第二十六章二次函数同步练习（含解析）
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第二十六章二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：；；③当时，y随x的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为， ；⑤若m， n为方程的两个根，则且，其中正确的结论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．二次函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线 经过一次平移可得到抛物线．对这一平移过程描述正确的是（ ）
A．向右平移a个单位长度 B．向左平移a个单位长度
C．向上平移a个单位长度 D．向下平移a个单位长度
4．一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（ ）
A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5
5．已知点，均在抛物线上，则、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线，其对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
7．若是关于的二次函数，则的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．
8．由抛物线平移而得到抛物线，下列平移正确的是（ ）
A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
9．如图，在菱形中，，，矩形的四个顶点分别在菱形的四边上，，则矩形的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
10．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2
11．二次函数的图象与一次函数的图象没有交点，则b的取值范围是( )
A． B． C．或 D．
12．已知二次函数中的满足下表：
… …
… …
根据表中信息，下列判断正确的是（ ）
A．开口向下 B．当时，
C．图像的对称轴是直线 D．函数最小值是
二、填空题
13．某体育用品商店购进一批涓板，每块滑板利润为30元，一星期可卖出80块.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价1元，则一星期可多卖出4块，设每块滑板降价x元，商店一星期销售这种滑板的利润是y元，则y与x之间的函数表达式为 ．
14．在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ．
15．已知抛物线，当 时，抛物线与轴有两个公共点；当 时，抛物线与轴有一个公共点；当 时，抛物线与轴没有公共点．
16．如图，直线与抛物线交于点和点，若，则x的取值范围是 ．
17．平移二次函数的图象，如果有一个点既在平移前的函数图象上，又在平移后的函数图象上，我们把这个点叫做“关联点”．现将二次函数（c为常数）的图象向右平移得到新的抛物线，若“关联点”为，则新抛物线的函数表达式为 ．
三、解答题
18．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上．
(1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标；
(2)在抛物线上是否存在一点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
19．手榴弹作为一种威力较大，体积较小，方便携带的武器，在战争中能发挥重要作用，然而想把手榴弹扔远，并不是一件容易的事．军训中，借助小山坡的有利地势，小刚在教官的指导下用模拟弹进行一次试投：如图所示，把小刚投出的手榴弹的运动路线看做一条抛物线，手榴弹飞行的最大高度为12米，此时它的水平飞行距离为6米，山坡OA的坡度为1:3．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)山坡上A处的水平距离OE为9米，A处有一棵树，树高5米，则小刚投出的手榴弹能否越过这棵树？请说明理由；
(3)求飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是多少米．
20．在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处．
小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：）、运动距离（单位：）随运动时间（单位：）变化的数据，整理得下表．
运动时间 0 1 2 3 4
运动速度 10 9.5 9 8.5 8
运动距离 0 9.75 19 27.75 36
小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间之间成二次函数关系．
(1)直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）
(2)当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度；
(3)若白球一直以的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．
21．如图，抛物线与直线交于点和点C．
(1)求a和b的值；
(2)求点C的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
(3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向右平移2个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的取值范围．
22．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．
(1)求m的值和抛物线的解析式；
(2)求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）
23．一座拱桥的轮廓是抛物线（如图所示），拱高，跨度，相邻两支柱间的距离均为．求支柱的长度．
建立坐标系：
我们可以以点为原点建立平面直角坐标系，则三点的坐标分别为_________，_________，_________．根据图象可以设抛物线的解析式为_________，将两点中的任意一点的坐标代入解析式即可确定函数解析式，进而求出支柱的长度．你还有其他建立直角坐标系的方法吗？试一试，然后对比一下哪种更简单．
24．某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．
(1)求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
(2)设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
《第二十六章二次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B A A B C D D D
