9.3平行四边形同步练习（含解析）

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9.3平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．四边形ABCD，∠A：∠B：∠C：∠D的比例依次如下，其中能使四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1∶2∶3∶4 B．2∶2∶3∶3 C．2∶3∶3∶2 D．2∶3∶2∶3
2．如图1，在平面直角坐标系中， ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被 ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图像如图2所示，平行四边形ABCD的面积为6，则的值是（ ）
A．2 B．2 C．3 D．3
3．如图，在中，垂直平分于点E， ，，则的对角线的长为（ ）
A．5 B．10 C． D．
4．用反证法证明命题“在中，若，则”，首先应假设（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平行四边形OABC中，对角线相交于点E，OA边在x轴上，点O为坐标原点，已知点A（4，0），E（3，1），则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（　　　）
A．一组对角相等 B．对角线互相平分
C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线互相垂直
7．如图，在中，，，，D为AB边上一点，将DC平移到AE（点D与点A对应），连接DE，则DE的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
8．如图是嘉淇不完整的推理过程．
小明为保证嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列正确的是( )
A． B．
C． D．
9．如图，在中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）
A．邻角互补 B．对角互补 C．对边相等 D．对角线互相平分
11．如图，将面积为5的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边长的两倍，则图中的四边形的面积为（ ）

A．5 B．10 C．15 D．20
12．已知一个凸四边形的一条对角线被另一条对角线平分，请你从下列四个条件中再选取一个作为已知条件，使得这个四边形一定是平行四边形．你的选择是（ ）
A．一组对边平行； B．一组对角相等； C．一组邻边相等； D．一组对边相等．
二、填空题
13．如图，已知的面积为12，将沿平移到，使和C重合，连接交于D，则的面积为 ．
14．如图，将三角形沿直线向左平移后，到达三角形的位置，若三角形的面积为10，则四边形的面积 ．
15．如图，将等腰三角形纸片沿着底边上的高剪成两个三角形，将这两个三角形拼成一个平行四边形，若，则拼成的所有平行四边形中，对角线的最大长度是 ．

16．如图，△AOD和△COB关于点O中心对称，∠AOD＝60°，△ADO＝90°，BD＝12，P是AO上一动点，Q是OC上一动点（点P，Q不与端点重合），且AP＝OQ．连接BQ，DP，则DP+BQ的最小值是 ．
17．反证法的一般步骤
（1）假设命题的结论 ；
（2）从这个假设出发，经过推理，得出 ；
（3）由矛盾判定假设 ，从而得到原命题 ．
三、解答题
18．如图，在中，，M、N分别是的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长．
19．如图，的对角线相交于点O，过点O且与分别相交于点E，F，连接．
(1)求证：；
(2)若，的周长是10，求四边形的周长．
20．如图中，D是边的中点，E是上一点，且，以为直角边作等腰，连接
(1)求证：四边形平行四边形；
(2)若，连接，求的大小．
21．如图，已知和点．

