3.1 不等式的意义 教案
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3.1 不等式的意义
——新授课
一、教材分析
本节课是湘教版初中数学七年级下册第三章第一节《一元一次不等式（组）》中的内容，教材通过引导学生从现实问题中抽象出不等式，培养学生的数学建模能力和数学化思维。同时，教材还注重培养学生的逻辑思维和问题解决能力，通过解决实际问题的过程，加深学生对不等式意义的理解。本节课的内容不仅是学生学习不等式的基础，也是后续学习一元一次不等式、不等式组等内容的铺垫。
二、学情分析
在学习本章之前，学生已经具备了一定的数学基础，如等式的性质、一元一次方程、二元一次方程组等。然而，不等式的学习仍然面临一些挑战：
1.学生可能会盲目地套用等式的性质来解不等式，导致思维固化。特别是当不等式的两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向会改变，这一点需要特别强调和练习。
2.学生对在数轴上表示解集的理解可能不够深入，需要加强数形结合的思维训练。
3.学生对方程和不等式的相同点和不同点认识不深，这可能会影响他们对不等式本质的理解。
因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生理解不等式的本质，加强不等式的性质和运算规则的训练，同时注重培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
三、教学目标
1.理解不等式的意义，并根据给定条件列出不等式。
2.能够正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语。
3.通过具体实例建立不等式模型的过程，增强符号感和数学化能力。
四、重点难点
重点：理解并会用不等式表达数学量之间的关系。
难点：不等号的准确应用。
五、教学方法
讲授法、练习法、问答法
六、教学过程
一、复习回顾
问题1：什么是等式？
问题2：表示不等关系的式子叫做什么？它有什么特征？
【回顾】
1.表示相等关系的式子叫做等式。
特征：含“=”号。
2.不等式，含不等号
二、探究新知
【思考】
问题1：小华的身高为155 cm,小楠的身高为156 cm,你可以用不等号“>”或“<”来表示他们身高之间的关系吗？
问题2：在处于平衡状态的托盘天平的左盘放上一个网球、右盘放上一质量为20 g的砝码后，天平向左倾斜，如图所示，问网球的质量m g与砝码的质量20g之间具有怎样的关系？
问题3：一辆轿车在一条规定车速不低于60 km/h，且不高于100 km/h的高速公路上行驶，如何用式子来表示轿车在该高速公路上行驶的路程s(km)与行驶时间t(h)之间的关系呢？
【讲授】
156>155或155<156.
网球的质量>砝码的质量，即m > 20.
高速公路上行驶的路程≥一直最低时速行驶的路程，即s≥ 60t，
高速公路上行驶的路程≤一直最低时速行驶的路程，即s≤ 100t.
【思考】
156>155，155<156，m＞20，s≥60t，s≤100t有什么共同点？
左右两边不相等，用不等号进行连接
【定义】
用不等号 (＞，＜，≥，≤，≠) 连接而成式子叫作不等式.
【讲授】
常见的不等号：
符号 名称 读法 实际意义
＜ 小于号 小于 小于、不足
＞ 大于号 大于 大于、超出
≤ 小于等于号 小于或等于 不大于、不超过、至多
≥ 大于等于号 大于或等于 不小于、不低于、至少
≠ 不等号 不等于 不相等
【牛刀小试】
下列式子:①3x+4<0;②y=3;③5x+3A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
三、例题探究
例1 用不等式表示下列数量关系：
（1）a的5倍大于7；
（2）a与b的和的一半小于1；
（3）长、宽分别为b cm，c cm的长方形的面积小于边长为 a cm的正方形的面积.
解：根据题意分别可得如下不等式：
（1）5a>；（2）；（3）
【讲授】
与不等号相关的关键词:
>：大于，高于，超过，正数……
≥：大于或等于，不小于，不低于，至少，非负数……
<：小于，低于，不足，负数……
≤：小于或等于，不大于，不高于，不超过，至多，非正数……
≠：不等于例3 用计算器计算：2×（结果精确到0.01）.
例2 已知一支圆珠笔的售价为1.5元，签字笔与圆珠笔相比每支贵2元. 小华带了50元，买了x支圆珠笔和10支签字笔.
问题1：填写表格。
问题2：小华所需支付的金额为多少？
问题:3：请用含x的不等式表示小华所需支付的金额与50元之间的关系.
