第6章 事件的概率
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2024东阿模拟)成语是中国语言文化的缩影,有着深厚丰富的文化底蕴,学习成语,运用成语,了解成语当中所包含的语言文化现象,是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的.下列成语所描述的事件中,属于必然事件的是( )
A.守株待兔 B.缘木求鱼 C.水涨船高 D.拔苗助长
2.下列说法正确的是( )
A.任意掷一枚质地均匀的骰子,掷出的点数一定是奇数
B.“从一副扑克牌中任意抽取一张,抽到大王”是必然事件
C.了解一批冰箱的使用寿命,采用抽样调查的方式
D.若平均数相同的甲、乙两组数据,=0.3,=0.02,则甲组数据更稳定
3.一个不透明的袋子中有2个红球、3个白球和4个黄球,每个球除颜色外都相同.从中任意摸出1个球,摸到红球的概率是( )
A. B. C. D.
4.某小组在“用频率估计概率”的试验中,统计了某种结果出现的频率,绘制了如图所示的折线图,那么符合这一结果的试验最有可能是( )
A.在“石头、剪刀、布”的游戏中,小明随机出的是“剪刀”
B.袋子中有1个红球和2个黄球,它们只有颜色上的区别,从中随机地取出一个球是黄球
C.掷一枚质地均匀的硬币,落地时正面向上
D.掷一个质地均匀的正六面体骰子,落地时朝上一面的点数是6
5.在一个不透明的布袋内,有红球5个,黄球4个,白球1个,蓝球3个,它们除颜色外,大小、质地都相同.若随机从布袋中摸取一个球,则摸中哪种球的概率最大( )
A.红球 B.黄球 C.白球 D.蓝球
6.某市卫生局对全市初中毕业生进行体质健康测试,随机抽取了200名学生的测试成绩作为样本,数据整理如表,其中x的值是( )
等级 A B C D
频数 150 4
频率 x 0.18
A.0.03 B.0.05 C.0.10 D.无法确定
7.如图所示,一张圆桌共有3个座位,甲、乙、丙3人随机坐到这3个座位上,则甲和乙相邻的概率为( )
A. B. C. D.1
8.(2023遂宁)为增强班级凝聚力,吴老师组织开展了一次主题班会.班会上,他设计了一个如图所示的飞镖靶盘,靶盘由两个同心圆构成,小圆半径为10 cm,大圆半径为20 cm,每个扇形的圆心角为60度.如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的,那么小全同学任意投掷飞镖1次(击中边界或没有击中靶盘,则重投1次),投中“免一次作业”的概率是( )
A. B. C. D.
9.同时抛掷A,B两个均匀的小立方体(每个面上分别标有数字1,2,3,
4,5,6),设这两个小立方体朝上的数字分别为x,y,并以此确定点M(x,y),那么点M落在抛物线y=-x2+3x上的概率为( )
A. B. C. D.
10.在一次联欢晚会上,某班进行以下游戏:准备两个不透明的袋子和7个小球(大小、形状完全一样),一个袋子里放置3个小球,球面上分别写着“好”“运”“来”,另一个袋子里放置4个小球,球面上分别写着“新”“年”“好”“运”,现从两个袋子里各随机抽取一个球,球面上的字可以组成“好运”字样的获得一等奖.则获得一等奖的概率为( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题4分,共20分)
11.为了解某校九年级学生的体能情况,学校随机抽查了其中的40名学生,测试了一分钟仰卧起坐的次数,并绘制成如图所示的频数分布直方图,则仰卧起坐的次数在20～30之间的频数是 .
12.(2023杭州)一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球(仅有颜色不同).若从中任意摸出一个球是红球的概率为,则n
= .
13.有5张仅有编号不同的卡片,编号分别是1,2,3,4,5.从中随机抽取一张,编号是偶数的概率等于 .
14.不透明的盒中装有三张卡片,编号分别为1,2,3.三张卡片质地均匀,大小、形状完全相同,摇匀后从中随机抽取一张卡片记下编号,然后放回盒中再摇匀,再从盒中随机取出一张卡片,则两次所取卡片的编号之积为奇数的概率为 .
15.如图所示是六等分转盘游戏,你只要出1元钱就可以随意地转动一次转盘,转盘停止时指针落在哪个区域,你就按照这个区域的数字相应地顺时针跳过几个格,然后按照图中的说明确定你的奖金.例如,当指针指向区域“2”的时候,你就顺时针跳过两个格到“5”,按奖金说明,“5”对应的奖金为 0.2元,你就得到0.2元.这个游戏得到奖金10元的概率是 .
