18.2平行四边形的判定同步练习（含解析）

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18.2平行四边形的判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为(0，0)，(0，－5)，(－2，－2)，以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）
A．①② B．①④ C．②④ D．②③
4．下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．如图，下列判断正确的是（　　）
A．若，且，则四边形是平行四边形
B．若，且，则四边形是平行四边形
C．若，且，则四边形是平行四边形
D．以上判断都对
6．如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（ ）
A．2s B．s C．4s D．5s
7．下列判断正确的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形
B．两条对角线互相平分的四边形一定是平行四边形
C．两组邻角分别互补的四边形一定是平行四边形
D．两条对角线相等的四边形一定是平行四边形
8．如图，四边形中，ADBC，，，．若点是线段的中点，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
9．在下面四个条件：①；②；③∥；④∥中，任意选出两个，能判断出四边形是平行四边形的概率是（　　）
A． B． C． D．
10．不能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（　　）
A．AB∥CD，AB＝CD B．AB＝CD，AD＝BC
C．AD＝BC，∠A＝∠C D．AB∥CD，∠B＝∠D
11．如图，已知△ABC，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧在直线BC上方交于点D，连接AD，CD，则有( )
A．∠ADC与∠BAD相等 B．∠ADC与∠BAD互补
C．∠ADC与∠ABC互补 D．∠ADC与∠ABC互余
12．如图，中，点E是AD上一点，BE⊥AB，△ABE沿BE对折得到△BEG，过点D作DF∥EG交BC于点F，△DFC沿DF对折，点C恰好与点G重合，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在四边形中，与相交于点O，，添加条件 ，可得四边形为平行四边形（只需添加一个条件）

14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是 ．
15．如图，在中，，，，把向右平移2个单位得到，则图中阴影部分的面积为 ．
16．四边形任意相邻内角互补，那么四边形是 ．
17．如图，E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件： ，使四边形AECF是平行四边形．

三、解答题
18．已知：如图，E在边的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形．

19．如图，在平行四边形中，点E、F分别是边的中点．
(1)求证：；
(2)若四边形的周长为12，，，求平行四边形的周长．
20．如图，O是等边三角形内任意一点，，点D，E，F分别在，，上．求证：．
21．平面直角坐标系中，O为原点，点，点，把绕点B逆时针旋转，得，点A，O旋转后的对应点为，，记旋转角为α．
(1)如图1，若，则点的坐标为 ，点的坐标为 ，的长为 ．
(2)如图2，若，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在坐标平面内有一点D，使A、B、、D四个点构成的四边形是平行四边形，请你直接写出点D的坐标．
22．已知，如图，在ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.
（1）求证：△AEM≌△CFN；
（2）求证：四边形BMDN是平行四边形.
23．已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ．求证：四边形PBQD是平行四边形．
24．在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA．
（1）作出符合本题的几何图形；
（2）求证：BE∥DF．
《18.2平行四边形的判定》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C C C B B C D C
题号 11 12
答案 B B
1．A
【分析】已知线段AB，BC，AC，分别以三条线段为平行四边形的对角线，进行分类讨论，结合图形进行判断．
【详解】如果以线段AB为对角线，AC，BC为边，作平行四边形，则第四个顶点在第四象限；
如果以线段AC为对角线，AB，BC为边，作平行四边形，则第四个顶点在第二象限；
如果以线段CB为对角线，AC，BA为边，作平行四边形，则第四个顶点在第三象限．
故不可能在第一象限．
故选A.
