9.1图形的旋转同步练习（含解析）

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9.1图形的旋转
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，将绕原点按逆时针方向旋转得，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，长方形的两边、分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点，将长方形沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为；经过第二次翻滚，点A的对应点记为；……，依次类推，经过第2023次翻滚，点A的对应点的坐标为（　　）

A． B． C． D．
4．如图，将三角形绕点A逆时针旋转得到三角形，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
5．如图，在中，，，若将绕点逆时针旋转后得到，连接和，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，中，，，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，中，，，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，当点O对应点C在上时，点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在等边中，，点在上，且，是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，若使点恰好落在上，则线段的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
10．第一次：将点A绕原点O逆时针旋转90°得到；
第二次：作点关于x轴的对称点；
第三次：将点绕原点O逆时针旋转90°得到；
……
第四次：作点关于x轴的对称点；
按照这样的规律，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在钝角中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．平分
12．如图，直线与轴、轴分别交于A、B两点，把绕点A旋转后得到，则点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题
13．关于如图的形成过程：（1）由一个三角形平移形成的；（2）由一个三角形绕中心依次旋转形成的；（3）由一个三角形作轴对称形成的；（4）由一个三角形先平移再旋转形成的，说法正确的有 ；（填序号）
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是 ．

15．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，当点B正好落在线段上时，则旋转角 度．
16．如图，中，．将绕点B逆时针旋转得到，若，， ．
17．如图，点是正方形内一点，且点到点、、的距离分别为、、，则正方形的面积为 ．
三、解答题
18．如图，在中，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点F．
(1)求证：；
(2)求的度数．
19．（1）观察理解：如图 1，中，，直线过点，点在直线同侧， ，垂足分别为，由此可得：，所 以， 又 因为， 所以，所以，又因为，所以（ ）；（请填写全等判定的方法）
（2）理解应用：如图2，，且，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标的数据计算图中实线所围成的图形的面积_________；
（3）类比探究：如图 3， 中，,，将斜边绕点逆时针旋转 90至，连接，则的面积=_________ .
（4）拓展提升：如图4，等边中，cm，点在上，且cm，动点从点 沿射线以1cm/s速度运动，连接，将线段绕点逆时针旋转 120°得到线段，设点运动的时间为秒．
①当________秒时，OF∥ED；
②当________秒时，点恰好落在射线上．
20．已知：和均为等腰直角三角形，如图①，易证且．
(1)将绕点B顺时针旋转至图②的位置时，线段和有怎样的关系？
(2)将绕点B逆时针旋转至图③的位置时，线段和又有怎样的关系？
21．在平面直角坐标系xOy中，的顶点坐标分别是，，．
(1)按要求画出图形：
①将向右平移6个单位得到；
②再将绕点顺时针旋转90°得到；
(2)如果将（1）中得到的看成是由经过以某一点M为旋转中心旋转一次得到的，请写出M的坐标．
22．把一副三角板按如图甲放置，其中，，，斜边，．把三角板绕点顺时针旋转得到（如图乙）．这时与相交于点、与相交于点．
(1)写出 度；
(2)线段的长为 ；
(3)若把绕着点顺时针旋转得，这时点在的内部、外部、还是边上？说明理由．
23．如图，将绕顶点C逆时针旋转得到，且点B刚好落在上，若，，求的度数．
24．如图1，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点从点出发，沿射线方向以的速度运动，当不与点重合时，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接、，设点运动了，
(1)点的运动过程中，线段与的数量关系是______，请以图情形为例（当点在线段上时，点与点不重合），说明理由，
(2)当时，如图，周长是否存在最小值？若存在，求出的最小周长；若不存在，请说明理由．
(3)当点在射线上运动时，是否存在以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出此时的值．
