广东省佛山市广东顺德德胜学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
1．（2024高二下·顺德期中） 某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、4部警匪片、3部战争片及2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法共有（ ）
A．9种 B．12种 C．24种 D．72种
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意可知：共有12部电影可供选择，
所以 小明从中任选1部电影观看，不同的选法共有 12种.
故答案为：B.
【分析】根据题意可知：共有12部电影可供选择，即可得结果.
2．（2024高二下·顺德期中）已知函数，则（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】导数的概念；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：函数，，则.
故答案为：C.
【分析】先求函数的导函数，再利用导数的定义求解即可.
3．（2024高二下·顺德期中）已知公差为的等差数列满足：，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：，可得，解得，
则.
故答案为：C.
【分析】根据等差数列通项公式直接求解即可.
4．（2024高二下·顺德期中）函数的极小值点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
当时，，当或时，，
则函数在上单调递增，在，上单调递减，
在处取得极小值，在处取得极大值，极小值点为，极大值点为.
故答案为：D.
【分析】先求函数的定义域，再求其导函数，利用导数判断函数的单调性，求出极值点即可.
5．（2024高二下·顺德期中）已知函数，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：函数，求导可得，
令，可得，解得.
故答案为：C.
【分析】求导，代入求值即可.
6．（2024高二下·顺德期中）三次函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题意可得：在上恒成立，
则，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】由题意可得恒成立，由判别式求解即可.
7．（2024高二下·顺德期中）某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投（ ）千元．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设B商品投千元，总收益为，
则，
，令，解得，
当时，，当时，，
则函数在单调递增，在单调递减，
即在取得最大值，即为使总收益最大，则B商品需投千元．
故答案为：B.
【分析】设B商品投千元，总收益为，写出，求导利用导数判断函数的单调性，求解即可.
8．（2024高二下·顺德期中）已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数，，，
则在上单调递减，结合，得，
由，得，即，则，
即的解集是.
故答案为：A.
【分析】根据，构造函数，判断其单调性，将化为，再根据函数单调性求解即可.
9．（2024高二下·顺德期中）下列说法中正确的有（ ）
A．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有种报名方法
B．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有种报名方法
C．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有种可能结果
D．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有种可能结果
【答案】B,C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：事件“4名同学每人从三个项目中选一项报名”可分为四步完成，
第一步，第一个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法，
第二步，第二个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法，
第三步，第三个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法，
第四步，第四个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法，
由分步乘法计数原理可得，完成事件“4名同学每人从三个项目中选一项报名”的方法数为，
故A错误，B正确；
事件“三个项目冠军的确定”可分为三步完成，
第一步，确定跑步比赛的冠军，有4种方法，
第二步，确定跳高比赛的冠军，有4种方法，
第一步，确定跳远比赛的冠军，有4种方法，
由分步乘法计数原理可得，完成事件“三个项目冠军的获取”的方法数为种，故C正确，D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用分步乘法计数原理确定所求事件的方法数判断各选项即可.
10．（2024高二下·顺德期中）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等差数列
C．数列是递增数列 D．数列是递增数列
【答案】A,B,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：设等差数列的首项为，所以，
A、由，则，所以，
即数列是等差数列为公差为的等差数列，故A正确；
B、由，所以，则，
所以数列是以公差为的等差数列，故B正确；
C、由，可得，当时，数列不是递增数列，故C错误；
D、由，可得，，则数列是递增数列，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意写出等差数列的通项公式，根据公差，写出通项公式，利用等差数列的定义以及函数单调性判断即可.
11．（2024高二下·顺德期中）已知函数的导函数为，则（ ）
A．函数的极小值点为
B．
C．函数的单调递减区间为
D．若函数有两个不同的零点，则
【答案】B,C
【知识点】导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数，求导可得，则，故B正确；
令，则，令，则，
故在上单调递减，在上单调递增，
故的极小值点为，且极小值为，故A错误，
由A分析可知：单调递减区间为，故C正确；
若函数有两个不同的零点，即直线与的图象有2个交点，
当时，，当时，，当x趋向于负无穷时，趋近于0，
作出函数的图象，
结合图象可知当时，直线与的图象有2个交点，
故函数有两个不同的零点，则，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】求出函数的导数即可判断B，判断函数的单调性，确定函数极小值点即可判断AC；将函数有两个不同的零点，转化为直线与的图象有2个交点，数形结合，求得a的范围即可判断D.
12．（2024高二下·顺德期中）已知等比数列的前项和为，，，则 ．
【答案】
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
因为，所以，解得，
又因为，所以，解得，
所以，，
则．
故答案为：.
【分析】由，可得数列公比与首项，再分别计算，的值求解即可.
