9.4矩形、菱形、正方形同步练习（含解析）

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9.4矩形、菱形、正方形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如下图，在菱形中，，，过菱形的对称中心分别作边，的垂线，交各边于点，，，，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．一个正方形的边长为，它的各边边长减少后，得到的新正方形的周长为，与之间的函数解析式是（　　）
A． B．
C． D．以上都不对
3．矩形的周长为，下列图象中能表示的长度y（单位：）关于的长度x（单位：）的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的有（　　）
①当时，它是菱形；
②当时，它是菱形；
③当时，它是矩形；
④当时，它是正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（-4，5），D是OB的中点，E是线段OC上的一动点，DE+AE的最小值是（　　　）
A． B．10 C． D．
6．已知如图，， ， ，，则的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．下列图形中，具备“对角线相等”的性质的是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．矩形
9．如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，下列条件能判断四边形是正方形的是（ ）

A．且 B．且
C．且 D．且
10．如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②；③点C到直线的距离为；④，其中正确结论的序号为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
11．如图，正方形的边长为10，，，连接，则线段的长为（ ）

A． B． C． D．
12．如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是的中点，若四边形是菱形，则四边形需满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．正方形一条对角线为2，则正方形的面积为 ．
14．如图，是小明作线段的垂直平分线的作法及作图痕迹，则四边形一定是 ．
15．如图，矩形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M所表示的数为 ．
16．已知中，对角线平分线，若，则的周长为 ．
17．如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形A，B，C的面积分别是，，，则正方形的面积是 ．
三、解答题
18．如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动
(1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？
(2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是？
19．如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2MO．
求证：四边形AMCN是矩形．
20．如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将ABP沿AP向右翻折，得到AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F．
(1)如图1，当点P在边BC上时，若∠BAP=20°，求∠AFD的度数；
(2)若点P是BC边上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论；
(3)如图2，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论；
21．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，点E是AD上一点，且AE＝m （m是常数），作△BAE关于直线BE的对称图形△BFE，延长EF交直线BC于点G．
(1)求证：EG＝BG；
(2)若m＝2．
①当AB＝6时，问点G是否与点C重合，并说明理由；
②当直线BF经过点D时，直接写出AB的长；
(3)随着AB的变化，是否存在常数m，使等式BGAE＝AB2总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
22．已知如图，直线与两坐标轴分别交于点、，点关于轴的对称点是点，直线经过点，且与轴相交于点，点是直线上一动点，过点作轴的平行线交直线于点，再以为边向右边作正方形．
(1)①求的值；
②判断的形状，并说明理由；
(2)连接、，当的周长最短时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
23．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，AE是折痕．
(1)如图1，若AB=4，AD=5，求折痕AE的长；
(2)如图2，若AE=，且EC：FC=3：4，求矩形ABCD的周长．
24．如图，在菱形中，为边的中点，点在边上，，交的延长线于点．

(1)求证：．
(2)若，，则的长为________．
《9.4矩形、菱形、正方形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D B A C C D D B
题号 11 12
答案 B D
1．A
【分析】先证明是等边三角形，求出EF，同理可证都是等边三角形，然后求出EH，GF，FG即可．
【详解】解：如图，连接BD，AC，
