19.2菱形同步练习（含解析）
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19.2菱形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．菱形的对角线长分别为和，它的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是菱形，则下列结论中正确的是（ ）
A．AB∥CD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC＝BD
3．菱形ABCD的周长是8cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线BD的长是（ ）
A．cm B．2cm C．1cm D．2cm
4．在 ABCD中，添加以下哪个条件能判断其为菱形（ ）
A．AB⊥BC B．BC⊥CD C．CD⊥AC D．AC⊥BD
5．在 ABCD中，下列判断不正确的是（ ）
A．若AB＝BC，则 ABCD是菱形
B．若AC⊥BD，则 ABCD是矩形
C．若AC平分∠BAD，则 ABCD是菱形
D．若AC＝BD，则 ABCD是矩形
6．如图，在菱形中，对角线交于点O，下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．矩形的对角线互相垂直
C．一组对边平行的四边形是平行四边形 D．四边相等的四边形是菱形
8．如图，菱形中，点E是边的中点，垂直交的延长线于点F，若，则菱形的边长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
9．（2011湖南衡阳，8，3分）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（ ）
A．M(5，0)，N(8，4) B．M(4，0)，N(8，4)
C．M(5，0)，N(7，4) D．M(4，0)，N(7，4)
10．能够判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A．对角线互相垂直平分 B．对角线互相平分且相等
C．对角线相等且互相垂直 D．对角线互相垂直
11．如图，在菱形中，顶点，，，在坐标轴上，且，，分别以点，为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于点，连接，．将菱形与构成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转45°，则第2022次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．如图：点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形，且菱形AECF的周长为20，BD为24，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．24 B．36 C．72 D．144
二、填空题
13．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，若，则菱形的面积等于 ．
14．菱形的一个内角为120°,平分这个内角的一条对角线长为12cm,则菱形的周长为 .
15．菱形的性质：
（1）两组对边分别 ，菱形的四条边都 ．
（2）菱形的两组对角 ，邻角
（3）菱形的对角线互相 ，并且每一条对角线 一组对角．
（4）菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有 条对称轴，其对称轴为两条对角线所在直线，对称中心为其 的交点．
16．如图所示，在边长为2的菱形中，，点E为中点，点F是上一动点，则的最小值为 ．
17．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为 cm2．
三、解答题
18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC．BD相交于点O，且O是BD的中点
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若，，求四边形ABCD的周长．
19．一个菱形的周长是，一条对角线长，求：
（1）另一条对角线的长度；
（2）菱形的面积．
20．如图所示，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗？试说明理由．
21．如图，在 ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）若AB=5，AC=6，求 ABCD的面积．
22．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，CB＝CD，点E是CD上一点，连接BE交AC于点F，连接DF
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)试探究BE满足什么条件时，∠EFD＝∠BCD，并说明理由．
23．如图，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点，试判断四边形的形状，并说明理由．
24．如图，两条宽度都是3cm的纸条交错地叠在一起，相交成∠α=60°．
（1）试判断重叠部分的四边形的形状；
（2）求重叠部分的面积．
《19.2菱形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B D B B D B A A
题号 11 12
答案 D C
