8.1与三角形有关的边和角同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
8.1与三角形有关的边和角
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，直线，是直角三角形，，点C在直线n上．若，则的度数是（ ）

A．60° B．50° C．45° D．40°
2．如图，以AB为边的三角形的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
3．在中，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，中，交BC的延长线于D点，交的延长线于E，，下列说法错误的是（ ）

A．是的高 B．是的高
C．是的高 D．线段长表示点C到直线的距离
5．如图，为的角平分线，为的高，交于点．若，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
6．三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小圆里的表示（ ）

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
7．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ）

A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条
8．如图，把沿EF翻折，叠合后的图形如图，若，，则的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．35°
9．将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，小明得到下列结论：
①如果∠2=30°，则AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD=180°；
③如果BC∥AD，则∠2=30°；
④如果∠CAD=150°，则∠4=∠C．其中正确的结论有（　　）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
10．如图，已知点在线段上，且，，分别是，的平分线，若的度数可用含的代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，直线，点A，B分别是，上的动点，点G在上，，和的角平分线交于点D，若，则m的值为（　　）
A．70 B．74 C．76 D．80
12．如图，的两条中线AD、BE交于点F，若四边形CDFE的面积为17，则的面积是（ ）
A．54 B．51 C．42 D．41
二、填空题
13．如图所示的多边形被分割成了 个三角形．
14．如图，点、点是直线上两点，，点在直线外，，，，若点为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ．
15．如图，将矩形纸片沿B折叠，得到，与交于点E，若，则∠2的度数为 度．
16．已知为的三边，化简：
17．一个等腰三角形的一边长为2，另一边长为9，则它的周长是 ．
三、解答题
18．如图，，，，求的度数．
19．如图，在中，为边上的中线．
(1)若的面积为4，则的面积为______；
(2)若，比的周长多2，则______．
20．如图，已知点，，在同一直线上，，，若，，求的度数.
21．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
(1)若点P在线段AB上，如图1所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝　　　　　　°；
(2)若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为　　　　　　；
(3)如图3，若点P在斜边BA的延长线上运动(CE＜CD)，请写出∠α、∠1、∠2之间的关系式，并说明理由．
22．综合与实践
问题背景：
活动课上，小彬利用笔记本的平行格线画平行线进行角的探究．他先在笔记本的平行格线上画了一条直线分别交两条粗一点的格线于点A，B，点C在格线上且在点B的右侧，D是直线上的动点，且不与点A，B重合，直线与格线的一个夹角为．
初步感知：
（1）如图1，当点D在线段上，若，时，则的度数为_______．
（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，的度数为_______（用含的代数式表示）．
探索发现：
（3）如图3，当点D在线段的延长线上，时，求α与的数量关系．
拓展延伸：
（4）如图4，分别作和的平分线相交于点E，求的度数（用含的代数式表示）．
23．如图所示，已知中，为内角平分线、、的交点，过点作于，试说明与的大小关系并说明理由．
24．如图，分别为的中线、高，点E为的中点．
(1)若求的度数；
(2)若的面积为15，求的长．
《8.1与三角形有关的边和角》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C D B D C C D D
题号 11 12
答案 D B
1．D
【分析】延长交直线n于点D，根据平行线的性质求出，再根据直角三角形的特征解答即可．
【详解】延长交直线n于点D，如图所示．

