第十九章矩形、菱形与正方形同步练习（含解析）

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第十九章矩形、菱形与正方形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，在菱形中，对角线与交于点，于点．若，则( )

A． B． C． D．
2．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(　　)
A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
3．如图，矩形中，，，点是对角线上的一动点，以为直角边作等腰（其中），则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转，所得图形一定与原图形重合的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
5．下列叙述错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线相等
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线相等的四边形是矩形
6．下列四边形是矩形的为（ ）
A．有两个角为直角的四边形 B．对角线互相平分的四边形
C．对角线互相垂直的四边形 D．四个角都相等的四边形
7．正方形的一条对角线之长为4，则此正方形的面积是（ ）
A．16 B．4 C．8 D．8
8．如图，四边形是正方形，点，分别在轴，轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为，是上的一动点，则和的最小值是（ ）

A． B． C．4 D．6
9．如图,在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°,AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长度为（ ）
A．1 B． C．2- D．2﹣2
10．如图，正方形的周长为24，为对角线上的一个动点，是的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在四边形中，，点、、、分别是、、、的中点，则四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
12．如图，在菱形中，，，，分别是，的中点，，相交于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，若，则菱形的面积等于 ．
14．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠，则点的坐标为 ．
15．如图，菱形的面积为120cm2，正方形的面积为50cm2时，则菱形的边长为 cm．
16．矩形中，，将点A置于平面直角坐标系的原点，点C落在x轴正半轴上，点B位于第一象限，则点D的坐标是 ．
17．已知：如图，矩形ABCD中，E，F是CD的两个点，EG⊥AC，FH⊥AC，垂足分别为G，H，若AD=2，DE=1，CF=2，且AG=CH，则EG+FH= ．
三、解答题
18．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝60°，菱形ABCD的周长为24．
(1)求对角线BD的长；
(2)求菱形ABCD的面积．
19．有一张三角形纸片，要把它剪拼成一个矩形，要求剪的刀数尽可能少．应怎样剪拼？请画出示意图．
20．已知：如图，在中，，O为垂足．求证：是菱形．
21．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
22．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知△OAB是正三角形，则四边形ABCD是矩形吗？并说明理由．
23．已知：如图，矩形的对角线相交于点O，．
(1)判断的形状．
(2)求矩形对角线的长．
24．如图所示，在中，，为的中点，四边形为平行四边形，，相交于，连接，．
(1)试确定四边形的形状，并说明理由．
(2)当满足什么条件时，四边形为正方形？请给予证明．
《第十九章矩形、菱形与正方形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D D D C A C A
题号 11 12
答案 B C
1．C
【分析】根据菱形的性质求出∠OBE,再根据OE⊥BC即可求出∠BOE．
【详解】∵∠BAD=110°,AC、BD是菱形对角线,
∴∠OBC=∠OBA=,
∵OE⊥BC,
∴∠BOE=90°－35°=55°．
故选C．
【点睛】本题考查菱形的性质,关键在于利用对角线平分对角的性质解题．
2．D
【详解】试题分析：∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；
平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；
∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．
故选D．
考点：菱形的性质；平行四边形的性质．
3．B
【分析】根据题意可得当BP最短时，PQ值最小，即BP⊥AC时，PQ最小．利用面积法计算BP长度，即可得PQ长度．
【详解】解：∵△BPQ是等腰直角三角形，若PQ最小，则BP值最小即可．
∵点P是对角线AC上的一动点，B点是定点，
∴当BP⊥AC时，BP最短．
在Rt△ABC中，AC= ，
根据三角形的面积公式，，
解得，
此时的最小值为.
故选：B.