1．A
【分析】本题考查菱形的知识，解题的关键是掌握菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，进行解答．
【详解】解：菱形的对角线长分别为和，
∴菱形的面积为：．
故选：A．
2．D
【分析】根据三角形中位线的性质得到EH＝AC，EH∥AC，FG＝AC，FG∥AC，可得四边形EFGH为平行四边形，要得到四边形EFGH为菱形，则EH＝EF，而EF＝BD，所以当AC＝BD时可得到四边形EFGH为菱形．
【详解】解：如图，连接AC，BD，
点E、F、G、H分别为四边形ABCD各边中点，
∴EH＝AC，EH∥AC，FG＝AC，FG∥AC，
∴四边形EFGH为平行四边形，
当EH＝EF时，四边形EFGH为菱形，
又∵EF＝BD，
若EH＝EF，
则AC＝BD．
故选D．
【点睛】本题考查了菱形的判定定理：邻边相等的平行四边形是菱形．也考查了平行四边形的判定以及三角形中位线的性质．
3．B
【分析】由菱形的性质得AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再证△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝2（cm），则OA＝1（cm），然后由勾股定理求出OB＝（cm），即可求解．
【详解】解：∵菱形ABCD的周长为8cm，
∴AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2cm，
∴OA＝1（cm），
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝＝＝（cm），
∴BD＝2OB＝2（cm），
故选：B．
【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定方法．
4．D
【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，结合选项找到对角线互相垂直即可求解．
【详解】A、∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；故选项A不符合题意；
B、C选项，同A选项一样，均为邻边垂直， ABCD是矩形；故选项B、C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意
故选D
【点睛】本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解题的关键．
5．B
【分析】根据菱形的判定方法和矩形的判定方法逐个判定即可．
【详解】解：∵在 ABCD中，AB＝BC，
∴ ABCD是菱形，选项A正确，不符合题意；
∵在 ABCD中，AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，选项B错误，符合题意；
∵在 ABCD中，ADBC，
∴∠BCA＝∠DAC，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠BCA＝∠BAC，
∴AB＝BC，
∴ ABCD是菱形，选项C正确，不符合题意；
∵在 ABCD中，AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，选项D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法以及矩形的判定方法，熟练掌握矩形和菱形的判定方法是解决本题的关键．
6．B
【分析】本题主要考查了菱形的性质，熟记菱形的对边平行且相等，对角线互相垂直平分是解本题的关键．根据菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A．菱形的对边平行且相等，所以，故本选项不符合同意；
B．菱形的边与一条对角线不一定相等，故本选项符合同意；
C．菱形的对角线互相垂直，所以，故本选项不符合同意；
D．菱形的对角线互相平分，所以，故本选项不符合同意．
故选：B．
7．D
【详解】解：选项A，菱形的对角线互相垂直，当对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故不正确；
选项B，矩形的对角线相等但不一定垂直，故不正确；
选项C，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故不正确；
选项D，四边相等的四边形是菱形．
故选D．
8．B
【分析】过C作CM⊥AB延长线于M，根据设，由菱形的性质表示出BC=4x，BM=3x，根据勾股定理列方程计算即可．
【详解】过C作CM⊥AB延长线于M，
∵
∴设
∵点E是边的中点
∴
∵菱形
∴，CE∥AB
∵⊥，CM⊥AB
∴四边形EFMC是矩形
∴，
∴BM=3x
在Rt△BCM中，
∴，解得或（舍去）
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．属于拔高题．
9．A
【分析】此题可过P作PE⊥OM，根据勾股定理求出OP的长度，则M、N两点坐标便不难求出．
【详解】解：过P作PE⊥OM，
∵顶点P的坐标是（3，4），
∴OE=3，PE=4，
∴OP==5，
∴点M的坐标为（5，0），
∵5+3=8，
∴点N的坐标为（8，4）．
故选A．
【点睛】此题考查了菱形的性质，根据菱形的性质和点P的坐标，作出辅助线是解决本题的突破口．
10．A
【分析】根据菱形的判定方法一一判断即可解决问题．
【详解】A．因为四边形的对角线互相平分，所以这个四边形是平行四边形，又因为对角线互相垂直，所以四边形是菱形，故符合题意．
B．因为对角线互相平分且相等，所以四边形是矩形，故不符合题意．
