19.1矩形同步练习（含解析）
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19.1矩形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，在中，对角线与相交于点，添加一个条件后，为矩形，则这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
2．若直角三角形两条直角边的长分别为18和24，则斜边上的中线的长是（ ）
A．15 B．30 C． D．
3．下列叙述错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线相等
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线相等的四边形是矩形
4．在数学活动课上，小明准备用绳子和三角尺检查一个书架是否为矩形．如图，已知书架是平行四边形，对角线，相交于点，下列验证方法错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列选项中，矩形具有的性质是( )
A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角
6．如图，图中的是将矩形沿对角线折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形（ ）对．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E．已知AB＝2，△DOE的面积为，则AE的长为（ ）
A． B．2 C．1.5 D．
8．一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的15%，黄色的三角形的面积是21cm2，则该矩形的面积为（ ）
A．60cm2 B．70cm2 C．120cm2 D．140cm2
9．如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，连结EF，若AB＝6，BC＝4，则FD的长为( )
A．2 B．4 C． D．2
10．如图所示，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点且，BE的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB的长度为（ ）
A．1 B． C． D．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P为AD上一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE＋PF的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
12．如图①，E为矩形的边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是，现P，Q两点同时出发，设运动时间为，的面积为，y与x的对应关系如图②所示矩形的面积为（ ）
A．18 B．12 C．20 D．16
二、填空题
13．如图，在平行四边形中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件 ，使平行四边形是矩形．
14．如图，的对角线交于点，请你添加一个条件，使是矩形，这个条件可以是： （图中不再添加其他的点或线，只需写出一个条件即可）．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C的坐标分别为，，将矩形绕点B顺时针旋转，点A，C，O的对应点分别为．当点落在x轴的正半轴上时，点的坐标为 ．
16．如图，在矩形中，是的中点，，则四边形的面积为 ．
17．如图知：垂足分别是MN，点C是MN 上使AC＋BC的值最小的点，若AM＝3，BN＝5，MN＝15，则AC＋BC＝ ．
三、解答题
18．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段；
求作：矩形，使．
19．如图，矩形中，对角线相交于点O．于点M，于点N．求证：．
20．在矩形ABCD中，BF=CE，求证：AE=DF．
21．如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m．点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A′时，有A′B⊥AB．
(1)求A′到BD的距离；
(2)求A′到地面的距离．
22．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，且，．求的度数．
23．如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是．矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F．
（1）求点D的坐标；
（2）若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点，过B点作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：FB=AO；
（2）平行四边形ABCD满足什么条件时，四边形AFBO是矩形？说明理由．
《19.1矩形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D D C D C A B C
题号 11 12
答案 A A
1．D
【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可．
【详解】解：添加对角线相等，即AC=BD，
理由是：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD
又∵AC=BD
∴是矩形，其它选项均不能得到矩形.
故选：D
【点睛】本题考查矩形的判断、平行四边形的性质等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考题型．
2．A
【分析】先根据勾股定理算出斜边长,再利用直角三角形斜边的中线等于斜边一半的性质得出即可.
【详解】∵直角三角形两条直角边的长分别为18和24，
∴直角三角形的斜边长为30，则斜边上的中线的长是15．故选A．
【点睛】本题考查直角三角形的性质,关键在于熟记斜边中线的性质.
3．D
【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵平行四边形的对角线互相平分，
∴选项A不符合题意；
B、∵矩形的对角线相等，
∴选项B不符合题意；
C、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项C不符合题意；
D、∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键．
4．D
【分析】本题主要考查了矩形的判定和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据矩形的判定方法进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形，故A符合题意；
四边形是平行四边形，
，
，
，
平行四边形是矩形，故选项B不符合题意；
，四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形，故选项C不符合题意；
由四边形是平行四边形，，不能判定平行四边形是矩形，故D符合题意．
故选D．
5．C
【分析】根据矩形的性质逐项分析即可.