13．（2024高二下·顺德期中）如图，现在提供3种颜色给A，B，C，D4个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，且相邻区域颜色不相同，共有 种不同的涂色方案？
【答案】24
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：仅用两种颜色涂四个区域时，则A，C区域同色，B，D区域同色，故有种选择，
用3种不同颜色涂四个区域，则A，C区域或A，D区域或B，D区域必同色，
当A，C同色时，有种，同理A，D、B，D分别同色时各有6种，
故用3种不同颜色涂四个区域共种不同涂色的方案，
综上，共有种方案．
故答案为：24.
【分析】分仅用两种颜色涂四个区域和用3种不同颜色涂四个区域两种情况，求出涂色方案数相加即可.
14．（2024高二下·顺德期中）已知函数，，，则的最大值为 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：根据指数函数的图象与性质可知，
，
令，
显然时，，时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得最大值.
故答案为：．
【分析】利用指数函数的图象与性质消元转化，构造函数利用导数研究其单调性与最值即可.
15．（2024高二下·顺德期中）求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）
【答案】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：；
（5）解：；
（6）解：.
【知识点】简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】（1）（2）由基本初等函数导数运算求导即可；
（3）（4）（5）（6）由复合函数导数法则求解即可.
（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
（6）.
16．（2024高二下·顺德期中）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和．
【答案】（1）解：设{an}是公差为d的等差数列，
{bn}是公比为q的等比数列，
由b2=3，b3=9，可得q= =3，
bn=b2qn﹣2=3 3n﹣2=3n﹣1；
即有a1=b1=1，a14=b4=27，
则d= =2，
则an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1
（2）解：cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1，
则数列{cn}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）= n 2n+ =n2+
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式；（2）求得cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．；本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于基础题．
17．（2024高二下·顺德期中）已知函数．
（1）求函数在点处的切线方程
（2）求函数在上的最大值和最小值
【答案】（1）解：由题意可知，则，
所以在点处的切线方程为.
（2）解：因为，所以，
令，解得：或，
令，解得：，
故在上递增，在上递减，
而，，，
的最小值是，的最大值是.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义即可得到答案；
（2）利用导数研究函数的单调性，进而求解其最值即可.
（1）由题意可知，则，
所以在点处的切线方程为；
（2）因为，所以，
令，解得：或，
令，解得：，
故在上递增，在上递减，
而，，，
的最小值是，的最大值是；
18．（2024高二下·顺德期中）已知数列的前n项和为.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设的前n项和为；
①求；
②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明：因为，所以，
所以，所以，所以，
则是公差为的等差数列；
（2）解：①因为，所以，所以，
则，
，
，
两式相减得，
，所以，
故；
②对任意的恒成立，，则对任意的恒成立，
令，
为递减数列，则当时，，，即实数的取值范围 .
【知识点】等差数列概念与表示；数列的求和；数列与不等式的综合；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）将表示为，然后等式两边同除，根据等差数列的定义证明即可；
（2）①先求解出，然后表示出，再通过错位相减法求解出；
②不等式化简为，令，先确定出单调性，从而求解出最大值，将恒成立问题转化为，由此求解出结果.
（1）因为，所以，
所以，所以，所以，
所以是公差为的等差数列；
（2）①因为，所以，所以，
，
，
，
两式相减得，
，所以，
；
②对任意的恒成立，，则对任意的恒成立，
令，
为递减数列，则当时，，.
19．（2024高二下·顺德期中）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当恒成立时，求的取值范围；
（3）证明：.
【答案】（1）解：函数定义域为，，
当时，易知，所以函数在上单调递减，
当时，令，解得，
令，解得，即在上单调递增，
令，得，即在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）解：令，
，故恒成立，即，
，令，则，
所以在上单调递增，
当时，，又，
有，即单调递减，
，即单调递增，
所以，
所以当时，成立；
当时，可得，，
所以
又
所以存在，使得，即，
，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
，由可得，
，
综上，的取值范围为；
（3）证明：由（2）知，当时，有，即，
令，得，
，
，
即.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，利用导数，对及进行分类讨论即可；
（2）令，由，即可得其必要条件，再借助导数对及的情况分类讨论求解即可；
（3）借助（2）中所得，可得，令，可得，累加即可得证.
（1），
当时，易知，所以函数在上单调递减，
当时，令，解得，
令，解得，即在上单调递增，
令，得，即在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）令，
，故恒成立，即，
，令，则，
所以在上单调递增，
当时，，又，
有，即单调递减，
，即单调递增，
所以，
所以当时，成立；
当时，可得，，
所以
又
所以存在，使得，即，
，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
，由可得，
，
综上，的取值范围为；
（3）由（2）知，当时，有，即，
令，得，
，
，
即.
