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6.3三元一次方程组及其解法
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.下列方程中,是三元一次方程的是( )
A.y=2 015+2x B.x+y=
C.xy=z D.x+y-z=2 015
2.解三元一次方程组,如果消掉未知数,则应对方程组变形为( )
A.①③,①② B.①③,③② C.②①,②③ D.①②,①③
3.已知方程组,则的值是( )
A.9 B.8 C.7 D.6
4.方程组的解使代数式的值为,则的值为( )
A.0 B. C. D.
5.下列是三元一次方程组的是( )
A. B.
C. D.
6.有铅笔、作业本、签字笔三种学习用品.若购铅笔支,作业本本,签字笔支共需元;若购铅笔支,作业本本,签字笔支共需元,那么,购铅笔、作业本、签字笔各件共需( )
A.元 B.元 C.元 D.元
7.利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度,首先按图①方式放置,再交换两木块的位置,按图②方式放置,测量的数据如图,则桌子的高度是( )
A.73cm B.74cm C.75cm D.76cm
8.方程组的解是( )
A. B. C. D.
9.我们约定:上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数,如图1,有,在图2中,若的值为,则的值为( )
A. B. C.1 D.任意实数
10.有A,B,C三种商品,单价都是正整数(元),若黄老师去买A商品3件,B商品7件,C商品1件,共付款24元:黄老师又去买A商品4件,B商品10件,C商品1件,共付款33元;那么黄老师买A,B,C三种商品各一件共需付款( )
A.10元 B.9元 C.8元 D.6元
11.《九章算术》是我国古代著名的数学专著,其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组.比如,对于方程组,将其中数字排成长方形形式,然后执行如下步骤(如图);第一步,将第二行的数乘以3,然后不断地减第一行,直到第二行第一个数变为0;第二步,对第三行做同样的操作,其余步骤都类似.其本质就是在消元.那么其中的a,b的值分别是( )
A.24,4 B.17,4 C.24,0 D.17,0
12.在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”,如图1,计算,将乘数82记入上行,乘数34记入右行,然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字,将结果记入相应的格子中,最后按斜行加起来,既得2788.如图2,用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘,下列结论错误的是( )
A.b的值为6
B.a为奇数
C.乘积结果可以表示为
D.a的值小于3
二、填空题
13.含有 个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 ,这样的方程叫做三元一次方程.例如:x+y+z=23和2x+y-z=20
14.已知三元一次方程组,则 .
15.甲、乙、丙三个数的和是29,甲数比乙数大5,乙数的等于丙数的,则这三个数是 .
16.如图,在中,,,点、分别在边、上,,,连接、,交于点,则面积的最大值为 .
17.山脚下有一池塘,泉水以固定的流量(即单位时间里流入池中的水量相同)不停地向池塘内流淌.现池塘中有一定深度的水,若用一台A型抽水机抽水,则1小时正好能把池塘中的水抽完若用两台A型抽水机抽水,则20分钟正好把池塘中的水抽完.问若用三台A型抽水机同时抽,则需要 分钟恰好把池塘中的水抽完.
三、解答题
18.已知实数x,y满足①,②,求和的值.
本题常规思路是先将①,②两式联立组成方程组,解得x,y的值,再代入欲求值的整式得到答案,常规思路运算量比较大.其实,仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系,本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值,如由①-②可得,由①+②×2可得.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
解决问题:
(1)已知二元一次方程组,则__________,_________.
(2)对于实数x、y,定义新运算:,其中a、b、c是常数,等式右边是通常的加法和乘法运算.已知,,求的值.
19.探索创新完成下面的探索过程:
给定方程组,如果令=A,=B,=C,则方程组变成______;
解出这个新方程组(要求写出解新方程组的过程),得出A,B,C的值,从而得到:x= ______;y=______;z= ______.
