第十八章平行四边形同步练习（含解析）
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第十八章平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，平行四边形中，对角线与相交于点，、分别是对角线BD上的两点，给出下列四个条件：①；②；③；④．其中能判断四边形是平行四边形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．在中，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，△ABC中，AB＝10，△ABC的面积是25，P是AB边上的一个动点，连接PC，以PA和PC为一组邻边作平行四边形APCQ，则线段AQ的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．平行四边形ABCD中，经过对角线交点O的直线分别交AB、CD于点E、F,则图中全等的三角形共有（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．8对
6．如图，在 ABCD中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB、BC于点F、G，再分别以点FG为圆心，大于FG长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH交AD于点E，连接CE．若CE⊥DE，AE＝10，DE＝6，则 ABCD的面积为（ ）
A．64 B．132 C．128 D．60
7．如图，和都是等腰直角三角形，，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．以点为旋转中心，逆时针方向旋转后与重合
B．以点为旋转中心，顺时针方向旋转后与重合
C．沿所在直线折叠后，与重合
D．沿所在直线折叠后，与重合
8．如图，线段a、b、c的端点分别在直线l1、l2上，则下列说法中正确的是（ ）
A．若l1∥l2，则a＝b B．若l1∥l2，则a＝c
C．若a∥b，则a＝b D．若l1∥l2，且a∥b，则a＝b
9．如图，折叠，使折痕经过点B，交AD边于点E，点C落在BA的延长线上点G处，点D落在点H处，得到四边形AEHG．若的面积是8，则下列结论：①四边形AEHG是平行四边形：②；③设四边形AEHG的面积为y，四边形BCDE的面积为x，则y与x的函数关系式是；④若，则点E到BG的距离为1．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（ ）
A． B．6 C．4 D．
11．在四边形ABCD中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
12．中，在上，且，连接交于，则、、、的面积比为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在 ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，AF⊥DE，垂足为F.若∠DAF＝50°，则∠B等于 ．
14．如图，点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（2，2）、（0，-1），那么以点A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标是： ．
15．如图，在四边形ABCD中，，点E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点．已知AB＝4，∠F＝∠CDE，则BF的长为 ．
16．如图，的边在x轴上，点A坐标为，点C坐标为，以点O为圆心，以的长为半径画弧，交x轴于点D，分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点E，作射线，交于点F，则的长为 个单位长度．
17．已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD于E、BC于F，S△AOE=3，S△BOF=5，则平行四边形ABCD的面积是 ．
三、解答题
18．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？
19．如图，将平行四边形ABCD沿着对角线BD折叠，点C的对应点为C′，BC′与AD相交于点E．
(1) EB与ED相等吗？证明你的结论；
(2)连接AC′，判断AC′与BD的位置关系，并说明理由．
20．已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
21．如图，E、F是 ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF．
求证：（1）≌；
（2）．
22．如图，已知和点．
(1)在图中画出，使与关于点中心对称；
(2)点、、、、、能组成哪几个平行四边形？请用符号表示出来．
23．在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA．
（1）作出符合本题的几何图形；
（2）求证：BE∥DF．
24．如图，是边长为的小正方形组成的方格，线段的端点在格点上．建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为和．
(1)画出该平面直角坐标系；
(2)画出线段关于原点成中心对称的线段；
(3)画出以点A、B、O为其中三个顶点的平行四边形．（画出一个即可）
《第十八章平行四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C C C C B D C D
题号 11 12
答案 B B
1．C
【分析】根据平行四边形的判定及全等三角形的性质即可作出判断．
【详解】解：A、∵在平行四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，
若BE=DF，则OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
B、∵在平行四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，
若DE=BF，则OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
C、若∠BAE=∠DAF，不能判断四边形是平行四边形；
D、∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC
∴∠ADB =∠DBC ，
∵∠BCE=∠DAF，
在△DAF和△BCE中， ，
∴△DAF≌△BCE（ASA），
∴ DF=BE，
∵在平行四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形.
故选C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质以及判定定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质及判定定理.