∵四边形ABCD是菱形，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
同法可证，都是等边三角形，
∴，，
∴四边形EFGH的周长为．
故选：A．
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
2．C
【分析】本题考查求一次函数解析式，涉及正方形性质、正方形周长等知识，根据题意，正方形各边长减少后，得到的新正方形的边长为，从而表示出周长即可得到答案，熟记正方形性质及周长求法是解决问题的关键．
【详解】解：一个正方形的边长为，它的各边边长减少后，得到的新正方形的边长为，
得到的新正方形的周长为，
故选：C．
3．D
【分析】本题考查矩形的性质、一次函数的图象与性质，注意x、y的取值范围是解答的关键．先根据矩形的周长得到，即，然后根据一次函数的图象与性质求解即可．
【详解】解：∵矩形的周长为，
∴，
∴，即，
∴当时，；当，，
又，，
∴选项D中图象能表示y与x的函数关系，
故选：D．
4．B
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐一判断各项即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴当时，不能判断它是菱形（对边相等是平行四边形的性质），故①错误，
当时，它是菱形，故②正确，
当时，它是矩形，故③正确，
当时，它是矩形，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．
5．A
【分析】作A关于y轴的对称点，连接交y轴于E，则此时，DE+AE的最小值即为的长，根据A的坐标为（-4，5），得到（4，5），B（-4，0），D（-2，0），进而求出直线的解析式，进而求出点E的坐标，最后利用勾股定理即可得到结论．
【详解】解：作A关于y轴的对称点，连接交y轴于E，
∴，
∴DE+AE的最小值即为的长．
∵四边形ABOC是矩形，
∴，，
∵A的坐标为（-4，5），
∴（4，5），B（-4，0），．
∵D是OB的中点，
∴D（-2，0），
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称--最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．
6．C
【分析】过点D作 于G，过点E作 ，交 的延长线于点F，先证明（AAS），从而得，再证明四边形为矩形，然后利用，求得的值，最后利用三角形面积公式计算即可得出答案．
【详解】过点D作 于G，过点E作，交的延长线于点F
又∵
∴
∴
∴在和中
，
∴（AAS），
∴，
∵，
∴ ，
∴四边形为矩形，
∴，
又∵，
∴，
的面积为：；
故选C．
【点睛】此题考查全等三角形判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的面积计算，解题关键在于掌握各性质定义.
7．C
【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，由矩形的性质可证明，即可求解．
【详解】解：作于，交于．
则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
，，，，，
，
，
故选：C．
8．D
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形以及梯形的性质即可确定．
【详解】解：A.平行四边形对角线不一定相等，对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项错误；
B.菱形对角线不一定相等，对角线相等的菱形是正方形，故此选项错误；
C.梯形的对角线不一定相等，只有等腰梯形的对角线相等，故此选项错误；
D.矩形的对角线相等，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形以及梯形的性质，正确理解性质是关键．
9．D
【分析】本题考查正方形的判定，掌握特殊四边形的判定方法是解题的关键．
根据正方形的判定方法对各个选项进行分析从而得到答案．
【详解】解：A. 由且可判定是矩形，故此选项不符合题意；
B. 且可判定是菱形，故此选项不符合题意；
C. 且可判定是菱形，故此选项不符合题意；
D. 且可判定是正方形，故此选项不符合题意；
故选：D．
10．B
【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件用可证明两三角形全等；②利用①中的全等，可得，再结合三角形外角性质可证；③过点作的延长线于点，利用勾股定理可求，利用为等腰直角三角形，可证为等腰直角三角形，再利用勾股定理可求，；④在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积．
【详解】解：①，
．
，
在正方形中，，，
．
在和中，
，
，故①正确；
②，
，
又，，
．
即，故②正确；
③过点作的延长线于点，如图，
，，
．
又，
．
，
．
，
，
即点到直线的距离为，故③错误；
④，，
在中，，
，故④正确．
综上所述，正确结论的序号为①②④，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，综合性比较强，得出，进而结合全等三角形的性质分析是解题关键．
11．B
【分析】延长交于点，根据正方形的性质证明，求出，，再证明，求出，，由勾股定理可得的长．
【详解】解：如图，延长交于点，
，，，
，，
和是直角三角形，
在和中，，
，
，，，
，，
，，
，，
在和中，，
，
，，，
，
同理可得，
在中，，
故选：B．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证明三角形全等得出，是解题的关键．
12．D
【分析】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键.
根据三角形中位线定理得到 ，再根据菱形的判定定理解答即可.
【详解】∵分别是的中点，
∴分别为的中位线，
，
，
∴四边形为平行四边形，
当时，
平行四边形为菱形，
故选： D.