(1)在图中画出，使与关于点中心对称；
(2)点、、、、、能组成哪几个平行四边形？请用符号表示出来．
22．如图在中，点E，F为延长线上的点，且，连接 ，，求证：四边形为平行四边形．
23．将和按如图所示的位置放置，已知，求证：四边形是平行四边形．
24．已知：中，，AE平分交BC于E点．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
《9.3平行四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D A C B A B D B
题号 11 12
答案 D A
1．D
【分析】由“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”进行判断即可．
【详解】解：A、∵∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为1：2：3：4，
∴四边形ABCD的四个角都不相等，
∴四边形ABCD不是平行四边形，故该选项不符合题意；
B、∵∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为2：2：3：3，
即四边形ABCD的两组对角不是分别相等，
∴四边形ABCD不是平行四边形，故该选项不符合题意；
C、∵∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为2：3：3：2，
即四边形ABCD的两组对角不是分别相等，
∴四边形ABCD不是平行四边形，故该选项不符合题意；
D、∵∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为2：3：2：3，
即四边形ABCD的两组对角分别相等，
∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定定理，熟知平行四边形的对角相等是解答此题的关键．
2．B
【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得平行四边形的边AD的长，然后根据平行四边形的面积求得AD边上的BM，然后解等腰直角三角形即可求得BE，得到a的值．
【详解】过B作BM⊥AD于点M，分别过B，D作直线y=x的平行线，交AD于B
如图1所示，
由图象和题意可得，AE=7-5=2，DE=8-7=1，
∴AD=2+1= 3，
∵平行四边形ABCD的面积为6，
BM=2，
∵直线BE平行直线y=x，
∴BM=EM=2，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
3．D
【分析】连接交于点F，根据平行四边形和线段垂直平分线的性质可以推出，即可推出，先利用勾股定理求出的长，即可求出的长．
【详解】解：如图，连接交于点F．
∵垂直平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
在中，由勾股定理得，，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
4．A
【分析】根据反证法的一般步骤解答即可．
【详解】用反证法证明命题“在中，，求证：”，第一步应是假设，
故选：A．
【点睛】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
5．C
【分析】由平行四边形的性质得AE=CE，即点E是AC的中点，设C（a，b），利用中点坐标公式，进而求解C点坐标．
【详解】解：设C（a，b），
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴AE=CE，即点E是AC的中点，
∵A（4，0），E（3，1），
∴=3，=1，
解得：a=2，b=2，
∴C（2，2）．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，中点坐标，掌握平行四边形对角线相互平分的性质是解题的关键．
6．B
【分析】平行四边形的判定定理：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，据此进行判断即可．
【详解】解：如图：
A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误，不符合题意；
B、∵、，∴四边形是平行四边形，故本选项正确，符合题意；
C、“一组对边平行，另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项错误，不符合题意；
D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，例如：筝形，故本选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了对平行四边形的判定定理得应用，题目具有一定的代表性，但是一道比较容易出错的题目．
7．A
【分析】过点C作CG⊥AB于点G，连接CE，根据，，，运用勾股定理的逆定理，证明△ABC是直角三角形，得到∠ACB=90°，根据平移性质证明四边形ADEC是平行四边形，得到CE∥AD，根据当DE⊥AB时， DE最小，此时，根据∠DEC=∠ECG=90°，证明四边形EDGC是矩形，得到DE=CG，运用面积法得到，求出，得到DE的最小值为．
【详解】过点C作CG⊥AB于点G，连接CE，
