18.1平行四边形的性质同步练习（含解析）

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18.1平行四边形的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在平行四边形中，若，则的度数是（ ）．
A．30° B．60° C．90° D．120°
2．如图，四边形是平行四边形，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．在□ABCD中，AB=3，BC=5，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（ ）
A．1＜OA＜4 B．2＜OA＜8 C．2＜OA＜5 D．3＜OA＜ 8
4．在ABCD中，若∠A=30°，AB边上的高为8，则BC=（ ）
A．8 B．8 C．8 D．16
5．在中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
6．如图，ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，如果∠D=65°，则∠BCE等于（ ）
A．25° B．30° C．35° D．55°
7．如图,在中,将沿折叠后,点恰好落在的延长线上的点处,若则的周长为（ ）
A． B． C． D．
8．在 ABCD中，若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E，则△AED的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
9．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论正确的是（ ）
A．SABCD=4S△AOB
B．AC=BD
C．AC⊥BD
D．ABCD是轴对称图形
10．如图，平分，，，，则长是（ ）

A． B． C． D．
11．平行四边形的一边长为6，则两对角线长可能是（ ）
A．12和2 B．4和5 C．18和3 D．4和6
12．如图，四边形ABCD是平行四边形，顶点A、B的坐标分别是A（1，0），B（0，-2），顶点C、D在双曲线y=上，边AD与y轴相交于点E，S四边形BEDC=5S△ABE=10，则k的值是（　 　）
A．-16 B．-9 C．-8 D．-12
二、填空题
13．如图，中，E、F分别为BC、AD边上的点，要使，需添加一个条件： ．
14．如图，在 ABCD中，AD＝8，AB＝，∠B＝60°．E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为 ．
15．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O．已知两条对角线长的和为，长为．则的周长为 ．
16．如图，在中，E在上，，F在上，，若，则 ．
17．如图，在□ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，S△BPG＝1，则S□AEPH＝ ．
三、解答题
18． 如图：在平行四边形中，的平分线交于，若，，求的长．
19．如图，与的周长之差为8，而，那么的周长为多少？

20．如图，四边形是平行四边形，且交的延长线于点，于点．证明：．
21．如图，平行四边形ABCD中，试用三种方法将平行四边形分成面积相等的四部分.（要求用文字简述你所设计的三种方法，并在所给的三个平行四边形中正确画图）
22．如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸垂直，设河的宽度不变，试问：桥建在何处，才能使从A到B的距离最短？保留作图痕迹并说明理由．
23．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD⊥BD，AD＝8，AB＝10，OB，AC的长及□ABCD的面积．
24．如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若∠EAF=60°，CE=3cm，FC=1cm，求AB，BC的长及ABCD面积．
《18.1平行四边形的性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A D C A C B A B
题号 11 12
答案 A D
1．D
【分析】根据平行四边形对边平行，同旁内角互补，即可求出的度数．
【详解】解：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．
2．D
【分析】本题考查平行四边形的性质．根据平行四边形对角相等即可求出．
【详解】解：在中有：，
，
，
故选：D．
3．A
【分析】根据三角形的三边关系定理得到AC的取值范围，再根据平行四边形的性质即可求出OA的取值范围．
【详解】解：∵AB=3cm，BC=5cm，
∴2cm＜AC＜8cm，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴1cm＜OA＜4cm，
故选A．
【点睛】本题考查了对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，得到AO是AC的一半是解此题的关键．
4．D
【详解】试题分析：先画出图形，根据平行四边形的性质可得∠C=∠A=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质即可得到结果．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠C=∠A=30°，
∵BE是高，BE=8，
∴BC=2BE=16，
故选D.