【详解】A. 四边相等是菱形的性质，不是矩形的性质，故不符合题意；
B. 对角线互相垂直是菱形的性质，不是矩形的性质，故不符合题意；
C. 对角线相等是是矩形的性质，故符合题意；
D. 每条对角线平分一组对角是菱形的性质，不是矩形的性质，故不符合题意；
故选C.
【点睛】本题考查了矩形的性质：①矩形的对边平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等且互相平分；
6．D
【分析】根据对称的性质和全等三角形的概念求解即可．
【详解】如图，
由轴对称的性质可得；；；，
共有4对，
故选：D．
【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠对称的性质，全等三角形的概念等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
7．C
【分析】首先连接BE，由题意可得OE为对角线BD的垂直平分线，可得BE=DE，S△BOE=S△DOE=，由三角形的面积则可求得DE的长，得出BE的长，然后由勾股定理求得答案．
【详解】连接BE，如图所示：
由题意可得，OE为对角线BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，S△BOE＝S△DOE＝，
∴S△BDE＝2S△BOE＝．
∴DE AB＝，
又∵AB＝2，
∴DE＝，
∴BE＝
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝．
故选C．
【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
8．A
【详解】试题分析：黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%，而绿色三角形面积占矩形面积的15%，所以黄色三角形面积占矩形面积的（50%-15%）=35%，已知黄色三角形面积是21平方厘米，故矩形的面积=21÷（50%-15%）=21÷35%=60（cm2）．
故选A．
考点：矩形的性质．
9．B
【详解】试题分析：∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，∴AE=EG，AB=BG，∴ED=EG，∵在矩形ABCD中，∴∠A=∠D=90°，∴∠EGF=90°，在Rt△EDF和Rt△EGF中，∵ED=EG，EF=EF，∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），∴DF=FG，设DF=x，则BF=6+x，CF=6﹣x，在Rt△BCF中，，解得x=4．故选B．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．综合题．
10．C
【分析】连接CE，首先利用线段垂直平分线的性质证明BC=EC，求出EC后根据勾股定理进一步计算即可．
【详解】如图，连接EC，
∵MN为BE的垂直平分线，
∴BC=EC，
∵点E是AD的中点且，
∴AE=DE=1，即AD=2，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD=2，AB=CD，
∴EC=BC=2，
∴在Rt△EDC中，
CD=，
∴AB=CD=，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
11．A
【详解】由勾股定理求得矩形对角线AC的长为5，
过点A作AM⊥BD，垂足为M，
∴，则 ．
连接PO，则有．
∵OA＝OD，
∴，
故选A．
12．A
【分析】由题意知，运动分三段完成，运动10秒，P到点E，继续运动点Q到点C，点P自己运动到点D，结合图像信息求解即可．
【详解】解：由图象可知，时，P、E重合，
根据题意，得
，
∴，
解得，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由图象可知，
∴，
∴，
∴矩形的面积为：
故选A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，函数图象．熟练掌握矩形性质，从函数图象中获取正确的信息是解题的关键．
13．（答案不唯一）
【分析】本题考查的是矩形的判定，掌握矩形的判定是解题的关键．根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”填空．
【详解】解：添加条件：
理由：∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是矩形（矩形的定义）．
故答案是：（答案不唯一）．
14．
【分析】根据矩形的判定定理在平行四边形的条件下，加上对角线相等，或者有一个角是直角即可
【详解】四边形是平行四边形
若
则四边形是矩形
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查了矩形的判定定理，掌握矩形的判定定理是解题的关键．
15．
【分析】连接，，证明，可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，
由题意得OA=BC=2，OC=AB=4，
由旋转可知，
在和中，
∴（HL），
∴，
∴坐标为（4,0），
故答案为：（4,0）．
【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质和三角形全等的判定和性质，解题的关是证明．
16．
【分析】根据已知求出DC、CF、CE长，分别求出△BCD和△CEF的面积，即可求出答案．
【详解】在矩形中，是的中点，∠C=90°，.，四边形的面积．
故答案为:.
