5.3 二次函数～5.7 二次函数的应用
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.下列y关于x的函数中,一定是二次函数的是( )
A.y=x2 B.y=3x+1
C.y=ax2+bx+c D.y=
2.(兰州中考)已知二次函数y=2x2-4x+5,当函数值y随x值的增大而增大时,x的取值范围是( )
A.x<1 B.x>1
C.x<2 D.x>2
3.(2023广西)将抛物线y=x2先向右平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到的抛物线是( )
A.y=(x-3)2+4 B.y=(x+3)2+4
C.y=(x-3)2-4 D.y=(x+3)2-4
4.(郴州中考)关于二次函数y=(x-1)2+5,下列说法正确的是( )
A.函数图象的开口向下
B.函数图象的顶点坐标是(-1,5)
C.该函数有最大值,最大值是5
D.当x>1时,y随x的增大而增大
5.竖直向上发射一枚炮弹,经x秒后的高度为 y米,且高度y(米)与时间x(秒)的关系为y=ax2+bx.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列哪一个时间的高度是最高的 ( )
A.第8秒 B.第10秒
C.第12秒 D.第15秒
6.(贺州中考)如图所示,已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A(-3,y1),B(1,y2)两点,则关于x的不等式ax2+c≥-kx+m的解集是( )
A.x≤-3或x≥1 B.x≤-1或x≥3
C.-3≤x≤1 D.-1≤x≤3
7.(随州中考)如图所示,已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(-1,0),对称轴为直线x=1.则下列结论正确的有( )
①abc>0;②2a+b=0;③函数y=ax2+bx+c的最大值为-4a;④若关于x的方程ax2+bx+c=a+1无实数根,则-
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.(铜仁中考)如图所示,等边三角形ABC、等边三角形DEF的边长分别为3和2.开始时点A与点D重合,DE在AB上,DF在AC上,△DEF沿AB向右平移,当点D到达点B时停止.在此过程中,设△ABC,△DEF重合部分的面积为y,△DEF移动的距离为x,则y与x的函数图象大致为( )
A B C D
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2023广州)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=x2-3上,且0”或“=”)
10.(2023滨州)某广场要建一个圆形喷水池,计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处离池中心的水平距离也为3 m,那么水管的设计高度应为 .
11.二次函数y=a(x+m)2+n的图象如图所示,则一次函数y=mx+n的图象不经过第 象限.
12.(盐城中考)若点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上,且点P到y轴的距离小于2,则n的取值范围是 .
13.如图所示,P是抛物线y=x2-x-4在第四象限内的一点,过点P分别向x轴和y轴作垂线,垂足分别为A,B,则四边形OAPB周长的最大值为 .
14.(2023武汉)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,c<0)经过(1,1),
(m,0),(n,0)三点,且n≥3.下列四个结论:
①b<0;②4ac-b2<4a;③当n=3时,若点(2,t)在该抛物线上,则t>1;
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根,则0其中正确的是 (填写序号).
三、解答题(共44分)
15.(2024德阳节选)如图所示,抛物线y=x2-x+c与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)当016.(2023丹东)某品牌大米远近闻名,深受广大消费者喜爱,某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米,以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售.当每千克售价为5元时,每天售出大米950 kg;当每千克售价为6元时,每天售出大米900 kg,通过分析销售数据发现:每天销售大米的质量y(kg)与每千克售价x(元)满足一次函数
关系.
(1)请写出y与x的函数关系式.
(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时,每天销售该大米的利润可达到1 800元
(3)当每千克售价定为多少元时,每天获利最大 最大利润为多少元
17.(2023河南)小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者,还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析,下面是他对击球线路的分析.
如图所示,在平面直角坐标系中,点A,C在x轴上,球网AB与y轴的水平距离OA=3 m,CA=2 m,击球点P在y轴上.若选择扣球,羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系y=-0.4x+2.8;若选择吊球,羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y=a(x-1)2+3.2.
(1)求点P的坐标和a的值.