考点：本题考查的是平行四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的对角相等，30°角所对的直角边是斜边的一半．
5．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边行的性质是解答本题的关键．平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质逐项分析即可．
【详解】如图，
A．∵四边形是平行四边形，∴不一定正确；
B．∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵与不一定相等，∴与不一定相等，∴一定正确；
C．∵四边形是平行四边形，∴，正确；
D．∵四边形是平行四边形，∴与不一定相等，∴不一定正确．
故选C．
6．A
【分析】由 ABCD中，∠D=65°，根据平行四边形的对角相等，∠B的度数，又由CE⊥AB，即可求得∠BCE的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=65°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC=90°，
∴∠BCE=90°∠B=25°．
故选：A．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质．以及直角三角形两个锐角互余，此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
7．C
【分析】根据平行四边形的性质可得CD=AB=3，AD=BC，由折叠可知AE=AD，CE=CD=3，∠ACE=∠ACD，∠ACE＋∠ACD=180°，从而求出∠ACE=∠ACD=90°，DE=6，利用勾股定理即可求出AD，从而求出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=3，AD=BC
∵将沿折叠后,点恰好落在的延长线上的点处,
∴AE=AD，CE=CD=3，∠ACE=∠ACD，∠ACE＋∠ACD=180°
∴∠ACE=∠ACD=90°，DE=6
在Rt中，AD=
∴AE=5
∴的周长为AD＋AE＋DE=16
故选C．
【点睛】此题考查的是平行四边形的性质、折叠的性质和勾股定理，掌握平行四边形的性质、折叠的性质和勾股定理是解题关键．
8．B
【详解】分析：充分利用角平分线的性质证明∠E=90°即可判断．
详解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵∠EAD=∠BAD，∠ADE=∠ADC，
∴∠EAD+∠ADE=（∠BAD+∠ADC）=90°，
∴∠E=90°，
∴△ADE是直角三角形，
故选B．
点睛：本题考查的是直角三角形的判定，熟记有一个角是90°的三角形是直角三角形是解题的关键.
9．A
【详解】试题分析：A、∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴AO=CO，DO=BO．
∴S△AOD=S△DOC=S△BOC=S△AOB．∴SABCD=4S△AOB，故此选项正确；
B、无法得到AC=BD，故此选项错误；
C、无法得到AC⊥BD，故此选项错误；
D、ABCD是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．
故选A．
10．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，勾股定理及其逆定理，先证明，得到，即得，再利用勾股定理的逆定理可得为直角三角形，，即得，再由勾股定理即可求出长，推导出为直角三角形是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴为直角三角形，，
∴，
∴，
故选：．
11．A
【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的三边关系，可以画草图，根据平行四边形的性质和三角形的三边关系逐项判断即可．
【详解】解：如图，中，，对角线、相交于为O，
∴，，
A、若，，则，，
∵，
∴1、6、6能组成三角形，故选线A符合题意；
B、若，，则，，
∵，
∴2、2.5、6不能组成三角形，故选线B不符合题意；
C、若，，则，，
∵，
∴1.5、6、9不组成三角形，故选线C不符合题意；
D、若，，则，，
∵，
∴2、3、6不能成三角形，故选线D不符合题意；
故选：A．
12．D
【分析】分别过C、D作x轴的垂线，垂足为F、G， 过C点作CH⊥DG，垂足为H，根据， CD=AB可证△CDH≌△ABO，则CH=AO=1， DH=OB=2，由此设C ( m-l，n) ，D ( m，n+2)，C、D两点在双曲线上，则( m-1 ) n=m ( n+2)，解得n= -2m，设直线AD解析式为y=ax+b，将A、D两点坐标代入求解析式，确定E点坐标，求，根据S四边形BEDC=5S△ABE=10，列方程求m、n的值，根据k= ( m+1 ) n求解．
【详解】解：如图，过C、D两点作x轴的垂线，垂足为F、G，DG交BC于M点，过C点作CH⊥DG，垂足为H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵，
∴∠OBC=∠GDE，
∴∠HDC=∠ABO，
在△CDH和△ABO中，
，
∴△CDH≌△ABO（AAS），
∴CH=AO=1，DH=OB=2，
设C（m-1，n），D（m，n+2），
则（m-1）n=m（n+2）=k，
解得n=-2m，则D的坐标是（m，-2m+2），
设直线AD解析式为y=ax+b，将A、D两点坐标代入得
，
由①得：a=-b，代入②得：-mb+b=-2m+2，
即b（m-1）=2（m-1），解得b=2，
则，
∴y=-2x+2，
∴E（0，2），BE=4，
∴S△ABE=×BE×AO=2，
∵S四边形BCDE=5S△ABE=5××4×1=10，
∵S四边形BCDE=S△ABE+S四边形BEDM=10，
即2-4×m=10，
解得：m=-2，
∴n=-2m=-4，
∴|k|=（m-1）n=12．
∵双曲线图形在第二象限，
∴k=-12
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用，关键是通过作辅助线，将图形分割，寻找全等三角形，利用边的关系设双曲线上点的坐标，根据面积关系，列方程求解．
13．BE=DF(或BF∥DE；AF=CE；∠BFD=∠BED；∠AFB=∠ADE等）
【分析】根据平行四边形的性质，要使BF=DE只要△AFB≌△CED即可推出要添加的条件
【详解】若添加AF=CE；
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB=CD，∠A=∠C；
∵AF=CE，
∴△ABF≌△CDE（SAS）
∴BF=DE．