【点睛】本题考查矩形性质和三角形面积公式的计算.
17．17
【分析】以MN为轴作A点对称点A′，连接A′B交MN于C，则A′B就是AC＋BC最小值；根据勾股定理求得A′B的长，即可求得AC＋BC的最小值．
【详解】作A点关于直线MN的对称点A′，连接A′B交MN于C，则AC＋BC＝A′C＋BC＝A′B，A′B就是AC＋BC的最小值；
延长BN使ND＝A′M，连接A′D，
∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴AA′∥BD，
∴四边形A′DNM是矩形，
∴ND＝AM＝3，A′D＝MN＝15，
∴BD＝BN＋ND＝5＋3＝8，
∴A′B＝152＋82＝17，
∴AC＋BC＝17，
故答案为17．
【点睛】本题考查了轴对称 最短路线问题，涉及到的知识点有：轴对称的性质、矩形的判定和性质，勾股定理的应用等．
18．作图见详解
【分析】根据矩形的性质运用尺规作图即可．
【详解】解：（1）画射线，在上截取，即以点为圆心，以为半径画弧交于点，以点为圆心，以为半径画弧交于点；
（2）分别以点为圆心，以为半径，画弧，交于点，连接，以点为端点，在上取，
（3）分别以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，可得矩形，
如图所示，即为所求图形．
∴矩形即为所求图形．
【点睛】本题主要考查尺规作图，线段的垂直平分线的作图，矩形的作图，矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解题的关键．
19．证明见解析．
【分析】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定及性质，利用矩形的性质及证得，进而可求证结论，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．
【详解】证明：∵四边形是矩形．
，，，
．
∵，，
．
在和中，
，
，
．
20．见解析
【分析】依据矩形的性质证明△ABE≌△DCF，即可得到结论．
【详解】证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴,AB＝CD．
∵BF=CE，
∴BF+EF=CE+EF，
∴ BE＝CF．
∴△ABE≌△DCF．
∴AE＝DF．
【点睛】此题考查矩形的性质的应用，三角形全等的判定及性质，熟记各定理是解题的关键．
21．(1)1m
(2)1m
【分析】（1）作A'F⊥BD，交BD于点F．设∠A'BF=∠1，∠BA'F=∠2，∠ABC=∠3．先证明△ACB≌△BFA'（AAS），则有A'F＝BC，即有CD＝AE；则可求出BC＝BD﹣CD＝1（m），即A'到BD的距离可求；
（2）作A'H⊥DE，交DE的延长线于点H．证得四边形A'HDF是矩形，则有A'H＝FD，问题得解．
【详解】（1）（1）如图，作A'F⊥BD，交BD于点F，设∠A'BF=∠1，∠BA'F=∠3，∠ABC=∠2．
∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠A'FB＝90°，
在Rt△A'FB中，∠1+∠3＝90°，
又∵A'B⊥AB，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3；
在△ACB和△BFA'中，
，
∴△ACB≌△BFA'（AAS）；
∴A'F＝BC，
∵且CD⊥AC，AE⊥DE，
∴CD＝AE＝1.5；
∴BC＝BD﹣CD＝2.5﹣1.5＝1（m），
∴A'F＝1（m），
即A'到BD的距离是1m；
（2）由（1）知：△ACB≌△BFA'，
∴BF＝AC＝1.5m，
如图，作A'H⊥DE，交DE的延长线于点H．
∵A'H⊥DE，BD⊥DE，
∵，
∴四边形A'HDF是矩形，
∴A'H＝FD，
∴A'H＝BD﹣BF＝2.5﹣1.5＝1（m），
A'即到地面的距离为1m．
【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．
【分析】本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键．
根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，根据角的和差即可得出答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
故的度数为．
23．（1）；（2）存在，点M的坐标为或或或．
【分析】（1）由折叠的性质可得BE=AB=6，DE=AD，故OE=BO-BE=4，∠OED=90°，设D（0,a）则OD=a，DE=AD=OA-OD=8-a，在Rt△EOD中，由勾股定理得到方程即可求出a的值；
（2）分①OM，OE都为边；②OM为边OE为对角线；③OM为对角线，OE为边；3种情况进行讨论，分别求出M的坐标．
【详解】解：（1）四边形ABCO是矩形，点B的坐标是．
，，，
；
由折叠的性质得：，，，
，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，解得：，
；
（2）存在，
①OM，OE都为边时，OM=OE=4，
∴M的坐标为(4,0)，（-4,0）
②OM为边OE为对角线时，MN垂直平分OE，垂足为G，如图1
则OG=OE=2，
的解析式为：
设
（舍去），
由可得：
解得：
∴M（，0）
③OM为对角线，OE为边，如图2
由②得：M（，0）
综上所述：点M的坐标为或或或；
【点睛】此题主要考查四边形综合问题，解题的关键是熟知矩形的性质，折叠的问题利用勾股定理构造直角三角形进行求解，分情况讨论菱形的边及对角线的情况．
24．（1）证明见解析；（2）当平行四边形ABCD是菱形时，四边形AFBO是矩形．
【分析】（1）证明△BEF≌△OEC，即可得出结论；
（2）先证明四边形AFBO是平行四边形，然后根据OA⊥OB得到平行四边形AFBO是矩形.
【详解】证明：（1）∵E是BO的中点，
∴OE=BE，
∵BF∥AC，
∴∠BFE=∠OCE，
在△BEF和△OEC中，
∴△BEF≌△OEC，
∴BF=OC，
∵平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，
∴OA=OC，
∴FB=AO；
（2）当平行四边形ABCD是菱形时，四边形AFBO是矩形．理由如下：
∵BF∥AC，FB=AO，
∴四边形AFBO是平行四边形，
