10.4三元一次方程组同步练习（含解析）

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10.4三元一次方程组
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．解方程组，最简便的消元方法是（ ）
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数项
2．如图，两个天平都平衡，则与1个“●”质量相等的“”的个数为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
3．已知方程组，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知方程组，则的值是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
5．三元一次方程组消去未知数后，得到的二元一次方程组是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，“●、■、▲”分别表示三种不同的物体，已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在“？”处只放“■”，那么应放“■”（ ）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7．有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元：黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（ ）
A．10元 B．9元 C．8元 D．6元
8．若 ，， 是从 ，， 这三个数中取值的一列数，且 ，，则在 ，， 中，取值为 的个数为 （ ）
A． B． C． D．
9．《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如，对于方程组，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（ ）
A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0
10．小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款（　　）
A．200元 B．400元 C．500元 D．600元
11．观察方程组的系数特征，若要使求解简便，消元的方法是（ ）
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对
12．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）

A．b的值为6
B．a为奇数
C．乘积结果可以表示为
D．a的值小于3
二、填空题
13．夏季来临，某饮品公司推出A、B、C三种新饮品试销，4月份A、B、C三种饮品的销量之比为5：4：1．在5月份，公司对A打折促销，将A价格调整为原来的，B的价格不变，并停止销售C饮品，结果原来C销量的转移购买了A，其余转移购买了B．5月的总销量在4月的基础上增加了，其中B饮品的销量除去从C转移过的部分增长了，5月A的销售额占5月总销售额的，5月的销售总额是4月的倍，则4月C的销售额与4、5两月的销售总额的比为 ．
14．方程组的解为 ．
15．代数式，当时值为；当时值为；当时值为，则这个代数式是 ．
16．某初级中学在落实“双减”的背景下，决定在课后延时服务中组织学生开展社团活动，为了了解学生参与的意向，该校初一年级主任进行了随机抽样调查（被抽到的学生都填了意向表，且只选择了一个意向社团），统计后发现共A、B、C、D四个社团都有学生选择．其中选择C的人数比选择D的人数多1人；选择A的人数是选择D的人数的整数倍，选择A与选择D的人数之和是选择B与选择C的人数之和的4倍；选择A与选择B的人数之和比选择C与选择D的人数之和多26人．则这次参加抽样调查的学生有 人．
17．已知，则的值是 ．
三、解答题
18．解方程组：
19．如下图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：，即．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
20．一个三位数各位上的数字之和为17，百位上的数字与十位上的数字的和比个位上的数字大3，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的数比原数大495．求原三位数．
21．（1）数学活动：探究不定方程
小张，小王两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以解出的值．请在以下横线处补全两人的解法．
小张的方法：
，整理可得：____________；
，整理可得：____________，
∴
小王的方法：：_____________③；
∴__________得：．
（2）请利用解不定方程的思路解决以下问题：已知买4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；买4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要元，求买2本英语簿，3本数学簿，1本作文本需要多少钱？
22．解三元一次方程组．
(1)；
(2)．
23．已知，当时，；当时，；当时，．求、、的值．
24．若关于，的方程组的解，互为相反数，求的值