【点睛】考查了平行四边形的性质，建立平面直角坐标系，数形结合，分类讨论是解题的关键．
2．D
【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．逐一判定即可求解．
【详解】解：A、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定，故正确；
B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形；可以判定，故正确；
C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定．故正确．
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形，等腰梯形满足条件．故该选项错误．
故选：D．
【点睛】此题主要考查对平行四边形的判定掌握的熟练程度．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．
3．C
【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型．
根据平行四边形的判定求解即可．
【详解】只有②④两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②④两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选C．
4．C
【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．
根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可．
【详解】∵，，，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
故选项A不符合题意；
∵，，
∴四边形是平行四边形，
故选项B不符合题意；
∵，，
∴四边形是平行四边形，
故选项D不符合题意；
由，，无法得到四边形是平行四边形，
∴选项C符合题意．
故选：C．
5．C
【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键在于熟练掌握平行四边形的判定方法．根据平行四边形的判定方法逐项分析判断，即可解题．
【详解】解：A.若，且，无法判定四边形是平行四边形，故选项A错误，不符合题意；
B.若，且，无法判定四边形是平行四边形，故选项B错误，不符合题意；
C.若，且，则四边形是平行四边形，故选项C正确，符合题意；
D.综上所述，选项D错误，不符合题意；
故选：C ．
6．B
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键．
根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：设经过t秒，以点，，，为顶点组成平行四边形，
∵在边上运动，
∴，
∵以点，，，为顶点组成平行四边形，
∴，
分以下情况：①点Q的运动路线是
由题意得：，
解得：，不符合题意．
②点Q的运动路线是
由题意得：，
解得：；符合题意．
点Q的运动路线是
由题意得：，
解得：；不合题意．
点Q的运动路线是
由题意得：，
解得：，不合题意．
故选：B．
7．B
【详解】解：A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项错误；
B．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确；
C．两组邻角分别互补的四边形不一定是平行四边形，还可能是梯形，故本选项错误；
D．两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形的两条对角线相等，故本选项错误；
故选B．
8．C
【分析】延长CM交AD于N，先由AAS证得△BCM≌△DNM，得出NM＝CM＝CN，DN＝BC＝3，求出AN＝BC，得出四边形ABCN是平行四边形，即可得出结果．
【详解】解：延长CM交AD于N，如图所示：
∵点M是线段BD的中点，
∴BM＝DM，
∵ADBC，
∴∠CBM＝∠NDM，∠BCM＝∠DNM，
在△BCM和△DNM中，
，
∴△BCM≌△DNM（AAS），
∴NM＝CM＝CN，DN＝BC＝3，
∴AN＝AD﹣DN＝6﹣3＝3，
∴AN＝BC，
∵ADBC，
∴四边形ABCN是平行四边形，
∴CN＝AB＝5，
∴CM＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、平行四边形的判定与性质等知识，添加辅助线证明△BCM≌△DNM是解题的关键．
9．D
【详解】四个条件的两两组合有：①和②，①和③，①和④，②和③，②和④，③和④六种组合，其中①和②，①和③，②和④，③和④都能判断出四边形是平行四边形，所以能判断出四边形是平行四边形的概率是．
10．C
【分析】根据平行四边形的判定，A、B、D均能判断是平行四边形，唯有C不能判定．
【详解】因为平行四边形的判定方法有：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B正确；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A正确；
由AB∥CD，∠B＝∠D，可求得∠A＝∠C，根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可以判定，故D也可以判定．
连接BD，利用“SSA”不能判断△ABD与△CDB，C不能判定四边形ABCD是平行四边形，
故选C．
【点睛】此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况．平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
11．B
【详解】如图，依题意得AD=BC、CD=AB，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC+∠BAD=180°，∠ADC=∠ABC，∴B正确．
12．B
【分析】根据平行线的性质和轴对称的性质，利用SAS证明，进而得到，设AB=x，则AG=2x，CD=x，AD=，即可求解．
【详解】解：在中
∵DF∥EG
∴∠DEG=∠DFB
∵△ABE沿BE对折得到△BEG
∴∠DEG=2∠A
∵∠DFB=∠C+∠CDF
∠A=∠C
∴∠CDF=∠A
∵△DFC沿DF对折
∴∠BGE=∠DGE
BG=DG
EG=EG
∴
∵BE⊥AB
∴
设AB=x，则AG=2x，CD=x，AD=
∴
故选：B．
【点睛】此题主要考查平行线的性质、轴对称的性质、全等三角形的判断和性质、勾股定理，熟练运用平行线的性质和轴对称的性质证明是解题关键．
13．
【分析】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定方法添加条件即可．
【详解】解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
故可添加，
故答案为：．
14．AB=DC（答案不唯一）
【分析】根据平行四边形的判定定理添加条件即可求解．
【详解】∵在四边形ABCD中，AB∥CD，
∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是：AB=DC（答案不唯一）．
还可添加的条件AD∥BC或∠A=∠C或∠B=∠D或∠A+∠B=180°或∠C+∠D=180°等．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
15．14
【分析】根据平移的性质得出四边形ADFC为平行四边形，然后利用平行四边形的面积计算方法求解即可．
【详解】解：根据题意得：BE=CF=AD=2，ADCF，
∴四边形ADFC为平行四边形，
∵∠ABC=90°
∴平行四边形ADFC的高为AB=7，
∴阴影部分的面积为：2×7=14，
故答案为：14．
【点睛】题目主要考查平移的性质及平行四边形的判定和性质，理解题意，掌握运用平移的性质是解题关键．
16．平行四边形
【分析】根据邻角互补可知对角相等，利用平行四边形判定即可解题.
【详解】解：∵四边形的任意两个相邻内角都互补，
∴四边形的对角相等，
∴四边形是平行四边形.