《9.1图形的旋转》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B A B C B A C A
题号 11 12
答案 D C
1．B
【分析】根据题意证得△AOC≌△OBD，可得结论．
【详解】解：如图，
根据题意得∶∠AOB=90°，∠ACO=∠BDO=90°，OA=OB，
∴∠AOC+∠BOD=90°，∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠BOD=∠OAC，
∴△AOC≌△OBD，
∴BD=OC，OD=AC，
∵点的坐标为，
∴BD=OC=1，OD=AC=5，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，属于中考常考题型．
2．C
【分析】连接EC，过E作EH⊥BC于H，先利用勾股定理、旋转的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，然后根据勾股定理分别求出，由此即可得出答案．
【详解】连接EC，过E作EH⊥BC于H，
在Rt△ABC中，，
∴，
∴，
由旋转可知：，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、，通过作辅助线，构造等边三角形是解题关键．
3．B
【分析】观察图形即可得到经过4次翻滚后点A对应点一循环，先求出的商和余数，从而解答本题．
【详解】解：如图所示：
观察图形可得经过4次翻滚后点A对应点一循环，
，
∵点，长方形的周长为：，
，
∴经过505次翻滚后点A对应点的坐标为，即．
故选：B．
【点睛】本题考查探究点的坐标的问题，关键是找到点的变化规律．
4．A
【分析】先确定旋转角，结合计算即可．
【详解】∵三角形绕点A逆时针旋转得到三角形，
∴，
∵，，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了旋转，准确确定旋转角是解题的关键．
5．B
【分析】由已知条件可求出的度数，根据旋转的性质可得为等边三角形，可求出、的度数以及得到，进而求出的度数，由角的和差关系可得的度数．
【详解】由旋转得：，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，依据性质求角度是解题的关键．
6．C
【分析】作，根据等面积法，可求CD，再由勾股定理即可求解.
【详解】解：如图，作，
∴
∵
故选：C
【点睛】本题主要考查图形的旋转、勾股定理，正确画出辅助线是解题的关键．
7．B
【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
由旋转的性质可得，，然后用线段和差即可求解．
【详解】解：由旋转性质可知：，，
∴，
故选：．
8．A
【分析】如图，过点D作轴于点E，证明是等边三角形，即得出，，从而可求出，再结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】如图，过点D作轴于点E，
∵，
∴．
由旋转的性质可知，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故选A．
【点睛】本题主要考查旋转变换，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，坐标与图形等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．
9．C
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质，由题意得出当点恰好落在上时，，由等边三角形的性质可得，证明，可得，进行计算即可，熟练掌握全等三角形的性质和等边三角形的性质是解此题的关键．
【详解】解：如图，当点恰好落在上时，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
故选：C．
10．A
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】由题意可得：，，，，，
4次一个循环，
，
坐标与相同，即坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查旋转变换，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法．
11．D
【分析】根据旋转可知△CAB≌△EAD，∠CAE=70°，结合∠BAC=35°，可知∠BAE=35°，则可证得△CAB≌△EAB，即可作答．
【详解】根据旋转的性质可知△CAB≌△EAD，∠CAE=70°，
∴∠BAE=∠CAE-∠CAB=70°-35°=35°，AC=AE，AB=AD，BC=DE，∠ABC=∠ADE，故A、B错误，
∴∠CAB=∠EAB，
∵AC=AE，AB=AB，
∴△CAB≌△EAB，
∴△EAB≌△EAD
∴∠BEA=∠DEA，
∴AE平分∠BED，故D正确，
∴AD+BE=AB+BE＞AE=AC，故C错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质和全等三角形的判定与性质，求出∠BAE=35°是解答本题的关键．
12．C
【分析】三角形旋转后，边长大小不变，根据旋转方向分为顺时针和逆时针旋转，进行两种情况的讨论画图求解即可．
【详解】解：
因为，所以时，，当时，，解得
即点，所以，
三角形旋转后形状不变，，所以
①当绕点A顺时针旋转90°后得到，如图①，此时在第一象限，则点
横坐标是，纵坐标是，则点坐标为；
②当绕点A逆时针旋转90°后得到，如图②，此时在第三象限，则点
横坐标是，纵坐标是，则点坐标为，
所以点坐标为或，
故选：
【点睛】本题主要考查了旋转与坐标结合，如何应用旋转的性质并分类讨论是解题的关键．
13．（2），（3），（4）