∵平行四边形ABCD是菱形，
∴OA⊥OB，
∴∠AOB=90°.
∴平行四边形AFBO是矩形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质以及菱形的性质、矩形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题关键．
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19.1矩形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，在中，对角线与相交于点，添加一个条件后，为矩形，则这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
2．若直角三角形两条直角边的长分别为18和24，则斜边上的中线的长是（ ）
A．15 B．30 C． D．
3．下列叙述错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线相等
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线相等的四边形是矩形
4．在数学活动课上，小明准备用绳子和三角尺检查一个书架是否为矩形．如图，已知书架是平行四边形，对角线，相交于点，下列验证方法错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列选项中，矩形具有的性质是( )
A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角
6．如图，图中的是将矩形沿对角线折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形（ ）对．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E．已知AB＝2，△DOE的面积为，则AE的长为（ ）
A． B．2 C．1.5 D．
8．一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的15%，黄色的三角形的面积是21cm2，则该矩形的面积为（ ）
A．60cm2 B．70cm2 C．120cm2 D．140cm2
9．如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，连结EF，若AB＝6，BC＝4，则FD的长为( )
A．2 B．4 C． D．2
10．如图所示，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点且，BE的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB的长度为（ ）
A．1 B． C． D．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P为AD上一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE＋PF的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
12．如图①，E为矩形的边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是，现P，Q两点同时出发，设运动时间为，的面积为，y与x的对应关系如图②所示矩形的面积为（ ）
A．18 B．12 C．20 D．16
二、填空题
13．如图，在平行四边形中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件 ，使平行四边形是矩形．
14．如图，的对角线交于点，请你添加一个条件，使是矩形，这个条件可以是： （图中不再添加其他的点或线，只需写出一个条件即可）．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C的坐标分别为，，将矩形绕点B顺时针旋转，点A，C，O的对应点分别为．当点落在x轴的正半轴上时，点的坐标为 ．
16．如图，在矩形中，是的中点，，则四边形的面积为 ．
17．如图知：垂足分别是MN，点C是MN 上使AC＋BC的值最小的点，若AM＝3，BN＝5，MN＝15，则AC＋BC＝ ．
三、解答题
18．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段；
求作：矩形，使．
19．如图，矩形中，对角线相交于点O．于点M，于点N．求证：．
20．在矩形ABCD中，BF=CE，求证：AE=DF．
21．如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m．点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A′时，有A′B⊥AB．
(1)求A′到BD的距离；
(2)求A′到地面的距离．
22．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，且，．求的度数．
23．如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是．矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F．
（1）求点D的坐标；
（2）若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点，过B点作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：FB=AO；
（2）平行四边形ABCD满足什么条件时，四边形AFBO是矩形？说明理由．
《19.1矩形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D D C D C A B C
题号 11 12
答案 A A
1．D
【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可．
【详解】解：添加对角线相等，即AC=BD，
理由是：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD
又∵AC=BD
∴是矩形，其它选项均不能得到矩形.