13．2
【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【详解】解：正方形的一条对角线的长为2，
这个正方形的面积．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的面积的两种求法是解题的关键．
14．菱形
【分析】根据作图方法可知，再根据四条边相等的四边形是菱形即可得到答案．
【详解】解： 由作图方法可知，，
∴四边形是菱形，
故答案为：菱形．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定，线段垂直平分线的尺规作图，熟知菱形的判定条件是解题的关键．
15．/
【分析】此题考查了坐标与图形，矩形的性质，勾股定理等知识点．根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，再求出答案即可．
【详解】解：∵四边形是长方形，，，
∴，
∴，
∴，
∴点表示的数为，
故答案为：．
16．8
【分析】根据题意易知四边形是菱形，然后问题可求解．
【详解】解：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴；
故答案为8．
【点睛】本题主要考查菱形的判定及性质与平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定及性质与平行四边形的性质是解题的关键．
17．17
【分析】根据勾股定理有，，，等量代换即可求正方形D的面积．
【详解】如图，
根据勾股定理可知，
∵，，，
∴，
∴正方形D的面积=49-8-10-14=17（cm2）；
故答案为：17．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，注意根据正方形的面积公式以及勾股定理得到图中正方形的面积之间的关系：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的面积．
18．(1)5秒
(2)秒
【分析】本题主要考查了矩形中的动点问题，勾股定理，
对于（1），根据面积相等列出方程，求出解即可；
对于（2），作，再根据勾股定理列出方程，求出解.
【详解】（1）当运动时间为t秒时，，，依题意，得
，
解得：．
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形的面积为；
（2）过点Q作于点M，如图所示．
∵，，
∴，
即，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：P，Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离第一次是．
19．见解析
【分析】由平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，可得OM＝ON，可证四边形AMCN是平行四边形，通过证明MN＝AC，可得结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵MO＝NO，
∴MN＝2MO，
∵AC＝2MO，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，掌握矩形的判定方法是解题的关键．
20．(1)∠AFD=45°；
(2)∠AFD 的大小不会改变，始终是45°，理由见解析
(3)∠AFD 的大小不会改变，始终是45°
【分析】（1）先求出∠DAE=20°，进而求出∠ADE=65°，最后再用三角形的内角和即可得出结论；
（2）设∠BAP=∠EAP=α，同（1）的方法即可得出结论；
（3）设∠BAP=∠EAP=α，同（2）的方法即可得出结论．
【详解】（1）解：由折叠的性质知∠EAP=∠BAP=20°，AB=AD=AE，
∴∠DAE=90°20°×2=50°．
∵在ADE中，AD=AE，∠DAE=50°，
∴∠ADE=∠AED=（180°50°）÷2=65°．
∵在AFD中，∠FAD=90°20°=70°，∠ADF=65°，
∴∠AFD=180°70°65°=45°；
（2）解：∠AFD 的大小不会改变，始终是45°，
设∠BAP=∠EAP=α，则∠EAD=90°2α，∠FAD=90°α．
∵在ADE中，AD=AE，∠EAD=90°2α，
∴∠ADE=（180°∠EAD）=（180°90°+2α）=45°+α．
∴在ADF中，∠F=180°∠FAD∠ADE=180°（90°α）（45°+α）=45°；
（3）解：∠AFD 的大小不会改变，始终是45°，
设∠BAP=∠EAP=α，则∠EAD=2α90°，
∵在ADE中，AD=AE，∠EAD=2α90°，
∴∠AED=（180°∠EAD）=（180°2α+90°）=135°α．
∴在AEF中，∠AFD=180°∠FAE∠AED=180°α（135°α）=45°．
【点睛】此题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，正方形的性质，掌握折叠的性质，找出对应角和对应边相等是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)①点G与点C重合，理由见解析；②
(3)存在，且m=
【分析】（1）欲证明EG=BG，只要证明∠EBG=∠BEG即可；
