17.1变量与函数同步练习（含解析）

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17.1变量与函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某电影放映厅周六放映一部电影，当天的场次、售票量、售票收入的变化情况如表所示．在该变化过程中，常量是（ ）
场次 售票量（张） 售票收入（元）
1 50 2000
2 100 4000
3 150 6000
4 150 6000
5 150 6000
6 150 6000
A．场次 B．售票量 C．票价 D．售票收入
2．下列各情境分别可以用哪幅图来近似地刻画？正确的顺序是（ ）
①紧急刹车的汽车（速度与时间的关系）；
②人的身高变化（身高与年龄的关系）；
③跳跃横杆的跳高运动员（高度与时间的关系）；
④一面冉冉上升的红旗（高度与时间的关系）．
A．abcd B．dabc C．dbca D．cabd
3．某商店售货时，在进价基础上加一定利润，其数量 x与售价 y如下表所示，则售价 y与数量 x的函数关系式为（ ）
数量x（千克） 1 2 3 4
售价y（元） 8+0.4 16+0.8 24+1.2 32+1.6
A．y=8+0.4x B．y=8x+0.4 C．y=8.4x D．y=8.4x+0.4
4．如果用总长为60m的篱笆围成一个长方形场地，设长方形的面积为S（m2），周长为p（m），一边长为a（m），那么S，p，a中是变量的是（　　）
A．S和p B．S和a C．p和a D．S，p，a
5．半径是r的圆的周长为，下列说法正确的是（ ）
A．C，r是变量，是常量 B．C是变量，2，r是常量
C．C是变量，π，r是常量 D．C，π是变量，2是常量
6．弹簧原长（不挂重物），弹簧总长与重物质量的关系如表所示：
重物质量
弹簧总长 16 17 18 19 20
当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧的总长．（　　）
A．25 B． C．30 D．
7．在一定范围内，弹簧挂重物后会伸长，测得弹簧长度最长为，与所挂物体质量间有下面的关系：
0 1 2 3 4 …
8 8.5 9 9.5 10 …
下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，x是自变量，y是因变量
B．所挂物体为时，弹簧长度为
C．在弹性限度内，物体每增加，弹簧长度就增加
D．挂物体时，弹簧长度一定比原长增加
8．如图，是的垂直平分线，交于点，是直线上一动点，它从点出发沿射线方向运动，当增加，减少时，与的关系式是（ ）

A． B． C． D．
9．弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度（cm）与所挂物体的质量（kg）之间的关系如表所示．
物体的质量/kg 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度/cm 10 12.5 15 17.5 20 22.5
下列说法错误的是（ ）
A．在没挂物体时，弹簧的长度为10cm
B．弹簧的长度随物体的质量的变化而变化，物体的质量是自变量的函数，弹簧的长度是自变量
C．在弹簧能承受的范围内，如果物体的质量为mkg，那么弹簧的长度y可以表示为
D．在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为6kg时，弹簧的长度为25cm
10．函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2且x≠1 D．x≥﹣2且x≠1
11．下列四个关系式：（1）y=x；（2）=x；（3）y=；（4）|y|=x，其中y不是x的函数的是（　　）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
12．周末早上小敏和朋友相约开车去离市中心30km的郊外玩，玩到了傍晚准备开车回家，回家的路上小敏开了有一会车抛锚了，于是朋友就把小敏的车用工具固定在自己的车后，拖着走了一段，路上遇到一家修车店，小敏就把车放在店里维修，然后坐朋友的车回到了市中心，下面是小敏从郊外返回路上所用的时间t（分钟）和离市中心距离s（km）之间的对应关系表：
t/min 10 15 20 25 30 40 45 50 55 60 65 70
s/km 24 20 16 15 15 12 12 8 5 3 1 0
根据表格中的数据判断下列哪种说法是正确的（ ）
A．差不多开了20分钟，小敏的车抛锚了
B．从抛锚点到修车店，花了差不多10分钟
C．修车店在离市中心15km处
D．离市中心5km处可能开始堵车
二、填空题
13．老师让同学们举一个y是x的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如下4个x、y之间的关系：
① 气温x1201日期y1234
②
③ y＝kx+b ④ y＝|x|
其中y一定是x的函数的是 ．（填写所有正确的序号）
14．刹车距离与刹车时的速度有如下关系：，小李以的速度行驶在路上．突然发现前方8m处有个水沟，小李马上踩下刹车（忽略反应时间），问是否来得及 （填“是”或“否”）．
15．在函数中，自变量x的取值范围是 ．
16．一个装有千克水的水箱，每小时流出千克水，水箱中的余水量（千克）与时间（小时）之间的关系式是 ，自变量的取值范围是 ．
17．快餐每盒5元，买n盒需付m元，则其中常量是 ．
三、解答题
18．用关系式表示下列函数关系
（1）某种苹果的单价是1.6元/千克，当购买x千克苹果时，花费y元，y（元）与x（千克）之间的关系.
