8.3频率与概率同步练习（含解析）

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8.3频率与概率
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在一个样本中，个数据分别落在个小组内，第小组的频数分别是，则第小组的频率是（ ）
A． B． C． D．
2．期中调研日期为“2023年04月20日”，其中出现的频率相同的数字是（ ）
A．0和4 B．0和3 C．2和4 D．0和2
3．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数最有可能是（ ）
A． B． C． D．
4．数字“20230412”中，数字“2”出现的频率是（ ）
A． B． C． D．
5．如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在平行四边形内部，那么它最终停留在黑色区域的概率是（ ）．
A． B． C． D．
6．在一个不透明的盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球．小杰想估计其中的白球数量．做了以下实验，从袋中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．得到如表所示的数据．请估算盒子里白球的个数有（ ）个
摸球的次数m 20 40 60 80 120 160 200
摸到白球的次数n 15 33 49 63 97 126 160
摸到白球的频率 0.75 0.83 0.82 0.79 0.81 0.79 0.8
A．无法估计 B．8个 C．6个 D．2个
7．一个口袋中装有分别写有“兴文”“石海”字的小球共20个，它们除此之外完全相同．将口袋中的球搅拌均匀后从中随机摸出一个球，记下上面的字后，再放回口袋中搅匀，不断重复这一过程，发现摸到“兴文”球的频率稳定在左右，则估计这个口袋中“兴文”球的个数为（ ）
A．14个 B．13个 C．7个 D．6个
8．在“用频率估计概率”数学实践活动时，九年级（1）班同学做抛硬币试验，抛高落地后记下正面朝上的次数．不断重复这一过程，获得数据如下：
抛掷的次数 200 300 1000 1600 2000 5500
落地后正面朝上的次数 105 155 546 768 1045 2751
落地后正面朝上的频率 0.53 0.517 0.546 0.48 0.523 0.50
经统计发现，正面朝上的频率在一个常数附近摆动，由此估计“抛掷一枚硬币，正面朝上”的概率为（ ）
A．0.53 B．0.48 C．0.50 D．无法判断
9．在一个不透明的口袋中，放置6个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现的频率，如图，则n的值是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
10．两个同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率
B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率
C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率
D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率
11．某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（ ）
A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4
C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6
12．某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下．根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（ ）
累计抽测的学生数 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
体质健康合格的学生数与的比值 0.93 0.89 0.92 0.91 0.90 0.92 0.92 0.92 0.92
A．0.90 B．0.91 C．0.92 D．0.93
二、填空题
13．某鱼塘星养了1600条鲤鱼和若干条草鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，则鱼塘草鱼的条数的为 条．
14．暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“水”字出现的频率为 ．
15．为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼，通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在5%左右，则鱼塘中估计有鱼 条．
16．在一个不透明的袋中装有若干个材质、大小完全相同的红球，小明在袋中放入个黑球（每个黑球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，估计袋中红球有 个．
17．质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表：
抽查的头盔数
合格的头盔数
合格头盔的频率
请估计该工厂生产个头盔，合格的头盔数有 个．
三、解答题
18．同学们要善于用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．
