第九章中心对称图形——平行四边形同步练习（含解析）

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第九章中心对称图形——平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在平行四边形中，添加一个条件使平行四边形成为矩形，添加正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（ ）
A．4 B．8 C． D．
3．下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，平行四边形中，要在对角线上找点E、F，使四边形为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案的个数是（ ）
甲：只需要满足
乙：只需要满足
丙：只需要满足
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
5．中，E、F是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．
6．与点关于原点对称的是（ ）
A． B． C． D．
7．四边形ABCD，∠A：∠B：∠C：∠D的比例依次如下，其中能使四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1∶2∶3∶4 B．2∶2∶3∶3 C．2∶3∶3∶2 D．2∶3∶2∶3
8．如图，在中，，与是的两条高，点F是的中点，连接．若，则的长为（ ）

A． B．2 C． D．4
9．2022年北京冬奥会上，有非常多的雪花图案．下列雪花图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（）
A．若，则是菱形 B．若，则是矩形
C．若，则是正方形 D．若，则是正方形
11．如图，是的中位线，若，则（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8
12．如图， 已知线段.
（1）分别以点A 和点 B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 C，D两点．
（2）作直线．
（3）连接
依据以上信息，某同学写出了两个结论：
①是线段的垂直平分线； ②四边形是菱形．
下列说法正确的是（ ）
A．①正确， ②不正确 B．①不正确， ②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确
二、填空题
13．如图，中，，分别是边中点，连接，则的长为 ．
14．如图，在中，，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，连接、，则的最小值为
15．如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的动点，连接，点G、H分别为的中点，连接．若，则的最大值为 ．
16．如图，在中，点D、E、F分别为各边的中点，是高，若，则的度数为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A（-3，0）、B（0，-4），点P是y轴上一动点，连接AP并延长至点D，使PD=AP，以AB、AD为邻边作□ABCD，连接OC，当OC长最小时，则点P的坐标是 ．
三、解答题
18．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=BC，CF平分∠ACB交BD于点F，OH⊥CF于点H，OH=FH．
(1)当AB=4时，求OH的值；
(2)求证：DF=2BF．
19．（1）如图①，在中，，，垂足为B，且．求证：；
（2）如图②，在中，，过点A作（点D与点C在同侧），若，，，求的长．
20．如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
(1)求证：BC＝DF；
(2)连接CD、AF，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，请说明理由．
21．如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将ABP沿AP向右翻折，得到AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F．
(1)如图1，当点P在边BC上时，若∠BAP=20°，求∠AFD的度数；
(2)若点P是BC边上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论；
(3)如图2，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论；
22．（1）如图，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线．设，的中点分别为M，N．若米，则（ ）
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
（2）拓展设问：若，，则______．
23．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为A，B，C．
(1)将以原点O为旋转中心旋转180°得到，画出旋转后的．
(2)平移，使点A的对应点A2坐标为，画出平移后的．
(3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标．
24．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点，运动的时间是秒（），过点作于点，连接，．
(1)填空：的长是________；
(2)在，的运动过程中，线段与有什么关系？请证明．
(3)在，的运动过程中，是否存在四边形为菱形？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
《第九章中心对称图形——平行四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A A C A D B C B
题号 11 12
答案 D C
1．B
【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，根据矩形的判定定理逐一判断即可，掌握矩形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：、∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，不符合题意；
、∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，符合题意；
、∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，不符合题意；
、四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，不符合题意；
故选：．
2．D
【分析】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，中位线定理，勾股定理，根据中位线定理可得出点的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知，故的最小值为的长，由勾股定理求解即可．
【详解】解：如图：
当点与点重合时，点在处，，此时为中点，
当点与点重合时，点在处，，此时为中点，
∴是中位线，
且，
当点在上除点、的位置时，为中点，
∴是中位线，是中位线，
，，
∴点在线段上，
点的运动轨迹是线段，
当时，取得最小值，
矩形中，，，为的中点，为中点，
∴，，
、、为等腰直角三角形，
，，
∵，
，
，
，即，
的最小值为的长，
在等腰直角中，，
的最小值是．
故选：D．
3．A
【分析】运用平行四边形的面积，三角形的面积公式，先计算出每个阴影部分的面积，比较大小即可．
【详解】解：设平行四边形的面积为S，
A选项中阴影部分面积小于，B、C、D三个选项中阴影部分的面积都等于，
∴阴影部分面积与其他三幅不相等的是A选项．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了图形面积的计算，解题的关键是根据平行四边形的面积得出各个图形中阴影部分的面积．
4．A
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．证即可求证.