2．C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
根据平行四边形的对角相等、邻角互补以及图形可知与是对角，即可求出和的度数；再根据与是邻角，即可求得．
【详解】解：如图：
四边形为平行四边形，
∴，，
，
，
，
．
故选：C．
3．C
【分析】根据四边形APCQ是平行四边形得到AQ＝PC，再由垂线段最短得到：当PC⊥AB时AQ的值最小，根据面积求PC即可；
【详解】解：∵四边形APCQ是平行四边形，
∴AQ＝PC，
由垂线段最短可得，当PC⊥AB时，AQ值最小，
∵AB＝10，△ABC的面积是25，
∴PC＝5，
∴AQ＝5，
故选：C．
【点睛】此题利用三角形面积考查平行四边形相关知识点，难度一般，灵活运用是关键．
4．C
【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定性质逐项进行分析判断即可．
【详解】解：A、，四边形不是平行四边形，不符合题意；
B、只有一组对边平行不能确定四边形是平行四边形，不符合题意；
C、一组对边平行且相等，是平行四边形，符合题意；
D、不能判断出任何一组对边是平行的，所以四边形不一定是平行四边形，不符合题意．
故选：C．
5．C
【分析】根据平行四边形的性质所能得到的相等边和相等角来判断图中有多少全等的三角形．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，OA=OC，OD=OB，
∠OAB=∠OCD，∠OBD=∠ODC；
①∵AD=BC，AB=CD，BD=BD，
∴△ABD≌△CDB（SSS），同理可证得：△ABC≌△CDA；
②∵OA=OC，OB=OD，AB=CD，
∴△OAB≌△OCD（SSS），同理可证得：△OAD≌△OCB；
③∵OA=OC，∠OAB=∠OCD，∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），同理可证得：△BOE≌△DOF．
所以图中共有6对全等三角形．
故选C．
【点睛】此题主要考查的是平行四边形的性质以及全等三角形的判定，平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
6．C
【分析】利用基本作图得到∠ABE＝∠CBE，再根据平行四边形的性质得到AD∥BC，BC＝AD＝16，AB＝CD，再证明AB＝AE＝10，则CD＝10，接着利用勾股定理求得CE＝8，然后根据平行四边形的性质求面积即可求解．
【详解】解：由作法得BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝AE＋DE＝10＋6＝16，AB＝CD，
∴∠CBE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝10，
∴CD＝10，
CE⊥DE，
在△CDE中，∵DE＝6， CD＝10，
CE＝8，
ABCD的面积为．
故选：C．
【点睛】本题考查了作角平分线．平行四边形的性质和勾股定理，理解题意是解题的关键．
7．B
【分析】本题通过观察全等三角形，找旋转中心，旋转角，逐一判断．
【详解】解：A．根据题意可知AE=AB，AC=AD，∠EAC=∠BAD=，△EAC≌△BAD，旋转角∠EAB=90°，不符合题意；
B．因为平行四边形是中心对称图形，要想使△ACB和△DAC重合，△ACB应该以对角线的交点为旋转中心，顺时针旋转180°，即可与△DAC重合，符合题意；
C．根据题意可∠EAC=135°，∠EAD=360°﹣∠EAC﹣∠CAD=135°，AE=AE，AC=AD，△EAC≌△EAD，不符合题意；
D．根据题意可知∠BAD=135°，∠EAD=360°﹣∠BAD﹣∠BAE=135°，AE=AB，AD=AD，△EAD≌△BAD，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点．
8．D
【分析】根据平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得．
【详解】解：如图：
，，
四边形是平行四边形，
，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法与性质定理．
9．C
【分析】由折叠知可证，再通过证，可得四边形AEHG是平行四边形，通过面积转化可判断③和④的正确性．
【详解】解：由折叠知
，故②正确；
四边形AEHG是平行四边形，故①正确；
四边形BCDE的面积为x
，故③正确；
设点E到BG的距离为h
，故④错误；
故其中正确的结论有3个
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的综合问题，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质、折叠的性质以及图形面积表示等知识．
10．D
【分析】点的运动轨迹以E为圆心，以AE的长为半径的圆，则当点落在DE上时，取最小值，根据折叠的性质利用勾股定理即可求解．
【详解】解：点的运动轨迹以E为圆心，以AE的长为半径的圆，则当点落在DE上时，取最小值，如图所示：
∵AB=4，E是AB边的中点，
∴AE=BE=2，
由沿所在直线折叠得到，
∴，