故选：D
【点睛】本题考查矩形的判断、平行四边形的性质等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考题型．
2．A
【分析】先根据勾股定理算出斜边长,再利用直角三角形斜边的中线等于斜边一半的性质得出即可.
【详解】∵直角三角形两条直角边的长分别为18和24，
∴直角三角形的斜边长为30，则斜边上的中线的长是15．故选A．
【点睛】本题考查直角三角形的性质,关键在于熟记斜边中线的性质.
3．D
【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵平行四边形的对角线互相平分，
∴选项A不符合题意；
B、∵矩形的对角线相等，
∴选项B不符合题意；
C、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项C不符合题意；
D、∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键．
4．D
【分析】本题主要考查了矩形的判定和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据矩形的判定方法进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形，故A符合题意；
四边形是平行四边形，
，
，
，
平行四边形是矩形，故选项B不符合题意；
，四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形，故选项C不符合题意；
由四边形是平行四边形，，不能判定平行四边形是矩形，故D符合题意．
故选D．
5．C
【分析】根据矩形的性质逐项分析即可.
【详解】A. 四边相等是菱形的性质，不是矩形的性质，故不符合题意；
B. 对角线互相垂直是菱形的性质，不是矩形的性质，故不符合题意；
C. 对角线相等是是矩形的性质，故符合题意；
D. 每条对角线平分一组对角是菱形的性质，不是矩形的性质，故不符合题意；
故选C.
【点睛】本题考查了矩形的性质：①矩形的对边平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等且互相平分；
6．D
【分析】根据对称的性质和全等三角形的概念求解即可．
【详解】如图，
由轴对称的性质可得；；；，
共有4对，
故选：D．
【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠对称的性质，全等三角形的概念等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
7．C
【分析】首先连接BE，由题意可得OE为对角线BD的垂直平分线，可得BE=DE，S△BOE=S△DOE=，由三角形的面积则可求得DE的长，得出BE的长，然后由勾股定理求得答案．
【详解】连接BE，如图所示：
由题意可得，OE为对角线BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，S△BOE＝S△DOE＝，
∴S△BDE＝2S△BOE＝．
∴DE AB＝，
又∵AB＝2，
∴DE＝，
∴BE＝
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝．
故选C．
【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
8．A
【详解】试题分析：黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%，而绿色三角形面积占矩形面积的15%，所以黄色三角形面积占矩形面积的（50%-15%）=35%，已知黄色三角形面积是21平方厘米，故矩形的面积=21÷（50%-15%）=21÷35%=60（cm2）．
故选A．
考点：矩形的性质．
9．B
【详解】试题分析：∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，∴AE=EG，AB=BG，∴ED=EG，∵在矩形ABCD中，∴∠A=∠D=90°，∴∠EGF=90°，在Rt△EDF和Rt△EGF中，∵ED=EG，EF=EF，∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），∴DF=FG，设DF=x，则BF=6+x，CF=6﹣x，在Rt△BCF中，，解得x=4．故选B．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．综合题．
10．C
【分析】连接CE，首先利用线段垂直平分线的性质证明BC=EC，求出EC后根据勾股定理进一步计算即可．
【详解】如图，连接EC，
∵MN为BE的垂直平分线，
∴BC=EC，