《10.4三元一次方程组》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C A A A D C A B
题号 11 12
答案 B D
1．B
【解析】略
2．C
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据图中物体的质量和天平的平衡情况，设出未知数，列出方程组解答．
【详解】
解：设1个“”， “”，“”的质量分别为，
∴，
∴，
∴，
即：与1个“”质量相等的“”的个数为2；
故选C．
3．C
【分析】把三个方程相加即可得到的值．
【详解】解：，
①＋②＋③，得：
，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查解三元一次方程组．理解和掌握解方程过程中的整体思想是解题的关键．
4．A
【分析】原方程组左右两边同时相加后再两边同时除以2可以得解．　
【详解】解：原方程组左右两边同时相加可得：
∴
故选：A．　
【点睛】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握等式的基本性质及方程的变形是解题关键．　
5．A
【分析】根据解三元一次方程组的方法可以解答本题．
【详解】解：
得，，
得：，
∴三元一次方程组消去未知数后，得到的二元一次方程组是，
故选A．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是明确题意，会用消元法解方程组．
6．A
【分析】可设●、■、▲分别为x，y，z，由（1）（2）的等量关系可列出方程，用y分别表示出x和z即可得出结论．
【详解】解：设●、■、▲分别为x，y，z，由（1）（2）可知：
，
解得：，
∴，
即■的个数为5个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查方程组的应用，根据题意列出符合条件的方程组是解题的关键．
7．D
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设A、B、C三种商品的单价分别为x元，y元，z元，则，再解方程组即可得到答案．
【详解】解：设A、B、C三种商品的单价分别为x元，y元，z元，
由题意得，
得：，
∴，
∵x、y都是正整数，
∴是正整数，
∴当时，，，符合题意；
当时，，，不符合题意；
∴，
∴黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款6元，
故选：D．
8．C
【分析】设其中有a个0，b个1，c个2，则；由，可得；由，可得；联立得到方程组，求解即可．
【详解】解：由，，…，是从0，1，2，这三个数中取值的一列数，设其中有a个0，b个1，c个2，则；
由，可得；
由，可得；
联立得到，
解得，
∴在 ，， 中，取值为的个数为．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出方程组是解决问题的关键．
9．A
【分析】根据题意逐步求解三元一次方程即可
【详解】解：
由，得，
由，得，
由，得，
∴，
由，得，
由，得，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是根据题干信息将方程组中的数字与图一一对应．
10．B
【分析】设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元，根据题意列出方程组，计算即可求出x，y，z的值，即可得到结果．
【详解】解：设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，z元，
根据题意得：，
得：，即，
∴，
则购买甲、乙、丙各两件应该付款400元．
故选：B．
【点睛】此题考查了三元一次方程组的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
11．B
【分析】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．先把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的思想方法．经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可．
【详解】解：
方程可直接消去未知数y，
即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，
∴要使运算简便，消元的方法应选取先消去y，
故选：B．
12．D
【分析】本题考查了有理数的乘法和一元一次方程组．解题的关键熟练掌握用格子的方法计算两个数相乘的“铺地锦”，建立一元一次方程组．
设的十位数字是m，个位数字是n，根据“铺地锦”的方法将图2补全完整，由此建立方程组，求解，逐一判断即可．
【详解】如图，设的十位数字是m，个位数字是n，

∴，
∴，
∴D正确；
∴，
∴B正确，D不正确；
∴乘积结果可以表示为．
∴C正确．
故选：D．
13．/1：91
【分析】设4月份A、B、C三种饮品的销量分别为5a，4a，a，4月份A、B、C三种饮品的销售价格分别为x元、y元、z元，根据题意可得5月份A、B两种饮品的销售价格和销售量，并得出x、y、z之间的关系，再列式求解即可．
【详解】设4月份A、B、C三种饮品的销量分别为5a，4a，a，4月份A、B、C三种饮品的销售价格分别为x元、y元、z元，5月份A饮品的销量除去从C转移过的部分为m，
根据题意可得，5月份A种饮品的销售价格为元，B种饮品的销售价格为y元，5月份A种饮品的销量为，B种饮品的销售量为；
∵5月的总销量在4月的基础上增加了，
∴，
解得，
∴5月份A种饮品的销量为，