三、解答题(共50分)
16.(8分)(2023苏州)一只不透明的袋子中装有4个小球,分别标有编号1,2,3,4,这些小球除编号外都相同.
(1)搅匀后从中任意摸出1个球,这个球的编号是2的概率为 ;
(2)搅匀后从中任意摸出1个球,记录球的编号后放回、搅匀,再从中任意摸出1个球.求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少 (用画树状图或列表的方法说明)
17.(10分)(遵义中考)如图所示,甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形(两个转盘除表面数字不同外,其他完全相同),转盘甲上的数字分别是-6,-1,8,转盘乙上的数字分别是-4,5,7(规定:若指针恰好停留在分界线上,则重新转一次).
(1)转动转盘,转盘甲的指针指向正数的概率是 ;转盘乙指针指向正数的概率是 .
(2)若同时转动两个转盘,转盘甲的指针所指的数字记为a,转盘乙的指针所指的数字记为b,请用列表法或画树状图法求a,b满足a+b<0的概率.
18.(10分)某联欢会上有一个抽奖游戏,规则如下:有5张纸牌,背面完全相同,正面有2张是笑脸,其余3张是哭脸.现将5张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上.翻牌时,翻到的纸牌是笑脸就有奖,没有笑脸就没有奖.
(1)小芳获得一次翻牌机会,她从中随机翻开一张纸牌,则小芳得奖的概率是多少
(2)小明获得两次翻牌机会,他先后翻开两张纸牌,小明认为这样得奖的概率是(1)中小芳得奖概率的两倍,你赞同他的观点吗 请用画树状图法或列表法进行分析说明.
19.(10分)(济宁中考)6月5日是世界环境日.某校举行了环保知识竞赛,从全校学生中随机抽取了n名学生的成绩进行分析,并依据分析结果绘制了不完整的统计表和统计图(如图所示).
学生成绩分布统计表
成绩/分 组中值 频率
75.5≤x<80.5 78 0.05
80.5≤x<85.5 83 a
85.5≤x<90.5 88 0.375
90.5≤x<95.5 93 0.275
95.5≤x<100.5 98 0.05
请根据图表信息,解答下列问题:
(1)填空:n= ,a= ;
(2)请补全学生成绩频数分布直方图;
(3)求这n名学生成绩的平均分;
(4)从成绩在75.5≤x<80.5和95.5≤x<100.5的学生中任选两名学生,请用列表法或画树状图的方法,求选取的学生成绩在75.5≤x<80.5和95.5≤x<100.5中各一名的概率.
20.(12分)在一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球,分别标有数字1,2,3,4,另有一个可以自由旋转的圆盘,被分成面积相等的3个扇形,分别标有数字1,2,3(如图所示).小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛,游戏规则为:一人从口袋中摸出一个小球,另一个人转动圆盘,如果所摸球上的数字与圆盘上转出的数字之和小于4,那么小颖去;否则小亮去.
(1)用画树状图法或列表法求出小颖参加比赛的概率.
(2)你认为该游戏公平吗 请说明理由.若不公平,请修改该游戏规则,使游戏公平.第6章 事件的概率
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2024东阿模拟)成语是中国语言文化的缩影,有着深厚丰富的文化底蕴,学习成语,运用成语,了解成语当中所包含的语言文化现象,是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的.下列成语所描述的事件中,属于必然事件的是(C)
A.守株待兔 B.缘木求鱼 C.水涨船高 D.拔苗助长
2.下列说法正确的是(C)
A.任意掷一枚质地均匀的骰子,掷出的点数一定是奇数
B.“从一副扑克牌中任意抽取一张,抽到大王”是必然事件
C.了解一批冰箱的使用寿命,采用抽样调查的方式
D.若平均数相同的甲、乙两组数据,=0.3,=0.02,则甲组数据更稳定
3.一个不透明的袋子中有2个红球、3个白球和4个黄球,每个球除颜色外都相同.从中任意摸出1个球,摸到红球的概率是(A)