∵点E是AD的中点且，
∴AE=DE=1，即AD=2，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD=2，AB=CD，
∴EC=BC=2，
∴在Rt△EDC中，
CD=，
∴AB=CD=，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
11．A
【详解】由勾股定理求得矩形对角线AC的长为5，
过点A作AM⊥BD，垂足为M，
∴，则 ．
连接PO，则有．
∵OA＝OD，
∴，
故选A．
12．A
【分析】由题意知，运动分三段完成，运动10秒，P到点E，继续运动点Q到点C，点P自己运动到点D，结合图像信息求解即可．
【详解】解：由图象可知，时，P、E重合，
根据题意，得
，
∴，
解得，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由图象可知，
∴，
∴，
∴矩形的面积为：
故选A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，函数图象．熟练掌握矩形性质，从函数图象中获取正确的信息是解题的关键．
13．（答案不唯一）
【分析】本题考查的是矩形的判定，掌握矩形的判定是解题的关键．根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”填空．
【详解】解：添加条件：
理由：∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是矩形（矩形的定义）．
故答案是：（答案不唯一）．
14．
【分析】根据矩形的判定定理在平行四边形的条件下，加上对角线相等，或者有一个角是直角即可
【详解】四边形是平行四边形
若
则四边形是矩形
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查了矩形的判定定理，掌握矩形的判定定理是解题的关键．
15．
【分析】连接，，证明，可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，
由题意得OA=BC=2，OC=AB=4，
由旋转可知，
在和中，
∴（HL），
∴，
∴坐标为（4,0），
故答案为：（4,0）．
【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质和三角形全等的判定和性质，解题的关是证明．
16．
【分析】根据已知求出DC、CF、CE长，分别求出△BCD和△CEF的面积，即可求出答案．
【详解】在矩形中，是的中点，∠C=90°，.，四边形的面积．
故答案为:.
【点睛】本题考查矩形性质和三角形面积公式的计算.
17．17
【分析】以MN为轴作A点对称点A′，连接A′B交MN于C，则A′B就是AC＋BC最小值；根据勾股定理求得A′B的长，即可求得AC＋BC的最小值．
【详解】作A点关于直线MN的对称点A′，连接A′B交MN于C，则AC＋BC＝A′C＋BC＝A′B，A′B就是AC＋BC的最小值；
延长BN使ND＝A′M，连接A′D，
∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴AA′∥BD，
∴四边形A′DNM是矩形，
∴ND＝AM＝3，A′D＝MN＝15，
∴BD＝BN＋ND＝5＋3＝8，
∴A′B＝152＋82＝17，
∴AC＋BC＝17，
故答案为17．
【点睛】本题考查了轴对称 最短路线问题，涉及到的知识点有：轴对称的性质、矩形的判定和性质，勾股定理的应用等．
18．作图见详解
【分析】根据矩形的性质运用尺规作图即可．
【详解】解：（1）画射线，在上截取，即以点为圆心，以为半径画弧交于点，以点为圆心，以为半径画弧交于点；
（2）分别以点为圆心，以为半径，画弧，交于点，连接，以点为端点，在上取，
（3）分别以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，可得矩形，
如图所示，即为所求图形．
∴矩形即为所求图形．
【点睛】本题主要考查尺规作图，线段的垂直平分线的作图，矩形的作图，矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解题的关键．
19．证明见解析．
【分析】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定及性质，利用矩形的性质及证得，进而可求证结论，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．
【详解】证明：∵四边形是矩形．
，，，
．
∵，，
．
在和中，
，
，
．
20．见解析
【分析】依据矩形的性质证明△ABE≌△DCF，即可得到结论．
