8.3用正多边形铺设地面同步练习（含解析）

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8.3用正多边形铺设地面
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．选用下列图形的瓷砖，只用一种瓷砖平面镶嵌，下列不能选择的瓷砖图形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．正六边形 D．正八边形
2．商店出售下列形状的地砖：①长方形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某一种地砖用来镶嵌教室地面，可供选择的地砖是（　　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
3．在体育公园新铺筑的人行道上，邓师傅正在利用边长相等的正方形和正八边形地砖铺地面，若每个顶点处用块正方形和块正八边形正好能铺满地面（，为正整数），则的值为（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．4
4．一个正多边形每个内角都等于，若用这种多边形拼接地板，需与下列选项中哪种正多边形组合（　　）
A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形
5．“动感数学”社团教室重新装修，如图是用边长相等的正方形和正边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．在平面图形正三角形、正六边形、正四边形、正五边形中，能单独镶嵌平面的有（　　）种图形．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，是工人师傅用边长均为a的正六边形和正方形地砖围绕着点B进行的铺设．若将另一块边长为a的正多边形地砖恰好能镶嵌在处，则这块正多边形地砖的边数是（　　）

A．6 B．9 C． D．
8．正六边形和下列边长相同的正多边形地砖组合中，能铺满地面的是（　　）
A．正方形 B．正八边形
C．正十二边形 D．正四边形和正十二边形
9．在乡村振兴建设中，某村欲利用两种边长相等的正多边形地砖来铺设地面，美化公园．现已购买了一部分正方形地砖，还需购买另一种正多边形地砖搭配使用才能铺满地面，则购买的正多边形是（ ）
A．正五边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
10．下列组合不能密铺平面的是（ ）
A．正三角形、正方形和正六边形 B．正三角形、正方形和正十二边形
C．正八边形、正六边形和正十二边形 D．正方形、正六边形和正十二边形
11．一个顶点周围用2个正方形和个正三角形恰好无缝隙、无重叠嵌入，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
12．选择边长相等的正多边形铺地面，下列组合能既不留缝隙也不重叠地铺满地面的是 ．
①正三角形和正四边形；②正六边形和正三角形；③正方形和正八边形；④正三角形和正八边形．
13．如图，平面内将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则∠1、∠2、∠3三个角存在的等量关系为 ．
14．如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则 °．

15．用等边三角形和正方形作平面镶嵌，则在它的每个顶点周围有个等边三角形和 个正方形．
16．如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则的度数为 ．
三、解答题
17．数学上可以说明有些正多边形（一种或多种）组合可以铺满地面，有些则不行．以下精美图案隐含着丰富的数学艺术之美，请你仿照这些图案在网格中利用至少两种正多边形进行铺满地面的图案设计．
18．使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下空隙，又不互相重叠（在几何里面叫做平面镶嵌）．平面镶嵌显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（）时，就拼成了一个平面图形．
(1)请填写下表
正多边形的边数 3 4 5 6 … n
正多边形每个内角的度数 …
(2)如果单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是________
A．正三角形 B．正六边形 C．正方形 D．正五边
(3)在镶嵌平面时，围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角，请求x和y的值
19．如图，用n个全等的正五边形按如图方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，求n的值．

20．【问题背景】
生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案．
【探究发现】
（1）填写表中空格：
正多边形的边数 3 4 5 6 … n
正多边形每个内角的度数 …
（2）如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有 ．
①正三角形
②正五边形
③正六边形
④正七边形
⑤正八边形
【拓展应用】
（3）如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，求x和y的值．
21．活动1 用多边形镶嵌平面
【描述定义】用若干类全等形（能够完全重合的图形叫做全等形）无间隙且不重叠地覆盖平面的一部分，叫做这几类图形能镶嵌（覆盖、铺砌）平面．
【活动目的】通过用多边形镶嵌平面的图案的过程，进一步理解平面镶嵌，掌握多边形的镶嵌的条件．
【理论支撑】在每个公共顶点处，各角的和是．