【点睛】此题考查矩形的性质、勾股定理以及垂线段最短，解题的关键是根据图形特征转化最短线段．
4．D
【详解】根据旋转对称图形的性质，可得出四边形需要满足的条件：此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，则这个四边形是正方形．
故选D
5．D
【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵平行四边形的对角线互相平分，
∴选项A不符合题意；
B、∵矩形的对角线相等，
∴选项B不符合题意；
C、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项C不符合题意；
D、∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键．
6．D
【分析】根据矩形的判定定理，逐项判断即可求解．
【详解】A、有三个角为直角的四边形是矩形，故本选项不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项不符合题意；
C、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故本选项不符合题意；
D、四个角都相等的四边形是矩形，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
7．C
【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【详解】∵正方形的一条对角线长为4，
∴这个正方形的面积=×4×4=8，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，熟记利用对角线求面积的方法是解题的关键．
8．A
【分析】点关于的对称点为点，连接，则，当，，三点共线时，的和最小为的长度，连接，由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：四边形为正方形，边长为，
点关于的对称点为点，，
连接，则，
当，，三点共线时，的和最小为的长度，
连接，
点的坐标为，
，
，
即的和最小值为：
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称——最短路径问题，熟练掌握正方形的性质，确定P点位置是解题的关键．
9．C
【分析】根据题意可得△ABB′为等腰直角三角形，AB=AB′=2，根据勾股定理求得BB′=2 ，再由BC=2可得B′C=BB′-BC=2-2，
【详解】解：∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，
∴根据折叠易得△ABB′为等腰直角三角形，AB=AB′=2，
∴=2，
∵BC=2，
∴B′C= BB′-BC=2-2，
∴△FCB′为等腰直角三角形，B’F=CF，
∴，
解得：2-，
故选C．
【点睛】此题考查了菱形的性质以及等腰直角三角形的性质，勾股定理解三角形等．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
10．A
【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点.此时PE+PD=BE最小，而BE是直角△CBE的斜边，利用勾股定理即可得出结果；
【详解】解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P'，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于AC对称，
∴P'D=P'B，
∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小.
即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，即为BE的长度.
∵正方形的周长为24
∴直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=6，CE=CD=3，
∴.
故选A.
【点睛】本题题考查了轴对称中的最短路线问题，要灵活运用正方形的性质、对称性是解决此类问题的重要方法，找出P点位置是解题的关键
11．B
【分析】由题意得，，推出，同理得出，即可得出四边形是平行四边形，由中位线的性质得出，，证得，即可得出结果．
【详解】解：在四边形中，、、、分别是、、、的中点，
，，
，
同理：，
四边形是平行四边形，
、、、分别是、、、的中点，
，，
，
，
平行四边形是菱形；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、三角形中位线的性质等知识，熟练掌握三角形中位线的性质是解决问题的关键．
12．C
【分析】根据菱形的性质和，可知是等边三角形，是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，即可判断①；根据可证，根据全等三角形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质可判断②；根据为直角三角形，可知，进一步可知，即可判断③；根据勾股定理可得，再根据三角形面积的求法即可判断④．从而得出答案．
【详解】解：在菱形中，，
，
，
是等边三角形，是等边三角形，
，，
，分别是，的中点，
，
，
，，
，
故①正确；
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
故②正确；
为直角三角形，
，
，
与不全等，
故③错误；
∵菱形，，
∴
，，，
根据勾股定理，得，
，
故④正确，
故正确的有①②④，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
13．
【分析】连接BD，根据菱形ABCD的性质得出AD=AB，再由∠BAD=60°得出△ADB是等边三角形，利用含30°的直角三角形的性质和菱形的面积解答即可．
【详解】解：连接BD，
∵AB的垂直平分线交对角线AC于点F，
∴∠AEF=90°，AB=2AE，
∵菱形ABCD中，∠BAD=60°，
∴∠FAE=30°，
∴AE=，
∵菱形ABCD中，∠BAD=60°，
∴AD=AB，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB=AB=2AE=，
∴AC=2AO=×2＝3，
∴菱形ABCD的面积=.
故答案为 .
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质和判定，含30°的直角三角形的性质，解题的关键是证明△ADB是等边三角形．
14．
【详解】过点作则，所以点的坐标为.
15．13
【分析】连接BD、AC、EF，BD与AC交于点O，由题意易得B、E、F、D在同一条直线上，则有，，，，，然后根据菱形和正方形的面积及勾股定理可进行求解．
【详解】解：连接BD、AC、EF，BD与AC交于点O，如图所示：
∵四边形是菱形、四边形是正方形，
∴点B、E、F、D在同一条直线上，
∴，，，，，
∵菱形的面积为120cm2，正方形的面积为50cm2，
∴，，
∴，，
∴，，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得cm，
故答案为13．
【点睛】本题主要考查菱形与正方形的性质，熟练掌握菱形与正方形的性质是解题的关键．
16．
【分析】如图，过点D作轴于点M，通过 推出 利用，可得出最终结果．
【详解】如图，过点D作轴于点M，
在矩形中，
，，
在中，
，
在中，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理以及平面直角坐标系中点的求解，难度一般，点D作轴于点M，求出AM和DM的长是关键．
17．
【详解】试题解析：如图所示，过E点作EM⊥AB交AB于点M，延长EG交AB于点Q，
在△AQG和△CFH中，
，
所以△AQG≌△CFH（ASA）, FH=QG，AQ=CF=2.