2. (1.5x+35)元
3. 1.5x+35≤50
【讲授】1.5x+35≤50是含有未知数x的不等式，表示x用哪些数代入，能够使得①式成立,即左边的多项式1.5x+35的值小于或等于右边的值50.
【思考】x能取哪些值？小华至多能买几支圆珠笔？
根据生活常识可知,①式中x只能取正整数,于是
若x取1,将其代入①式,得1.5×1+35=36.5＜50
.……
若x取9,将其代入①式,得1.5×9+35=48.5＜50.
若x取10,将其代入①式,得1.5×10+35=50.
若x取11,将其代入①式,得1.5×11＋35=51.5≥50.
因此,小华至多能买10支圆珠笔.
【做一做】
例2中，如果小华带了60元钱，他至多能买多少支圆珠笔？
解：由于小华只带了60元，因此他买x支圆珠笔和10支签字笔支付的金额不超过60元，则有以下不等量关系：
1.5x +35≤60.
若x取16,将其代入①式,得1.5×16+35=59＜60.
若x取17,将其代入①式,得1.5×17+35=60.5＞60.
因此,小华至多能买16支圆珠笔.
四、课堂小结
什么是不等式？在列不等式时需注意什么？
五、课堂练习
1.若2x-y□5是不等式,则“□”内的符号不能是 ( )
A.+ B.> C.≠ D.≤
2.某养生钙奶饮料的包装瓶上标注“每100 g内含钙≥150 mg”，它的含义是指（ ）
A. 每100 g内含钙量是150 mg
B. 每100 g内含钙量不低于150 mg
C. 每100 g内含钙量高于150 mg
D. 每100 g内含钙量不超过150 mg
3.小霞原有存款52元,小明原有存款70元.从这个月开始,小霞每月存15元零花钱,小明每月存12元零花钱,设经过n个月后小霞的存款超过小明,可列不等式为 ( )
A.52+15n>70+12n
B.52+15n<70+12n
C.52+12n>70+15n
D.52+12n<70+15n
4.用不等式表示下列数量关系：
（1）m与n的和是正数：________.
（2）x的2倍与y的一半的差是负数：________.
（3）3与a的和的一半不大于-1：_____________.
六、作业布置
课堂作业：P58 T2
家庭作业：《学法》P36 A组（基础一般）、B组（基础较好）、C组（选做）
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3.1 不等式的意义
——新授课
一、教材分析
本节课是湘教版初中数学七年级下册第三章第一节《一元一次不等式（组）》中的内容，教材通过引导学生从现实问题中抽象出不等式，培养学生的数学建模能力和数学化思维。同时，教材还注重培养学生的逻辑思维和问题解决能力，通过解决实际问题的过程，加深学生对不等式意义的理解。本节课的内容不仅是学生学习不等式的基础，也是后续学习一元一次不等式、不等式组等内容的铺垫。
二、学情分析
在学习本章之前，学生已经具备了一定的数学基础，如等式的性质、一元一次方程、二元一次方程组等。然而，不等式的学习仍然面临一些挑战：
1.学生可能会盲目地套用等式的性质来解不等式，导致思维固化。特别是当不等式的两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向会改变，这一点需要特别强调和练习。
2.学生对在数轴上表示解集的理解可能不够深入，需要加强数形结合的思维训练。
3.学生对方程和不等式的相同点和不同点认识不深，这可能会影响他们对不等式本质的理解。
因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生理解不等式的本质，加强不等式的性质和运算规则的训练，同时注重培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
三、教学目标
1.理解不等式的意义，并根据给定条件列出不等式。
2.能够正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语。
3.通过具体实例建立不等式模型的过程，增强符号感和数学化能力。
四、重点难点
重点：理解并会用不等式表达数学量之间的关系。
难点：不等号的准确应用。
五、教学方法
讲授法、练习法、问答法
六、教学过程
一、复习回顾
问题1：什么是等式？
问题2：表示不等关系的式子叫做什么？它有什么特征？
【回顾】
1.表示相等关系的式子叫做等式。
特征：含“=”号。
2.不等式，含不等号
二、探究新知
【思考】
问题1：小华的身高为155 cm,小楠的身高为156 cm,你可以用不等号“>”或“<”来表示他们身高之间的关系吗？
问题2：在处于平衡状态的托盘天平的左盘放上一个网球、右盘放上一质量为20 g的砝码后，天平向左倾斜，如图所示，问网球的质量m g与砝码的质量20g之间具有怎样的关系？
问题3：一辆轿车在一条规定车速不低于60 km/h，且不高于100 km/h的高速公路上行驶，如何用式子来表示轿车在该高速公路上行驶的路程s(km)与行驶时间t(h)之间的关系呢？
【讲授】
156>155或155<156.