C．对角线相等且垂直，无法判断四边形是菱形，故不符合题意．
D．对角线互相垂直，无法判断四边形是菱形，故不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和菱形、矩形的判定等知识点，解题的关键是熟练的掌握菱形的判定方法．
11．D
【分析】将菱形与构成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转45°，即点E，绕点O，逆时针旋转，每次旋转45°，所以点E每8次一循环，又因为2022÷8=252…..6，所以E2022坐标与E6坐标相同，求出点E6的坐标即可求解．
【详解】解：如图，将菱形与构成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转45°，即点E，绕点O，逆时针旋转，每次旋转45°，
由图可得点E每8次一循环，
∵2022÷8=252…..6，
∴E2022坐标与E6坐标相同，
∵A（0，1），
∴OA=1，
∵菱形，，
∴∠ABO=∠ADO=30°，
∴AD=AB=2OA=2，
∴OD=，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=60°，DE=AD=2，
∴∠ODE=90°，
∴∠DOE+∠DEO=90°，
过点E6作E6F⊥x轴于F，
∴∠OFE6=∠ODE=90°，
∵∠E6OE=90°，
∴∠DOE+∠E6OF=90°，
∴∠∠DEO=∠E6OF，
∵OE=OE6，
∴△ODE≌△E6FO（AAS），
∴OF=DE=2，E6F=OD=，
∴E6（2，-），
∴E2022（2，-），
故选：D．
【点睛】本题考查图形变换规律，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，本题属旋转规律型，坐标变换规律型问题，找出图形变换规律，即得出点E变换规律是解题的关键．
12．C
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，再求出BO＝OD，证明四边形ABCD是菱形，根据菱形的四条边都相等求出边长AE，根据菱形的对角线互相平分求出OE，然后利用勾股定理列式求出AO，再求出AC，最后根据四边形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【详解】解：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，
又∵点E、F为线段BD的两个三等分点，
∴BE＝FD，
∴BO＝OD，
∵AO＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形；
∵四边形AECF为菱形，且周长为20，
∴AE＝5，
∵BD＝24，点E、F为线段BD的两个三等分点，
∴EF＝8，OE＝EF＝×8＝4，
由勾股定理得，AO＝＝＝3，
∴AC＝2AO＝2×3＝6，
∴S四边形ABCD＝BD AC＝×24×6＝72；
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理以及利用菱形对角线求面积的方法，熟记菱形的性质与判定方法是解题的关键．
13．
【分析】连接BD，根据菱形ABCD的性质得出AD=AB，再由∠BAD=60°得出△ADB是等边三角形，利用含30°的直角三角形的性质和菱形的面积解答即可．
【详解】解：连接BD，
∵AB的垂直平分线交对角线AC于点F，
∴∠AEF=90°，AB=2AE，
∵菱形ABCD中，∠BAD=60°，
∴∠FAE=30°，
∴AE=，
∵菱形ABCD中，∠BAD=60°，
∴AD=AB，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB=AB=2AE=，
∴AC=2AO=×2＝3，
∴菱形ABCD的面积=.
故答案为 .
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质和判定，含30°的直角三角形的性质，解题的关键是证明△ADB是等边三角形．
14．48cm
【分析】根据菱形的性质得角的邻角为，再根据菱形邻边相等得到对角线和一组邻边组成等边三角形，从而得到菱形的边长，最后计算出周长即可．
【详解】∵菱形的一个内角为，
∴角的邻角为，
∵菱形邻边相等，
∴角所对的这条对角线和一组邻边组成等边三角形，
∴菱形的边长等于对角线的长度，即12cm，
则菱形周长为48cm，
故答案为．
【点睛】本题考查菱形和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形和等边三角形的相关知识．
15． 平行 相等 相等 互补 垂直 平分 两 对角线
【解析】略
16．
【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，首先连接，设交于，连接，，证明只有点运动到点时，取最小值，再根据菱形的性质、勾股定理求得最小值．
【详解】解：连接，设交于，连接，，
∵四边形是菱形，
∴互相垂直平分，
∴点关于的对称点为，
只有当点运动到点时，取等号 ，
在中，
是等边三角形，
∵为的中点，
，
的最小值为，
故答案为：．
17．
【详解】解：∵E是AB的中点，
∴AE=1，
∵DE丄AB，
∴DE=．
∴菱形的面积为：2×=2．
故答案为2．
18．(1)详见解析;(2)32
【分析】（1）利用全等三角形的性质证明即可解决问题．
（2）证明四边形ABCD是菱形，即可求四边形ABCD的周长．
【详解】解：（1）证明：，
，
，，
，
．
又，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD的周长.