故答案为AF=CE (或BF∥DE；BE=DF；∠BFD=∠BED；∠AFB=∠ADE等）
14．22
【分析】当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，利用直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，
∵AE⊥BC，AB＝2，∠B＝60°．
∴AE＝3，BE，
∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，
∴EF＝BC＝AD＝8，
∴四边形AEFD周长的最小值为：8+8+3+3＝22，
故答案为：22．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及平移的性质，关键是根据当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小进行分析．
15．/15厘米
【分析】此题考查了平行四边形的性质，注意平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质求解即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，，
，
的周长为，
故答案为∶．
16．18
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出的面积，同理求出的面积，再根据，即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴；
故答案为：18．
17．4
【分析】由条件可证明四边形HPFD、BEPG为平行四边形，可证明S四边形AEPH=S四边形PFCG．，再利用面积的和差可得出四边形AEPH和四边形PFCG的面积相等，由已知条件即可得出答案．
【详解】解：∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，
∴S△PEB=S△BGP，
同理可得S△PHD=S△DFP，S△ABD=S△CDB，
∴S△ABD-S△PEB-S△PHD=S△CDB-S△BGP-S△DFP，
即S四边形AEPH=S四边形PFCG．
∵CG=2BG，S△BPG=1，
∴S四边形AEPH=S四边形PFCG=4×1=4；
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行 四边形为平行四边形，②两组对边分别相等 四边形为平行四边形，③一组对边平行且相等 四边形为平行四边形，④两组对角分别相等 四边形为平行四边形，⑤对角线互相平分 四边形为平行四边形．
18．
【分析】根据平行四边形的性质，等角对等边确定与的关系，即可求出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等角对等边．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
19．80
【分析】根据平行四边形性质得出，，根据与的周长之差为8，得出，根据，设则，得出，求出，得出，，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵与的周长之差为8，
∴，
∴，
即，
∵，
∴设则，
则，
∴，
∴，，
∴的周长是：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形对边相等，对角线互相平分．
20．见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．由平行四边形的性质得，，则，而，即可根据证明，则．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，．
．
，，
．
．
．
21．见解析.
【分析】根据平行四边形的性质即可求出本题答案.
【详解】方法①:连接平行四边形的对角线.
方法②：画AD边的四等分点，过四等分点作AB的平行线.
方法③：横向和纵向的画两条平行于边的线段.
分法如下：
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是本题解题的关键.
22．见解析
【分析】根据A、B两点在河两侧，桥的方向与河岸垂直，由此关键在于使AP+BD最短，利用平行四边形法则即可．
【详解】如图，作垂直于河岸，使等于河宽，连接，与河岸相交于P，作，交于点D，则且．连接，利用平行四边形的性质可知．根据“两点之间，线段最短”，可知最短，即从A到B，路径最短，故桥应建在处．
【点睛】此题考查了轴对称---最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．
23．OB的长是3，AC的长是， ABCD的面积是48．
【分析】根据平行四边形的性质得到AD=BC=8，AB=CD=10，OB=OD=BD，根据勾股定理求出AC的长，根据平行四边形的面积公式即可求出平行四边形ABCD的面积．
【详解】∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=8，AB=CD=10，OB=OD=BD，
∵AB=10，AD=8，由勾股定理得：BD===6，
∴OB=OD=3，
∴AO===，
∴AC=2AO=，
∴ ABCD的面积是AD×BD=8×6=48，
答：OB的长是3，AC的长是， ABCD的面积是48．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.
24．AB的长是cm，BC的长是cm，平行四边形ABCD的面积是cm2．
【试题分析】根据平行四边形的性质，30°所对的直角边是斜边的一半求解.
【试题解析】∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF=60°，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠C=360°-∠AEC-∠EAF-∠AFC=120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C+∠B=180°，
∴∠B=60°，
∴∠BAE=30°，
∴AB=2BE，
设BE=a，则AB=2a，
∵CE=3cm，FC=1cm，
∴DF=2a-1，
又∵∠AFD=90°，∠D=60°，
∴∠DAF=30°，
∴AD=2DF=4a-2，
∵AD=BC=a+3，
解得a=，
∴AB=2a= ，BC=a+3= +3＝ ，
∵∠AEB=90°，AB= ，BE=，
∴AE= ，
∴平行四边形ABCD的面积是：BC AE= ×＝，
即AB的长是cm，BC的长是cm，平行四边形ABCD的面积是cm2．．
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