f x min f a a a ln a 1 .令 (a) a a lna 1，依题意 (a) 0 .--------------①
又 (a) 1 lna 1 lna， 由 (a) 0得0 a 1，由 (a) 0得 a 1.
所以 (a)在 0，,1 上单调递增，在 1， 单调递减，------------7 分
因此 (a)在 a 1处取得最大值，即 max a (1) 0，故 (a) 0 .---------②
由①②得， (a) 0 . ---------------------------------9 分
又因为 (a)在 0，1 上单调递增，在 1， 单调递减，且 (1) 0 .
所以 (a) 0有且仅有一个解，即 a 1 .---------------------------10 分
(3)要证 x 1 ln x 1 a ，即证 x 1 e x a ln x 1 a 0，
ea e x
令 x x 1 e x a ln x 1 a x 0 .
x xe x a 1 .-------------------------------------------11 分
x
令 x xe x a 1 x 0 ， x x 1 e x a 1 0 .
x x 2
所以 x 在 0， 上单调递增.------------12 分
1
a
又a 0，1 ， 1 1 e 2 2 0, 1 e1 a 1 0，----------------13 分
2 2
所以 x 1 ,1 ，使得 x 0，即 x e x a 1 00 0 0 ， 2 x0
所以 e x 10 a ， x0 a 2ln x0，-------------------------14 分x 20
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所以当 x 0, x0 ， x 0， x 单调递减；当 x x0 , ， x 0， x 单调递增.
所以 x min x0 x0 1
x 1
e x0 a ln x0 1 a
0
2 3ln x0 x0 1------------15 分x0
又（2）知当 a 1时， x ln x 1 0恒成立， ln x x 1， ln x0 1 x0，
x 1 1 x 2x 1 2x 1
x0 0 2 +3 1 x0 x0 1 0 0 02 ---------16 分x0 x0
1
又 x0

,1
1 x0 2x0 1 2x0 1
2
，所以 x min= x0 0x 20
故 x x 1 e x a ln x 1 a 0 .
即： x 1 ln x 1 a --------------------------------17 分
ea e x
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{#{QQABCYAk5wCQkAYACY67AwGkCUiQsIGQLQoOhUCcuARCABNIFAA=}#}