在平行四边形ABCD中，
∵∠B=60°，
∴∠BEG=∠AEH=30°，
∴BG=AH=1，
，
∴DH=AD=AH=6+1=7，
在Rt△DHE中，由勾股定理得：
，
∴，
∴的最小值是，
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，两点之间线段最短的综合应用，勾股定理，含30°角的直角三角形，确定点的位置，利用勾股定理解决问题是解题的关键．
11．B
【分析】根据平行四边形的判定方法即可找到所有组合方式：（1）两组对边平行①②；（2）两组对边相等③④；（3）一组对边平行且相等①③或②④，所以有四种组合．
【详解】（1）①②，利用两组对边平行的四边形是平行四边形判定；
（2）③④，利用两组对边相等的四边形是平行四边形判定；
（3）①③或②④，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定；
共4种组合方法，
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：1、四边形的两组对边分别平行；2、一组对边平行且相等；3、两组对边分别相等；4、对角线互相平分；5、两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．
12．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，不等底但等高三角形面积的关系等知识．熟练掌握平行四边形的性质，不等底但等高三角形面积的关系是解题的关键．
设，，，，如图，则，，得，，则，，由，可得，由，，可得，即，，可求，则，，然后求面积比即可．
【详解】解：设，，，，
如图，
∵，
∴，，
得，，
∴，，
由题意知，，即，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，整理得，，
解得，，（舍去），
∴，，
∴、、、的面积比为，
故选：B．
13．80°
【分析】由角平分线的性质可得∠ADC的大小，进而利用平行四边形对角相等的性质求得∠B的度数即可.
【详解】解：在Rt△ADF中，∵∠DAF=50°，
∴∠ADE=40°，
又∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC=80°，
∴∠B=∠ADC=80°.
故答案为: 80°.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质及角平分线的性质，利用角平分线的性质求出∠ADC=80°是解题的关键.
14．（2，-1）或（-2，-1）或（2，5）
【分析】分情况讨论，当平行四边形的一组对边平行于x轴时，可得点D的坐标为（2，-1）或（-2，-1），当平行于x轴的AB为平行四边形的对角线时，可得点D的坐标为（2，5）．注意不要遗漏可能组成平行四边形的情况．
【详解】解：①如下图：当以AB为边时，点D的坐标为（2，-1）；
②如下图：当以AB为边时，点D的坐标也可以为（-2，-1）；
③如下图：当以AB为对角线时，点D的坐标为（2，5）；
【点睛】本题考查平行四边形的判定、坐标与图形的性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
15．4
【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，再证得△ECD≌△EBF，可得BF=CD，即可求解．
【详解】解∶因为∠F＝∠CDE，
所以，
因为，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以AB=CD，
因为点E是BC边的中点，
所以ED=EF，
又因为∠F＝∠CDE，∠DEC＝∠FEB，
所以△ECD≌△EBF，
所以BF=CD，
所以BF=AB，
因为AB=4，
所以BF=4，
故答案为4．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
16．（）
【分析】过点A作轴于M，过点B作于N，证明，得到，求出由题意得平分，推出，勾股定理求出即可．
【详解】解：过点A作轴于M，过点B作于N，
∴，
∵中，，，
∴，
∴
∴
∵点A坐标为，点C坐标为，
∴
由题意得平分，
∴
∵
∴
∴
∴，
∵
∴
∴，
故答案为：（）．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边证明边相等，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定定理是解题的关键．
17．32
【分析】利用平行四边形的性质可证明△AOF≌△COE，所以可得△COE的面积为3，进而可得△BOC的面积为8，又因为△BOC的面积=平行四边形ABCD的面积，进而可得问题答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC=∠BCA，∠AEF=∠CFE，
又∵AO=CO，
在△AOE与△COF中
∴△AOE≌△COF
∴△COF的面积为3，
∵S△BOF=5，
∴△BOC的面积为8，
∵△BOC的面积=平行四边形ABCD的面积，
∴ ABCD的面积=4×8=32，