网球的质量>砝码的质量，即m > 20.
高速公路上行驶的路程≥一直最低时速行驶的路程，即s≥ 60t，
高速公路上行驶的路程≤一直最低时速行驶的路程，即s≤ 100t.
【思考】
156>155，155<156，m＞20，s≥60t，s≤100t有什么共同点？
左右两边不相等，用不等号进行连接
【定义】
用不等号 (＞，＜，≥，≤，≠) 连接而成式子叫作不等式.
【讲授】
常见的不等号：
符号 名称 读法 实际意义
＜ 小于号 小于 小于、不足
＞ 大于号 大于 大于、超出
≤ 小于等于号 小于或等于 不大于、不超过、至多
≥ 大于等于号 大于或等于 不小于、不低于、至少
≠ 不等号 不等于 不相等
【牛刀小试】
下列式子:①3x+4<0;②y=3;③5x+3
三、例题探究
例1 用不等式表示下列数量关系：
（1）a的5倍大于7；
（2）a与b的和的一半小于1；
（3）长、宽分别为b cm，c cm的长方形的面积小于边长为 a cm的正方形的面积.
解：根据题意分别可得如下不等式：
（1）5a>；（2）；（3）
【讲授】
与不等号相关的关键词:
>：大于，高于，超过，正数……
≥：大于或等于，不小于，不低于，至少，非负数……
<：小于，低于，不足，负数……
≤：小于或等于，不大于，不高于，不超过，至多，非正数……
≠：不等于例3 用计算器计算：2×（结果精确到0.01）.
例2 已知一支圆珠笔的售价为1.5元，签字笔与圆珠笔相比每支贵2元. 小华带了50元，买了x支圆珠笔和10支签字笔.
问题1：填写表格。
问题2：小华所需支付的金额为多少？
问题:3：请用含x的不等式表示小华所需支付的金额与50元之间的关系.
2. (1.5x+35)元
3. 1.5x+35≤50
【讲授】1.5x+35≤50是含有未知数x的不等式，表示x用哪些数代入，能够使得①式成立,即左边的多项式1.5x+35的值小于或等于右边的值50.
【思考】x能取哪些值？小华至多能买几支圆珠笔？
根据生活常识可知,①式中x只能取正整数,于是
若x取1,将其代入①式,得1.5×1+35=36.5＜50
.……
若x取9,将其代入①式,得1.5×9+35=48.5＜50.
若x取10,将其代入①式,得1.5×10+35=50.
若x取11,将其代入①式,得1.5×11＋35=51.5≥50.
因此,小华至多能买10支圆珠笔.
【做一做】
例2中，如果小华带了60元钱，他至多能买多少支圆珠笔？
解：由于小华只带了60元，因此他买x支圆珠笔和10支签字笔支付的金额不超过60元，则有以下不等量关系：
1.5x +35≤60.
若x取16,将其代入①式,得1.5×16+35=59＜60.
若x取17,将其代入①式,得1.5×17+35=60.5＞60.
因此,小华至多能买16支圆珠笔.
四、课堂小结
什么是不等式？在列不等式时需注意什么？
五、课堂练习
1.若2x-y□5是不等式,则“□”内的符号不能是 ( )
A.+ B.> C.≠ D.≤
2.某养生钙奶饮料的包装瓶上标注“每100 g内含钙≥150 mg”，它的含义是指（ ）
A. 每100 g内含钙量是150 mg
B. 每100 g内含钙量不低于150 mg
C. 每100 g内含钙量高于150 mg
D. 每100 g内含钙量不超过150 mg
3.小霞原有存款52元,小明原有存款70元.从这个月开始,小霞每月存15元零花钱,小明每月存12元零花钱,设经过n个月后小霞的存款超过小明,可列不等式为 ( )
A.52+15n>70+12n
B.52+15n<70+12n
C.52+12n>70+15n
D.52+12n<70+15n
4.用不等式表示下列数量关系：
（1）m与n的和是正数：________.
（2）x的2倍与y的一半的差是负数：________.
（3）3与a的和的一半不大于-1：_____________.
六、作业布置
课堂作业：P58 T2
家庭作业：《学法》P36 A组（基础一般）、B组（基础较好）、C组（选做）
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