(1)观察发现
为了解某种小麦的发芽率，小明团队进行了试验，他们在相同条件下进行发芽试验，结果如下表：
试验的麦粒数n 100 200 500 1000 2000 5000
发芽的麦粒数m 94 191 473 954 1906 4748
发芽的频率m
①当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为， 是小麦发芽的概率吗？（ ）
A．是 B．不是
②当任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是 (结果精确到)
(2)探究迁移
七一班的学习小组在草地的外围画了一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录．
记录结果如下：
项目名称 组别 一组 二组 三组 四组
石子落在草地内的次数 112 92 177 121
石子落在草地外长方形内的次数 28 24 43 33
石子落在长方形外的次数 10 24 32 28
同学们将四个小组的数据收集并整理，他们认为用概率的相关知识就能算出草地的面积大约是多少平方米，请你帮他们写出计算过程．(结果保留整数)
(3)拓展应用
如图，学校操场旁的地面上铺满了正方形的地砖， 现在向这一地面上抛掷半径为的圆碟，圆碟与地砖间的缝隙相交的概率是 ．(直接写出答案)
19．在一个不透明的盒子里装有大小、形状一样的黑、白两种球共40个，小颖与同学们做摸球试验，摸球方法是：将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，统计同学们的摸球结果，记录的数据如下表所示：
试验次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
摸到白球的次数 70 105 198 235 288 375 408 490 540 599
摸到白球的频率
(1)把表中的数据补充完整（精确到），并根据统计表画出折线统计图；
(2)估计任意摸出一个球是白球的频率是____________（精确到）．
20．韩笑的爸爸昨天一次买了10注某种彩票，结果中了一注一等奖，他高兴地说：“这种彩票就是好，中奖率高，中一等奖的概率是！”韩笑的爸爸的说法对吗？
解：韩笑的爸爸的说法是正确的．
因为买了10注彩票，相当于做了10次试验，其中一注为一等奖，所以．
陷阱：__________________________________________________
纠正：
21．任意掷一枚质地均匀的骰子．
(1)掷出的点数大于4的概率是______；
(2)掷出的点数是偶数的概率是多少？
22．工厂新进一台机床，初步调试后做了4个零件，经检测有3个合格、1个不合格．
(1)从这4个零件中随机抽取1个，抽到合格零件的概率是 ；
(2)机床经过精准调试后，确保做出的零件均能合格．操作人员将做出的x个合格零件与之前的4个零件混在一起进行试验：随机抽取1个零件检测后放回，多次重复这个试验．通过大量试验后发现，抽到合格零件的频率稳定在，求x的值大约是多少．
23．一只不透明的袋子中装有若干个白球和其他颜色的球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中摸出一个球，然后放回摇匀再摸，在摸球实验中得到下列表中的部分数据：
摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500
摸出白球的频数 14 26 128 198 267 399 500
摸出白球的频率
(1)请将表补充完整；
(2)画出“摸出白球”的频率折线统计图，得摸出白球的概率估计值是 ；（精确到到0.01）
(3)若袋中共有200个球，则袋中可能有 个白球．
24．在一个袋子中装有大小相同的个小球，其中个蓝球，个红球，在这个袋中加入个红球，这些球除颜色外其他均相同．进行如下试验：随机摸出个，记下颜色，然后放回搅匀，多次重复这个实验，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在，则可以推算出的值大约是多少？
《8.3频率与概率》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D A C B B C B C
题号 11 12
答案 C C
1．D
【分析】根据各组的频数可求出第小组的频数，再根据频率的计算方法即可求解．
【详解】解：个数据分别落在个小组内，第小组的频数分别是，
∴第小组的频数为，
∴第小组频率为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查频率的计算方法，掌握频率的计算公式是解题的关键．
2．D
【分析】根据频率的定义即可解答．
【详解】解：在“2023年04月20日”中，共有0、2、3、4四个数字，其中0出现了3次，2出现了3次，3出现了1次，4出现了1次，
则数字0和2的频率相同，均为，
数字3和4的频率相同，均为．
故选：D．
【点睛】本题考查了频率，掌握频数与总次数的比值（或者百分比）称为这类数据频数的频率是解题关键．
3．D
【分析】本题考查了用频率估计概率．熟练掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．
由题意知，摸出黄球的概率为，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，摸出黄球的概率为，
∴袋子中黄球的个数最有可能是个，
故选：D．
4．A
【分析】根据频率的计算公式：，进行计算即可．
【详解】解：由题意知，数字“2”出现的频率是：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了频数与频率，解题的关键在于熟练掌握频率的计算方法．