（2）汽车的速度为，汽车所走的路程和时间之间的关系.
19．小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按16元/时计算．设小明的哥哥这个月工作的时间为t小时，应得报酬为m元，填写下表：
工作时间t（时） 1 5 10 15 20 … t …
报酬m（元）
怎样用关于t的代数式表示m？
20．公路上依次有A，B，C三个汽车站．上午8时，小明骑自行车从A，B两站之间离A站 8千米处出发，向C站匀速前进，经15分钟到达离A站12千米的地方．
(1)设小明出发x小时后，离A站y千米，请写出y与x之间的关系式；
(2)若A，B两站之间的路程为20千米，那么小明在上午9时能否到达B站
(3)若A，B两站之间的路程为20千米，B，C两站之间的路程为24千米，那么小明从什么时刻到什么时刻在B站与C站之间
21．已知中，，矩形的长和宽分别为9cm和2cm，点P和点A重合，和在同一条直线上（如图所示），不动，矩形沿射线以每秒1cm的速度向右移动，设移动后，矩形与重叠部分的面积为，求y与x之间的函数关系式．
22．下表是小华做观察水的沸腾实验时所记录的数据：
(1)时间是8分钟时，水的温度为_____；
(2)此表反映了变量_____和_____之间的关系，其中_____是自变量，_____是因变量；
(3)在_____时间内，温度随时间增加而增加；_____时间内，水的温度不再变化．
23．梯形上、下底边的长分别是4cm和10cm，当高由小到大变化时，梯形的面积也随之发生变化.
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）如果梯形的高为（cm），面积为（cm ），求与的函数表达式；
（3）当高由1cm变化到10cm时，梯形的面积增加了多少？
（4）当的值每增加1cm时，的值增加了多少？
24．已知x为实数．y、z与x的关系如表格所示：根据上述表格中的数字变化规律，解答下列问题：
（1）当x为何值时，y=430？
（2）当x为何值时，y=z？
x y z
… … …
3 30×3+70 2×1×8
4 30×4+70 2×2×9
5 30×5+70 2×3×10
6 30×6+70 2×4×11
… … …
《17.1变量与函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C B A C D C B D
题号 11 12
答案 B B
1．C
【分析】根据表格可知，场次、售票量、售票收入中，不变的量是票价，进而根据函数的定义可知票价是常量．
【详解】根据表格数据可知，不变的量是票价，则常量是票价．
故选C．
【点睛】本题考查了函数的定义，掌握常量是不变的量是解题的关键．
2．C
【分析】根据实际问题逐一分析后即可确定实际问题的函数图象．
【详解】解：①汽车紧急刹车时速度随时间的增大而减小，故d图象符合要求；
②人的身高随着年龄的增加而增大，到一定年龄不变，故b图象符合要求；
③运动员跳跃横杆时高度在上升到最大高度，然后高度减小，故c图象符合要求；
④一面冉冉上升的旗子，高度随着时间的增加而越来越高，故a图象符合要求；
正确的顺序是dbca．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．
3．C
【分析】认真分析表中数据即可得到结果．
【详解】解：由题意得，售价y与数量x的函数关系式为y=8x+0.4x=8.4x，
故选C.
【点睛】本题考查了列函解析式，解答本题的根据是认真分析表中数据，发现数据的变化特征．
4．B
【详解】∵篱笆的总长为60米，
∴周长P是定值，而面积S和一边长a是变量，
故选：B．
5．A
【分析】根据常量和变量的定义来分析判断．
【详解】解：∵常量是指始终不变的量，变量是指会发生变化的量．
∴圆的周长C和半径r是变量，2π是常量．
故选：A．
【点睛】本题主要考查函数中常量和变量的定义，熟知常量和变量的定义：本题考查的是变量和常量，在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量是解题的关键．
6．C
【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，根据“重物质量每增加，弹簧伸长”写出关于的关系式，将代入该关系式求出对应的值即可．
【详解】解：由表格可知，重物质量每增加，弹簧伸长，当重物质量为时，弹簧总长度为，
∵当重物质量为0时，弹簧的原长度为，
∴弹簧总长与重物质量的关系式为，
当时，．
故选：C．
7．D
【分析】本题考查了变量、自变量、因变量的概念，认真审题能从题目中抽取出有效信息是解题的关键．弹簧长度随所挂物体的重量的变化而变化，由表格数据可知物体每增加，弹簧长度就增加，可以计算当所挂物体为或时弹簧的长度，但应注意弹簧的最大长度为．
【详解】解：A．因为弹簧长度随所挂物体的重量的变化而变化，所以x是自变量，y是因变量．故本选项正确，不符合题意；
B．当所挂物体为时，弹簧的长度为．故本选项正确，不符合题意；
C．从表格数据中分析可知，物体每增加，弹簧长度就增加．故本选项正确，不符合题意；
D．当所挂物体为时，弹簧长度为．故本选项不正确，符合题意．
故选：D．
8．C
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理得出，根据当增加，减少时，得出，再求出答案即可．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