A. B. C. D.
4.某小组在“用频率估计概率”的试验中,统计了某种结果出现的频率,绘制了如图所示的折线图,那么符合这一结果的试验最有可能是(D)
A.在“石头、剪刀、布”的游戏中,小明随机出的是“剪刀”
B.袋子中有1个红球和2个黄球,它们只有颜色上的区别,从中随机地取出一个球是黄球
C.掷一枚质地均匀的硬币,落地时正面向上
D.掷一个质地均匀的正六面体骰子,落地时朝上一面的点数是6
5.在一个不透明的布袋内,有红球5个,黄球4个,白球1个,蓝球3个,它们除颜色外,大小、质地都相同.若随机从布袋中摸取一个球,则摸中哪种球的概率最大(A)
A.红球 B.黄球 C.白球 D.蓝球
6.某市卫生局对全市初中毕业生进行体质健康测试,随机抽取了200名学生的测试成绩作为样本,数据整理如表,其中x的值是(B)
等级 A B C D
频数 150 4
频率 x 0.18
A.0.03 B.0.05 C.0.10 D.无法确定
7.如图所示,一张圆桌共有3个座位,甲、乙、丙3人随机坐到这3个座位上,则甲和乙相邻的概率为(D)
A. B. C. D.1
8.(2023遂宁)为增强班级凝聚力,吴老师组织开展了一次主题班会.班会上,他设计了一个如图所示的飞镖靶盘,靶盘由两个同心圆构成,小圆半径为10 cm,大圆半径为20 cm,每个扇形的圆心角为60度.如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的,那么小全同学任意投掷飞镖1次(击中边界或没有击中靶盘,则重投1次),投中“免一次作业”的概率是(B)
A. B. C. D.
9.同时抛掷A,B两个均匀的小立方体(每个面上分别标有数字1,2,3,
4,5,6),设这两个小立方体朝上的数字分别为x,y,并以此确定点M(x,y),那么点M落在抛物线y=-x2+3x上的概率为(A)
A. B. C. D.
10.在一次联欢晚会上,某班进行以下游戏:准备两个不透明的袋子和7个小球(大小、形状完全一样),一个袋子里放置3个小球,球面上分别写着“好”“运”“来”,另一个袋子里放置4个小球,球面上分别写着“新”“年”“好”“运”,现从两个袋子里各随机抽取一个球,球面上的字可以组成“好运”字样的获得一等奖.则获得一等奖的概率为(C)
A. B. C. D.
二、填空题(每小题4分,共20分)
11.为了解某校九年级学生的体能情况,学校随机抽查了其中的40名学生,测试了一分钟仰卧起坐的次数,并绘制成如图所示的频数分布直方图,则仰卧起坐的次数在20～30之间的频数是 28 .
12.(2023杭州)一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球(仅有颜色不同).若从中任意摸出一个球是红球的概率为,则n
= 9 .
13.有5张仅有编号不同的卡片,编号分别是1,2,3,4,5.从中随机抽取一张,编号是偶数的概率等于 .
14.不透明的盒中装有三张卡片,编号分别为1,2,3.三张卡片质地均匀,大小、形状完全相同,摇匀后从中随机抽取一张卡片记下编号,然后放回盒中再摇匀,再从盒中随机取出一张卡片,则两次所取卡片的编号之积为奇数的概率为 .
15.如图所示是六等分转盘游戏,你只要出1元钱就可以随意地转动一次转盘,转盘停止时指针落在哪个区域,你就按照这个区域的数字相应地顺时针跳过几个格,然后按照图中的说明确定你的奖金.例如,当指针指向区域“2”的时候,你就顺时针跳过两个格到“5”,按奖金说明,“5”对应的奖金为 0.2元,你就得到0.2元.这个游戏得到奖金10元的概率是 0 .
三、解答题(共50分)
16.(8分)(2023苏州)一只不透明的袋子中装有4个小球,分别标有编号1,2,3,4,这些小球除编号外都相同.
(1)搅匀后从中任意摸出1个球,这个球的编号是2的概率为 ;
(2)搅匀后从中任意摸出1个球,记录球的编号后放回、搅匀,再从中任意摸出1个球.求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少 (用画树状图或列表的方法说明)
解:(1)
(2)画树状图如下:
一共有16个等可能的结果,其中第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的结果有3次,
∴P(第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1)=.
17.(10分)(遵义中考)如图所示,甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形(两个转盘除表面数字不同外,其他完全相同),转盘甲上的数字分别是-6,-1,8,转盘乙上的数字分别是-4,5,7(规定:若指针恰好停留在分界线上,则重新转一次).
(1)转动转盘,转盘甲的指针指向正数的概率是 ;转盘乙指针指向正数的概率是 .
