10.5用二元一次方程组解决问题同步练习（含解析）

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10.5用二元一次方程组解决问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为xcm和ycm，则依题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
2．中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
3．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中第三卷中记载一题：今有兽，六首四足；禽，四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问；禽、兽各几何？译文：今有一只怪兽，有6个头4只脚；一只怪鸟，有4个头2只脚，现在上面有76个头，下面有46只脚，问怪兽、怪鸟各有多少？设怪兽为x只，怪鸟为y只，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
4．为积极响应国家“双碳”目标，进一步加强劳动及美育教育，某班组织学生参加植树活动，男生植树数量比女生植树数量的2倍多8棵，女生植树数量比男生植树数量少24棵，设女生植树x棵，男生植树y棵，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
5．现用95张纸板制作一批盒子，每张纸板可做4个盒身或做11个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张纸板制盒身、多少张纸板制盒底，可以使盒身和盒底正好配套，设用x张纸板做盒身，y张纸板做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是（　　）
A． B．
C． D．
6．《九章算术》卷八方程第十题原文为“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十；乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？“题目大意是：现有甲、乙两人各带了若干钱．如果把乙的钱数的给甲，那么甲共有钱50；如果把甲的钱数的给乙，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人带的钱数分别是x和y，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
7．一条铁路线A，B，C三个车站的位置如图所示，已知B，C两车站之间相距500千米．火车从B站出发，向C站方向行驶，经过30分钟，距A站130千米；经过2小时，距A站280千米．火车从B站开出多少时间后可到达C站？（ ）
A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时
8．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”．诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、丙三人的解题方案，判断正确的个数是（ ）
甲：设客房有x间，则；
乙：设客人有y人，则；
丙：设客房有x间，客人有y人，则．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低，则每块墙砖的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．某份资料计划印制10000份，该任务由A，B两台印刷机先后接力完成，A印刷机印制160份，印刷机印制210份．两台印刷机完成该任务共需，甲、乙两人所列的方程组如表所示，下列判断正确的是（ ）
甲 解：设A印刷机印制了，印刷机印制了． 由题意，得 乙 解：设A印刷机印制了份，印刷机印制了份． 由题意，得
A．只有甲列的方程组正确 B．只有乙列的方程组正确
C．甲和乙列的方程组都正确 D．甲和乙列的方程组都不正确
11．在长为10m、宽为8m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，则花圃的面积和为（ ）
A．16m2 B．8m2 C．32m2 D．24m2
12．某学校为了增强学生体质，决定让各班去购买跳绳和毽子作为活动器械．七年1班生活委员小亮去购买了跳绳和毽子共5件，已知两种活动器械的单价均为正整数且跳绳的单价比毽子的单价高．在付款时，小亮问是不是30元，但收银员却说一共45元，小亮仔细看了看后发现自己将两种商品的单价记反了，则小亮实际购买情况是（ ）
A．1根跳绳，4个毽子 B．3根跳绳，2个毽子
C．2根跳绳，3个毽子 D．4根跳绳，1个毽子
二、填空题
13．塑料凳子轻便实用，在生活中随处可见．如图，若4个塑料凳子叠放在一起的高度为60cm，6个塑料凳子叠放在一起的高度为70cm．当有11个塑料凳子整齐的叠放在一起时，其高度是 cm．

14．某工厂现有95个工人，一个工人每天可做8个螺杆或22个螺母，两个螺母和一个螺杆为一套，现在要求工人每天做的螺杆和螺母完整配套而没有剩余，若设安排x个工人做螺杆，y个工人做螺母，则列出正确的二元一次方程组为 ．
15．有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货 吨．
16．某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表：
（1）采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 元；
（2）若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 箱（直接写出答案）．
牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元）
方案一 20 10 1100
方案二 30 15
17．定义一种运算※如下：，a和b均为常数，已知：，，则 ．
三、解答题
18．某药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示，如果长方体盒子的长比宽多4cm，求这种药品包装盒的体积．