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．（1）；（2）．
【分析】（1）由四边形ABCD为菱形，可得AB=BC=CD=AD，BD=60cm，BO=DO=30cm，AO⊥BO，根据周长求出AB=50cm，再根据勾股定理求出AO，利用勾股定理求出AO即可；
（2）利用菱形面积公式计算即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=CD=AD，BD=60cm，BO=DO=30cm，AO⊥BO，
∵C菱形=200cm，
∴4AB=200cm，
∴AB=50cm，
在Rt△AOB中，由勾股定理cm，
∴AC=2AO=80cm；
（2）S菱形=cm2．
【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，菱形的周长与面积，掌握菱形的性质，勾股定理，菱形的周长与面积公式是解题关键．
20．四边形DECF是菱形．理由见解析．
【分析】根据菱形的定义去判断，由DE∥AC，DF∥BC知四边形DECF是平行四边形，再由角相等推导出邻边相等即可．
【详解】四边形DECF是菱形．
理由如下：∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF是平行四边形．
∵CD平分∠ACB，
∴∠1＝∠2．
∵DF∥BC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3．
∴CF＝DF．
∴四边形DECF是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，准确识图，灵活运用相关知识是解题的关键
21．（1）证明见解析；（2）S平行四边形ABCD =24
【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题；
（2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题.
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵BE=DF，
∴△AEB≌△AFD，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AC⊥BD，
AO=OC=AC=×6=3，
∵AB=5，AO=3，
∴BO===4，
∴BD=2BO=8，
∴S平行四边形ABCD=×AC×BD=24．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键.
22．(1)见解析
(2)当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD，理由见解析
【分析】（1）首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BAC=∠DAC，由平行线的性质可得∠CAD=∠ACD，再根据等角对等边可得AD=CD，再由条件AB=AD， CB=CD可得AB=CB=CD=AD，可得四边形ABCD是姜形；
(2)首先证明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根据BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，进而得到∠EFD=∠BCD
【详解】（1）证明：在△ABC和△ADC中，，
∴△ABC≌△ADC(SSS)．
∴∠BAC＝∠DAC．
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD．
∴∠DAC＝∠ACD．
∴AD＝CD．
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AB＝CB＝CD＝AD．
∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD．理由：
由(1)知四边形ABCD为菱形，
∴∠BCF＝∠DCF．
在△BCF和△DCF中，，
∴△BCF≌△DCF(SAS)．
∴∠CBF＝∠CDF．
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠DEF＝90°．
∴∠BCD+∠CBF＝∠EFD+∠CDF＝90 °
∴∠EFD＝∠BCD．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，同角或等角的余角相等，灵活运用三角形全等的判定及性质是解本题的关键．
23．矩形，见解析
【分析】利用菱形的性质，矩形的判定，证明即可．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【详解】解：四边形为矩形．理由如下：
，，
，，
四边形为菱形，
，
，
，
四边形为矩形．
24．（1）重叠部分的四边形是菱形，理由见解析；（2）3
【详解】试题分析:(1)根据两组对边分别平行可先判定重叠四边形是平行四边形,通过作高,利用高相等证明三角形全等可证平行四边形的邻边相等,继而证明菱形,(2)根据特殊角的直角三角形的性质,30度角所对直角边等于斜边的一半性质可利用纸条的宽求出菱形的边长,根据菱形面积公式计算即可.