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴且
∴
若，则
∴
∴
即：
∴
∴四边形为平行四边形，故甲的方案正确；
当或，不能推出四边形为平行四边形，故乙、丙的方案错误；
故选：A
5．C
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定方法．
根据平行线的性质和判定方法，结合全等三角形的性质和判定，逐一进行判断即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形．故A不符合题意；
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形．故B不符合题意；
C选项中由，不能得出，
∴不能判断四边形是平行四边形，故C符合题意；
四边形是平行四边形，
，，
，
又，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形．故D不符合题意；
故选：C．
6．A
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【详解】与点关于原点对称的是，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
7．D
【分析】由“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”进行判断即可．
【详解】解：A、∵∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为1：2：3：4，
∴四边形ABCD的四个角都不相等，
∴四边形ABCD不是平行四边形，故该选项不符合题意；
B、∵∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为2：2：3：3，
即四边形ABCD的两组对角不是分别相等，
∴四边形ABCD不是平行四边形，故该选项不符合题意；
C、∵∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为2：3：3：2，
即四边形ABCD的两组对角不是分别相等，
∴四边形ABCD不是平行四边形，故该选项不符合题意；
D、∵∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为2：3：2：3，
即四边形ABCD的两组对角分别相等，
∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定定理，熟知平行四边形的对角相等是解答此题的关键．
8．B
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形，中位线等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形，中位线是解题的关键．
由题意可得，为的中点，则为的中位线，根据，求解作答即可．
【详解】解：∵，，与是的两条高，
∴，为的中点，
∴为的中位线，
∴，
故选：B．
9．C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：第1个是既是轴对称图形又是中心对称图形，
第2个是轴对称图形，不是中心对称图形，
第3个既是轴对称图形，又是中心对称图形，
第4个既是轴对称图形，又是中心对称图形，
∴既是轴对称图形，又是中心对称图形共有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题关键是熟练掌握沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够完全正确重合的图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
10．B
【分析】本题主要考查了矩形，正方形和菱形的判定，熟知矩形，正方形和菱形的判定定理是解题的关键．根据矩形，正方形和菱形的判定即可解答．
【详解】解：A、由四边形是平行四边形结合，可得是矩形，故本选项错误；
B、由四边形是平行四边形结合，可得是矩形，故本选项正确；
C、由四边形是平行四边形结合，可得是菱形，故本选项错误；
D、符合题意由四边形是平行四边形结合，可得是菱形，故本选项错误；
故选：B．
11．D
【分析】已知是的中位线，，根据中位线定理即可求得的长．
【详解】解：是的中位线，，
，
故选：D．
【点睛】此题主要考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；掌握中位线定理是解题的关键．
12．C
【分析】本题考查了菱形的判定以及垂直平分线的性质，尺规作图—作垂线，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据题意得出这个是尺规作图—作垂线，故是线段的垂直平分线；因为，所以四边形是菱形，即可作答．
【详解】解：∵分别以点A 和点 B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 C，D两点
∴是线段的垂直平分线
∵分别以点A 和点 B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 C，D两点
∴
∴四边形是菱形
∴①②都正确
故选：C
13．3
【分析】本题考查了勾股定理，中位线，掌握勾股定理求线段长，中位线的性质是解题的关键．
根据勾股定理可得，再根据中位线的性质可得，由此即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∵分别是边中点，
∴，
故答案为：3 ．
14．45