当增加，减少，
∴，
∴，
即，
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，函数解析式等知识点，能根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出是解此题的关键．
9．B
【分析】因为表中的数据主要涉及到弹簧的长度和所挂物体的重量，所以反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量；弹簧的长度是因变量；由已知表格得到弹簧的长度是y=10+2.5m，质量为mkg，y弹簧长度；弹簧的长度有一定范围，不能超过．
【详解】在没挂物体，即物体的质量为0kg时，对应的弹簧的长度为10cm，所以A项中的说法正确；
题中表格反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是自变量的函数，所以B项中的说法错误；
观察题中表格可得，在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为mkg时，弹簧的长度为cm，所以C项中的说法正确；
由C项知，因此当时，，所以D项中的说法正确．
故选B．
【点睛】此题考查了函数关系式，主要考查了函数的定义和结合几何图形列函数关系式．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
10．D
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不为0，列不等式组可求得自变量x的取值范围．
【详解】根据题意得：，
解得：x≥﹣2且x≠1．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
11．B
【详解】根据对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，
（1）y=x，（3）y=满足函数的定义，y是x的函数，
（2）=x，（4）|y|=x，当x取值时，y不是有唯一的值对应，y不是x的函数，
故选B．
12．B
【分析】根据表中的时间和距离，逐段分析，即可一一判定．
【详解】解：A、车抛锚了，车速会迅速下降直至停止，由表知，在10分钟-15分钟，5分钟行驶距离为24-20=4km，15分钟-20分钟，5分钟行驶距离为20-16=4km，20分钟-25分钟，5分钟行驶距离为16-15=1km，此段车速明显下降，而在25分钟-30分钟，这段时间小敏离市中心的距离一直是15 km，表明车停下来了，这段时间朋友把小敏的车用工具固定在自己的车后，因此，说明小敏的车开了15分钟，车抛锚了，故A错误；
B、小敏把车放在店里维修需要时间，这段时间小敏离市中心的距离(第二次)不变，由表知，在40分钟- 45分钟，离市中心的距离是12 km，因此，小敏的车在40分钟到了修车店，由表知，从抛锚点到修车店，所花时间为40-30=10(分钟)， 故B正确；
C、由B知，修车店在离市中心12 km处， 故C错误；
D、由表知，在45分钟-50分钟，5分钟行驶距离为12-8=4 km，50分钟-55分钟，5分钟行驶距离为8-5=3 km，55分钟-60分钟，5分钟行驶距离为5-3=2 km，60分钟-65分钟，5分 钟行驶距离为3-1=2 km，65分钟-70分钟，5分钟行驶距离为1-0=1 km，表明车在离市中心5km处在减速行驶进入市区可能遇红绿灯等候，不一定是堵车，故D错误．
故选B．
【点睛】本题考查了函数的应用，即用列表法表示函数关系，从表中获取相关信息是解决本题的关键．
13．③④
【分析】根据函数的定义判断即可.
【详解】解：一般的，在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，x是自变量，y是x的函数，
①②不符合定义，③④符合定义，
故答案为③④．
【点睛】本题考查的是函数的定义，解题关键在于对函数的理解：讲究一一对应.
14．否
【分析】把v=先换算单位为10m/s，再代入函数关系式即可求出s的值，然后与8米作比较即得答案．
【详解】解：当v==10m/s时，，所以他来不及踩下刹车．
故答案为：否．
【点睛】本题考查了已知自变量求因变量的值，属于基本计算题，先换算单位、再准确计算是解题关键．
15．
【分析】根据分式中分母不能等于零，列出不等式，计算出自变量x的范围即可．
【详解】根据题意得：
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，分母不为零，解答本题的关键是列出不等式并正确求解．
16．
【分析】余水量等于原有水量减去t小时流出水量，由此列关系式，再根据流出量不大于原有水量求的取值范围．
【详解】解：依题意有，
流出水量不能超过原有水量，
∴，
解得，
又，
∴，
故关系式是，自变量t的取值范围是．
故答案为：， ．
【点睛】本题考查用关系式表示的变量间关系，解题的关键是读懂题意．
17．5
【分析】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
【详解】解：单价5元固定，是常量．
故答案为：5．
【点睛】考核知识点：函数.理解函数相关意义是关键.
18．（1）;（2）.