试题解析:（1）重叠部分的四边形是菱形,
理由如下:∵两纸条对边平行,
∴AB∥CD,BC∥AD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠D,
过点A作AE⊥BC于E,作AF⊥CD于F,则AE=AF=3,
在△ABE和△ADF中,,
∴△ABE≌△ADF（AAS）,
∴AB=AD,
∴ ABCD是菱形,即:重叠部分的四边形是菱形,
（2）如图,∠ADF=60°,∠DAF=30°,
∴AD=2DF,由勾股定理得DF=,
∵重叠部分的四边形是菱形,
∴重叠部分的面积=×3÷2=．
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19.2菱形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．菱形的对角线长分别为和，它的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是菱形，则下列结论中正确的是（ ）
A．AB∥CD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC＝BD
3．菱形ABCD的周长是8cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线BD的长是（ ）
A．cm B．2cm C．1cm D．2cm
4．在 ABCD中，添加以下哪个条件能判断其为菱形（ ）
A．AB⊥BC B．BC⊥CD C．CD⊥AC D．AC⊥BD
5．在 ABCD中，下列判断不正确的是（ ）
A．若AB＝BC，则 ABCD是菱形
B．若AC⊥BD，则 ABCD是矩形
C．若AC平分∠BAD，则 ABCD是菱形
D．若AC＝BD，则 ABCD是矩形
6．如图，在菱形中，对角线交于点O，下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．矩形的对角线互相垂直
C．一组对边平行的四边形是平行四边形 D．四边相等的四边形是菱形
8．如图，菱形中，点E是边的中点，垂直交的延长线于点F，若，则菱形的边长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
9．（2011湖南衡阳，8，3分）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（ ）
A．M(5，0)，N(8，4) B．M(4，0)，N(8，4)
C．M(5，0)，N(7，4) D．M(4，0)，N(7，4)
10．能够判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A．对角线互相垂直平分 B．对角线互相平分且相等
C．对角线相等且互相垂直 D．对角线互相垂直
11．如图，在菱形中，顶点，，，在坐标轴上，且，，分别以点，为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于点，连接，．将菱形与构成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转45°，则第2022次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．如图：点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形，且菱形AECF的周长为20，BD为24，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．24 B．36 C．72 D．144
二、填空题
13．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，若，则菱形的面积等于 ．
14．菱形的一个内角为120°,平分这个内角的一条对角线长为12cm,则菱形的周长为 .
15．菱形的性质：
（1）两组对边分别 ，菱形的四条边都 ．
（2）菱形的两组对角 ，邻角
（3）菱形的对角线互相 ，并且每一条对角线 一组对角．
（4）菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有 条对称轴，其对称轴为两条对角线所在直线，对称中心为其 的交点．
16．如图所示，在边长为2的菱形中，，点E为中点，点F是上一动点，则的最小值为 ．
17．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为 cm2．
三、解答题
18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC．BD相交于点O，且O是BD的中点
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若，，求四边形ABCD的周长．
19．一个菱形的周长是，一条对角线长，求：
（1）另一条对角线的长度；
（2）菱形的面积．
20．如图所示，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗？试说明理由．
21．如图，在 ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）若AB=5，AC=6，求 ABCD的面积．
22．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，CB＝CD，点E是CD上一点，连接BE交AC于点F，连接DF
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)试探究BE满足什么条件时，∠EFD＝∠BCD，并说明理由．
23．如图，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点，试判断四边形的形状，并说明理由．