(2)若同时转动两个转盘,转盘甲的指针所指的数字记为a,转盘乙的指针所指的数字记为b,请用列表法或画树状图法求a,b满足a+b<0的概率.
解:(1)
(2)列表如下:
b a
-6 -1 8
-4 -6-4=-10 -1-4=-5 8-4=4
5 -6+5=-1 -1+5=4 8+5=13
7 -6+7=1 -1+7=6 8+7=15
由表格知共有9种等可能出现的结果,其中两个转盘的指针所指的数字之和为负数的有3种,
∴所求的概率为=.
18.(10分)某联欢会上有一个抽奖游戏,规则如下:有5张纸牌,背面完全相同,正面有2张是笑脸,其余3张是哭脸.现将5张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上.翻牌时,翻到的纸牌是笑脸就有奖,没有笑脸就没有奖.
(1)小芳获得一次翻牌机会,她从中随机翻开一张纸牌,则小芳得奖的概率是多少
(2)小明获得两次翻牌机会,他先后翻开两张纸牌,小明认为这样得奖的概率是(1)中小芳得奖概率的两倍,你赞同他的观点吗 请用画树状图法或列表法进行分析说明.
解:(1)小芳得奖的概率P=.
(2)不赞同他的观点.
用A1,A2分别表示两张笑脸,B1,B2,B3分别表示三张哭脸,根据题意列表如下:
第一张 第二张
A1 A2 B1 B2 B3
A1 — A1,A2 A1,B1 A1,B2 A1,B3
A2 A2,A1 — A2,B1 A2,B2 A2,B3
B1 B1,A1 B1,A2 — B1,B2 B1,B3
B2 B2,A1 B2,A2 B2,B1 — B2,B3
B3 B3,A1 B3,A2 B3,B1 B3,B2 —
由表格可以看出,等可能的结果有20种,其中得奖的结果有14种,因此小明得奖的概率P==.
∵≠×2,∴小明得奖的概率不是(1)中小芳得奖概率的两倍.
19.(10分)(济宁中考)6月5日是世界环境日.某校举行了环保知识竞赛,从全校学生中随机抽取了n名学生的成绩进行分析,并依据分析结果绘制了不完整的统计表和统计图(如图所示).
学生成绩分布统计表
成绩/分 组中值 频率
75.5≤x<80.5 78 0.05
80.5≤x<85.5 83 a
85.5≤x<90.5 88 0.375
90.5≤x<95.5 93 0.275
95.5≤x<100.5 98 0.05
请根据图表信息,解答下列问题:
(1)填空:n= ,a= ;
(2)请补全学生成绩频数分布直方图;
(3)求这n名学生成绩的平均分;
(4)从成绩在75.5≤x<80.5和95.5≤x<100.5的学生中任选两名学生,请用列表法或画树状图的方法,求选取的学生成绩在75.5≤x<80.5和95.5≤x<100.5中各一名的概率.
解:(1)40 0.25
(2)补全的学生成绩频数分布直方图如图①所示.
①
(3)78×0.05+83×0.25+88×0.375+93×0.275+98×0.05=88.125.
∴这n名学生成绩的平均分为88.125分.
(4)用a,b表示成绩在75.5≤x<80.5的学生,用m,n表示成绩在95.5≤x<100.5的学生,画树状图如图②所示.由树状图,知被选取的学生成绩在75.5≤x<80.5和95.5≤x<100.5中各一名的概率为=.
②
20.(12分)在一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球,分别标有数字1,2,3,4,另有一个可以自由旋转的圆盘,被分成面积相等的3个扇形,分别标有数字1,2,3(如图所示).小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛,游戏规则为:一人从口袋中摸出一个小球,另一个人转动圆盘,如果所摸球上的数字与圆盘上转出的数字之和小于4,那么小颖去;否则小亮去.
(1)用画树状图法或列表法求出小颖参加比赛的概率.
(2)你认为该游戏公平吗 请说明理由.若不公平,请修改该游戏规则,使游戏公平.
解:(1)画树状图如图所示.
由树状图,可知共有12种等可能的结果,数字之和小于4的结果有
3种,
∴P(和小于4)==,∴小颖参加比赛的概率为.
(2)不公平.∵P(和小于4)=,P(和大于等于4)=,即P(小颖去)≠P(小亮去),∴该游戏不公平.
可改为:若数字之和为偶数,则小颖去;若数字之和为奇数,则小亮去.(答案不唯一)