5．C
【分析】根据几何概率的求法，可得：小球最终停在黑色区域的概率等于黑色区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：根据图示，
黑色区域的面积等于平行四边形面积的，
小球最终停留在黑色区域的概率是：，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了几何概率问题，解题的关键是掌握：概率=黑色区域的面积与总面积之比．
6．B
【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．同时也考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，观察可知概率在0.8左右．利用概率公式进行计算．
【详解】解：大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，观察可知概率在0.8左右，
设白球有个，
，解得．
故选：B．
7．B
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．解题的关键是根据摸到“兴文”球的频率稳定在左右进行求解即可．
【详解】设口袋中“兴文”球有x个，
根据题意，得：，
所以估计口袋中 “兴文”球有个．
故选：B
8．C
【分析】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，写出相应的概率．据表格中的数据，可以估计出“抛掷一枚硬币，正面朝上”的概率．
【详解】解：由表格中的数据发现：随着抛掷次数的增加，正面向上的频率越来越接近0.50，
所以估计“抛掷一枚硬币，正面朝上”的概率为0.50，
故选：C．
9．B
【分析】先根据图得到黄球出现的频率稳定在0.6附近，再根据概率公式列出方程，最后解方程即可求出n．
【详解】解：由图可知，经过大量实验发现，黄球出现的频率稳定在0.6附近，
∴
解得 n=3
故选：B．
【点睛】本题考查了用频率估计概率及用概率求数量，解题的关键是熟练掌握概率公式．
10．C
【分析】本题考查频率的计算，根据频数、频率的定义，确定各选项中，符合条件的对象的频率，作出判断．
【详解】解：根据统计图可知，试验结果在附近波动，
A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率约为，不合题意；
B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率为，不合题意；
C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率约为，符合题意；
D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率约为，不合题意；
故选：C．
11．C
【分析】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的定义是解题关键．
直接利用频率求法，频数÷总数＝频率，进而得出答案．
【详解】解：∵某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，
∴出现反面的频率是．
故选：C
12．C
【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率是解题关键．直接根据利用频率估计概率求解即可得．
【详解】解：由表格可知，经过大量重复试验，体质健康合格的学生数与抽测的学生数的比值稳定在附近，
所以该区初中生体质健康合格的概率为，
故选：C．
13．1600
【分析】根据频率估计概率，再根据概率公式求数量即可．
【详解】解：∵捕捞到草鱼的频率稳定在左右，
∴捕捞到草鱼的概率为，
设草鱼的条数为x，可得：，
解得：，
∴估计该鱼塘草鱼的条数为1600．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，以及利用概率求数量．熟练掌握概率是频率的稳定值，以及概率公式是解题的关键．
14．
【分析】本题考查了频率的计算，用“水”字出现的次数除以总的字的个数即可求解，掌握频率的计算方法是解题的关键．
【详解】解：“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”，共有个字，其中“水”字出现的次数为次，
∴“水”字出现的频率为，
故答案为：．
15．1000
【详解】鱼塘中有鱼x条，利用频率估计概率得到，然后解方程即可．
【解答】解：设鱼塘中有鱼x条，
根据题意得，
解得，
经检验为原方程的解，
所以估计鱼塘中有鱼1000条．
故答案为：1000．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，熟记大量反复试验下频率稳定值即为概率是解题的关键．
16．
【分析】根据口袋中有个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．
【详解】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，口袋中有个黑球，
∴设有个红球，
∴，解得，，
经检验是分式方程的解，
∴口袋中红球约有个．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
17．
【分析】用总数量乘以合格的头盔数稳定的频率即可．
【详解】解：估计该工厂生产个头盔，合格的头盔数有（个）．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在概率附近左右摆动，并且随实验次数的增加摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，正确理解频率估计概率是解决本题的关键．