【进程跟踪】小组成员在掌握正多边形内角的基础上，通过观察与计算，利用方程思想求得正整数解，从而用理论支撑进行镶嵌操作.我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形铺满地面，如果我们要同时用两种不同的正多边形铺满地面，可以设计出几种不同的组合方案？
问题解决：猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合铺满地面？
验证1并完成填空：在铺地面时，设围绕某一个点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意：可得方程①_____________，整理得②____________，
我们可以找到方程的正整数解为③____________．
结论1：铺满地面时，在一个顶点周围围绕着④__________个正方形和⑤_________个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以铺满地面．
猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合铺满地面？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．
22．（1）【探究】观察下列算式，并完成填空：
；
______．（n是正整数）
（2）如图是某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第二层包括6块正方形和18块正三角形地板砖；以此递推．
①第3层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖；
②第 n层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖（用含n的代数式表示）．
（3）【应用】
该市打算在一个新建广场中央，采用如图样式的图案铺设地面，现有1块正六边形、150块正方形地板砖，问：铺设这样的图案，还需要多少块正三角形地板砖？请说明理由．
《8.3用正多边形铺设地面》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B A B C D D C C
题号 11
答案 B
1．D
【分析】分别求出三角形，四边形的内角和，各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．
【详解】解： A.任意三角形的内角和是，放在同一顶点处6个即能密铺，不符合题意；
B.任意四边形的内角和是，放在同一顶点处4个即能密铺，不符合题意；
C.正六边形每个内角是，能整除360°，故能密铺，不符合题意；
D.正八边形每个内角是，不能整除，不能密铺，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查一种多边形的镶嵌问题，考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除，掌握多边形的内角是解题的关键．
2．C
【分析】由几何图形镶嵌成平面的条件（围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和等于360°），可知，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看正多边形的内角度数是否能整除360°，能整除的可以平面镶嵌，反之则不能．
【详解】解：①正方形的每个内角是90°，能整除360°，4个能组成镶嵌；
②长方形的每个内角是90°，能整除360°，4个能组成镶嵌；
③正五边形每个内角是，不能整除360°，不能镶嵌；
④正六边形的每个内角是，能整除360°，3个能组成镶嵌；
故若只选购其中某一种地砖镶嵌教室地面，可供选择的地砖有①②④．
故选C．
【点睛】本题考查平面镶嵌，正多边形的内角和．解题的关键是熟练掌握平面镶嵌的条件和正多边形的内角和公式．
3．B
【分析】一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成360°，若能，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能求出a，b的值，代入代数式求值即可．
【详解】解：正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角是135°，
∵90°+135°×2＝360°，
∴a＝1，b＝2，
∴a﹣b＝1﹣2＝﹣1．
故选：B．
【点睛】本题考查平面图形的镶嵌，掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌的条件是解题的关键．
4．A
【分析】正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°，根据镶嵌的条件解答即可．
【详解】解：一个正多边形每个内角都等于，
，
需要正三角形，
故选：．
【点睛】此题考查平面图形镶嵌，关键是根据在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°解答．
5．B
【分析】由图可知，2个正边形的一个内角的度数加上一个正方形的内角的度数为，进行求解即可．
【详解】解：由题可知2个正边形的一个内角加上一个正方形的内角，和为，
∴正边形的一个内角的度数为，
∴正边形的一个外角的度数为，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查正多边形的外角和，以及镶嵌问题．正确的识图，求出正边形的一个外角的度数是解题的关键．
6．C
【分析】分别求出等腰三角形的内角和，各个正多边形的每个内角的度数，判断能否被360°整除即可作出判断．
【详解】解：正三角形的每个内角是，能被整除，能镶嵌平面；
正方形的每个内角是，能被整除，能镶嵌平面；
正五边形每个内角是：，不能被整除，不能镶嵌平面；
正六边形每个内角为，能被整除，能镶嵌平面，
∴可以单独镶嵌平面的有3个，
故选：C
【点睛】本题考查了一种单独镶嵌平面的正多边形，能单独镶嵌应符合一个内角度数能被整除．
7．D