【分析】连接，作点D关于直线的对成点T，连接、、．首先证明B、A、T共线，求出，证明四边形EGCD是平行四边形，推出，进而得到，根据，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接、，作点D关于直线的对成点T，连接、、．
∵，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，
∴，，，
∵，
∴，
∵D、T关于对称，
∴，，
∴，
∵，
∴B、A、T共线，
∴，
∵， ，
∴四边形EGCD是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
则的最小值为45．
故答案为：45．
【点睛】本题考查轴对称，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会运用转化的思想思考问题．
15．
【分析】本题考查了含30度直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，利用中位线定理把求的最值转化为求的最值是解题的关键．连接，由中位线定理得，从而当最大时，最大，当点F与点C重合时，最大；过点A作于P，由直角三角形的性质及勾股定理可分别求得的长，从而由勾股定理求得的长，即可求得最大值．
【详解】解：连接，如图，
∵点G、H分别为的中点，
∴，
当最大时，最大，
当点F与点C重合时，最大；
过点A作于P，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴的最大值为；
故答案为：．
16．/60度
【分析】连结，根据点D、E、F分别为各边的中点，可得，为的中位线，可确定，，利用平行线性质可得，由，点D为中点，点F为中点，根据直角三角形斜边中线性质可得，，可证在和中，即可．
【详解】解：连结，
∵点D、E、F分别为各边的中点，
∴，为的中位线，
∴，，
∴，
∵，点D为中点，点F为中点，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的中位线性质，直角三角形斜边中线性质，三角形全等判定与性质，掌握三角形的中位线性质，直角三角形斜边中线性质，三角形全等判定与性质是解题关键．
17．(0,2)
【分析】设点P（0，y），先求出点C，点D坐标，由点C的坐标知点C在垂直于x轴的直线上，由垂线段最短，可得当点C在x轴上时，OC长度的最小值为6，即可求解．
【详解】解：设点P（0，y），
∵PD=AP，点A（-3，0），
∴点D（3，2y），
∵点A（-3，0）、B（0，-4），四边形ABCD是平行四边形，
∴C（6，2y-4），
∴点C在x=6这条直线上运动，
∴当点C在x轴上时，OC长度的最小值为6，
即2y-4=0，
∴y=2，
∴点P（0，2）．
故答案为（0，2）．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，垂线段最短，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
18．(1)1
(2)见解析
【分析】（1）延长OH交BC于点E，证明△HCO≌△HCE（ASA），得CO=CE．OH=EH=OE．再证OE是△ABC的中位线，得OE=AB．即可求解．
（2）连接AF，作CM⊥BD于M． 证△ACF≌△BCF（SAS），得AF=BF．从而可得∠ABD=∠BAF=45°．再利用平行四边形的性质证得DF=2DM，然后证明△ABF≌△CDM（ASA），得BF=DM，即可得出结论．
【详解】（1）解：延长OH交BC于点E，
∵OH⊥FH，
∴∠CHO=∠CHE=90°．
∵CF平分∠ACB，
∴∠HCO=∠HCE．
在△HCO和△HCE中
，
∴△HCO≌△HCE（ASA）
∴CO=CE，OH=EH=OE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OC．
∵AC=BC，
∴BC=2CE，
∴点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB．
∵AB=4
∴OE=2，
∴OH=1．
（2）证明：连接AF，作CM⊥BD于M．
∴∠CMD=90°．
∵OE是△ABC的中位线，
∴OHAB，
∴∠ABD=∠HOF．
∵OH⊥FH
∴∠FHO=90°．
∵OH=FH．
∴∠HOF=∠HFO=45°，
∴∠ABD=45°．
在△ACF和△BCF中
，
△ACF≌△BCF（SAS），
∴AF=BF．
∴∠ABD=∠BAF=45°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，ABCD，
∴∠ABD=∠CDB=45°
∴∠DCM=45°，
∴∠ABD=∠BAF=∠CDB=∠HFO=∠DCM=45°．
∴CF=CD．
∵CM⊥BD，
∴DF=2DM，
在△ABF和△CDM中
，
∴△ABF≌△CDM（ASA）
∴BF=DM，
∴DF=2BF．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形中位线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形中位线的判定与性质是解题的关键．
19．（1）见解析；（2）
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形外角性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
（1）在上取点E，使，连接，得到是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质，三角形外角性质，等量代换证明即可；
（2）过点A作交CB的延长线于点E，在BC上截取，连接AF，利用平行四边形的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，三角形外角性质证明即可．