19．娄底市出租车收费规定：起步价所包含的路程为0～1.5千米，超过1.5千米的部分按每千米另收费．
刘同学说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了4.5千米，付车费11元．”
李同学说：“我乘出租车从市政府到娄底火车站走了6.5千米，付车费15元．”
问：
(1)出租车的起步价是多少元？超过1.5千米后每千米收费多少元？
(2)小张乘出租车从家里到娄底南站（高铁站）走了9.5千米，应付车费多少元？
20．某礼品店准备购进A，B两种纪念品，每个A种纪念品比每个B种纪念品的进价少20元，购买9个A种纪念品所需的费用和购买7个B种纪念品所需的费用一样，请解答下列问题：
(1)A，B两种纪念品每个进价各是多少元？
(2)若该礼品店购进B种纪念品的个数比购进A种纪念品的个数的2倍还多5个，且A种纪念品不少于18个，购进A，B两种纪念品的总费用不超过5450元，则该礼品店有哪几种进货方案？
21．同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶，它们各自单独行驶并返回的最远距离是．现在它们同时从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶中抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．B地最远可距离A地多少千米？
22．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元．
(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
23．某电脑公司有A，B，C三种型号的电脑，其相应的价格如表：
型号 A B C
单价/元 6 000 4 000 2 500
已知某中学现有资金100 500元，计划全部用于从该电脑公司购进36台两种不同型号的电脑．请设计出几种不同的购买方案供该校选择．
24．某商场购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融两种毛绒玩具共100个，共花去10000元，这两种吉祥物毛绒玩具的进价、标价如下表：
冰墩墩 雪容融
进价（元/个） 120 70
标价（元/个） 160 100
(1)求该商场冰墩墩和雪容融这两种毛绒玩具分别购进了多少个
(2)如果商场将冰墩墩毛绒玩具按标价的9折出售，雪容融毛绒玩具按标价的8折出售，那么商场将这两种毛绒玩具全部售出后会获利多少元
《10.5用二元一次方程组解决问题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C B D A B C B C
题号 11 12
答案 D D
1．B
【分析】根据长方形的对边相等，可得出关于x，y的二元一次方程组．
【详解】解：依题意，得： ．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
2．A
【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【详解】解：设苦果有个，甜果有个，由题意可得，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的有关知识，正确找到相等关系是解决本题的关键．
3．C
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设怪兽为x只，怪鸟为y只，根据现在上面有76个头，下面有46只脚，列出方程组即可．
【详解】解：设怪兽为x只，怪鸟为y只，根据题意得：
，
故选：C．
4．B
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．
设女生植树x棵，男生植树y棵，根据男生植树数量比女生植树数量的2倍多8棵，女生植树数量比男生植树数量少24棵，列方程组求解即可．
【详解】解：设女生植树x棵，男生植树y棵，根据题意得：
故选：B．
5．D
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，根据“制作盒身和制作盒底的纸板共95张，每张纸板可做4个盒身或做11个盒底，且一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子（即制作的盒底的总数量是制作盒身总数量的2倍）”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：∵制作盒身和制作盒底的纸板共95张，
∴；
∵每张纸板可做4个盒身或做11个盒底，且一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子，
∴．
∴根据题意可列方程组．
故选：D．
6．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．根据题意可得，甲的钱乙所有钱的一半，乙的钱甲所有钱的，据此列方程组可得答案．
【详解】解：根据题意得：．
故选：A．
7．B
【分析】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，等量关系式：列车小时行驶的路程站与站的距离千米，列车小时行驶的路程站与站的距离千米，据此列出方程组，即可求解；找出等量关系式是解题的关键．
【详解】解：设火车的速度为千米／小时，站与站相距千米，由题意得
，
解得：，
（小时），
故答案：B．
8．C
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，正确列出方程和方程组．
【详解】解：设客房有x间，则，故甲正确，符合题意；
设客人有y人，则，故乙不正确，不符合题意；
设客房有x间，客人有y人，则，故丙正确，符合题意；
综上：正确的有甲、丙，共2个，
故选：C．
9．B
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．设每块墙砖的长为，宽为，根据“3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低”，可得关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再根据长方形的面积公式即可求出每块墙砖的面积．