【分析】本题考查了正多边形的内角和．熟练掌握正边形的内角和为是解题的关键．
由题意知，正六边形的内角为，正方形的内角为，则，设镶嵌在处的正多边形地砖的边数为，依题意得，，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，正六边形的内角为，正方形的内角为，
∴，
设镶嵌在处的正多边形地砖的边数为，
依题意得，，
解得，
故选：D．
8．D
【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明能铺满，反之，则说明不能铺满．
【详解】解：A．正方形的每个内角是，正六边形的每个内角是，，取任何正整数时，不能得正整数，故不能铺满，A选项不符合题意；
B．正八边形的每个内角是，正六边形的每个内角是，，取任何正整数时，不能得正整数，故不能铺满，B选项不符合题意；
C．正十二形的每个内角是，正六边形的每个内角是，，取任何正整数时，不能得正整数，故不能铺满，C选项不符合题意；
D．正方形的每个内角是，正六边形的每个内角是，正十二形的每个内角是，，故能铺满，D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查平面镶嵌（密铺），解题的关键是围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
9．C
【分析】本题考查平面镶嵌问题，考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除，任意几种多边形能否进行镶嵌，看它们能否组成的角．分别各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．
【详解】解：A、正五边形每个内角是，与无论怎样也不能组成的角，不能密铺，不符合题意；
B、正七边形每个内角是，与无论怎样也不能组成的角，不能密铺，不符合题意；
C、正八边形每个内角是，，能密铺，符合题意．
D、正九边形每个内角是，与无论怎样也不能组成的角，不能密铺，不符合题意；
故选：C
10．C
【分析】此题考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
【详解】解：正三角形的每一个内角为，正四边形的每一个内角为，正六边形的每一个内角为，正八边形的每一个内角为，正十二边形的每一个内角为．
A、正三角形、正方形和正六边形，可以密铺平面，比如：2个正方形，一个正六边形，一个正三角形．本选项不符合题意；
B、正三角形、正方形和正十二边形，可以密铺平面，比如：2个正三角形、一个正方形、一个正十二边形．本选项不符合题意；
C、正三角形、正六边形和正十二边形，不能密铺平面．本选项符合题意；
D、正方形、正六边形和正十二边形．可以密铺平面，比如：一个正方形、一个正六边形、一个正十二边形．本选项不符合题意；
故选：C．
11．B
【分析】根据镶嵌的条件可知，在一个顶点处各个内角和为，列式求解即可．
【详解】解：正方形的每个内角是，正三角形的每个内角是，
根据题意得：，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面镶嵌，解题的关键是掌握平面镶嵌时在一个顶点处各个内角和为．
12．①②③
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．
【详解】①正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°＝360°，能铺满；
②正三角形的每个内角是60°，正六边形每个内角120度，1×120+4×60＝360度，所以能铺满；
③正方形每个内角90度，正八边形每个内角135度，135×2+90＝360度，能铺满；
④正三角形的每个内角是60°，正八边形每个内角135度，135×2+60≠360度，所以不能铺满．
故答案为：①②③．
【点睛】此题考查镶嵌问题，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
13．∠1+∠2=∠3
【分析】根据题意分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一个内角度数，即可求解．
【详解】解：根据题意得：正三角形的一个内角是60°，
正方形的一个内角是90°，
正五边形的一个内角是，
正六边形的一个内角是，
∴∠3=90°-60°=30°，∠2=108°-90°=18°，∠1=120°-108°=12°，
∴∠1+∠2=∠3．
故答案为：∠1+∠2=∠3
【点睛】本题主要考查了正多边形的内角问题，熟练掌握正多边形的内角的求法是解题的关键．
14．12
【分析】正多边形的每个内角度数为：，据此即可求解．
【详解】解：如图所示：

正六边形的每个内角度数为：，即
正五边形的每个内角度数为：，即
∴
故答案为：12
【点睛】本题考查多边形的内角和度数．熟记相关结论是解题关键．
15．
【分析】根据正多边形的组合能镶嵌成平面的条件可知，位于同一顶点处的几个角之和为如果设用个正三角形，个正四边形，则有，求出此方程的正整数解即可．
【详解】解：设用个正三角形，个正四边形能进行平面镶嵌．
由题意，有，
解得，
当时，．
故在它的每个顶点周围，有个正三角形和个正方形．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面镶嵌密铺几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
16．/60度
【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），根据正六边形内角和定理，求出每个内角度数，然后根据周角求出答案．几何图形镶嵌成平面的关键：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
【详解】解：∵正六边形内角和：，
∴每个内角度数：，
∴，
∴的度数为．
故答案为：．
17．见解析
【分析】判断几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成．