【点睛】本题考查了平行四边形的判定属于简单题，熟悉平行四边形判定方法是解题关键.
17．或或．
【分析】用反推法，假如四边形是平行四边形，会推出什么结果，这结果就是要添加的条件．
【详解】解：使四边形是平行四边形．就要使，，就要使，而在平行四边形中已有，，再加一个或可用证，或用证．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，本题是开放题，答案不唯一，可以针对各种特殊的平行四边形的判定方法，给出条件，本题主要是通过给出证明的条件来得到，，根据四边形中一组对边平行且相等就可证明为是平行四边形．
18．见解析
【分析】首先根据平行四边形的性质得到BC=AD，根据进而可得出AD=CE，结合即可证明．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴且AD=BC，
又∵，
∴AD=CE，
又∵，即，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质．
19．(1)见解析
(2)14
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，平行四边形的周长，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）证明且得到四边形为平行四边形，继而得证；
（2）利用四边形的周长为12，，求出，继而求出，从而得解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，即，，
又∵点E，F分别是边，的中点，
∴，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴；
（2）解：由（1）得：四边形是平行四边形，
又∵四边形的周长为12，即，
∴，
∴，，
又∵，
∴平行四边形ABCD的周长．
20．证明见解析
【分析】如图所示，延长交于G，分别证明都是等边三角形，得到，则，再证明四边形是平行四边形，得到，即可证明．
【详解】证明：如图所示，延长交于G，
∵是等边三角形，
∴
∵，
∴，
∴都是等边三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，平行线的性质，平行四边形的性质与判定，正确作出辅助线构造等边三角形和平行四边形是解题的关键．
21．(1)，，；
(2)；
(3)或或．
【分析】（1）由旋转的性质得，，，，由勾股定理求出的长，判断出与x轴平行，进而可得点，点的坐标；
（2）作轴于H，如图2，利用旋转的性质得，，则，再在中利用含30度的直角三角形的性质和勾股定理计算出和的长，进而可得点的坐标；
（3）分三种情况：①当、为平行四边形的边时，连接，交于点P，根据，，利用中点坐标公式求出点P的坐标，进而可得点D的坐标；②当为对角线时，③当为对角线时，同理求解即可．
【详解】（1）解：∵点，点，
∴，，
∴，
∵把绕点B逆时针旋转得，
∴，，
∴，
∵，，，
∴与x轴平行，
∴，
∵是直角三角形，，
∴的坐标为，
综上，的坐标为，的坐标为，的长为，
故答案为：，，；
（2）解：作轴于H，如图2，
∵绕点B逆时针旋转得，
∴，，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
（3）解：分三种情况：
①当、为平行四边形的边时，如图，
连接，交于点P，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点，点的坐标为，
∴，
∵点，
∴点D的坐标为；
②当为对角线时，如图，
同理可得，点D的坐标为；
③当为对角线时，如图，
同理可得，点D的坐标为；
综上，点D的坐标为或或．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，平行四边形的性质和中点坐标公式等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
22．证明见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得出AD∥BC，∠DAB=∠BCD，再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E=∠F，∠EAM=∠FCN，从而利用ASA可作出证明．
（2）根据平行四边形的性质及（1）的结论可得BMDN，则由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
【详解】证明：(1） ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC ，AD∥BC．
∴∠E=∠F，∠DAB=∠BCD．
∴∠EAM=∠FCN．
又∵AE=CF
∴△AEM≌△CFN（ASA）．
（2） ∵由（1）△AEM≌△CFN
∴AM=CN．
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴ABCD
∴BMDN．
∴四边形BMDN是平行四边形．
23．证明见解析
【分析】证明四边形是平行四边形有很多种方法，此题可由对角线互相平分来得到证明．
【详解】证明：连接BD交AC与O点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
又∵AP=CQ，
∴AP+AO=CQ+CO，
即PO=QO，
∴四边形PBQD是平行四边形．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定问题，应熟练掌握．
24．（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据四边形内角和为360°可得∠ADC+∠ABC=180°，然后再根据角平分线定义可得∠ADF=∠FDE=∠ADC，∠EBF=∠EBC=∠ABC，再证明∠DFA=∠EBF可得结论．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）证明：∵四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，
∴∠ADF=∠FDE=∠ADC，∠EBF=∠EBC=∠ABC，
∴∠FBE+∠FDE=90°，
∵∠A=90°，
∴∠AFD+∠ADF=90°，
∴∠AFD+∠EDF=90°，
∴∠DFA=∠EBF，
∴DF∥EB．
【点睛】本题主要考查平行四边形的图像和平行线的判断熟练掌握这两点是解题的关键.
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