【详解】解：设每块墙砖的长为，宽为，
根据题意得：，
解得：，
．
故选：B．
10．C
【分析】根据两台印刷机完成该任务共需和资料计划印制10000份，即可列出二元一次方程组．
【详解】解：∵两台印刷机完成该任务共需，
∴可列方程；
∵资料计划印制10000份，
∴可列方程，
∴甲和乙列的方程组都正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11．D
【解析】略
12．D
【分析】设实际小亮去购买跳绳根，购买毽子件，则，得且是正整数，设跳绳单价为元，毽子单价为元，且，得，且是正整数，依题意得由得即，且是正整数，由得，即，，建立方程组求解即可．
【详解】解：设实际小亮去购买跳绳根，购买毽子件，则，
且是正整数，
设跳绳单价为元，毽子单价为元，
且，
，且是正整数，
依题意得：
，
由得：，
即，
即，
，且是正整数，
由得：，
，，
，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，加减消元法解方程组；解题的关键是通过加减消元法得到，即，．
13．95
【分析】根据题意可设塑料凳子厚度为x（cm），凳子腿高为y（cm），可列出关于x，y方程组，求出x，y，然后可计算出11个塑料凳子叠在一起的高度．
【详解】解：设塑料凳子厚度为x（cm），凳子腿高为y（cm）
由题意可得，
解得：，
则11个塑料凳子整齐的叠放在一起的高度为 ．
故答案为：95．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，理解题意列出方程是解决问题的关键．
14．
【分析】根据“工厂现有95个工人”和“两个螺母和一个螺杆为一套，每天做的螺杆和螺母完整配套而没有剩余”分别列二元一次方程即可．
【详解】解：设安排x个工人做螺杆，y个工人做螺母，
根据“工厂现有95个工人”可得：，
根据“两个螺母和一个螺杆为一套，每天做的螺杆和螺母完整配套而没有剩余”可得：，即，
因此列二元一次方程组为：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．
15．23.5
【分析】设每辆大货车一次可以运货x吨，每辆小货车一次可以运货y吨，根据“3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，再整体求得（4x+3y）即可得出结论．
【详解】解：设每辆大货车一次可以运货x吨，每辆小货车一次可以运货y吨，
依题意，得：，
两式相加得8x+6y=47，
∴4x+3y=23.5(吨) ，
故答案为：23.5．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
16． 1650 6
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
（1）设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，根据题意列出方程即可得到答案；
（2）①设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，根据题意列出方程组，求解即可；
②设牛奶与咖啡总箱数为a，则打折的牛奶箱数为，设原价咖啡为b箱，则打折咖啡与原价牛奶共有，列出方程求出答案即可．
【详解】解：（1）设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，
由题意得：，
（元），
故答案为：1650；
（2）设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，
由题意得：，
解得：，
答：牛奶每箱为30元，咖啡每箱为50元；
设牛奶与咖啡总箱数为a，则打折的牛奶箱数为，
打折牛奶价格为：（元），打折咖啡价格为：（元），
即打折咖啡价格与牛奶原价相同，
设原价咖啡为b箱，则打折咖啡与原价牛奶共有，
由题意得：
整理得：，
a、b均为正整数，
或，
，
，
即此次按原价采购的咖啡有6箱，
故答案为：6．
17．
【分析】本题考查了新定义，二元一次方程组的应用；
根据新定义得出关于a、b的二元一次方程组，求出a、b，然后代入计算即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
∴，
故答案为：．
18．135cm3
【详解】设这种药品包装盒的宽为xcm，高为ycm，则长为（x＋4）cm，根据题意可得
解得
∴长为9cm．宽为5cm，高为3 cm．
则体积V＝9×5×3＝135（cm3）．
答：这种药品包装盒的体积为135cm3
19．(1)出租车的起步价是5元，超过1.5千米后每千米收费2元
(2)21元
【分析】（1）先设未知数，设出租车的起步价是x元，超过1.5千米后每千米收费y元．根据他们的对话建立2个等量关系，因为4.5千米和6.5千米都分两段收费，一段是1.5千米部分，一段是多于1.5千米的部分，再根据两段的单价和两人的付车费列出二元一次方程组求解；
（2）千米分两段收费：即1.5千米（起步价）+千米×单价=付车费．把（1）中的单价代入进行计算即可；
【详解】（1）解：设出租车的起步价是元，超过1.5千米后每千米收费元，
根据题意可得：，
即：，
解这个方程组，得：，
答：出租车的起步价是5元，超过1.5千米后每千米收费2元；
（2）小张应付的车费：（元），
答：小张应付的车费为21元．
【点睛】本题考查用二元一次方程组解决实际问题，解题关键弄清题中的等量关系．
20．(1)每个A种纪念品的进价为70元，每个B种纪念品的进价为90元
(2)该礼品店共有3种进货方案，方案1：购进A种纪念品18个，B种纪念品41个；方案2：购进A种纪念品19个，B种纪念品43个；方案3：购进A种纪念品20个，B种纪念品45个
【分析】（1）设每个A种纪念品的进价为x元，每个B种纪念品的进价为y元，根据相等关系列二元一次方程组求解即可；
（2）设购进A种纪念品m个，则购进B种纪念品个，根据“A种纪念品不少于18个”和“B种纪念品的个数比购进A种纪念品的个数的2倍还多5个”列出不等式组，求解即可．
【详解】（1）解：设每个A种纪念品的进价为x元，每个B种纪念品的进价为y元，
依题意，得，
解得.
