第8章 投影与识图
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列各种现象属于中心投影现象的是(B)
A.上午10时,走在路上的人的影子
B.晚上10时,走在路灯下的人的影子
C.中午用来乘凉的树影
D.升国旗时,地上旗杆的影子
2.(2023湘西州)如图所示是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体,其箭头所指方向为主视方向,则这个几何体的俯视图是(C)
A B C D
3.下列投影一定不会改变△ABC的形状和大小的是(D)
A.中心投影 B.平行投影
C.正投影 D.当△ABC平行于投影面时的平行投影
4.(随州中考)如图所示是一个放在水平桌面上的半球,则该几何体的三视图中完全相同的是(A)
A.主视图和左视图 B.主视图和俯视图
C.左视图和俯视图 D.三个视图均相同
5.(2023丽水)如图所示,箭头所指的是某陶艺工作室用于垫放陶器的5块相同的耐火砖搭成的几何体,它的主视图是(D)
A B C D
6.(青岛中考)如图①所示,用一个平面截长方体,得到如图②所示的几何体,它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”.图②“堑堵”的俯视图是(C)
A B C D
7.如图所示,电灯P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=1.5 m,CD=4.5 m,点P到CD的距离为2.7 m,则AB与CD间的距离是(D)
A.0.9 m B.1.2 m C.1.5 m D.1.8 m
8.如图所示,王华晚上由路灯A下的B处走到C处时,测得影子CD的长为1米,继续往前走3米到达E处时,测得影子EF的长为2米,已知王华的身高是1.5米,那么路灯A的高度AB等于(B)
A.4.5米 B.6米 C.7.2米 D.8米
9.(2024单县一模)某款扫地机器人的俯视图是一个等宽曲边三角形ABC(分别以正△ABC的三个顶点A,B,C为圆心,AB长为半径画弧得到的图形).若已知AB=6,则曲边的长为(B)
A.π
B.2π
C.6π
D.12π
10.小明住的小区有一条笔直的路,路旁有一盏路灯,一天晚上,他行走在这条路上,如图所示,在他从A点匀速走到B点的过程中,他在灯光照射下的影长l与所走路程s的变化关系图象大致是(C)
11.(2023牡丹江)由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示,则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是(B)
A.6 B.7 C.8 D.9
12.一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图都是腰长为4,底边为2的等腰三角形,则这个几何体侧面展开图的面积和圆心角分别是(B)
A.4π,60° B.4π,90° C.2π,90° D.8π,60°
二、填空题(每小题3分,共15分)
13.诗人释惠明在《手影戏》中写道:“三尺生绡作戏台,全凭十指逞诙谐.有时明月灯窗下,一笑还从掌握来.”手影戏中的手影属于 中心投影 (填“平行投影”或“中心投影”).
14.(2024鄄城一模)小兰身高160 cm,她站立在阳光下的影子长为
80 cm;她把手臂竖直举起,此时影子长为100 cm,那么小兰的手臂超出头顶 40 cm.
15.(2024广饶县期末)用6个大小相同的小正方体搭成一个几何体,从正面、左面和上面看到的形状图都是如图所示的“田”字.满足条件的搭法有 2 种.
16.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示,圆柱表面上的点M在主视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长为
2 .
17.古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法,在金字塔影子的顶部直立一根木杆,借助太阳光测金字塔的高度.如图所示(示意图),木杆EF长2米,它的影长FD是4米,同一时刻测得OA是268米,则金字塔的高度BO是 134 米.
三、解答题(共69分)
18.(8分)如图所示,是由几个大小相同的小正方体所搭成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示这个位置小正方体的个数,请画出该几何体的主视图和左视图.
解:如图所示.
19.(9分)如图所示为住宅区内的两幢楼,它们的高AB=CD=30 m,两楼间的距离AC=24 m,现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况,当太阳光与水平线的夹角为30°时,求甲楼的影子在乙楼上有多高.
解:如图所示,记光线与CD交于点E,过点E作EF⊥AB于点F,
则EC=AF,EF=AC=24 m,∠BEF=30°,
∴BF=24 m,
∴BF=8 m.
∴AF=AB-BF=(30-8)m,
∴EC=(30-8)m.
∴甲楼的影子在乙楼上的高度为(30-8)m.