∵5月A的销售额占5月总销售额的，
∴，
∴，
∴5月的销售总额是=13ax，
∵5月的销售总额是4月的倍，
∴，
∴，
∴4月份的销售总额为：，
∴4月C的销售额与4、5两月的销售总额的比为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用，列代数式，关键是根据题意正确列出方程．
14．
【分析】本题考查了解三元一次方程组，先整理出，再代入，得出，再把代入，得出，则把代入解出，即可作答．
【详解】解：
由得出，整理得
把代入，得出
解得
把代入，得出
把代入，得出
∴方程组的解为．
故答案为：．
15．
【分析】将x的值代入代数式中，解三元一次方程组即可．
【详解】解：分别将，，代入得：
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查三元一次方程组的解法．利用消元法，把三元变二元，二元变一元是解题的关键．
16．60
【分析】根据题意设出未知数，列出方程组，再根据实际问题中人数为整数，进行适当的取舍即可解答．
【详解】设选择D的人数为x人，则选择C的人数为（x+ 1）人，设选择A的人数为ax人，选择B的人数为y人，根据题意得：
，
②-①得：5y+x=23，
则或或或
把代入②得：，
∴（舍去），
把代入②得：，
∴（舍去），
把代入②得：，
∴a=5，
把代入②得：，
∴（舍去），
∴，
∴选择A的人数为40人，选择B的人数为3人，选择C的人数为9人，选择D的人数为8人，
∴40 +3+9+8 = 60（人），
∴这次参加抽样调查的学生有60人．
故答案为：60
【点睛】本题考查了三元一次方程组，根据已知条件寻找等量关系列出方程组，并进行准确计算是解题的关键．
17．3
【分析】先根据非负数的性质列出方程组，求出x、y、z的值，再代入代数式求值即可．
【详解】解：由题意得，
解得，
故．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了三元一次方程组，代数式求值，非负数的性质：绝对值；偶次方；解决本题的关键是当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
18．
【详解】解：①＋②，解得y＝8．
将y＝8代入②和③，
得，
解得，
所以原方程组的解为．
19．(1)
(2)1
【分析】本题主要考查二元一次方程组，三元一次方程组的应用；
（1）根据图形得出关于的二元一次方程组，代入，即可求出；
（2）根据图形得出关于的三元一次方程组，代入，即可求出．
【详解】（1）解：依题意，
得
当时，
（2）依题意，得
当时，
20．原来的三位数为287．
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，
先设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z，再根据等量关系列出方程组，求出解即可.
【详解】解：设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z，
由题意，得，
解得，
答：原来的三位数为287．
21．（1）；；；③．（2）
【分析】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握整体未知数的方法是解本题的关键；
（1）分别根据题干提示的思路求解即可；
（2）由题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元，再建立方程组，先求解，再求解，从而可得答案．
【详解】解：（1）
由题意，小张的方法：，
整理可得：；
，整理可得：，
∴．
小王的方法：：③；
∴得：4．
故答案为：；；；．
（2）由题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元，
可得方程组
∴得，，
∴．
又，整理得，．
∴．
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用求得的值，再将的值代入③式子中求得的值，最后将的值代入①中即可；
（2）利用消元思想将式子，得到一个二元一次方程组，求出的值，将的值代入③式子中求得的值，最后将和的值代入①中即可求出的值．
【详解】（1）解：，
得，解得：，
将代入③中得：，解得：，
将代入①中得：，解得：，
原方程组的解为：；
（2），
得：，
得：，
得：，解得：，
将代入③，得，解得，
将，代入①中得：，解得：，
原方程组的解为：．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的求解，解题的过程中利用消元的思想把三元一次方程组转化为二元一次方程组，再利用消元的思想把二元一次方程组转化为一元一次方程再求解是解答本题的关键．
23．，，
【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，有加减消元法和代入消元法两种，本题通过建立关于 ， ，c的三元一次方程组，求得 、 、 的值．
【详解】解：根据题意，得
把③分别代入①和②，得，解得
，，．
24．
【分析】根据已知条件，互为相反数知，然后将代入原方程组，转变为二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：，互为相反数，
，即，
将代入原方程组，
，
整理可得，
，
得，，即，
将代入②得，．
【点睛】本题考查了三元一次方程组，加减消元法解二元一次方程组，相反数的应用，解答此题的关键是挖掘出内含在题干中的已知条件．
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