故答案为32．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，解答本题需要掌握两点：①平行四边形的对边相等且平行，②全等三角形的对应边、对应角分别相等．
18．6个，两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【分析】根据平行四边形的判定定理求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵六个三角形是全等的正三角形，
∴OA=EF，AF=OE，
∵两组对边分别相等，
∴四边形AOEF为平行四边形；
同理可证，四边形ABOF，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形DEFO均为平行四边形，
∴共有6个平行四边形，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，理解并熟练运用平行四边形的判定方法是解题关键．
19．(1)EB与ED相等，证明过程见解析
(2)AC′∥BD．理由见解析
【分析】（1）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠EDB=∠CBD，进而得出BE=DE；
（2）由BE=DE，进而得出AE=CE，再根据三角形内角和定理，即可得到∠EAC'=∠EC'A=∠EBD=∠EDB，进而得出AC'∥BD．
【详解】（1）解：EB与ED相等．
由折叠可得，∠CBD=∠C'BD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=DE；
（2）解：AC′∥BD．理由如下：
∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD=BC，
由折叠知，BC'=BC，
∴AD=BC'，
由（1）知BE=DE，
∴AE=C'E，
∴∠DAC'=（180°-∠AEC'）=90°-∠AEC'，
同理：∠ADB=90°-∠BED，
∵∠AEC'=∠BED，
∴∠DAC'=∠ADB，
∴AC'∥BD，
故答案为：AC′∥BD．
【点睛】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
20．见解析
【分析】要证四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的判定，和已知条件，只需证AB=CD，继而需求证△ABO≌△CDO，由已知条件很快确定ASA，即证．
【详解】证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO=∠CDO．
∵AO=CO，
∠AOB=∠COD，
∴△ABO≌△CDO．
∴AB=CD，
又∵AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点睛】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
21．（1）证明见详解；（2）证明见详解；
【分析】(1)根据平行四边形的性质得到AB=CD，∠BAE=∠DCF，再根据BE//DF得到∠BEF=∠DFE，所以它们的邻补角相等，三角形全等；
(2)由三角形全等得到BE=DF，所以四边形BFDE是平行四边形，根据对角相等即可得证．
【详解】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，AB∥CD，
，
∵BE∥DF，
，
，
≌．
≌，
，
∵BE∥DF，
四边形BEDF是平行四边形，
．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和三角形全等的判定，需要熟练掌握并灵活运用．
22．(1)见解析
(2)，，
【分析】（1）连接延长至，使，连接延长至，使，连接延长至，使，依次连接、、，即可得到；
（2）根据旋转的性质和平行四边形的判定条件求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：由旋转的性质可知，，，，
对角线互相平分的四边形是平行四边形，
平行四边形有，，．
【点睛】本题考查了画中心对称图形，旋转的姓朱，平行四边形的判定，；灵活运用相关知识点解决问题是解题关键．
23．（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据四边形内角和为360°可得∠ADC+∠ABC=180°，然后再根据角平分线定义可得∠ADF=∠FDE=∠ADC，∠EBF=∠EBC=∠ABC，再证明∠DFA=∠EBF可得结论．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）证明：∵四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，
∴∠ADF=∠FDE=∠ADC，∠EBF=∠EBC=∠ABC，
∴∠FBE+∠FDE=90°，
∵∠A=90°，
∴∠AFD+∠ADF=90°，
∴∠AFD+∠EDF=90°，
∴∠DFA=∠EBF，
∴DF∥EB．
【点睛】本题主要考查平行四边形的图像和平行线的判断熟练掌握这两点是解题的关键.
