河北省沧州市五县2025届高三下学期3月第一次模拟联考数学试卷（含解析）

河北省沧州市五县2024-2025学年高三下学期第一次模拟联考
数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知角的始边为x轴非负半轴，终边经过点，则（ ）
A．3 B． C． D．
3．已知向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列满足：，，则（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
5．在正三棱锥中，O为外接圆圆心，则（ ）
A． B．
C． D．
6．抛物线的焦点坐标为( )
A． B． C． D．
7．已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．对任意的，都有
B．当时，有两个实根
C．若关于的方程在上只有一个解，则的取值范围为
D．若方程有两个不同的根，且恒成立，则
二、多选题
9．过抛物线的焦点的直线与C相交于，两点，直线PQ的倾斜角为，若的最小值为4，则（ ）
A．的坐标为 B．若，则
C．若，则的最小值为3 D．面积的最小值为2
10．已知实数a，b满足等式，则下列可能成立的关系式为（ ）
A． B． C． D．
11．泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式
由此可以判断下列各式正确的是（ ）．
A．（i是虚数单位） B．（i是虚数单位）
C． D．
三、填空题
12．已知三棱锥的棱长均为2，且是BC的中点，则 .
13．已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 .
14．已知双曲线与平行于轴的动直线交于两点，点在点左侧，双曲线的左焦点为，且当时，.则双曲线的离心率是 ；当直线运动时，延长至点使，连接交轴于点，则的值是 .
四、解答题
15．已知幂函数是定义在R上的偶函数．
(1)求函数的解析式；
(2)当时，求函数的最大值，并求对应的自变量的值．
16．已知中，内角所对的边分别为，且满足．
(1)求角的值；
(2)若点为的中点，求的值．
17．如图，在三棱台中，平面平面，，，.
(1)证明：；
(2)当直线与平面所成的角最大时，求三棱台的体积.
18．已知圆，直线过点.
(1)当直线与圆相切时，求直线的斜率；
(2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
19．若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程.
(2)若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为.
（i）求的方程.
（ii）已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C B D C B D ACD BCD
题号 11
答案 ACD
1．A
【详解】由，解得，所以，
又因为，所以.
故选：A.
2．C
【详解】由三角函数的定义可得，
所以.
故选：C.
3．C
【详解】由，得，而，则，
，而，
所以与的夹角.
故选：C
4．B
【详解】由题设，则，
即，则.
故选：B
5．D
【详解】如图，在正三棱锥中，取中点，连接，
则点为底面中心，且在上，
所以
.
故选：D.
6．C
【详解】由可得，故，则，
故焦点坐标为，
故选：C.
7．B
【详解】由题意，函数满足，
令，则
函数是定义域内的单调递减函数，
由于，关于的不等式可化为，
即，所以且，解得，
不等式的解集为.
故选：B
8．D
【详解】，利用复合函数求导，可得，当时，，所以在区间上单调递增；当时，，所以在区间上单调递减；在处，取到极大值点，.函数图像如下：
对于选项A：当时，不满足，故A错误；
对于选项B：由上分析得，当趋于时，函数值趋于，
当时，有两个实数根；
当时，有一个实数根；
故B错误；
对于选项C：方程，两边取对数得，即，令，则，
令，则，当时，，
所以在区间上单调递增；当趋于时，函数值趋于；
当时，，所以在区间上单调递减；当趋于时，函数值趋于；
故，如图所示：
当时，，与只有一个交点，
当时，，与有2个交点，
当时，与只有一个交点；
当时，，与有2个交点，
故在上只有一个解，则的取值范围为，
故C错误；
对于选项D：若方程有两个不同的根，则，设两根为，
则，由函数的单调性知，因为恒成立，所以同时是方程的两根；根据韦达定理得，因为，两边取对数得，
，两式做差，，根据对数不等式，
，即；
，即；
所以，选项D正确；
故选：D
9．ACD
【详解】由题设有，直线的斜率不为零，故设直线，
则由可得，，
所以，所以
而，
当且仅当时等号成立，故，故，
故，故A正确；
若，则，故，故的斜率为，
其倾斜角为或，故B错误；
若，则过作准线的垂线，垂足为，连接，
则，当且仅当三点共线时等号成立，
故的最小值为3，故C正确；
，
当且仅当时等号成立，故面积的最小值为2，故D成立.
故选：ACD.
10．BCD
【详解】因为，所以．
对于选项A和B，当时，，只能，选项A不成立，选项B正确；
对于选项C，当时，，只能，选项C正确；
对于选项D，当时，且，只能，等式成立，选项D正确；
故选：BCD．
11．ACD
【详解】对于A、B，由，
两边求导得，
，
，
又，
，
，故A正确，B错误；
对于C，已知，则.
因为，则，即成立，故C正确；
故C正确；
对于D，,，
，
当，；；；
，,
所以，所以成立，故D正确.
故选：ACD.
12．1
【详解】解：，
，
.
故答案为：1
13．
【详解】，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：
14． / /
【详解】当时，设，
则有，解得，又，所以，
又，所以，两边同除，得到，
解得或（舍），
因为，有，
设，则，，，，
所以，
又，所以，
故答案为：；.
15．(1)
(2)当时，函数的最大值为7
【详解】（1）根据题意可得，即，
所以，解得，又函数是定义在上的偶函数，
所以，即函数的解析式为．
（2）由（1）可知
因，所以，当时，，函数的最大值为7．
16．(1)
(2)
【详解】（1）设，则，，
利用余弦定理可得，
又因为，所以．
（2）设，则，，
因为点为的中点，所以，
两边平方可得，
即，
所以，可
得，所以．
17．(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）在三棱台中，取的中点，连接，
由，得，由平面平面，平面平面，
平面，得平面，而平面，则，
又，则四边形是菱形，，
而平面，因此平面，又平面，
所以.
（2）取中点，则，由平面平面，平面平面，
平面，则平面，直线两两垂直，
以点原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，
则，，
，
设平面的法向量，则，取，得，
设直线与平面所成的角为，
，当且仅当，即时取等号，
所以三棱台的体积
.
18．(1)
(2)
【详解】（1）已知的圆心是，半径是，
设直线斜率为
则直线方程是，即，
则圆心到直线距离为，
解得直线的斜率.
（2）设点则，
由点是的中点得，
所以①
因为在圆上运动，所以②
①代入②得，
化简得点的轨迹方程是.
19．(1)
(2)（i）；（ii）直线过定点
【详解】（1）因为圆心在直线上，设，
且点，均在圆上，则，
可得，解得，
即圆心为，半径，
所以圆的标准方程为.
（2）（i）因为，由题意可得：，
可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆，
所以的方程为；
（ⅱ）若直线l的斜率存在，设直线l：，，
联立方程，消去y可得，
则，且，
因为，
整理可得，
则
可得，即或，
当，直线过定点；
当，直线过定点，不合题意；
可知直线过定点；
若直线l的斜率不存在，设，
则，即，
且在圆上，则，
即，解得，不合题意；