【详解】证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴,AB＝CD．
∵BF=CE，
∴BF+EF=CE+EF，
∴ BE＝CF．
∴△ABE≌△DCF．
∴AE＝DF．
【点睛】此题考查矩形的性质的应用，三角形全等的判定及性质，熟记各定理是解题的关键．
21．(1)1m
(2)1m
【分析】（1）作A'F⊥BD，交BD于点F．设∠A'BF=∠1，∠BA'F=∠2，∠ABC=∠3．先证明△ACB≌△BFA'（AAS），则有A'F＝BC，即有CD＝AE；则可求出BC＝BD﹣CD＝1（m），即A'到BD的距离可求；
（2）作A'H⊥DE，交DE的延长线于点H．证得四边形A'HDF是矩形，则有A'H＝FD，问题得解．
【详解】（1）（1）如图，作A'F⊥BD，交BD于点F，设∠A'BF=∠1，∠BA'F=∠3，∠ABC=∠2．
∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠A'FB＝90°，
在Rt△A'FB中，∠1+∠3＝90°，
又∵A'B⊥AB，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3；
在△ACB和△BFA'中，
，
∴△ACB≌△BFA'（AAS）；
∴A'F＝BC，
∵且CD⊥AC，AE⊥DE，
∴CD＝AE＝1.5；
∴BC＝BD﹣CD＝2.5﹣1.5＝1（m），
∴A'F＝1（m），
即A'到BD的距离是1m；
（2）由（1）知：△ACB≌△BFA'，
∴BF＝AC＝1.5m，
如图，作A'H⊥DE，交DE的延长线于点H．
∵A'H⊥DE，BD⊥DE，
∵，
∴四边形A'HDF是矩形，
∴A'H＝FD，
∴A'H＝BD﹣BF＝2.5﹣1.5＝1（m），
A'即到地面的距离为1m．
【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．
【分析】本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键．
根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，根据角的和差即可得出答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
故的度数为．
23．（1）；（2）存在，点M的坐标为或或或．
【分析】（1）由折叠的性质可得BE=AB=6，DE=AD，故OE=BO-BE=4，∠OED=90°，设D（0,a）则OD=a，DE=AD=OA-OD=8-a，在Rt△EOD中，由勾股定理得到方程即可求出a的值；
（2）分①OM，OE都为边；②OM为边OE为对角线；③OM为对角线，OE为边；3种情况进行讨论，分别求出M的坐标．
【详解】解：（1）四边形ABCO是矩形，点B的坐标是．
，，，
；
由折叠的性质得：，，，
，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，解得：，
；
（2）存在，
①OM，OE都为边时，OM=OE=4，
∴M的坐标为(4,0)，（-4,0）
②OM为边OE为对角线时，MN垂直平分OE，垂足为G，如图1
则OG=OE=2，
的解析式为：
设
（舍去），
由可得：
解得：
∴M（，0）
③OM为对角线，OE为边，如图2
由②得：M（，0）
综上所述：点M的坐标为或或或；
【点睛】此题主要考查四边形综合问题，解题的关键是熟知矩形的性质，折叠的问题利用勾股定理构造直角三角形进行求解，分情况讨论菱形的边及对角线的情况．
24．（1）证明见解析；（2）当平行四边形ABCD是菱形时，四边形AFBO是矩形．
【分析】（1）证明△BEF≌△OEC，即可得出结论；
（2）先证明四边形AFBO是平行四边形，然后根据OA⊥OB得到平行四边形AFBO是矩形.
【详解】证明：（1）∵E是BO的中点，
∴OE=BE，
∵BF∥AC，
∴∠BFE=∠OCE，
在△BEF和△OEC中，
∴△BEF≌△OEC，
∴BF=OC，
∵平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，
∴OA=OC，
∴FB=AO；
（2）当平行四边形ABCD是菱形时，四边形AFBO是矩形．理由如下：
∵BF∥AC，FB=AO，
∴四边形AFBO是平行四边形，
∵平行四边形ABCD是菱形，
∴OA⊥OB，
∴∠AOB=90°.
∴平行四边形AFBO是矩形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质以及菱形的性质、矩形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题关键．
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