20.解下列三元一次方程组:
(1)
(2)
21.一方有难八方支援,某市政府筹集了抗洪必需物资打算运往灾区.现有甲、乙、丙三种车型供选择,每辆车的运载能力和运费如下表所示:(假设每辆车均满载)
车型 甲 乙 丙
汽车运载量/(t/辆) 6 9 10
汽车运费/(元/辆) 500 600 600
(1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送,需运费10000元,分别需要甲、乙两种车型各几辆?
(2)为了节约运费,该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送,已知它们的总辆数为16,要求三种车型同时参与运货,请用列方程组的方法求出满足条件的所有运送方案;
(3)在(2)的基础上,哪种方案的运费最省?最省的运费是多少元?
22.解方程组:.
23.四只猴子吃桃子,第一只猴子吃的是另外三只猴子吃的总数的一半,第二只猴子吃的是另外三只猴子吃的,第三只猴子吃的是另外三只猴子吃的,第四只猴子吃了26个.问四只猴子共吃了多少个桃子?
24.在等式中,当时,;当时,;当时,.
(1)求,,的值;
(2)求当时,的值.
《6.3三元一次方程组及其解法》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A C D D D D C D
题号 11 12
答案 A D
1.D
【解析】略
2.C
【分析】注意到方程组z前面的系数都为1,所以直接相减消去.
【详解】解:解三元一次方程组,
得:
得:
方程组变形为,刚好消去z,
故选:C.
【点睛】本题考查对三元一次方程组的消元,善于观察是解题关键,根据系数的特征灵活应用加减消元法.
3.A
【分析】原方程组左右两边同时相加后再两边同时除以2可以得解.
【详解】解:原方程组左右两边同时相加可得:
∴
故选:A.
【点睛】本题考查解三元一次方程组,熟练掌握等式的基本性质及方程的变形是解题关键.
4.C
【分析】本题主要考查了解三元一次方程组,解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用.
用加减消元法求解该三元一次方程组,再将方程组的解代入即可求出k.
【详解】解:,
得:,
得:,
解得:,
把代入①得:,
解得:,
把代入③得:,
解得:,
∴原方程组的解为,
把代入得:,
解得:.
故选:C.
5.D
【分析】本题考查了三元一次方程组.含有3个未知数,且未知数的最高次数为1次的整式方程叫做三元一次方程组,根据三元一次方程组的定义逐一判断,即可得到答案.
【详解】解:A、未知数的最高次数为2次,不是三元一次方程组,不符合题意,选项错误;
B、分母含有未知数,不是三元一次方程组,不符合题意,选项错误;
C、未知数的最高次数为3次,不是三元一次方程组,不符合题意,选项错误;
D、是三元一次方程组,符合题意,选项正确;
故选:D.
6.D
【分析】设购铅笔1支为x元,作业本1本为y元,签字笔1支为z元,根据“购铅笔支,作业本本,签字笔支共需元;若购铅笔支,作业本本,签字笔支共需元,”列出方程组,即可求解.
【详解】解:设购铅笔1支为x元,作业本1本为y元,签字笔1支为z元,根据题意得:
,
由②-①得:,
∴购铅笔、作业本、签字笔各件共需4.5元.
故选:D
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用,明确题意,准确得到等量关系,并利用整体思想解答是解题的关键.
7.D
【分析】设桌子的高度为hcm,第一个长方体的长为xcm,第二个长方体的宽为ycm,建立关于h,x,y的方程组求解.
【详解】解:设桌子的高度为hcm,第一个长方体的长为xcm,第二个长方体的宽为ycm,
由第一个图形可知桌子的高度为:h-y+x=80,
由第二个图形可知桌子的高度为:h-x+y=72,
两个方程相加得:(h-y+x)+(h-x+y)=152,
解得:h=76cm.
故选 D.
【点睛】此题主要考查了方程思想、整体思想的应用及观察图形的能力.关键是看懂图的意思,找出图中所表示的等量关系.
8.D
【分析】根据加减消元法求解即可.
【详解】解:,
由得:,
解得:.
由得:,
解得:.
由得:,
解得:.