20.(10分)(2024肥城期末)从正面、左面、上面看到的圆柱的形状图如图所示.(计算结果用π表示)
(1)求这个圆柱的表面积;
(2)求这个圆柱的体积.
解:(1)π×()2×2+π×4×6=8π+24π=32π.
故这个圆柱的表面积是32π.
(2)π×()2×6=π×4×6=24π.
故这个圆柱的体积是24π.
21.(12分)如图所示,AB是公园里的一个圆形桌面的主视图,MN表示该桌面在路灯下的影子;CD则表示一个圆形的凳子.
(1)请你在图中标出路灯O的位置,并画出CD的影子PQ(要求保留画图痕迹,光线用虚线表示);
(2)若桌面直径和桌面与地面的距离均为1.2 m,测得影子的最大跨度MN为2 m,求路灯O与地面的距离.
解:(1)如图所示,延长MA,NB,它们的交点为点O,再连接OC,OD,并分别延长交地面于点P,Q,则PQ为CD的影子,∴点O和线段PQ为所
求作.
(2)过点O作OF⊥MN交MN于点F,交AB于点E,如图所示,则EF=1.2 m.
∵AB∥MN,∴△OAB∽△OMN,∴AB∶MN=OE∶OF,
即1.2∶2=(OF-1.2)∶OF,解得OF=3 m.
∴路灯O与地面的距离为3 m.
22.(14分)(2024自贡节选)为测量水平操场上旗杆的高度,九(2)班各学习小组运用了多种测量方法.
①(利用影子) ②(利用镜子)
(1)如图①,小张在测量时发现,自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE.此时,小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3 m,求旗杆的高度;
(2)如图②,小李站在操场上E点处,前面水平放置镜面C,并通过镜面观测到旗杆顶部A.小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE=1.5 m,小李到镜面距离EC=2 m,镜面到旗杆的距离CB=16 m.求旗杆高度.
解:(1)由题意得EF=DE,由题意得=,
∴AB=BC=11.3 m.即旗杆的高度为11.3 m.
(2)由题意得,DE=1.5 m,EC=2 m,BC=16 m,
根据镜面反射可知:∠ACB=∠ECD,
∵AB⊥BE,DE⊥BE,∴∠ABC=∠DEC=90°,
∴△ACB∽△DCE,
∴=,即=,
∴AB=12.
答:旗杆高度为12 m.
23.(16分)如图所示是一个几何体的三视图.
(1)写出这个几何体的名称;
(2)根据图中所示数据计算这个几何体的表面积;
(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体表面上的点B出发,沿表面爬到AC的中点D,请你求出蚂蚁爬行的最短路程.
解:(1)根据主视图、左视图都是三角形,俯视图为带圆心的圆,可知该几何体是圆锥.
(2)S表=S侧+S底=12π+4π=16π(cm2),
即该几何体的表面积为16π cm2.
(3)如图所示,将圆锥侧面展开,得到扇形ABB′,连接BC.
由题意,知线段BD为所求的最短路程.
设∠BAB′=n°.
∵=4π,∴n=120,
即∠BAB′=120°.