24．如图，两条宽度都是3cm的纸条交错地叠在一起，相交成∠α=60°．
（1）试判断重叠部分的四边形的形状；
（2）求重叠部分的面积．
《19.2菱形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B D B B D B A A
题号 11 12
答案 D C
1．A
【分析】本题考查菱形的知识，解题的关键是掌握菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，进行解答．
【详解】解：菱形的对角线长分别为和，
∴菱形的面积为：．
故选：A．
2．D
【分析】根据三角形中位线的性质得到EH＝AC，EH∥AC，FG＝AC，FG∥AC，可得四边形EFGH为平行四边形，要得到四边形EFGH为菱形，则EH＝EF，而EF＝BD，所以当AC＝BD时可得到四边形EFGH为菱形．
【详解】解：如图，连接AC，BD，
点E、F、G、H分别为四边形ABCD各边中点，
∴EH＝AC，EH∥AC，FG＝AC，FG∥AC，
∴四边形EFGH为平行四边形，
当EH＝EF时，四边形EFGH为菱形，
又∵EF＝BD，
若EH＝EF，
则AC＝BD．
故选D．
【点睛】本题考查了菱形的判定定理：邻边相等的平行四边形是菱形．也考查了平行四边形的判定以及三角形中位线的性质．
3．B
【分析】由菱形的性质得AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再证△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝2（cm），则OA＝1（cm），然后由勾股定理求出OB＝（cm），即可求解．
【详解】解：∵菱形ABCD的周长为8cm，
∴AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2cm，
∴OA＝1（cm），
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝＝＝（cm），
∴BD＝2OB＝2（cm），
故选：B．
【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定方法．
4．D
【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，结合选项找到对角线互相垂直即可求解．
【详解】A、∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；故选项A不符合题意；
B、C选项，同A选项一样，均为邻边垂直， ABCD是矩形；故选项B、C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意
故选D
【点睛】本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解题的关键．
5．B
【分析】根据菱形的判定方法和矩形的判定方法逐个判定即可．
【详解】解：∵在 ABCD中，AB＝BC，
∴ ABCD是菱形，选项A正确，不符合题意；
∵在 ABCD中，AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，选项B错误，符合题意；
∵在 ABCD中，ADBC，
∴∠BCA＝∠DAC，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠BCA＝∠BAC，
∴AB＝BC，
∴ ABCD是菱形，选项C正确，不符合题意；
∵在 ABCD中，AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，选项D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法以及矩形的判定方法，熟练掌握矩形和菱形的判定方法是解决本题的关键．
6．B
【分析】本题主要考查了菱形的性质，熟记菱形的对边平行且相等，对角线互相垂直平分是解本题的关键．根据菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A．菱形的对边平行且相等，所以，故本选项不符合同意；
B．菱形的边与一条对角线不一定相等，故本选项符合同意；
C．菱形的对角线互相垂直，所以，故本选项不符合同意；
D．菱形的对角线互相平分，所以，故本选项不符合同意．
故选：B．
7．D
【详解】解：选项A，菱形的对角线互相垂直，当对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故不正确；
选项B，矩形的对角线相等但不一定垂直，故不正确；
选项C，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故不正确；
选项D，四边相等的四边形是菱形．
故选D．
8．B
【分析】过C作CM⊥AB延长线于M，根据设，由菱形的性质表示出BC=4x，BM=3x，根据勾股定理列方程计算即可．
【详解】过C作CM⊥AB延长线于M，
∵
∴设
∵点E是边的中点
∴
∵菱形
∴，CE∥AB
∵⊥，CM⊥AB
∴四边形EFMC是矩形
∴，
∴BM=3x
在Rt△BCM中，
∴，解得或（舍去）
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．属于拔高题．
9．A
【分析】此题可过P作PE⊥OM，根据勾股定理求出OP的长度，则M、N两点坐标便不难求出．
【详解】解：过P作PE⊥OM，
∵顶点P的坐标是（3，4），
∴OE=3，PE=4，
∴OP==5，
∴点M的坐标为（5，0），
∵5+3=8，
∴点N的坐标为（8，4）．
故选A．
【点睛】此题考查了菱形的性质，根据菱形的性质和点P的坐标，作出辅助线是解决本题的突破口．
10．A
【分析】根据菱形的判定方法一一判断即可解决问题．