故原方程组的解为.
故选D.
【点睛】本题考查解三元一次方程组,掌握解三元一次方程组的方法和步骤是解题关键.
9.C
【分析】根据新定义可得,即可求解.
【详解】解:由题意得
,
整理得:
②③得:,
将①代入上式得:,
解得:,
故选:C.
【点睛】本题考查了新定义,解三元一次方程组.理解新定义是解题的关键.
10.D
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用,设A、B、C三种商品的单价分别为x元,y元,z元,则,再解方程组即可得到答案.
【详解】解:设A、B、C三种商品的单价分别为x元,y元,z元,
由题意得,
得:,
∴,
∵x、y都是正整数,
∴是正整数,
∴当时,,,符合题意;
当时,,,不符合题意;
∴,
∴黄老师买A,B,C三种商品各一件共需付款6元,
故选:D.
11.A
【分析】根据题意逐步求解三元一次方程即可
【详解】解:
由,得,
由,得,
由,得,
∴,
由,得,
由,得,
∴,
故选:A.
【点睛】本题考查解三元一次方程组,解题的关键是根据题干信息将方程组中的数字与图一一对应.
12.D
【分析】本题考查了有理数的乘法和一元一次方程组.解题的关键熟练掌握用格子的方法计算两个数相乘的“铺地锦”,建立一元一次方程组.
设的十位数字是m,个位数字是n,根据“铺地锦”的方法将图2补全完整,由此建立方程组,求解,逐一判断即可.
【详解】如图,设的十位数字是m,个位数字是n,
∴,
∴,
∴D正确;
∴,
∴B正确,D不正确;
∴乘积结果可以表示为.
∴C正确.
故选:D.
13. 三 1
【解析】略
14.9
【分析】先解三元一次方程组,再求解.
【详解】解:
由①得:④,
由②得:⑤,
将④和⑤代入③得:,
∴,
∴,
∴,
故答案为9.
【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法,解题关键是正确求解.
15.甲数为14,乙数为9,丙数为6
【分析】设甲数为x,乙数为y,丙数为z,根据甲、乙、丙三数的数量关系建立方程组求出其解即可.
【详解】解:设甲数为x,乙数为y,丙数为z,由题意可得,
解得
故答案为:甲数为14,乙数为9,丙数为6.
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出三元一次方程组是解题的关键.
16.8
【分析】由,,可设的面积为,则的面积为,设的面积为,则的面积为,设的面积为,根据同高不等底的三角形的面积关系得到,,可得,,,则,当时,的面积有最大值,即.,即可得到面积的最大值.
【详解】解:,,
设的面积为,则的面积为,设的面积为,则的面积为,设的面积为,
,,
,
可求得,,
,,
,
.,且垂线段最短,
当时,的面积有最大值,即.
,
即面积的最大值为8,
故答案为:8.
【点睛】此题主要考查了三角形的面积,与三角形的高有关的计算、垂线段最短、三元一次方程组等知识,解题的关键是找到三角形面积之间的关系.
17.12
【分析】设池塘中的水有a,泉水每小时的流量是b,一台A型抽水机每小时抽水量是x,根据一台A型抽水机1小时后正好能把池塘中的水抽完,得x=a+b;根据用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完,得,用x表示a和b.设若用三台A型抽水机同时抽,则需要t小时恰好把池塘中的水抽完,再进一步根据3tx=a+bt求解即可.
【详解】解:设池塘中的水有a,泉水每小时的流量是b,一台A型抽水机每小时抽水量是x,
根据题意,得,
解得:,
设若用三台A型抽水机同时抽,则需要t小时恰好把池塘中的水抽完,
则,解得:,
∴用三台A型抽水机同时抽,需要×60=12分钟恰好把池塘中的水抽完,
故答案为:12.
【点睛】本题考查三元一次方程组的应用,解决此题的关键是能够设出辅助未知数,根据题目中的等量关系列方程组求解.