∴在△AQG中，MQ=1，EM=2，EQ=EG+GQ=EG+FH=.
18．(1)6
(2)
【分析】（1）由菱形的性质知AB=AD，又∠BAD＝60°，可知是等边三角形，推出，即可求解；
（2）由菱形的对角线互相垂直且平分，求出OB，利用勾股定理由出AO，进而求出AC，根据菱形面积为对角线乘积的一半，即可求解．
【详解】（1）解：菱形ABCD的周长为24，
，
又∠BAD＝60°，
是等边三角形，
，
故对角线BD的长为6；
（2）解：由菱形的性质可知，对角线AC与BD互相垂直且平分，
，，
又，
，
，
菱形ABCD的面积，
故菱形ABCD的面积是．
【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的面积公式，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
19．见解析
【分析】找到两边中点，作的垂线，分别剪一刀，即可得出符合题意的答案．
【详解】解：如图所示：
找出、的中点E、F，
通过E、F点向作垂线，垂足分别为G、Q，
沿着剪下．将补到；将补到；
则四边形就是矩形，即剪两刀就可以拼成矩形．
【点睛】此题主要考查了图形的剪拼，正确掌握矩形的性质是解题关键．
20．见解析
【分析】根据平行四边形的性质及线段垂直平分线的判定和性质得出，再由有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明．
【详解】证明：在中，（平行四边形的对角线互相平分）．
∵，
∴垂直平分线段，
∴（线段垂直平分线线上的点到线段两个端点的距离相等）．
∴是菱形（菱形的定义）．
【点睛】题目主要考查平行四边形的性质及垂直平分线的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握各个性质定理是解题关键．
21．（1）证明见解析；（2）等腰直角三角形.
【详解】试题分析：
（1）先证四边形ABDF是平行四边形，再证结论；
（2）由四边形ADCF是正方形来证明△ABC是等腰直角三角形.
试题解析：
（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE∥AB，
∵AF∥BC，∴四边形ABDF是平行四边形，∴AF=BD，则AF=DC=AD，
∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCF是正方形，
理由：∵四边形ADCF是正方形，∴∠ADC=90°，AC=DF，AF=DC.
∵点D，E分别是边BC，AC的中点，AB=2DE，∴AB=DF，所以AB=AC.
∴四边形ABDF是平行四边形，∴AF=BD，∴BD=CD=AD，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形.
22． ABCD是矩形，见解析.
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分和△OAB是正三角形，得到AC=BD，从而判断出四边形ABCD是矩形，
【详解】解：四边形ABCD是矩形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB.
∵△OAB是正三角形，∴OA＝OB，
∴OA＝OD＝OC＝OB，即AC＝BD，
∴ ABCD是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定，勾股定理，平行四边形的面积计算，正确掌握矩形的判定方法是解题关键.
23．(1)等边三角形
(2)
【分析】（1）先根据矩形和平行四边形的性质证明，然后根据等边三角形的判定即可得出答案；
（2）根据矩形的性质求解即可．
【详解】（1）解：是等边三角形．
理由：在矩形中，（矩形的对角线相等）．
∵（平行四边形的对角线互相平分），
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形．
（2）解：∵，
∴，
即矩形对角线的长为．
【点睛】本题考查了矩形的性质和等边三角形的判定，证明三角形是等边三角形和运用矩形的性质求对角线长是解题的关键．
24．(1)四边形是矩形，理由见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）由等腰三角形的三线合一得，，从而，再根据四边形的性质得，，从而证明，，四边形是平行四边形，根据得是矩形；
（2）当时，根据平行线的性质证明即可得矩形为正方形．
【详解】（1）解：四边形是矩形理由如下，
∵，为的中点，
，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
．，，
，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴是矩形；
（2）解：当时，四边形为正方形，
证明：∵四边形为平行四边形，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形为正方形．
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