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据其中一个点的坐标，即可确定原点位置；
（2）根据中心对称的性质，即可画出线段A1B1；
（3）根据平行四边形的判定即可画出图形．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，线段即为所求；
（3）解：如图，平行四边形即为所求答案不唯一．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，平行四边形的判定，中心对称的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键．
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第十八章平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，平行四边形中，对角线与相交于点，、分别是对角线BD上的两点，给出下列四个条件：①；②；③；④．其中能判断四边形是平行四边形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．在中，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，△ABC中，AB＝10，△ABC的面积是25，P是AB边上的一个动点，连接PC，以PA和PC为一组邻边作平行四边形APCQ，则线段AQ的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．平行四边形ABCD中，经过对角线交点O的直线分别交AB、CD于点E、F,则图中全等的三角形共有（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．8对
6．如图，在 ABCD中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB、BC于点F、G，再分别以点FG为圆心，大于FG长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH交AD于点E，连接CE．若CE⊥DE，AE＝10，DE＝6，则 ABCD的面积为（ ）
A．64 B．132 C．128 D．60
7．如图，和都是等腰直角三角形，，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．以点为旋转中心，逆时针方向旋转后与重合
B．以点为旋转中心，顺时针方向旋转后与重合
C．沿所在直线折叠后，与重合
D．沿所在直线折叠后，与重合
8．如图，线段a、b、c的端点分别在直线l1、l2上，则下列说法中正确的是（ ）
A．若l1∥l2，则a＝b B．若l1∥l2，则a＝c
C．若a∥b，则a＝b D．若l1∥l2，且a∥b，则a＝b
9．如图，折叠，使折痕经过点B，交AD边于点E，点C落在BA的延长线上点G处，点D落在点H处，得到四边形AEHG．若的面积是8，则下列结论：①四边形AEHG是平行四边形：②；③设四边形AEHG的面积为y，四边形BCDE的面积为x，则y与x的函数关系式是；④若，则点E到BG的距离为1．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（ ）
A． B．6 C．4 D．
11．在四边形ABCD中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
12．中，在上，且，连接交于，则、、、的面积比为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在 ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，AF⊥DE，垂足为F.若∠DAF＝50°，则∠B等于 ．
14．如图，点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（2，2）、（0，-1），那么以点A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标是： ．
15．如图，在四边形ABCD中，，点E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点．已知AB＝4，∠F＝∠CDE，则BF的长为 ．
16．如图，的边在x轴上，点A坐标为，点C坐标为，以点O为圆心，以的长为半径画弧，交x轴于点D，分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点E，作射线，交于点F，则的长为 个单位长度．
17．已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD于E、BC于F，S△AOE=3，S△BOF=5，则平行四边形ABCD的面积是 ．
三、解答题
18．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？
19．如图，将平行四边形ABCD沿着对角线BD折叠，点C的对应点为C′，BC′与AD相交于点E．
(1) EB与ED相等吗？证明你的结论；
(2)连接AC′，判断AC′与BD的位置关系，并说明理由．
20．已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
21．如图，E、F是 ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF．
求证：（1）≌；
（2）．
22．如图，已知和点．
(1)在图中画出，使与关于点中心对称；
(2)点、、、、、能组成哪几个平行四边形？请用符号表示出来．
23．在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA．
（1）作出符合本题的几何图形；
（2）求证：BE∥DF．
24．如图，是边长为的小正方形组成的方格，线段的端点在格点上．建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为和．
(1)画出该平面直角坐标系；
(2)画出线段关于原点成中心对称的线段；
(3)画出以点A、B、O为其中三个顶点的平行四边形．（画出一个即可）
《第十八章平行四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C C C C B D C D
题号 11 12
答案 B B
1．C
【分析】根据平行四边形的判定及全等三角形的性质即可作出判断．
【详解】解：A、∵在平行四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，
若BE=DF，则OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
B、∵在平行四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，
若DE=BF，则OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
C、若∠BAE=∠DAF，不能判断四边形是平行四边形；
D、∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC
∴∠ADB =∠DBC ，
∵∠BCE=∠DAF，
在△DAF和△BCE中， ，
∴△DAF≌△BCE（ASA），
∴ DF=BE，
∵在平行四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形.
故选C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质以及判定定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质及判定定理.