∵C为的中点,∴∠BAC=60°,∴△ABC为等边三角形,
∴BD⊥AC,AD=AC=3 cm,
∴BD=AD·tan∠BAD=3×=3(cm),
∴蚂蚁爬行的最短路程为3 cm.第8章 投影与识图
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列各种现象属于中心投影现象的是( )
A.上午10时,走在路上的人的影子
B.晚上10时,走在路灯下的人的影子
C.中午用来乘凉的树影
D.升国旗时,地上旗杆的影子
2.(2023湘西州)如图所示是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体,其箭头所指方向为主视方向,则这个几何体的俯视图是( )
A B C D
3.下列投影一定不会改变△ABC的形状和大小的是( )
A.中心投影 B.平行投影
C.正投影 D.当△ABC平行于投影面时的平行投影
4.(随州中考)如图所示是一个放在水平桌面上的半球,则该几何体的三视图中完全相同的是( )
A.主视图和左视图 B.主视图和俯视图
C.左视图和俯视图 D.三个视图均相同
5.(2023丽水)如图所示,箭头所指的是某陶艺工作室用于垫放陶器的5块相同的耐火砖搭成的几何体,它的主视图是( )
A B C D
6.(青岛中考)如图①所示,用一个平面截长方体,得到如图②所示的几何体,它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”.图②“堑堵”的俯视图是( )
A B C D
7.如图所示,电灯P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=1.5 m,CD=4.5 m,点P到CD的距离为2.7 m,则AB与CD间的距离是( )
A.0.9 m B.1.2 m C.1.5 m D.1.8 m
8.如图所示,王华晚上由路灯A下的B处走到C处时,测得影子CD的长为1米,继续往前走3米到达E处时,测得影子EF的长为2米,已知王华的身高是1.5米,那么路灯A的高度AB等于( )
A.4.5米 B.6米 C.7.2米 D.8米
9.(2024单县一模)某款扫地机器人的俯视图是一个等宽曲边三角形ABC(分别以正△ABC的三个顶点A,B,C为圆心,AB长为半径画弧得到的图形).若已知AB=6,则曲边的长为( )
A.π
B.2π
C.6π
D.12π
10.小明住的小区有一条笔直的路,路旁有一盏路灯,一天晚上,他行走在这条路上,如图所示,在他从A点匀速走到B点的过程中,他在灯光照射下的影长l与所走路程s的变化关系图象大致是( )
11.(2023牡丹江)由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示,则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
12.一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图都是腰长为4,底边为2的等腰三角形,则这个几何体侧面展开图的面积和圆心角分别是( )
A.4π,60° B.4π,90° C.2π,90° D.8π,60°
二、填空题(每小题3分,共15分)
13.诗人释惠明在《手影戏》中写道:“三尺生绡作戏台,全凭十指逞诙谐.有时明月灯窗下,一笑还从掌握来.”手影戏中的手影属于 (填“平行投影”或“中心投影”).
14.(2024鄄城一模)小兰身高160 cm,她站立在阳光下的影子长为
80 cm;她把手臂竖直举起,此时影子长为100 cm,那么小兰的手臂超出头顶 cm.
15.(2024广饶县期末)用6个大小相同的小正方体搭成一个几何体,从正面、左面和上面看到的形状图都是如图所示的“田”字.满足条件的搭法有 种.
16.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示,圆柱表面上的点M在主视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长为
.
17.古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法,在金字塔影子的顶部直立一根木杆,借助太阳光测金字塔的高度.如图所示(示意图),木杆EF长2米,它的影长FD是4米,同一时刻测得OA是268米,则金字塔的高度BO是 米.
三、解答题(共69分)
18.(8分)如图所示,是由几个大小相同的小正方体所搭成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示这个位置小正方体的个数,请画出该几何体的主视图和左视图.
19.(9分)如图所示为住宅区内的两幢楼,它们的高AB=CD=30 m,两楼间的距离AC=24 m,现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况,当太阳光与水平线的夹角为30°时,求甲楼的影子在乙楼上有多高.
20.(10分)(2024肥城期末)从正面、左面、上面看到的圆柱的形状图如图所示.(计算结果用π表示)
(1)求这个圆柱的表面积;
(2)求这个圆柱的体积.
21.(12分)如图所示,AB是公园里的一个圆形桌面的主视图,MN表示该桌面在路灯下的影子;CD则表示一个圆形的凳子.
(1)请你在图中标出路灯O的位置,并画出CD的影子PQ(要求保留画图痕迹,光线用虚线表示);
(2)若桌面直径和桌面与地面的距离均为1.2 m,测得影子的最大跨度MN为2 m,求路灯O与地面的距离.
22.(14分)(2024自贡节选)为测量水平操场上旗杆的高度,九(2)班各学习小组运用了多种测量方法.
①(利用影子) ②(利用镜子)
(1)如图①,小张在测量时发现,自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE.此时,小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3 m,求旗杆的高度;
(2)如图②,小李站在操场上E点处,前面水平放置镜面C,并通过镜面观测到旗杆顶部A.小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE=1.5 m,小李到镜面距离EC=2 m,镜面到旗杆的距离CB=16 m.求旗杆高度.
23.(16分)如图所示是一个几何体的三视图.
(1)写出这个几何体的名称;
(2)根据图中所示数据计算这个几何体的表面积;
(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体表面上的点B出发,沿表面爬到AC的中点D,请你求出蚂蚁爬行的最短路程.