【详解】∵正方形每个内角是，正三角形的每个内角是，，
∴围绕每个顶点处用2个正方形，3个正三角形形可以铺满底面．
如图：
【点睛】此题考查了平面镶嵌（密铺），几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
18．(1)填表见解析
(2)D
(3)，
【分析】（1）根据正多边形的内角和公式及正多边形的每个内角都相等依次求出结果即可；
（2）根据每个多边形内角的度数进行判断即可；
（3）根据x个正方形和y个正八边形的内角和为列出二元一次方程，然后再根据x、y为正整数求出结果即可．
【详解】（1）解：，则正三角形的每个内角为；
，则正四边形的每个内角为；
，则正五边形的每个内角为；
，则正六边形的每个内角为；
则正n边形的每个内角为；
填表如下：
正多边形的边数 3 4 5 6 … n
正多边形每个内角的度数 …
（2）解：A．∵，∴正三角形能进行平面镶嵌，故A不符合题意；
B．∵，∴正六边形能进行平面镶嵌，故B不符合题意；
C．∵，∴正方形能进行平面镶嵌，故C不符合题意；
D．∵，∴正五边形不能进行平面镶嵌，故D符合题意；
故选：D．
（3）解：根据题意，可得方程：
，
整理得：，
∵x、y为正整数，
∴，
【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键．
19．6
【分析】由完全拼成一个圆环需要的正五边形为个，则围成的多边形为正边形，利用正五边形的内角与夹角计算出正边的每个内角的度数，然后根据内角和定理得到解方程求解即可．
【详解】∵正五边形的每个内角为，
∴组成的正多边形的每个内角为，
∵n个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形，
∴形成的正多边形为正n边形，则，
解得：．
【点睛】本题考查了正多边形、多边形的内角与外角等知识；熟练掌握多边形内角和和外角和是解题的关键．
20．（1），；（2）①③；（3）x和y是值为或
【分析】该题主要考查了n边形内角和定理以及平面镶嵌，二元一次方程的整数解等知识点，解题的关键是掌握n边形内角和定理以及平面镶嵌．
（1）根据n边形内角和定理求出内角和再除以n即可求解；
（2）根据除以n边形的每一个内角的度数是整数即可解答；
（3）由题意得，x、y满足的正整数解即可求解；
【详解】解：（1）正三角形的每一个内角的度数为，
正方形的每一个内角的度数为，
正五边形的每一个内角的度数为，
故答案为：，；
（2）由（1）的方法可求出，
①正三角形的每一个内角的度数是，
②正五边形的每一个内角的度数是，
③正六边形的每一个内角的度数是，
④正七边形的每一个内角的度数是，
⑤正八边形的每一个内角的度数是，
由于，
所以只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形可以为正三角形，正方形，正六边形，
故答案为：①③；
（3）由题意得，x、y满足的正整数解，
二元一次方程的正整数解为或，
答：x和y是值为或．
21．猜想1：①；②；③；④1；⑤2；
猜想2：能；见解析
【分析】猜想1：根据题意列出方程组，整理方程组，求出方程组的正整数解即可；
猜想2：仿照题干中提供的方法，列出方程组，求出方程组的正整数解即可得出答案．
【详解】解：猜想1：
在铺地面时，设围绕某一个点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：①，
整理得：②，
方程的正整数解为③，
结论1：铺满地面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以铺满地面．
故答案为：①；②；③；④1；⑤2．
猜想2：能；验证如下：
设围绕某一个点有个正三角形和个正六边形的内角可以拼成一个周角，根据题意可得方程：，
整理得：，
∴方程的正整数解为：或，
方案1：在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形；
方案2：在一个顶点周围围绕着4个正三角形和1个正六边形．
【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），二元一次方程组的应用，掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键．
22．（1）；（2）①6，30；②6，或；（3）3750，理由见解析
【分析】（1）观察算式找出规律即可；
（2）①观察图形数出正方形和正三角形块数；②根据前三层正方形和正三角形块数找出规律；
（3）分别找出所给正方形和正三角形块数各能铺设地面多少层，进而确定答案．
【详解】解：（1）观察算式规律，1+3+5+…+（2n-1）=n2，
故答案为：n2；
（2）①∵第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖，
第二层包括6块正方形和6+12=18块正三角形地板砖，
∴第三层包括6块正方形和18+12=30块正三角形地板砖．
故答案为：6，30；
②∵第一层包括6块正方形和6=6×1=6×（2×1-1）块正三角形地板砖，
第二层包括6块正方形和18=6×3=6×（2×2-1）块正三角形地板砖，
第三层包括6块正方形和30=6×5=6×（2×3-1）块正三角形地板砖，
∴第n层包括6块正方形和6（2n-1）块正三角形地板砖．
故答案为：6，6（2n-1）；
（3）铺设这样的图案，还需要3750块正三角形地板砖．
理由如下：
∵150÷6=25（层），
∴150块正方形地板砖可以铺设这样的图案25层；
∵铺设25层需要正三角形地板砖的数量为：
6[1+3+5+ +（2n-1）]=6n2，
∴当n=25时，
6n2=6×252=3750，
∴铺设这样的图案，还需要3750块正三角形地板砖．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，代数式的求值，正确找出其变化规律是解题的关键．
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