2．C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
根据平行四边形的对角相等、邻角互补以及图形可知与是对角，即可求出和的度数；再根据与是邻角，即可求得．
【详解】解：如图：
四边形为平行四边形，
∴，，
，
，
，
．
故选：C．
3．C
【分析】根据四边形APCQ是平行四边形得到AQ＝PC，再由垂线段最短得到：当PC⊥AB时AQ的值最小，根据面积求PC即可；
【详解】解：∵四边形APCQ是平行四边形，
∴AQ＝PC，
由垂线段最短可得，当PC⊥AB时，AQ值最小，
∵AB＝10，△ABC的面积是25，
∴PC＝5，
∴AQ＝5，
故选：C．
【点睛】此题利用三角形面积考查平行四边形相关知识点，难度一般，灵活运用是关键．
4．C
【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定性质逐项进行分析判断即可．
【详解】解：A、，四边形不是平行四边形，不符合题意；
B、只有一组对边平行不能确定四边形是平行四边形，不符合题意；
C、一组对边平行且相等，是平行四边形，符合题意；
D、不能判断出任何一组对边是平行的，所以四边形不一定是平行四边形，不符合题意．
故选：C．
5．C
【分析】根据平行四边形的性质所能得到的相等边和相等角来判断图中有多少全等的三角形．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，OA=OC，OD=OB，
∠OAB=∠OCD，∠OBD=∠ODC；
①∵AD=BC，AB=CD，BD=BD，
∴△ABD≌△CDB（SSS），同理可证得：△ABC≌△CDA；
②∵OA=OC，OB=OD，AB=CD，
∴△OAB≌△OCD（SSS），同理可证得：△OAD≌△OCB；
③∵OA=OC，∠OAB=∠OCD，∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），同理可证得：△BOE≌△DOF．
所以图中共有6对全等三角形．
故选C．
【点睛】此题主要考查的是平行四边形的性质以及全等三角形的判定，平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
6．C
【分析】利用基本作图得到∠ABE＝∠CBE，再根据平行四边形的性质得到AD∥BC，BC＝AD＝16，AB＝CD，再证明AB＝AE＝10，则CD＝10，接着利用勾股定理求得CE＝8，然后根据平行四边形的性质求面积即可求解．
【详解】解：由作法得BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝AE＋DE＝10＋6＝16，AB＝CD，
∴∠CBE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝10，
∴CD＝10，
CE⊥DE，
在△CDE中，∵DE＝6， CD＝10，
CE＝8，
ABCD的面积为．
故选：C．
【点睛】本题考查了作角平分线．平行四边形的性质和勾股定理，理解题意是解题的关键．
7．B
【分析】本题通过观察全等三角形，找旋转中心，旋转角，逐一判断．
【详解】解：A．根据题意可知AE=AB，AC=AD，∠EAC=∠BAD=，△EAC≌△BAD，旋转角∠EAB=90°，不符合题意；
B．因为平行四边形是中心对称图形，要想使△ACB和△DAC重合，△ACB应该以对角线的交点为旋转中心，顺时针旋转180°，即可与△DAC重合，符合题意；
C．根据题意可∠EAC=135°，∠EAD=360°﹣∠EAC﹣∠CAD=135°，AE=AE，AC=AD，△EAC≌△EAD，不符合题意；
D．根据题意可知∠BAD=135°，∠EAD=360°﹣∠BAD﹣∠BAE=135°，AE=AB，AD=AD，△EAD≌△BAD，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点．
8．D
【分析】根据平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得．
【详解】解：如图：
，，
四边形是平行四边形，
，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法与性质定理．
9．C
【分析】由折叠知可证，再通过证，可得四边形AEHG是平行四边形，通过面积转化可判断③和④的正确性．
【详解】解：由折叠知
，故②正确；
四边形AEHG是平行四边形，故①正确；
四边形BCDE的面积为x
，故③正确；
设点E到BG的距离为h
，故④错误；
故其中正确的结论有3个
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的综合问题，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质、折叠的性质以及图形面积表示等知识．
10．D
【分析】点的运动轨迹以E为圆心，以AE的长为半径的圆，则当点落在DE上时，取最小值，根据折叠的性质利用勾股定理即可求解．
【详解】解：点的运动轨迹以E为圆心，以AE的长为半径的圆，则当点落在DE上时，取最小值，如图所示：
∵AB=4，E是AB边的中点，
∴AE=BE=2，
由沿所在直线折叠得到，
∴，
在平行四边形ABCD中，
∵∠B=60°，
∴∠BEG=∠AEH=30°，
∴BG=AH=1，
，
∴DH=AD=AH=6+1=7，
在Rt△DHE中，由勾股定理得：
，
∴，
∴的最小值是，