【详解】解：由题意可知，原图形可以由一个三角形绕中心依次旋转形成；或由一个三角形作轴对称形成的；或由一个三角形先平移再旋转形成的．
故(2)、(3)、(4)正确，
故答案为：(2)、(3)、(4) ．
【点睛】本题考查平移、旋转等知识，解题的关键是掌握旋转变换、平移变换的性质．
14．2
【分析】点F运动所形成的图象是一条直线，当OF⊥F1F2时，垂线段OF最短，当点F1在x轴上时，由勾股定理得：，进而得，求得点F1的坐标为，当点F2在y轴上时，求得点F2的坐标为（0，-4），最后根据待定系数法，求得直线F1F2的解析式为y=x-4，再由线段中垂线性质得出，在Rt△OF1F2中，设点O到F1F2的距离为h，则根据面积法得，即，解得h=2，根据垂线段最短，即可得到线段OF的最小值为2．
【详解】解：∵将线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，
∴∠APF=60°，PF=PA，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=AF，
如图，当点F1在x轴上时，△P1AF1为等边三角形，
则P1A=P1F1=AF1，∠AP1F1=60°，
∵AO⊥P1F1，
∴P1O=F1O，∠AOP1=90°，
∴∠P1AO=30°，且AO=4，
由勾股定理得：，
∴，
∴点F1的坐标为，
如图，当点F2在y轴上时，

∵△P2AF2为等边三角形，AO⊥P2O，
∴AO=F2O=4，
∴点F2的坐标为（0，-4），
∵，
∴∠OF1F2=60°，
∴点F运动所形成的图象是一条直线，
∴当OF⊥F1F2时，线段OF最短，
设直线F1F2的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线F1F2的解析式为y=x-4，
∵AO=F2O=4，AO⊥P1F1，
∴，
在Rt△OF1F2中，OF⊥F1F2，
设点O到F1F2的距离为h，则，
∴，
解得h=2，
即线段OF的最小值为2，
故答案为2．
【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质以及待定系数法的运用等，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及面积法求最短距离，解题时注意勾股定理、等边三角形三线合一以及方程思想的灵活运用．
15．
【分析】根据三角形内角和定理得到，根据旋转得到，，，即可得到，结合三角形内外角关系即可得到，即可得到答案；
【详解】解：∵，，
∴，
∵绕点C顺时针旋转α得到，
∴，，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
【点睛】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和定理及三角形内外角关系，解题的关键是求出．
16．5
【分析】根据旋转的性质得，，，即可得是等边三角形，则，根据得，即可得．
【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转得到，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
17．/
【分析】将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于．由旋转的性质可知，，进而根据等腰直角三角形的性质得到，再根据勾股定理得到，再由直角三角形斜边上的中线得到，最后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于．
由旋转的性质可知，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，共线，
，
，
，
，
，
正方形的面积为．
故答案为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，正确构造旋转图形是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据条件证出，即可得证．
（2）根据条件求出的度数，然后根据四边形内角和求出的度数，最后用的度数即可．
【详解】（1）
解：证明：∵绕点B按逆时针方向旋转，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在与中，
，
∴．
（2）
解：由旋转可得：，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了图形的旋转、全等三角形的判定、等腰三角形的性质等知识点，充分利用旋转性质是解题关键．
19．（1）AAS
（2）50
（3）8
（4）①1,②4
【分析】（1）根据AAS证明△AEC≌△CDB；
（2）利用（1）中的结论，△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，利用面积差求S的值；
（3）如图3，过B′作B′E⊥AC于E，证明△AEB′≌△BCA，得AC=B′E=4，根据面积公式可得结论；
（4）①证明△POC是等边三角形，即可求解；②证明△BFO≌△COP，即可求解．
【详解】（1）在和中，
∵，
△AEC≌△CDB(AAS)，
故答案为：；
（2）∵，，，，
由（1）得：△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，
∴，，，，
即FH=FA+AG+GC+CH=16，
∴，
即；
（3）如图3，过作于，即，
由旋转得：，
∵，
∴，
又∵，
∴，
结合，，
∴△AEB′≌△BCA，
∴，
∴；
（4）①根据旋转的性质可知∠POF=120°，
∵，
∴∠OPD+∠POF=180°，
∴∠OPD=60°，
∵在等边△BEC中，∠E=60°=∠BCE，
∴△POC是等边三角形，
∴OC=PC=2，
∵EC=3，