则∠AGC=90°，
∵中，，，，
∴，
∴是直角三角形，∠ACB=90°，
由平移知，AE∥CD，AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴CE∥AD，
当DE⊥AB时， DE最小，
此时，∠DEC=∠ECG=90°，
∴四边形EDGC是矩形，
∴DE=CG，
∵
∴
∴，
∴，
∴DE的最小值为．
故选A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，平移，平行四边形，三角形面积，垂线段，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握用勾股定理的逆定理判断直角三角形，平移的性质，平行四边形的判定和性质，三角形面积公式，垂线段最短的性质．
8．B
【分析】根据平行四边形的5条判定定理可得到，在有一组对边平行的情况下，只能添加另一组对边平行或这一组对边相等，查看选项可得到答案．
【详解】选项A中，，得到，无法证明平行四边形，选项A错误；
选项B中，，得到与平行且相等，可证明平行四边形，选项B正确；
选项C中，，选项C错误；
选项D中，一组对边平行，另一组对边相等，可能为等腰梯形，不能判定平行四边形，选项D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，需要严格按照判定定理进行推理论证，熟悉5条平行四边形的判定是解题的关键．
9．D
【分析】由作图可知为的角平分线，可证得，求出直角三角形，根据勾股定理求出的成，再根据矩形的性质证明，由此可得，由即可求解．
【详解】解：根据题意得，设与交于点，
由作图可知：为中的角平分线，
∴，且，为公共边，，，
∴，
∴，，且，为直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，且，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，直角三角形的勾股定理，三角形全等的判定和性质，掌握矩形的性质得到平行，从而证明三角形全等，根据勾股定理求出线段的长是解题的关键．
10．B
【分析】根据平行四边形的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、平行四边形邻角互补正确，故不符合题意；
B、平行四边形对角不一定互补，故符合题意；
C、平行四边形对角相等正确，故不符合题意．
D、平行四边形的对角线互相平分正确，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握以上性质即平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分．
11．D
【分析】设点A到的距离为h，根据平移的性质可得，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：设点A到的距离为h，
则，
∴，
∵沿方向平移的距离是边长的两倍，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形的面积．
故选：D．
【点睛】本题考查了平移的性质，三角形的面积，熟记性质并确定是解题的关键．
12．A
【分析】选项A，利用AAS证明△OBC≌△ODA（AAS），由此根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明．
【详解】解：如图，OA=OC，
∵BC∥AD，
∴∠OBC=∠ODA，∠OCB=∠OAD，
∵OA=OC，
∴△OBC≌△ODA（AAS），
∴OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故A选项可以使得这个四边形一定是平行四边形．
选项B、C、D均不能证明这个四边形一定是平行四边形．
故选：A．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．
13．6
【分析】连接，由平移的性质得，，则四边形是平行四边形，，由平行四边形的性质得，进一步即可得到的面积．
【详解】解：连接,
由平移的性质得，，，
∴四边形是平行四边形，，
∴,
∴，
故答案为：6．
【点睛】此题考查了平移的性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
14．30
【分析】本题考查了平移的性质和平行四边形的判定．平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
由平移的性质判断出有两个平行四边形，再根据平行四边形被对角线分隔为两个面积相等的全等三角形即可判断出，即可得到结论．
【详解】根据平移的性质可知，，
∴四边形与四边形均为平行四边形，
∴对角线与各自平分其所在四边形的面积，
∴，
四边形的面积，
故答案为：30．
15．
【分析】根据等腰三角形的性质，结合平行四边形的性质，通过翻折、旋转、平移等方式，将三角形进行拼接，把相等的边靠在一起，有三种拼法，分三种情况讨论求解即可得到答案．
【详解】解：在中，，是底边上的高，如图所示：
，
，，
由等腰三角形“三线合一”可知是的中线、高线和角平分线，
，，，
按照题意，将等腰三角形纸片沿着底边上的高剪成两个三角形，如图所示：
将这两个三角形拼成一个平行四边形，有三种拼法，具体如下：
①旋转、翻折其中一个三角形，然后平移，将两个三角形的与重合，拼成一个四边形，如图1所示：