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，两点之间线段最短的综合应用，勾股定理，含30°角的直角三角形，确定点的位置，利用勾股定理解决问题是解题的关键．
11．B
【分析】根据平行四边形的判定方法即可找到所有组合方式：（1）两组对边平行①②；（2）两组对边相等③④；（3）一组对边平行且相等①③或②④，所以有四种组合．
【详解】（1）①②，利用两组对边平行的四边形是平行四边形判定；
（2）③④，利用两组对边相等的四边形是平行四边形判定；
（3）①③或②④，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定；
共4种组合方法，
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：1、四边形的两组对边分别平行；2、一组对边平行且相等；3、两组对边分别相等；4、对角线互相平分；5、两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．
12．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，不等底但等高三角形面积的关系等知识．熟练掌握平行四边形的性质，不等底但等高三角形面积的关系是解题的关键．
设，，，，如图，则，，得，，则，，由，可得，由，，可得，即，，可求，则，，然后求面积比即可．
【详解】解：设，，，，
如图，
∵，
∴，，
得，，
∴，，
由题意知，，即，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，整理得，，
解得，，（舍去），
∴，，
∴、、、的面积比为，
故选：B．
13．80°
【分析】由角平分线的性质可得∠ADC的大小，进而利用平行四边形对角相等的性质求得∠B的度数即可.
【详解】解：在Rt△ADF中，∵∠DAF=50°，
∴∠ADE=40°，
又∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC=80°，
∴∠B=∠ADC=80°.
故答案为: 80°.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质及角平分线的性质，利用角平分线的性质求出∠ADC=80°是解题的关键.
14．（2，-1）或（-2，-1）或（2，5）
【分析】分情况讨论，当平行四边形的一组对边平行于x轴时，可得点D的坐标为（2，-1）或（-2，-1），当平行于x轴的AB为平行四边形的对角线时，可得点D的坐标为（2，5）．注意不要遗漏可能组成平行四边形的情况．
【详解】解：①如下图：当以AB为边时，点D的坐标为（2，-1）；
②如下图：当以AB为边时，点D的坐标也可以为（-2，-1）；
③如下图：当以AB为对角线时，点D的坐标为（2，5）；
【点睛】本题考查平行四边形的判定、坐标与图形的性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
15．4
【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，再证得△ECD≌△EBF，可得BF=CD，即可求解．
【详解】解∶因为∠F＝∠CDE，
所以，
因为，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以AB=CD，
因为点E是BC边的中点，
所以ED=EF，
又因为∠F＝∠CDE，∠DEC＝∠FEB，
所以△ECD≌△EBF，
所以BF=CD，
所以BF=AB，
因为AB=4，
所以BF=4，
故答案为4．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
16．（）
【分析】过点A作轴于M，过点B作于N，证明，得到，求出由题意得平分，推出，勾股定理求出即可．
【详解】解：过点A作轴于M，过点B作于N，
∴，
∵中，，，
∴，
∴
∴
∵点A坐标为，点C坐标为，
∴
由题意得平分，
∴
∵
∴
∴
∴，
∵
∴
∴，
故答案为：（）．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边证明边相等，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定定理是解题的关键．
17．32
【分析】利用平行四边形的性质可证明△AOF≌△COE，所以可得△COE的面积为3，进而可得△BOC的面积为8，又因为△BOC的面积=平行四边形ABCD的面积，进而可得问题答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC=∠BCA，∠AEF=∠CFE，
又∵AO=CO，
在△AOE与△COF中
∴△AOE≌△COF
∴△COF的面积为3，
∵S△BOF=5，
∴△BOC的面积为8，
∵△BOC的面积=平行四边形ABCD的面积，
∴ ABCD的面积=4×8=32，
故答案为32．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，解答本题需要掌握两点：①平行四边形的对边相等且平行，②全等三角形的对应边、对应角分别相等．
18．6个，两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【分析】根据平行四边形的判定定理求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵六个三角形是全等的正三角形，
∴OA=EF，AF=OE，