【详解】A．因为四边形的对角线互相平分，所以这个四边形是平行四边形，又因为对角线互相垂直，所以四边形是菱形，故符合题意．
B．因为对角线互相平分且相等，所以四边形是矩形，故不符合题意．
C．对角线相等且垂直，无法判断四边形是菱形，故不符合题意．
D．对角线互相垂直，无法判断四边形是菱形，故不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和菱形、矩形的判定等知识点，解题的关键是熟练的掌握菱形的判定方法．
11．D
【分析】将菱形与构成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转45°，即点E，绕点O，逆时针旋转，每次旋转45°，所以点E每8次一循环，又因为2022÷8=252…..6，所以E2022坐标与E6坐标相同，求出点E6的坐标即可求解．
【详解】解：如图，将菱形与构成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转45°，即点E，绕点O，逆时针旋转，每次旋转45°，
由图可得点E每8次一循环，
∵2022÷8=252…..6，
∴E2022坐标与E6坐标相同，
∵A（0，1），
∴OA=1，
∵菱形，，
∴∠ABO=∠ADO=30°，
∴AD=AB=2OA=2，
∴OD=，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=60°，DE=AD=2，
∴∠ODE=90°，
∴∠DOE+∠DEO=90°，
过点E6作E6F⊥x轴于F，
∴∠OFE6=∠ODE=90°，
∵∠E6OE=90°，
∴∠DOE+∠E6OF=90°，
∴∠∠DEO=∠E6OF，
∵OE=OE6，
∴△ODE≌△E6FO（AAS），
∴OF=DE=2，E6F=OD=，
∴E6（2，-），
∴E2022（2，-），
故选：D．
【点睛】本题考查图形变换规律，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，本题属旋转规律型，坐标变换规律型问题，找出图形变换规律，即得出点E变换规律是解题的关键．
12．C
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，再求出BO＝OD，证明四边形ABCD是菱形，根据菱形的四条边都相等求出边长AE，根据菱形的对角线互相平分求出OE，然后利用勾股定理列式求出AO，再求出AC，最后根据四边形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【详解】解：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，
又∵点E、F为线段BD的两个三等分点，
∴BE＝FD，
∴BO＝OD，
∵AO＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形；
∵四边形AECF为菱形，且周长为20，
∴AE＝5，
∵BD＝24，点E、F为线段BD的两个三等分点，
∴EF＝8，OE＝EF＝×8＝4，
由勾股定理得，AO＝＝＝3，
∴AC＝2AO＝2×3＝6，
∴S四边形ABCD＝BD AC＝×24×6＝72；
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理以及利用菱形对角线求面积的方法，熟记菱形的性质与判定方法是解题的关键．
13．
【分析】连接BD，根据菱形ABCD的性质得出AD=AB，再由∠BAD=60°得出△ADB是等边三角形，利用含30°的直角三角形的性质和菱形的面积解答即可．
【详解】解：连接BD，
∵AB的垂直平分线交对角线AC于点F，
∴∠AEF=90°，AB=2AE，
∵菱形ABCD中，∠BAD=60°，
∴∠FAE=30°，
∴AE=，
∵菱形ABCD中，∠BAD=60°，
∴AD=AB，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB=AB=2AE=，
∴AC=2AO=×2＝3，
∴菱形ABCD的面积=.
故答案为 .
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质和判定，含30°的直角三角形的性质，解题的关键是证明△ADB是等边三角形．
14．48cm
【分析】根据菱形的性质得角的邻角为，再根据菱形邻边相等得到对角线和一组邻边组成等边三角形，从而得到菱形的边长，最后计算出周长即可．
【详解】∵菱形的一个内角为，
∴角的邻角为，
∵菱形邻边相等，
∴角所对的这条对角线和一组邻边组成等边三角形，
∴菱形的边长等于对角线的长度，即12cm，
则菱形周长为48cm，
故答案为．
【点睛】本题考查菱形和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形和等边三角形的相关知识．
15． 平行 相等 相等 互补 垂直 平分 两 对角线
【解析】略
16．
【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，首先连接，设交于，连接，，证明只有点运动到点时，取最小值，再根据菱形的性质、勾股定理求得最小值．
【详解】解：连接，设交于，连接，，
∵四边形是菱形，
∴互相垂直平分，
∴点关于的对称点为，
只有当点运动到点时，取等号 ，
在中，
是等边三角形，
∵为的中点，
，
的最小值为，
故答案为：．
17．
【详解】解：∵E是AB的中点，
∴AE=1，
∵DE丄AB，
∴DE=．
∴菱形的面积为：2×=2．
故答案为2．
18．(1)详见解析;(2)32
【分析】（1）利用全等三角形的性质证明即可解决问题．
（2）证明四边形ABCD是菱形，即可求四边形ABCD的周长．
【详解】解：（1）证明：，
，
，，
，
．
又，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD的周长.