连接对角线，如图所示：
,,
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
,
由两直线平行，同旁内角互补得到，
在和中，
,
，
平行四边形的两条对角线相等，是；
②旋转、翻折其中一个三角形，然后平移，将两个三角形的直角边重合，拼成一个四边形，如图2所示：

连接对角线，如图所示：
,,
，
四边形是平行四边形，
平行四边形的一条对角线为；
延长，过点作于，如图所示：
,
，
，
，
,
,
,
四边形是平行四边形，
由平行四边形对边相等得到，，
在中，，，，则对角线；
③旋转、翻折其中一个三角形，然后平移，将两个三角形的高重合，拼成一个四边形，如图3所示：

连接对角线，如图所示：
,,
，
四边形是平行四边形，
平行四边形的一条对角线为；
延长，过点作于，如图所示：
,
，
，
，
,
,
,
四边形是平行四边形，
由平行四边形对边相等得到，，
在中，，，，则对角线；
综上所述，拼成的所有平行四边形中，对角线的最大长度是．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、图形的翻折、平移和旋转、全等三角形的判定与性质、勾股定理求线段长等知识，本题还考查了学生的动手能力、空间想象能力，解题的关键是相等的边靠在一起，且满足是平行四边形这个条件．
16．12
【分析】由中心对称的性质可得BO＝DO＝6，AO＝OC，可证四边形ABCD是平行四边形，由直角三角形的性质可得AO＝2DO＝12，当AP＝OP时，DP+BQ的值最小，此时P为OA的中点，由直角三角形斜边上的中线性质得出DP、BQ，即可得出结果．
【详解】解：∵△AOD和△COB关于点O中心对称，
∴BO＝DO＝6，AO＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠AOD＝60°，∠ADO＝90°，
∴∠DAO＝30°，
∴AO＝2DO＝12，
∵AP＝OQ，
∴PQ＝AO＝12，
如图，作，使得DK＝PQ＝12，连接BK，
∴四边形DPQK为平行四边形，
∴DP=KQ，∠BDK=∠BOC=∠AOD=60°，
此时DP+BQ＝KQ+BQ＝BK的值最小，
∵DK=PQ=BD=12，
∴△BDK是等边三角形，
∴BK=DB=12，
∴DP+BQ的最小值为12．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
17． 不成立 矛盾 不正确 成立
【分析】依据反证法的定义解答即可．
【详解】反证法的一般步骤为：
（1）假设命题的结论不成立；
（2）从这个假设出发，经过推理，得出矛盾；
（3）由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，
故答案为：不成立，矛盾，不正确，成立
【点睛】此题考查反证法，熟练掌握反证法的步骤是解答此题的关键．
18．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得、，根据M、N分别是AD、BC的中点可得，然后根据平行四边形的判定定理即可证明结论；
（2）如图：连接ND，先说明是等边三角形的判定与性质，可得、，再根据三角形外角的性质，可得，最后根据勾股定理即可解答．
【详解】（1）证明：∵是平行四边形，
∴，．
∵M、N分别是AD、BC的中点，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图：连接ND，
∵是平行四边形，
∴．
∵N是BC的中点，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，证得是等边三角形是解题的关键．
19．(1)见详解
(2)20
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质：
（1）根据平行四边形的性质得出，，推出，证出即可；
（2）由平行四边形的性质得出，，，由线段垂直平分线的性质得出，由已知条件得出，即可得出的周长．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
∴，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
∵的周长是10，
，
∴的周长．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，证三角形全等是解题关键．
（1）证，即可求证；
（2）证得，结合即可求解；
【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴
∵D是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，
∴．
∵
∴
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
21．(1)见解析
(2)，，
【分析】（1）连接延长至，使，连接延长至，使，连接延长至，使，依次连接、、，即可得到；
（2）根据旋转的性质和平行四边形的判定条件求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求；

（2）解：由旋转的性质可知，，，，
对角线互相平分的四边形是平行四边形，
平行四边形有，，．
【点睛】本题考查了画中心对称图形，旋转的姓朱，平行四边形的判定，；灵活运用相关知识点解决问题是解题关键．
22．见解析；
【分析】本题考查了平行四边形的证明，根据一组对边平行且相等可证明；先证，再结合，可证得结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点E，F在的延长线上，，
∴，，
∴四边形为平行四边形．
23．见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定，证得是解题关键．
【详解】证明：∵
∴
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
24．(1)128°；
(2)116°；
【分析】（1）由ABCD是平行四边形可得AD∥BC，由两直线平行同旁内角互补可得∠BAD；
（2）由角平分线的定义可得∠DAE，根据两直线平行同旁内角互补可得∠AEC；
【详解】（1）解：∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠BAD=180°，
∵∠B=52°，
∴∠BAD=180°-52°=128°，
（2）解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=∠BAD=64°；
∵AD∥BC，
∴∠DAE+∠AEC=180°，
∴∠AEC=180°-64°=116°；
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，掌握相关性质是解题关键．
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