(2)小林分析发现,上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到C点的距离更近,请通过计算判断应选择哪种击球方式.5.3 二次函数～5.7 二次函数的应用
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.下列y关于x的函数中,一定是二次函数的是(A)
A.y=x2 B.y=3x+1
C.y=ax2+bx+c D.y=
2.(兰州中考)已知二次函数y=2x2-4x+5,当函数值y随x值的增大而增大时,x的取值范围是(B)
A.x<1 B.x>1
C.x<2 D.x>2
3.(2023广西)将抛物线y=x2先向右平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到的抛物线是(A)
A.y=(x-3)2+4 B.y=(x+3)2+4
C.y=(x-3)2-4 D.y=(x+3)2-4
4.(郴州中考)关于二次函数y=(x-1)2+5,下列说法正确的是(D)
A.函数图象的开口向下
B.函数图象的顶点坐标是(-1,5)
C.该函数有最大值,最大值是5
D.当x>1时,y随x的增大而增大
5.竖直向上发射一枚炮弹,经x秒后的高度为 y米,且高度y(米)与时间x(秒)的关系为y=ax2+bx.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列哪一个时间的高度是最高的 (B)
A.第8秒 B.第10秒
C.第12秒 D.第15秒
6.(贺州中考)如图所示,已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A(-3,y1),B(1,y2)两点,则关于x的不等式ax2+c≥-kx+m的解集是(D)
A.x≤-3或x≥1 B.x≤-1或x≥3
C.-3≤x≤1 D.-1≤x≤3
7.(随州中考)如图所示,已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(-1,0),对称轴为直线x=1.则下列结论正确的有(C)
①abc>0;②2a+b=0;③函数y=ax2+bx+c的最大值为-4a;④若关于x的方程ax2+bx+c=a+1无实数根,则-A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.(铜仁中考)如图所示,等边三角形ABC、等边三角形DEF的边长分别为3和2.开始时点A与点D重合,DE在AB上,DF在AC上,△DEF沿AB向右平移,当点D到达点B时停止.在此过程中,设△ABC,△DEF重合部分的面积为y,△DEF移动的距离为x,则y与x的函数图象大致为(C)
A B C D
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2023广州)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=x2-3上,且0”或“=”)
10.(2023滨州)某广场要建一个圆形喷水池,计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处离池中心的水平距离也为3 m,那么水管的设计高度应为 m .
11.二次函数y=a(x+m)2+n的图象如图所示,则一次函数y=mx+n的图象不经过第 一 象限.
12.(盐城中考)若点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上,且点P到y轴的距离小于2,则n的取值范围是 1≤n<10 .
13.如图所示,P是抛物线y=x2-x-4在第四象限内的一点,过点P分别向x轴和y轴作垂线,垂足分别为A,B,则四边形OAPB周长的最大值为 10 .
14.(2023武汉)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,c<0)经过(1,1),
(m,0),(n,0)三点,且n≥3.下列四个结论:
①b<0;②4ac-b2<4a;③当n=3时,若点(2,t)在该抛物线上,则t>1;
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根,则0其中正确的是 ②③④ (填写序号).
三、解答题(共44分)
15.(2024德阳节选)如图所示,抛物线y=x2-x+c与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)当0解:(1)把A(-1,0)代入y=x2-x+c,得0=1+1+c,
解得c=-2,
∴抛物线的函数表达式为y=x2-x-2.
(2)∵y=x2-x-2=(x-)2-,
∴抛物线y=x2-x-2开口向上,顶点坐标为(,-),对称轴为直线x=.
∵<,
∴在0值-.
∴当016.(2023丹东)某品牌大米远近闻名,深受广大消费者喜爱,某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米,以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售.当每千克售价为5元时,每天售出大米950 kg;当每千克售价为6元时,每天售出大米900 kg,通过分析销售数据发现:每天销售大米的质量y(kg)与每千克售价x(元)满足一次函数
关系.
(1)请写出y与x的函数关系式.
(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时,每天销售该大米的利润可达到1 800元
(3)当每千克售价定为多少元时,每天获利最大 最大利润为多少元
解:(1)根据题意,设y=kx+b.
当每千克售价为5元时,每天售出大米950 kg;
当每千克售价为6元时,每天售出大米900 kg,
则解得
则y与x的函数关系式为
y=-50x+1 200(4≤x≤7).
(2)定价为x元,每千克利润为(x-4)元,
由(1)知销售量为y=-50x+1 200,
则(x-4)(-50x+1 200)=1 800,
解得x1=22(舍去),x2=6,
∴超市将该大米每千克售价定为6元时,每天销售该大米的利润可达到1 800元.
(3)设每天所获利润为W元,
根据题意得W=(x-4)(-50x+1 200),
即W=-50x2+1 400x-4 800=-50(x-14)2+5 000.
∵-50<0,对称轴为直线x=14,
∴当x<14时,W随x的增大而增大.
又∵4≤x≤7,
∴当x=7时,W最大=-50(7-14)2+5 000=2 550,
∴当每千克售价定为7元时,每天获利最大,最大利润为2 550元.
17.(2023河南)小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者,还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析,下面是他对击球线路的分析.
如图所示,在平面直角坐标系中,点A,C在x轴上,球网AB与y轴的水平距离OA=3 m,CA=2 m,击球点P在y轴上.若选择扣球,羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系y=-0.4x+2.8;若选择吊球,羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y=a(x-1)2+3.2.
(1)求点P的坐标和a的值.
(2)小林分析发现,上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到C点的距离更近,请通过计算判断应选择哪种击球方式.
解:(1)在y=-0.4x+2.8中,令x=0得y=2.8,
∴点P的坐标为(0,2.8).
把P(0,2.8)代入y=a(x-1)2+3.2,
得a+3.2=2.8,
解得a=-0.4,
∴a的值是-0.4.
(2)∵OA=3 m,CA=2 m,
∴OC=5 m,
∴C(5,0).
在y=-0.4x+2.8中,令y=0,得x=7;
在y=-0.4(x-1)2+3.2中,令y=0,得-0.4(x-1)2+3.2=0,
解得x=-2+1(舍去)或x=2+1≈3.83.∵|7-5|>|3.83-5|,
∴选择吊球方式,球的落地点到C点的距离更近.