∵两组对边分别相等，
∴四边形AOEF为平行四边形；
同理可证，四边形ABOF，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形DEFO均为平行四边形，
∴共有6个平行四边形，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，理解并熟练运用平行四边形的判定方法是解题关键．
19．(1)EB与ED相等，证明过程见解析
(2)AC′∥BD．理由见解析
【分析】（1）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠EDB=∠CBD，进而得出BE=DE；
（2）由BE=DE，进而得出AE=CE，再根据三角形内角和定理，即可得到∠EAC'=∠EC'A=∠EBD=∠EDB，进而得出AC'∥BD．
【详解】（1）解：EB与ED相等．
由折叠可得，∠CBD=∠C'BD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=DE；
（2）解：AC′∥BD．理由如下：
∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD=BC，
由折叠知，BC'=BC，
∴AD=BC'，
由（1）知BE=DE，
∴AE=C'E，
∴∠DAC'=（180°-∠AEC'）=90°-∠AEC'，
同理：∠ADB=90°-∠BED，
∵∠AEC'=∠BED，
∴∠DAC'=∠ADB，
∴AC'∥BD，
故答案为：AC′∥BD．
【点睛】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
20．见解析
【分析】要证四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的判定，和已知条件，只需证AB=CD，继而需求证△ABO≌△CDO，由已知条件很快确定ASA，即证．
【详解】证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO=∠CDO．
∵AO=CO，
∠AOB=∠COD，
∴△ABO≌△CDO．
∴AB=CD，
又∵AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点睛】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
21．（1）证明见详解；（2）证明见详解；
【分析】(1)根据平行四边形的性质得到AB=CD，∠BAE=∠DCF，再根据BE//DF得到∠BEF=∠DFE，所以它们的邻补角相等，三角形全等；
(2)由三角形全等得到BE=DF，所以四边形BFDE是平行四边形，根据对角相等即可得证．
【详解】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，AB∥CD，
，
∵BE∥DF，
，
，
≌．
≌，
，
∵BE∥DF，
四边形BEDF是平行四边形，
．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和三角形全等的判定，需要熟练掌握并灵活运用．
22．(1)见解析
(2)，，
【分析】（1）连接延长至，使，连接延长至，使，连接延长至，使，依次连接、、，即可得到；
（2）根据旋转的性质和平行四边形的判定条件求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：由旋转的性质可知，，，，
对角线互相平分的四边形是平行四边形，
平行四边形有，，．
【点睛】本题考查了画中心对称图形，旋转的姓朱，平行四边形的判定，；灵活运用相关知识点解决问题是解题关键．
23．（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据四边形内角和为360°可得∠ADC+∠ABC=180°，然后再根据角平分线定义可得∠ADF=∠FDE=∠ADC，∠EBF=∠EBC=∠ABC，再证明∠DFA=∠EBF可得结论．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）证明：∵四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，
∴∠ADF=∠FDE=∠ADC，∠EBF=∠EBC=∠ABC，
∴∠FBE+∠FDE=90°，
∵∠A=90°，
∴∠AFD+∠ADF=90°，
∴∠AFD+∠EDF=90°，
∴∠DFA=∠EBF，
∴DF∥EB．
【点睛】本题主要考查平行四边形的图像和平行线的判断熟练掌握这两点是解题的关键.
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据其中一个点的坐标，即可确定原点位置；
（2）根据中心对称的性质，即可画出线段A1B1；
（3）根据平行四边形的判定即可画出图形．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，线段即为所求；
（3）解：如图，平行四边形即为所求答案不唯一．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，平行四边形的判定，中心对称的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键．
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