∴EP=EC-PC=3-2=1，
∴t=1÷1=1（s），
故答案为：1；
②如图，
在等边△BEC中，∠E=60°=∠BCE=∠EBC，
∵根据旋转可知∠POF=120°，PO=FO，
∴∠FOB+∠POC=180°-120°=60°，
∵∠POC+∠CPO=∠BCE=60°，
∴∠CPO=∠FOB，
∵∠FBO=180°-∠EBC=180°-∠BCE=∠OCP=120°，
∴△BFO≌△COP，
∴PC=BO，
∵OC=2，BC=3，
∴BO=BC-OC=3-2=1，
∴PE=PC+BC=1+3=4，
∴此时t=4÷1=4（s），
故答案为：4．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行的性质、旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
20．(1)且．理由见解析
(2)且．理由见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，确定出三角形全等的条件是解题的关键．
（1）根据证明得，延长交于F，求出，进而可证；
（2）根据证明得，设交于F，求出，进而可证；
【详解】（1）且．
理由：∵和均为等腰直角三角形，
∴，
在和中，
∴，
∴，
延长交于F，如答图①，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）且．
理由：∵和均为等腰直角三角形，
∴，
∴，
即∠，
在和中，
∴，
∴，
设交于F，如答图②，
则，
∴，
∴．
21．(1)①见解析；②见解析；
(2)M（1，-1）
【分析】（1）①根据平移的性质得出、、的位置，顺次连接即可；
②根据旋转的性质得出、的位置，顺次连接即可；
（2）连接CC2，AA1，线段CC2，AA1的垂直平分线的交点即为M点的位置，作出M点写出坐标即可．
【详解】（1）解：①如图，即为所求；
②如图，即为所求；
（2）解：连接CC2，AA1，线段CC2，AA1的垂直平分线的交点即为M点的位置，
由图可知，M的坐标为（1，-1）．
【点睛】本题考查了作图—平移和旋转，熟练掌握平移和旋转的性质找出对应点的位置是解题的关键．
22．(1)
(2)
(3)内部，理由见详解
【分析】（1）根据旋转角度，可算出，在中，可算出，根据是的外角，由此即可求解；
（2）根据（1）可知垂直平分，，，可算出，的长度，在中，由勾股定理即可求解；
（3）绕着点顺时针旋转得，设直线与相交于，在中求出的长，在中算出的长，进行比较即可求解．
【详解】（1）解：∵旋转角为，
∴，
∴，
∴，
在中，．
（2）解：由（1）可知，，且，
∴平分，，
∴，
在中，由勾股定理得，．
（3）解：如图所示，
点在的内部．
理由如下：如图所示，
设直线与相交于，
∵绕着点顺时针旋转，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，且，，
∴，，
∵，
∴，即，
∴点在的内部．
【点睛】本题主要考查特殊角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，掌握旋转的性质，特殊角的直角三角形的性质是解题的关键．
23．
【分析】先根据旋转的性质得到，，再利用三角形外角性质得到，然后根据等腰三角形的性质得到的度数．
【详解】解：∵绕顶点C逆时针旋转得到，且点B刚好落在上，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形的外角性质、等腰三角形的性质，解答的关键是理解旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
24．(1)，理由见解析
(2)存在，
(3)存在，2或4
【分析】（1）由旋转的性质得到，，进而证得，即可得到结论；
（2）当时，由旋转的性质得到，于是得到，根据等边三角形的性质得到，由垂线段最短得到当时，的周长最小，于是得到结论；
（3）分四种情况：当点与点重合时，当时，当时，当时，分别根据等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
将线段绕点逆时针方向旋转得到，
，，
是等边三角形，
，，
∴，
∴，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：存在，当时，
由（1）知，，
，
将线段绕点逆时针方向旋转得到，
，，
∴是等边三角形，
，
，
由垂线段最短可知，当时，的周长最小，
∵为等边三角形，
∴根据三线合一可知：，
∴根据勾股定理可知：，
的最小周长；
（3）解：存在，当点与点重合时，，，不能构成三角形，
当点与点重合时，不符合题意，
当时，由旋转可知，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
根据解析（1）可知：此时，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴中只能，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
；
当时，点D在上运动，不可能是直角三角形．
如图，当时，
同理可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴中只能，
此时，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
综上所述：当或时，以、、为顶点的三角形是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、三角形周长的计算、直角三角形的判定等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
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