答：每个A种纪念品的进价为70元，每个B种纪念品的进价为90元．
（2）解：设购进A种纪念品m个，则购进B种纪念品个，
依题意，得 ，
解得.
又∵m为正整数，
∴m可以取18，19，20，
∴该礼品店共有3种进货方案，
方案1：购进A种纪念品18个，B种纪念品41个；
方案2：购进A种纪念品19个，B种纪念品43个；
方案3：购进A种纪念品20个，B种纪念品45个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组解实际问题的应用，解题的关系是读懂题意，找到相等或不等关系列出方程组或不等式组．
21．B地最远可距离A地
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设，根据甲车行驶到C地时返回，到达A地时燃料恰好用完，乙车行驶到B地再返回到A地时燃料恰好用完时，B地距离A地最远，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设甲车行驶到C地时返回，到达A地时燃料恰好用完，乙车行驶到B地再返回到A地时燃料恰好用完，作示意图如图所示．
设．
根据题意，得，
解得，
故B地最远可距离A地．
22．(1)型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元；
(2)共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆；
(3)购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价单价数量求出三种购车方案获得的利润．
（1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论；
（3）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，
依题意，得：，
解得：．
答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元；
（2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆，
依题意，得：，
解得：．
，均为正整数，
，，，
共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆；
（3）解：方案一获得利润：（元；
方案二获得利润：（元；
方案三获得利润：（元．
，
购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元．
23．有两种方案供该校选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台
【分析】此题考查了二元一次方程组解决方案问题的运用，在解答时要考虑三种情况及题中的整数性，结合等量关系：单价×数量=总价．列方程组求解．
分三种情况进行计算：一是购买，A的单价×数量+B的单价×数量；二是购买，A的单价×数量+C的单价×数量；三是购买，B的单价×数量+C的单价×数量．求出三种情况的解就可以求出结论．
【详解】解：设从该电脑公司购进A型电脑x台，B型电脑y台，C型电脑z台，则可分以下三种情况考虑：
(1)只购进A型电脑和B型电脑，
则
解得 (不符合题意，舍去)
(2)只购进A型电脑和C型电脑，
则，解得，
(3)只购进B型电脑和C型电脑，
则解得
答：有两种方案供该校选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台．
24．(1)该商场冰墩墩毛绒玩具购进60个，雪容融毛绒玩具购进40个.
(2)商场将毛绒玩具全部售出后会获利1840元.
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）设该商场冰墩墩毛绒玩具购进个，雪容融毛绒玩具购进个，根据某商场购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融两种毛绒玩具共100个，共花去10000元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）由题意列式计算即可．
【详解】（1）设该商场冰墩墩毛绒玩具购进个，雪容融毛绒玩具购进个，
由题意得：，
解得：，
答：该商场冰墩墩毛绒玩具购进60个，雪容融毛绒玩具购进40个；
（2）（元，
答：商场将这两种毛绒玩具全部售出后会获利1840元．
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