【详解】（1）证明：如图，在上取点E，使，连接．
∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点A作交CB的延长线于点E，在BC上截取，连接AF，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．(1)见解析
(2)当BC＝AC时，四边形ADCF是矩形，理由见解析．
【分析】（1）用平行四边形的定义判定；
（2）当BC＝AC时，四边形ADCF是矩形．用DE是三角形中位线证明BD=AD，用四边形DBCF是平行四边形得到CF∥BD，CF=BD，得到AD=CF，推出四边形ADCF是平行四边形，根据AC=BC，BC=DF，得到AC=DF，从而平行四边形ADCF是矩形．
【详解】（1）（1）∵DE是△ABC的中位线，
∴2DE＝BC，DE∥BC，
∵CF∥AB，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴BC=DF；
（2）（2）当BC＝AC时，四边形ADCF是矩形，理由如下：
∵DE是△ABC的中位线，
∴DB＝AD，
∵四边形DBCF是平行四边形，
∴DB＝CF，
∴AD＝CF，
∵AB∥CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵BC＝AC，BC=CF，
∴AC=DF，
∴平行四边形ADCF是矩形．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线，平行四边形，熟练掌上三角形中位线性质，平行四边形的判定和性质，是解决此类问题的关键．
21．(1)∠AFD=45°；
(2)∠AFD 的大小不会改变，始终是45°，理由见解析
(3)∠AFD 的大小不会改变，始终是45°
【分析】（1）先求出∠DAE=20°，进而求出∠ADE=65°，最后再用三角形的内角和即可得出结论；
（2）设∠BAP=∠EAP=α，同（1）的方法即可得出结论；
（3）设∠BAP=∠EAP=α，同（2）的方法即可得出结论．
【详解】（1）解：由折叠的性质知∠EAP=∠BAP=20°，AB=AD=AE，
∴∠DAE=90°20°×2=50°．
∵在ADE中，AD=AE，∠DAE=50°，
∴∠ADE=∠AED=（180°50°）÷2=65°．
∵在AFD中，∠FAD=90°20°=70°，∠ADF=65°，
∴∠AFD=180°70°65°=45°；
（2）解：∠AFD 的大小不会改变，始终是45°，
设∠BAP=∠EAP=α，则∠EAD=90°2α，∠FAD=90°α．
∵在ADE中，AD=AE，∠EAD=90°2α，
∴∠ADE=（180°∠EAD）=（180°90°+2α）=45°+α．
∴在ADF中，∠F=180°∠FAD∠ADE=180°（90°α）（45°+α）=45°；
（3）解：∠AFD 的大小不会改变，始终是45°，
设∠BAP=∠EAP=α，则∠EAD=2α90°，
∵在ADE中，AD=AE，∠EAD=2α90°，
∴∠AED=（180°∠EAD）=（180°2α+90°）=135°α．
∴在AEF中，∠AFD=180°∠FAE∠AED=180°α（135°α）=45°．
【点睛】此题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，正方形的性质，掌握折叠的性质，找出对应角和对应边相等是解题的关键．
22．（1）B；（2）
【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据中位线的性质求解即可；
（2）由中位线的性质得到，求出，然后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵点M，N分别是和的中点，
∴是三角形的中位线，
∴（米）
故选：B；
（2）解：∵点M，N分别是和的中点，
∴是三角形的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）依据以原点O为旋转中心旋转180°，即可画出旋转后的；
（2）依据点A的对应点A2坐标为，即可画出平移后的；
（3）依据与△中心对称，对称中心即为旋转中心的位置．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：如图所示，即为所求．
（3）解：如图所示，旋转中心坐标为点P．
【点睛】本题考查了利用旋转变换以及平移变换作图，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质．
24．(1)
(2)线段与平行且相等．证明见解析
(3)存在；，
【分析】（1）在中，，，，则，由勾股定理求得的长．
（2）先证四边形是平行四边形，从而证得线段与平行且相等．
（3）由四边形为平行四边形．根据使四边形为菱形则需要满足的条件即可求得答案．
【详解】（1）在中，，，，
∴，
∴，
故答案为：
（2）线段与平行且相等．
证明：∵于点，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形．
∴线段与平行且相等．．
（3）存在；，求解过程如下：
由（2）得四边形为平行四边形．
∵，，
∴，
若使四边形为菱形，则需，
即，
解得，
即当时，四边形为菱形．
【点睛】此题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定，直角三角形30度角的性质、勾股定理、动点问题，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
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