【分析】（1）根据总花费=单价×质量可得答案．
（2）根据路程=速度×时间可得答案．
【详解】解：由题意得：
（1）总花费=单价×质量：y=1.6x（x≥0）；
（2）路程=速度×时间：s=20t（t≥0）．
【点睛】找到所求量的等量关系是解决问题的关键，本题比较简单．
19．填表见解析；
【分析】根据报酬为16元/时，求出工作时间为1小时，5小时，10小时，15小时，20小时，t小时可以得到的报酬，即可得出答案．
【详解】解：（元），
（元），
（元），
（元），
（元），
当工作时间为t小时，获得的报酬为，即．
工作时间t（时） 1 5 10 15 20 … t …
报酬m（元） 16 80 160 240 320
【点睛】本题主要考查了求函数解析式和函数值，解题的关键是理解题意列出函数解析式．
20．(1) (1)y＝8+16x;(2) 上午9时已经过了B站,理由见解析；（3）上午8：45到10：15在B，C两站之间
【详解】试题分析：（1）小明出发x小时行驶了16x千米，由于小明出发点距离A站8千米，所以小明出发x小时后离A站的距离y=16x+8；（2）要判断小明在上午9时能否到达B站即要求小明到达B站的时间，A、B两站相距20千米，所以令y=20，求出x即可；（3）要求小明从什么时刻到什么时刻在B站与C站之间即要分别求出小明到达B站、C站的时间，到达B站的时间已经求出，求出小明到达C站的时间即可，A、C两站相距44千米，所以令y=44，求出x，进而求出小明到达C站的时间.
试题解析：
由题意得：小明15分钟行驶了4千米，则小明的速度为：4×=16千米/小时，
（1）y＝8+16x；
（2）当y＝20时，20＝8+16 x，x ==，小时=45分钟，
∴小明8：45就到达B站了，因此上午9时已经过了B站．
（3）当y＝44时，44＝8+16x，x=2，2小时=2小时15分钟，
∴小明10：15到达C站，
∴小明从上午8：45到10：15在B、C两站之间．
点睛：本题关键在于充分利用关系式根据距离求出时间.
21．
【分析】分图1，图2，图3三种情况，利用三角形面积公式和梯形面积公式进行讨论求解即可．
【详解】运动过程中，重叠部分图形的形状在发生改变，重叠部分面积也随之而变化，由此可知题目需进行以下分类讨论：
当时，如图1所示，重叠部分为等腰直角三角形，腰长为，得：；
当时，如图2所示，重叠部分为直角梯形，梯形高即为矩形宽为，梯形下底长为，上底长为，得：；
当时，如图3所示，重叠部分为直角梯形，梯形高即为矩形宽为，梯形下底长即为等腰直角三角形腰长保持不变，则上底长为，得保持不变．
综上所述，
【点睛】本题主要考查了求函数关系式，掌握矩形的性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
22．（1）100℃（2）温度，时间，时间，温度；（3）0至8分钟，8至12分钟．
【详解】试题解析：（1）第8分钟时水的温度为100℃；
（2）反映的温度随着时间的变化而变化的，时间是自变量，温度是因变量；
（3）观察表格发现在0至8分钟时间内，温度随时间增加而增加；8至12分钟时间内，水的温度不再变化.
故答案为（1）100℃；（2）温度，时间，时间，温度；（3）0至8分钟，8至12分钟．
23．（1）自变量是梯形的高，因变量是梯形的面积；（2）；（3）当高由1cm变化到10cm时，梯形的面积增加了63cm ；（4）当的值每增加1cm时，的值增加了7cm .
【分析】（1）在函数中，给定一个变量x的值，另一个变量y就有对应的值，则x是自变量，y是因变量，据此即可判断；
（2）根据梯形的面积公式(上底+下底)×高÷2，代入相应数值，进行计算即可；
（3）把x=1，x=10分别代入函数解析式进行计算；
（4）根据函数关系式得到y 增加的值.
【详解】（1）自变量是梯形的高，因变量是梯形的面积.
（2）根据梯形的面积等于 (上底+下底)×高÷2，与的函数表达式是，即.
（3）当时，.
当时，.
因为，所以当高由1cm变化到10cm时，梯形的面积增加了63cm .
（4）当的值每增加1cm时，的值增加了7cm .
【点睛】本题考查函数值，函数定义及其表示方法，在本题中熟记梯形的面积计算公式和理解变量之间的关系是解题的关键.
24．(1)x=12;(2)x=-3或15
【分析】由图片中的信息可得出:当x为n(n3)时,y应该表示为30×n+70,z就应该表示为2×（n-2）(5+n);那么由此可得出（1）（2）中所求的值.
【详解】解：∵y=30×x+70，z=2×（x﹣2）（5+x）
（1）当x=12时，y=30×12+70=430；
（2）∵y=z，
即30×x+70=2×（x﹣2）（5+x），
解得：x=﹣3或15．
【点睛】本题考查了用表格表示变量之间的关系,中等难度,从例子中找到规律是解题关键.
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