2.5等比数列前n项和
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课件36张PPT。复习:64个格子1223344551667788OK456781567812334264个格子你认为国王有能力满足上述要求吗每个格子里的麦粒数都是前一个格子里麦粒数的2倍,且共有64格子.麦粒总数？??2.5 等比数列前n项和由刚才的例子可知：实际上就是一个以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的求和问题，即： 把上式左右两边同乘以2 得：错位相减法=18446744073709551615≈1.84 所以当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了他的要求。其实，人们估计，全世界一千年也难以生产这么多麦子!是当时全世界在两千年内所产的小麦的总和！ 假定千粒麦子的质量为40g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨。如果造一个宽四米，高四米的粮仓来储存这些粮食，那么这个粮仓就要长三亿千米，可以绕地球赤道7500圈，或在太阳和地球之间打个来回。由②- ①得：错位相减法思考：
（1）为什么②式选择乘以2，而不是别的数字？乘以2有什么样的好处？
（2）类比以上例子，你能发现什么规律？如何求等比数列的Sn:① ② ①—② ，得错位相减法（q≠1）等比数列前n项和公式的推导思考：那q=1怎么办呢？
提示：q=1说明数列有什么特点？（q≠1）1.使用公式求和时，需注意对 和 的情况加以讨论；2.推导公式的方法：错位相减法。注意：等比数列前n项和公式的推导n+1判断是非②n③①2n或0公式运用等比数列前n项公式当时， 或当q=1时，例1、求下列等比数列前8项的和例1、求下列等比数列前8项的和课本58页练习11．数列1,3，…，3n－1，…的前n项和为( )B【解析】全优37页基础夯实6．(2013年新课标Ⅰ)设首项为1，的等比数列{an}的前n项和为Sn，则( )A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2
C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2anD【解析】由题意可得＝3－2an.全优37页能力提升8．(2013年辽宁)已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和，若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝______.63【解析】解方程x2－5x＋4＝0，得x1＝1，x2＝4.因为数列{an}是递增数列且a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，所以a1＝1，a3＝4.设等比数列{an}的公比为q，所以q＝2.全优37页能力提升3．在等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a5＋a7＝5则a9＋a11＝________.【解析】全优71页限时规范训练（二）【例1】 在等比数列{an}中．(2)a1＋a3＝10，求S5；解由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，全优36页典例剖析4．(2013年江西)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．6【解析】由题意，可得第n天种树的棵数an是以2为首项，2为公比的等比数列，＝2n＋1－2≥100，∴2n＋1≥102.∵n∈N*，∴n＋1≥7.∴n≥6，即n的最小值为6.全优39页基础夯实4．(2014年全国)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于( )
A．6 B．5 C．4 D．3C【解析】∵数列{an}是等比数列，a4＝2，a5＝5，∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝10.∴lg a1＋lg a2＋…＋lg a8＝lg(a1a2·…·a8)＝lg(a4a5)4＝4lg 10＝4.全优37页基础夯实2．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，A．2 B．4C【解析】a3＝a2q，a4＝a2q2，全优71页限时规范训练（一）回顾等比数列前n项公式当时， 或当q=1时，① ②当已知, q, 2.3.课本57页中间的递推关系填空2．已知数列{an}的前n项和为Sn，(1)求a1，a2；(1)解：全优36页变式训练2．已知数列{an}的前n项和为Sn，全优36页变式训练(2)求证：数列{an}是等比数列．(2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1所以{an}是的等比数列．其实: 则思考：已知一等比数列{an},其项数为偶数，其所有奇数项的和为S奇=100 ，公比q=2，求其所有偶数项的和S偶。1．已知一个等比数列的首项为1，项数为偶数，奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．【解析】设该等比数列为{an}．公比为q，项数为n，由题意得：∴q＝2.＝2n－1＝85＋170＝255，∴2n＝256.∴n＝8.全优39页变式训练3．{an}为等比数列，S4＝4，则S8的值等于( )A．12 B．24 C．16 D．32A【解析】q4＝2，S8＝S4＋q4S4＝S4＋2S4＝3S4＝12.全优39页基础夯实是，但是，这是有前提的！这数列里面的任何一项都不能为0！练习：课本58页2【例1】 等比数列{an}的前n项和为54，前2n项的和为60，则前3n项的和为( )A．66 B．64D【解析】设等比数列{an}的前3n项的和为S，∵S2n＝60，∴q≠－1，则54,60－54，S－60成等比数列，所以54(S－60)＝36，全优38页典例剖析7．如果数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an等于