18．(1)①不是②
(2)草地的大体面积为16平方米
(3)
【分析】此题考查了频率估计概率，据此进行解答即可．
（1）①当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为，只是一次试验的频率，不能代表概率，据此进行解答即可；②表格看，经过多次大量重复试验，频率稳定在左右，即可得到答案；
（2）分别求出四个组石子落在草地内的次数占石子落在=长方形内的次数比，即可估计石子落在草地内的概率，再用长方形面积乘以概率即可；
（3）利用几何概率进行解答即可．
【详解】（1）①解：当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为，只是一次试验的频率，不能代表概率，即不是小麦发芽的概率，
故选：B
②从表格看，经过多次大量重复试验，频率稳定在左右，
∴当任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是，
（2）解： 分别求出四个组石子落在草地内的次数占石子落在=长方形内的次数比如下：
一组：
二组：
三组：
四组：
∴估计石子落在草地内的概率约为0.8，
∴草地的大体面积为：（平方米），
答：草地的大体面积为平方米．
（3）解：∵圆碟的圆心如果在正方形的地砖的中心部位的范围外，则与地砖间隙相交，
∴圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约是．
故答案为：
19．(1)填报见解析；折线统计图见解析
(2)
【分析】本题主要考查了求概率，画折线统计图，解题的关键是理解频率定义．
（1）根据表格中的数据求出频率，然后描点画出折线统计图即可；
（2）根据折线统计图进行解答即可．
【详解】（1）解：，，；；；
，，；，，
试验次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
摸到白球的次数 70 105 198 235 288 375 408 490 540 599
摸到白球的频率
（2）解：根据折线统计图，估计任意摸出一个球是白球的频率是．
20．试验次数太少，频率不能估计概率，纠正见解析
【分析】用频率估计概率的前提是大量重复计验；
【详解】[陷阱]试验次数太少，频率不能估计概率
[正解]
韩笑的爸爸的说法不对，因用频率估计概率的前提是大量重复计验，本题试验的次数（即买彩票的注数）太少，不能用中一等奖的频率去估概率．
【点睛】本题考查用频率估计概率，注意用频率估计概率的前提是大量重复计验．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据总结果数为6种，点数大于4的结果只有两种，即可得答案；
（2）根据总结果数为6种，掷出的点数是偶数的结果有三种，即可得答案．
【详解】（1）解：因为骰子是质地均匀的，所以所有结果出现的概率相同，掷出的点数共6种结果，掷出的点数大于4的结果只有两种，点数分别为5、6，设事件A=掷出的点数大于4，
∴P(A)= ；
故答案为：；
（2）因为骰子是质地均匀的，所以所有结果出现的概率相同，掷出的点数共6种结果，掷出的点数是偶数的结果有三种，点数分别为2、4、6，设事件B=掷出的点数是偶数，
∴ P(B)= ．
【点睛】本题考查了概率的求法，解题的关键是掌握概率的公式，有n种等可能的结果，事件A有k种结果，事件A的概率为P(A)= ．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了概率初步和频率的意义，熟练掌握简单概率的求法和频率的意义是解题的关键．
（1）利用4个零件，经检测有3个合格，直接求概率即可；
（2）利用频率稳定在，即合格数除以总数等于，列式求解即可．
【详解】（1）解：∵4个零件，经检测有3个合格，
∴从这4个零件中随机抽取1个，抽到合格零件的概率是，
故答案为：；
（2）解：由题意得：，
解得：，
答：的值大约是．
23．(1)见解析
(2)见解析，
(3)66
【分析】本题考查了画折线统计图，频率估计概率，频数、频率与实验总次数的关系，掌握这些知识是关键．
（1）由频数、频率与摸球次数的关系可求得摸球40次，摸出白球14的概率；也可求得摸球1000次且频率为时摸出白球的频数，因而可补充完整表格；
（2）按折线统计图的画法画图即可；根据统计图即可估计出概率；
（3）根据（2）中概率的近似值，即可计算出袋中白球可能的个数．
【详解】（1）解：，；
补充完整表格如下：
摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500
摸出白球的频数 14 26 128 198 267 332 399 500
摸出白球的频率
（2）解：折线统计图如下：
由图知，摸出白球的概率估计值是；
故答案为：．
（3）解：由（2）知，摸出白球的概率估计值是，
则袋中200个球，白球可能为：（个）
故答案为：66．
24．
【分析】根据大量重复实验时，频率可以估计概率，列出方程求解即可．
【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红色小球的频率稳定在，
∴摸到红色小球的概率等于，
∴，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意．
∴可以推算出的值大约是．
【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．解题的关键：概率＝所求情况数与总情况数之比．
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