1 / 1广东省佛山市广东顺德德胜学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
1．（2024高二下·顺德期中） 某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、4部警匪片、3部战争片及2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法共有（ ）
A．9种 B．12种 C．24种 D．72种
2．（2024高二下·顺德期中）已知函数，则（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
3．（2024高二下·顺德期中）已知公差为的等差数列满足：，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·顺德期中）函数的极小值点为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·顺德期中）已知函数，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．（2024高二下·顺德期中）三次函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·顺德期中）某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投（ ）千元．
A． B． C． D．
8．（2024高二下·顺德期中）已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·顺德期中）下列说法中正确的有（ ）
A．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有种报名方法
B．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有种报名方法
C．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有种可能结果
D．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有种可能结果
10．（2024高二下·顺德期中）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等差数列
C．数列是递增数列 D．数列是递增数列
11．（2024高二下·顺德期中）已知函数的导函数为，则（ ）
A．函数的极小值点为
B．
C．函数的单调递减区间为
D．若函数有两个不同的零点，则
12．（2024高二下·顺德期中）已知等比数列的前项和为，，，则 ．
13．（2024高二下·顺德期中）如图，现在提供3种颜色给A，B，C，D4个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，且相邻区域颜色不相同，共有 种不同的涂色方案？
14．（2024高二下·顺德期中）已知函数，，，则的最大值为 ．
15．（2024高二下·顺德期中）求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）
16．（2024高二下·顺德期中）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和．
17．（2024高二下·顺德期中）已知函数．
（1）求函数在点处的切线方程
（2）求函数在上的最大值和最小值
18．（2024高二下·顺德期中）已知数列的前n项和为.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设的前n项和为；
①求；
②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．（2024高二下·顺德期中）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当恒成立时，求的取值范围；
（3）证明：.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意可知：共有12部电影可供选择，
所以 小明从中任选1部电影观看，不同的选法共有 12种.
故答案为：B.
【分析】根据题意可知：共有12部电影可供选择，即可得结果.
2．【答案】C
【知识点】导数的概念；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：函数，，则.
故答案为：C.
【分析】先求函数的导函数，再利用导数的定义求解即可.
3．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：，可得，解得，
则.
故答案为：C.
【分析】根据等差数列通项公式直接求解即可.
4．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
当时，，当或时，，
则函数在上单调递增，在，上单调递减，
在处取得极小值，在处取得极大值，极小值点为，极大值点为.
故答案为：D.
【分析】先求函数的定义域，再求其导函数，利用导数判断函数的单调性，求出极值点即可.
5．【答案】C
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：函数，求导可得，
令，可得，解得.
故答案为：C.
【分析】求导，代入求值即可.
6．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题意可得：在上恒成立，
则，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】由题意可得恒成立，由判别式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设B商品投千元，总收益为，
则，
，令，解得，
当时，，当时，，
则函数在单调递增，在单调递减，
即在取得最大值，即为使总收益最大，则B商品需投千元．
故答案为：B.
【分析】设B商品投千元，总收益为，写出，求导利用导数判断函数的单调性，求解即可.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数，，，
则在上单调递减，结合，得，
由，得，即，则，
即的解集是.
故答案为：A.
【分析】根据，构造函数，判断其单调性，将化为，再根据函数单调性求解即可.
9．【答案】B,C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：事件“4名同学每人从三个项目中选一项报名”可分为四步完成，
第一步，第一个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法，
第二步，第二个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法，
第三步，第三个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法，
第四步，第四个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法，
由分步乘法计数原理可得，完成事件“4名同学每人从三个项目中选一项报名”的方法数为，
故A错误，B正确；
事件“三个项目冠军的确定”可分为三步完成，
第一步，确定跑步比赛的冠军，有4种方法，
第二步，确定跳高比赛的冠军，有4种方法，
第一步，确定跳远比赛的冠军，有4种方法，
由分步乘法计数原理可得，完成事件“三个项目冠军的获取”的方法数为种，故C正确，D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用分步乘法计数原理确定所求事件的方法数判断各选项即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：设等差数列的首项为，所以，
A、由，则，所以，
即数列是等差数列为公差为的等差数列，故A正确；
B、由，所以，则，
所以数列是以公差为的等差数列，故B正确；
C、由，可得，当时，数列不是递增数列，故C错误；
D、由，可得，，则数列是递增数列，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意写出等差数列的通项公式，根据公差，写出通项公式，利用等差数列的定义以及函数单调性判断即可.