（2）①如图1中，过点E作EH⊥BG于点H，则四边形ABHE是矩形，设BG=EG=x，在Rt△EHG中，EG2=EH2+HG2，构建方程求出x，即可判断；
②由轴对称的性质可知AB=BF，AE=EF=2，则，推出，推出可以假设AB=k，BD=4k，则DF=3k，在Rt△DEF中，DE2=EF2+DF2，构建方程，可得结论；
（3）利用勾股定理求出BG与AB，AE的关系，再结合已知条件，构建关系式可得结论．
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBG，
∵△ABE与△FBE关于BE对称，
∴∠AEB=∠BEF，
∴∠EBG=∠BEF，
∴EG=BG；
（2）①点G与C重合；
理由：如图1中，过点E作EH⊥BG于点H，则四边形ABHE是矩形，
∴EH=AB=6．AE=BH=2，
设BG=EG=x，
在Rt△EHG中，EG2=EH2+HG2，
∴x2=62+（x-2）2，
∴x=10，
∵BC=AD=10，BG=10，
∴点G与C重合；
②如图2中，
由轴对称的性质可知AB=BF，AE=EF=2，
∵，
∴，
∴可以假设AB=k，BD=4k，则DF=3k，
在Rt△DEF中，DE2=EF2+DF2，
∴82=22+（3k）2，
∴k（负根已经舍去），
∴AB；
（3）如图1中，设BG=EG=y，
在Rt△EHG中，EG2=EH2+HG2，
∴y2=AB2+（y-m）2，
∴，
∴BG-AE=AB2总成立，
∴，
∴m=．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会利用参数构建方程解决问题．
22．(1)①②等边三角形，理由见解析
(2)
(3)在轴上存在一点，使得是等腰三角形，点坐标为或或或
【分析】（1）求出与y轴的交点即可求出b的值，由轴对称的性质求出点D的坐标，由勾股定理求出，的长即可判断的形状；
（2）设点关于直线的对称点为，求出点的坐标，连接，则与直线的交点为点，则当、、三点共线时，的周长最小，求出直线的解析式，与联立求出点P的坐标，进而可求出点F的坐标；
（3）分3种情况求解即可．
【详解】（1）解：①令，则，
，
直线经过点，
；
②是等边三角形，理由如下：
令，则，
解得，
，
点关于轴的对称点是点，
，
，，，
是等边三角形；
（2）解：，
直线，
令，则，
，
设点关于直线的对称点为，
，
，
，
，
，
连接，则与直线的交点为点，
，
的周长，
当、、三点共线时，的周长最小，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
解得，
，
轴，
，
，
四边形是正方形，
；
（3）解：在轴上存在一点，使得是等腰三角形，理由如下：
设，
，，，
当时，，
解得或，
或；
当时，，
解得，
；
当时，，
解得或舍，
；
综上所述：点坐标为或或或．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的定义，正方形的性质，轴对称的性质，以及勾股定理等知识，数形结合是解答本题的关键．
23．(1)
(2)
【分析】（1）由勾股定理求出BF，CF的长，设EF=DE=x，则CE=4-x，得出22+（4-x）2=x2，解方程即可得解；
（2）设EC=3x，则FC=4x，得出EF=DE=5x，设AF=AD=y，则BF=y-4x，在Rt△ABF中，得出（8x）2+（y-4x）2=y2，则y=10x，得出（10x）2+（5x）2=（）2，解出x的值，求出AD和AB的长，则答案可求出．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AB=CD=4，AD=BC=5，
由折叠可知，AD=AF=5，DE=EF，
∴BF==3，
∴FC=BC-BF=5-3=2，
设EF=DE=x，则CE=4-x，
∵CF2+CE2=EF2，
∴22+（4-x）2=x2，
解得：x=，
∴DE=，
∴AE=；
（2）解：∵EC：FC=3：4，
∴设EC=3x，则FC=4x，
∴EF= =5x，
∴DE=5x，
∴AB=CD=8x，
设AF=AD=y，则BF=y-4x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
∴（8x）2+（y-4x）2=y2，
解得y=10x，
在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，
∴（10x）2+（5x）2=（）2，
解得x=或x=-（舍去），
∴AD=10x=2，AB=8x=，
∴矩形ABCD的周长为（2+）×2=．
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及方程思想是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据“”证明即可；
（2）根据三角形全等的性质得出，求出，得出，求出，根据勾股定理求出．
【详解】（1）证明：∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
根据勾股定理得：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．
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