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．（1）；（2）．
【分析】（1）由四边形ABCD为菱形，可得AB=BC=CD=AD，BD=60cm，BO=DO=30cm，AO⊥BO，根据周长求出AB=50cm，再根据勾股定理求出AO，利用勾股定理求出AO即可；
（2）利用菱形面积公式计算即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=CD=AD，BD=60cm，BO=DO=30cm，AO⊥BO，
∵C菱形=200cm，
∴4AB=200cm，
∴AB=50cm，
在Rt△AOB中，由勾股定理cm，
∴AC=2AO=80cm；
（2）S菱形=cm2．
【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，菱形的周长与面积，掌握菱形的性质，勾股定理，菱形的周长与面积公式是解题关键．
20．四边形DECF是菱形．理由见解析．
【分析】根据菱形的定义去判断，由DE∥AC，DF∥BC知四边形DECF是平行四边形，再由角相等推导出邻边相等即可．
【详解】四边形DECF是菱形．
理由如下：∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF是平行四边形．
∵CD平分∠ACB，
∴∠1＝∠2．
∵DF∥BC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3．
∴CF＝DF．
∴四边形DECF是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，准确识图，灵活运用相关知识是解题的关键
21．（1）证明见解析；（2）S平行四边形ABCD =24
【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题；
（2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题.
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵BE=DF，
∴△AEB≌△AFD，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AC⊥BD，
AO=OC=AC=×6=3，
∵AB=5，AO=3，
∴BO===4，
∴BD=2BO=8，
∴S平行四边形ABCD=×AC×BD=24．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键.
22．(1)见解析
(2)当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD，理由见解析
【分析】（1）首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BAC=∠DAC，由平行线的性质可得∠CAD=∠ACD，再根据等角对等边可得AD=CD，再由条件AB=AD， CB=CD可得AB=CB=CD=AD，可得四边形ABCD是姜形；
(2)首先证明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根据BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，进而得到∠EFD=∠BCD
【详解】（1）证明：在△ABC和△ADC中，，
∴△ABC≌△ADC(SSS)．
∴∠BAC＝∠DAC．
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD．
∴∠DAC＝∠ACD．
∴AD＝CD．
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AB＝CB＝CD＝AD．
∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD．理由：
由(1)知四边形ABCD为菱形，
∴∠BCF＝∠DCF．
在△BCF和△DCF中，，
∴△BCF≌△DCF(SAS)．
∴∠CBF＝∠CDF．
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠DEF＝90°．
∴∠BCD+∠CBF＝∠EFD+∠CDF＝90 °
∴∠EFD＝∠BCD．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，同角或等角的余角相等，灵活运用三角形全等的判定及性质是解本题的关键．
23．矩形，见解析
【分析】利用菱形的性质，矩形的判定，证明即可．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【详解】解：四边形为矩形．理由如下：
，，
，，
四边形为菱形，
，
，
，
四边形为矩形．
24．（1）重叠部分的四边形是菱形，理由见解析；（2）3
【详解】试题分析:(1)根据两组对边分别平行可先判定重叠四边形是平行四边形,通过作高,利用高相等证明三角形全等可证平行四边形的邻边相等,继而证明菱形,(2)根据特殊角的直角三角形的性质,30度角所对直角边等于斜边的一半性质可利用纸条的宽求出菱形的边长,根据菱形面积公式计算即可.
试题解析:（1）重叠部分的四边形是菱形,
理由如下:∵两纸条对边平行,
∴AB∥CD,BC∥AD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠D,
过点A作AE⊥BC于E,作AF⊥CD于F,则AE=AF=3,
在△ABE和△ADF中,,
∴△ABE≌△ADF（AAS）,
∴AB=AD,
∴ ABCD是菱形,即:重叠部分的四边形是菱形,
（2）如图,∠ADF=60°,∠DAF=30°,
∴AD=2DF,由勾股定理得DF=,
∵重叠部分的四边形是菱形,
∴重叠部分的面积=×3÷2=．
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