11．【答案】B,C
【知识点】导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数，求导可得，则，故B正确；
令，则，令，则，
故在上单调递减，在上单调递增，
故的极小值点为，且极小值为，故A错误，
由A分析可知：单调递减区间为，故C正确；
若函数有两个不同的零点，即直线与的图象有2个交点，
当时，，当时，，当x趋向于负无穷时，趋近于0，
作出函数的图象，
结合图象可知当时，直线与的图象有2个交点，
故函数有两个不同的零点，则，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】求出函数的导数即可判断B，判断函数的单调性，确定函数极小值点即可判断AC；将函数有两个不同的零点，转化为直线与的图象有2个交点，数形结合，求得a的范围即可判断D.
12．【答案】
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
因为，所以，解得，
又因为，所以，解得，
所以，，
则．
故答案为：.
【分析】由，可得数列公比与首项，再分别计算，的值求解即可.
13．【答案】24
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：仅用两种颜色涂四个区域时，则A，C区域同色，B，D区域同色，故有种选择，
用3种不同颜色涂四个区域，则A，C区域或A，D区域或B，D区域必同色，
当A，C同色时，有种，同理A，D、B，D分别同色时各有6种，
故用3种不同颜色涂四个区域共种不同涂色的方案，
综上，共有种方案．
故答案为：24.
【分析】分仅用两种颜色涂四个区域和用3种不同颜色涂四个区域两种情况，求出涂色方案数相加即可.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：根据指数函数的图象与性质可知，
，
令，
显然时，，时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得最大值.
故答案为：．
【分析】利用指数函数的图象与性质消元转化，构造函数利用导数研究其单调性与最值即可.
15．【答案】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：；
（5）解：；
（6）解：.
【知识点】简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】（1）（2）由基本初等函数导数运算求导即可；
（3）（4）（5）（6）由复合函数导数法则求解即可.
（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
（6）.
16．【答案】（1）解：设{an}是公差为d的等差数列，
{bn}是公比为q的等比数列，
由b2=3，b3=9，可得q= =3，
bn=b2qn﹣2=3 3n﹣2=3n﹣1；
即有a1=b1=1，a14=b4=27，
则d= =2，
则an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1
（2）解：cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1，
则数列{cn}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）= n 2n+ =n2+
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式；（2）求得cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．；本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于基础题．
17．【答案】（1）解：由题意可知，则，
所以在点处的切线方程为.
（2）解：因为，所以，
令，解得：或，
令，解得：，
故在上递增，在上递减，
而，，，
的最小值是，的最大值是.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义即可得到答案；
（2）利用导数研究函数的单调性，进而求解其最值即可.
（1）由题意可知，则，
所以在点处的切线方程为；
（2）因为，所以，
令，解得：或，
令，解得：，
故在上递增，在上递减，
而，，，
的最小值是，的最大值是；
18．【答案】（1）证明：因为，所以，
所以，所以，所以，
则是公差为的等差数列；
（2）解：①因为，所以，所以，
则，
，
，
两式相减得，
，所以，
故；
②对任意的恒成立，，则对任意的恒成立，
令，
为递减数列，则当时，，，即实数的取值范围 .
【知识点】等差数列概念与表示；数列的求和；数列与不等式的综合；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）将表示为，然后等式两边同除，根据等差数列的定义证明即可；
（2）①先求解出，然后表示出，再通过错位相减法求解出；
②不等式化简为，令，先确定出单调性，从而求解出最大值，将恒成立问题转化为，由此求解出结果.
（1）因为，所以，
所以，所以，所以，
所以是公差为的等差数列；
（2）①因为，所以，所以，
，
，
，
两式相减得，
，所以，
；
②对任意的恒成立，，则对任意的恒成立，
令，
为递减数列，则当时，，.
19．【答案】（1）解：函数定义域为，，
当时，易知，所以函数在上单调递减，
当时，令，解得，
令，解得，即在上单调递增，
令，得，即在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）解：令，
，故恒成立，即，
，令，则，
所以在上单调递增，
当时，，又，
有，即单调递减，
，即单调递增，
所以，
所以当时，成立；
当时，可得，，
所以
又
所以存在，使得，即，
，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
，由可得，
，
综上，的取值范围为；
（3）证明：由（2）知，当时，有，即，
令，得，
，
，
即.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，利用导数，对及进行分类讨论即可；
（2）令，由，即可得其必要条件，再借助导数对及的情况分类讨论求解即可；
（3）借助（2）中所得，可得，令，可得，累加即可得证.
（1），
当时，易知，所以函数在上单调递减，
当时，令，解得，
令，解得，即在上单调递增，
令，得，即在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）令，
，故恒成立，即，
，令，则，
所以在上单调递增，
当时，，又，
有，即单调递减，
，即单调递增，
所以，
所以当时，成立；
当时，可得，，
所以
又
所以存在，使得，即，
，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
，由可得，
，
综上，的取值范围为；
（3）由（2）知，当时，有，即，
令，得，
，
，
即.
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