∵，
∴．
在中，．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形的特征等，作出辅助线是解题的关键．
2．D
【分析】根据三角形的概念、结合图形写出以AB为边的三角形．
【详解】解：以AB为边的三角形的有△ABC，△ABD，△ABF，△ABE，一共有4个．
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形的认识，不重不漏的写出所有的三角形是解题的关键．
3．C
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，再代入的度数可得的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，两个锐角互余．
4．D
【分析】本题考查三角形的高，点到直线的距离，根据三角形的高的定义，点到直线的距离进行判断即可．
【详解】解：∵，，，
∴是的高，是的高，是的高，线段长表示点到直线的距离；
故选项A，B，C正确，选项D错误；
故选D．
5．B
【分析】先根据三角形内角和定理，得到，再根据角平分线的定义，得到，然后根据三角形的外角的性质，即可求出的度数．
【详解】解：，，
，
平分，
，
为的高，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角的性质，解题关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
6．D
【分析】根据三角形的分类可直接得到答案．
【详解】解：，
图中小圆里的表示等边三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形根据边分类的情况是解题的关键．
7．C
【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，利用三角形的稳定性进行解答即可，解题的关键是分析能否在同平面内组成三角形．
【详解】解：C选项中伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D选项中都是利用了三角形的稳定性，
故选：C．
8．C
【分析】先根据折叠的性质得到∠BEF=，∠CFE=，再根据邻补角的定义得到180°-∠AEF=∠1+∠AEF，180°-∠AFE=∠2+∠AFE，则可计算出 ∠AEF=42.5°，再根据三角形内角和定理计算出∠AFE=77.5°，然后把∠AFE=77.5°代入180°-∠AFE=∠2+∠AFE即可得到∠2的度数．
【详解】解：如图，∵△ABC沿EF翻折，
∴∠BEF=，∠CFE=，
∴180°-∠AEF=∠1+∠AEF，180°-∠AFE=∠2+∠AFE，
∵∠1=95°，
∴∠AEF=（180°-95°）=42.5°，
∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°，
∴∠AFE=180°-60°-42.5°=77.5°，
∴，
∴∠2=25°．
故选C．
【点睛】本题考查了折叠的性质：翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．同时考查了三角形的内角和定理的应用．
9．D
【分析】根据平行线的性质和判定和三角形内角和定理逐个判断即可．
【详解】解：∵∠2=30°，∠CAB=90°，
∴∠1=60°，
∵∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，故①正确；
∵∠CAB=∠DAE=90°，
∴∠BAE+∠CAD=90°-∠1+90°+∠1=180°，故②正确；
∵BC∥AD，∠B=45°，
∴∠3=∠B=45°，
∵∠2+∠3=∠DAE=90°，
∴∠2=45°，故③错误；
∵∠CAD=150°，∠BAE+∠CAD=180°，
∴∠BAE=30°，
∵∠E=60°，
∴∠BOE=∠BAE+∠E=90°，
∴∠4+∠B=90°，
∵∠B=45°，
∴∠4=45°，
∵∠C=45°，
∴∠4=∠C，故④正确；
所以其中正确的结论有①②④．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
10．D
【分析】先利用三角形外角和证明，角平分线定义得，，从而得到，再根据三角形
外角和得到，即可求解．
【详解】解：连接，并延长到F，如图，
，，，
又，
，
，
，
∵，分别是，的平分线，
，，
，
，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形内角和与外角和，角平分线定义，解题关键是证得或．
11．D
【分析】先由平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出m的值．
【详解】解：过点C作，
，，
，
，
，
，
由题意可得为的角平分线，为的角平分线，
，，
，，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
12．B
【分析】连接CF，依据中线的性质，推理可得 ，进而得出 ，据此可得结论．
【详解】解：如图所示，连接CF，
∵△ABC的两条中线AD、BE交于点F，
∴，
∴，
∵BE是△ABC的中线，FE是△ACF的中线，
∴，，
∴，
同理可得，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的中线的性质，关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
13．5
【分析】观察图形，根据三角形定义数三角形的个数即可解题．
【详解】观察图形，可知途中的多边形被分割成个三角形，
故答案为：．
【点睛】本题考查多边形的有关概念，能根据图形数出三角形的个数是解题的关键．
14．4.8
【分析】根据垂线段最短可知：当时，有最小值，再利用三角形的面积可列式计算求解的最小值．
【详解】解：当时，有最小值，
，，，，
，
即，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到最小时的点位置是解题的关键．
15．10
【分析】根据矩形的性质可得，，可求解的度数，由平行线的性质结合折叠的性质可得，进而可求解．
【详解】解：在矩形中，，，
∴，
∵，
∴，
由折叠可知：，
∴，
∴．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，折叠与对称的性质，由折叠得是解题的关键．
16．
【分析】根据三角形的三边关系，以及绝对值的意义，进行化简即可．
【详解】解：∵为的三边，
∴，
∴
；
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值．熟练掌握三角形的三边关系，是解题的关键．
17．20
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：分两种情况：当腰为2时，2＋2＜9，所以不能构成三角形；
当腰为9时，2＋9＞9，所以能构成三角形，周长是：2＋9＋9＝20．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
18．
【分析】本题考查三角形的外角，延长，交于点，先求出，再根据三角形的外角性质即可得出答案．
【详解】解：如图，延长，交于点．
，
．
，．
．
，，
．
19．(1)2
(2)6
【分析】本题考查了三角形中线的应用，掌握相关结论是解题关键．
（1）设边上的高为，根据、、即可求解；
（2）根据、即可求解
【详解】（1）解：∵为边上的中线．
∴
设边上的高为
∴
∵
∴
故答案为：2
（2）解：
∵为边上的中线．
∴
∴
∴
故答案为：6
20．
【分析】根据得出，进而可得，根据，等量代换可得，可得，根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理求得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
21．(1)140
(2)∠1+∠2=90+∠α
(3)∠2-∠1=90°-∠α或∠2-∠1=90°+∠α．理由见解析
【分析】（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；
（2）利用（1）中所求得出答案即可；
（3）利用三角外角的性质分三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP=360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP=360°，
∴∠1+∠2=∠C+∠α，
∵∠C=90°，∠α=50°，
∴∠1+∠2=140°；
故答案为：140；
（2）解：由（1）得出：∠α+∠C=∠1+∠2，
∴∠1+∠2=90°+α；
（3）解：如图，
分三种情况：连接ED交BA的延长线于P点，
如图1，由三角形的外角性质，∠2=∠C+∠1+∠α，
∴∠2-∠1=90°+∠α；
如图2，∠α=0°，∠2=∠1+90°；
如图3，∠2=∠1-∠α+∠C，
∴∠2-∠1=90°-∠α．
综上，∠2-∠1=90°-∠α或∠2-∠1=90°+∠α．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练利用三角形外角的性质是解决问题的关键．
22．（1）；（2）；（3）；（4）；
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，平行线的性质；
（1）证明，再利用三角形的内角和定理可得答案；
（2）证明，再利用三角形的内角和定理可得答案；
（3）证明，再利用三角形的外角的性质可得结论；
（4）证明，求解，结合角平分线与三角形的外角的性质可得答案；
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（3）∵，
∴，
∵，，
∴；
（4）∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
23．；理由见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的意义以及垂直的性质，解题的关键是熟练应用角之间的相互转化．利用、、分别是、、的角平分线，得出 、、，再利用三角形内角和得到，利用三角形的外角得出，等量代换得出，根据题意，从而，即可得到答案．
【详解】解：．理由如下：
∵、、分别是、、的角平分线，
∴、、，
∴，
又∵，
∴ ，
又∵，
∴，
∴ ，
即．
24．(1)
(2)
【分析】本题考查三角形的内角和，外角，三角形的中线和高线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）三角形的外角求出，三角形的内角和定理，求出即可；
（2）三角形的中线平分面积求出，然后利用面积公式求出的长即可．
【详解】（1）解：∵
∴，
∵是的高线，
∴，
∴；
（2）∵的面积为15，点E为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)