18.(1)-1,5
(2)-11
【分析】(1)利用①-②可得x-y的值,利用(①+②)可得x+y的值;
(2)根据新运算的定义可得出a、b、c的三元一次方程组,由可得出a+b+c的值,即的值.
【详解】(1),
由①-②可得:x-y=-1,
由(①+②)可得:x+y=5,
故答案为:-1,5;
(2)依题意得:,
由可得:a+b+c=-11,
即= a+b+c=-11.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用,解题的关键是找出方程的关系并运用“整体思想”解方程.
19.;解方程组过程见解析;;;
【分析】根据换元法可以将原方程组化为,①+②+③得出然后分别求出A、B、C的值即可.
【详解】解:令=A,=B,=C,则方程组可变为:,
①+②+③得,
得:,
得:,
得:,
∴,
解得:.
【点睛】本题主要考查了换元法解方程组,根据题意得出,是解题的关键.
20.(1)
(2)
【解析】略
21.(1)需要甲种车型8辆、乙种车型10辆
(2)共有三种方案:①甲种车型3辆,乙种车型10辆,丙种车型3辆;②甲种车型4辆,乙种车型6辆,丙种车型6辆;③甲种车型5辆,乙种车型2辆,丙种车型9辆
(3)甲种车型5辆、乙种车型2辆、丙种车型9辆时运费最省,最省的运费是9100元
【分析】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的实际应用.找准等量关系,正确的列出方程组是解题的关键.
(1)找准等量关系:甲运物资乙运物资,甲运费乙运费,列二元一次方程组求解即可.
(2)找准等量关系:甲运物资乙运物资丙运物资,甲车数量乙车数量丙车数量辆,列三元一次方程组然后消元变成二元一次方程组,注意结合实际情况,甲乙丙车辆数均为非负整数,列出可行的方案.
(3)分别计算各个方案需要的运费,对比得出最省运费.
【详解】(1)解:设需要甲种车型a辆,需要乙种车型b辆.
根据题意,得
解得
故需要甲种车型8辆、乙种车型10辆.
(2)解:设三种车型同时参与时,需要甲种车型x辆,乙种车型y辆,丙种车型z辆.
根据题意,得
,得,即.
均是非负整数,且三种车型共16辆,要求同时参与运货,
,且,
的取值可以为3,4,5,
解得或或
∴共有三种方案:①甲种车型3辆,乙种车型10辆,丙种车型3辆;②甲种车型4辆,乙种车型6辆,丙种车型6辆;③甲种车型5辆,乙种车型2辆,丙种车型9辆.
(3)解:三种方案的运费分别是①(元);
②(元);
③(元).
,
∴第三种方案即甲种车型5辆、乙种车型2辆、丙种车型9辆时运费最省,最省的运费是9100元.
22.
【分析】此题主要考查了三元一次方程组的解法,能够熟练运用加减消元法求解是关键.
利用加减消元法即可求解.
【详解】解:,
把①代入②,可得,整理可得,
④×2,可得,
③+⑤,可得,解得,
把代入①,可得,
把代入③,可得,解得,
∴原方程组的解为.
23.四只猴子共吃了120个桃子
【详解】设第一只猴子吃了x个桃子,第二只猴子吃了y个桃子,第三只猴子吃了z个桃子,依题意,得
,解得,
∴四只猴子共吃了40+30+24+26=120(个)
答:四只猴子共吃了120个桃子.
24.(1)
(2)
【分析】(1)根据题设条件,得到关于,,的三元一次方程组,利用加减消元法解之即可,
(2)结合(1)的结果,得到关于和的等式,把代入,计算求值即可.
【详解】(1)根据题意得:,
①+②得:④
③+②×2得:⑤,
⑤-④得:,
把代入④得:,
解得:,
把,代入①得:,
解得:,
方程组的解为:;
(2)根据题意得:,
把代入得:,
即的值为.
【点睛】本题考查了解三元一次方程组,解题的关键:(1)正确掌握加减消元法,(2)正确掌握代入法.
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