( )
A．2n＋1－1 B．2n－1 C．2n－1 D．2n＋1B【解析】an－an－1＝a1qn－1＝2n－1，相加得an－a1
＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，故an＝a1＋2n－2
＝2n－1。全优37页能力提升练习：课本61页4（3）
（1）为什么②式选择乘以2，而不是别的数字？乘以2有什么样的好处？
（2）类比以上例子，你能发现什么规律？如何求等比数列的Sn:① ② ①—② ，得错位相减法（q≠1）等比数列前n项和公式的推导思考：那q=1怎么办呢？
提示：q=1说明数列有什么特点？（q≠1）1.使用公式求和时，需注意对 和 的情况加以讨论；2.推导公式的方法：错位相减法。注意：等比数列前n项和公式的推导n+1判断是非②n③①2n或0公式运用等比数列前n项公式当时， 或当q=1时，例1、求下列等比数列前8项的和例1、求下列等比数列前8项的和课本58页练习11．数列1,3，…，3n－1，…的前n项和为( )B【解析】全优37页基础夯实6．(2013年新课标Ⅰ)设首项为1，的等比数列{an}的前n项和为Sn，则( )A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2
C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2anD【解析】由题意可得＝3－2an.全优37页能力提升8．(2013年辽宁)已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和，若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝______.63【解析】解方程x2－5x＋4＝0，得x1＝1，x2＝4.因为数列{an}是递增数列且a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，所以a1＝1，a3＝4.设等比数列{an}的公比为q，所以q＝2.全优37页能力提升3．在等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a5＋a7＝5则a9＋a11＝________.【解析】全优71页限时规范训练（二）【例1】 在等比数列{an}中．(2)a1＋a3＝10，求S5；解由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，全优36页典例剖析4．(2013年江西)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．6【解析】由题意，可得第n天种树的棵数an是以2为首项，2为公比的等比数列，＝2n＋1－2≥100，∴2n＋1≥102.∵n∈N*，∴n＋1≥7.∴n≥6，即n的最小值为6.全优39页基础夯实4．(2014年全国)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于( )
A．6 B．5 C．4 D．3C【解析】∵数列{an}是等比数列，a4＝2，a5＝5，∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝10.∴lg a1＋lg a2＋…＋lg a8＝lg(a1a2·…·a8)＝lg(a4a5)4＝4lg 10＝4.全优37页基础夯实2．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，A．2 B．4C【解析】a3＝a2q，a4＝a2q2，全优71页限时规范训练（一）回顾等比数列前n项公式当时， 或当q=1时，① ②当已知, q, 2.3.课本57页中间的递推关系填空2．已知数列{an}的前n项和为Sn，(1)求a1，a2；(1)解：全优36页变式训练2．已知数列{an}的前n项和为Sn，全优36页变式训练(2)求证：数列{an}是等比数列．(2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1所以{an}是的等比数列．其实: 则思考：已知一等比数列{an},其项数为偶数，其所有奇数项的和为S奇=100 ，公比q=2，求其所有偶数项的和S偶。1．已知一个等比数列的首项为1，项数为偶数，奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．【解析】设该等比数列为{an}．公比为q，项数为n，由题意得：∴q＝2.＝2n－1＝85＋170＝255，∴2n＝256.∴n＝8.全优39页变式训练3．{an}为等比数列，S4＝4，则S8的值等于( )A．12 B．24 C．16 D．32A【解析】q4＝2，S8＝S4＋q4S4＝S4＋2S4＝3S4＝12.全优39页基础夯实是，但是，这是有前提的！这数列里面的任何一项都不能为0！练习：课本58页2【例1】 等比数列{an}的前n项和为54，前2n项的和为60，则前3n项的和为( )A．66 B．64D【解析】设等比数列{an}的前3n项的和为S，∵S2n＝60，∴q≠－1，则54,60－54，S－60成等比数列，所以54(S－60)＝36，全优38页典例剖析7．如果数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an等于
( )
A．2n＋1－1 B．2n－1 C．2n－1 D．2n＋1B【解析】an－an－1＝a1qn－1＝2n－1，相加得an－a1
＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，故an＝a1＋2n－2
＝2n－1。全优37页能力提升练习：课本61页4（3）