题号 11 12
答案 C C
1．C
【分析】由开口方向确定a，由与y轴交点判c，由对称轴及a判b，结合对称轴及的点即可判a，c关系，根据交点即对称性即可判方程的根，即可得到答案；
【详解】解：由函数图象可得，
，，，
则，故①正确；
，得，
∵时，，
∴，
∴，
∴，故②正确；
由图象可知，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故③错误；
∵抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，
∴的两个根为，，
∴的两个根为，，
∴一元二次方程的两根分别为， ，故④正确；
∵该函数与x轴的两个交点为，，
∴该函数的解析式可以为，
当时，，
∴当对应的x的值一个小于，一个大于2，
∴若m，为方程的两个根，则且，故⑤正确；
故选：C．
【点睛】本题考查根据二次函数图像判断各个式子的值，解题的关键是根据图像判断各项系数与0的关系，结合对称轴及与x轴交点确定方程的解．
2．D
【分析】先根据解析式确定抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴，然后对图象进行讨论选择．
【详解】解：，
抛物线开口方向向下，
二次函数解析式为，
顶点坐标为，对称轴为，
故选：D．
【点睛】判断图象的大体位置根据：（1）根据的正负确定开口方向；（2）根据顶点坐标或对称轴确定图象位于哪些象限．
3．B
【分析】本题考查了二次函数的平移规律，根据“左加右减、上加下减”进行作答即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为．
∵点向左平移a个单位长度可得到点，
∴将抛物线向左平移a个单位长度可得到抛物线．
故选B．
4．A
【分析】设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），然后由当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，得到a，b，c的三元一次方程组，解方程组确定a，b，c的值即可．
【详解】解：设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，
∴c＝﹣5①，
a﹣b+c＝﹣4②，
4a﹣2b+c＝5③，
解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝3，c＝﹣5，
所以二次函数的关系式为：y＝4x2+3x﹣5．
故选：A．
【点睛】本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式．设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），通过解方程组确定a，b，c的值．
5．A
【分析】确定抛物线的对称轴，根据两点离对称轴的远近，再结合抛物线的开口方向即可判断出、的大小关系．
【详解】解：∵二次函数的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵、，
∴点离直线远，点离直线近，
而抛物线开口向上，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，当抛物线开口向上时，抛物线上离对称轴越近的点，其函数值越小，反之则越大，掌握此特点是关键．当然，由于本题给出了具体的二次函数式及两点的横坐标，也可求得这两点的纵坐标，比较纵坐标即可．
6．B
【分析】直接根据抛物线的顶点式进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线对称轴为直线．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系．
7．C
【详解】根据二次函数的定义：形如（是常数，且）的函数叫做二次函数．据此可列出关于参数的方程与不等式，求解即可．令，解得或，又，故当时，这个函数是关于的二次函数，故选C．
【易错点分析】明确二次函数的定义是解题的关键，尤其需要注意的是二次项的系数应不等于零，忽略关于二次项系数取值范围的限制，容易导致错选D．
8．D
【分析】
根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，进行判断即可．
【详解】解：抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，即可得到：；
故选D．
【点睛】本题考查抛物线的平移．熟练掌握二次函数平移规律是解题的关键．
9．D
【分析】设，则，连接AC，交于点E，根据菱形的性质，矩形的性质，勾股定理计算，设矩形的面积为S，构造二次函数，根据二次函数的最值求解即可．
【详解】设，
因为四边形是菱形，，，
所以，
连接AC，交于点E，
因为四边形是菱形，四边形是矩形，，，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以
设矩形的面积为S，
所以，
所以当x=3时，S的面积最大，最大值为，
故选D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，等腰三角形的三线合一，勾股定理，二次函数的最值，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，二次函数的性质是解题的关键．
10．D
【分析】根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧百分比）2可得函数解析式．
【详解】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图像要根据自变量的取值范围来确定．
11．C
【分析】本题考查了二次函数以一次函数的综合，先根据一次函数的解析式求出和时，的值，再分，和三种情况，根据二次函数的图象与性质列出不等式，然后求解即可得．
【详解】对于一次函数，
当时，，
当时，，
二次函数的对称轴为，
由题意，分以下三种情况：
（1）当时，
若两个函数的图象没有交点，则当时，二次函数的函数值大于6；或当时，二次函数的函数值小于0，
即或，
不等式可化为，
利用因式分解法解方程得：，
由二次函数的性质可知，当时，或(舍去)，
同理可得：不等式无解，
综上，此时的取值范围为；
（2）当时，
若两个函数的图象没有交点，则无解，
即关于的方程无解，
则方程的根的判别式，
解得，
则此时的取值范围为；
（3）当时，
当时，二次函数的函数值为，
所以二次函数的图象与一次函数的图象没有交点，
则此时的取值范围为；
综上，的取值范围为或，
故选：C．
12．C
【分析】将的值代入二次函数中，确定的值，从而确定答案．
【详解】解：根据题意得，
当时，；当时，；当时，，
∴，解方程组得，，
∴二次函数的解析式是，函数图像如下所示，
∴图像的开口向上，选项不符合题意；
当时，，选项不符合题意；
图像的对称轴是，选项符合题意；
函数最小值是，不是，选项不符合题意，
故选：．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，并判断二次函数图像的特点，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，分析二次函数图像的特点是解题的关键．
13．
【分析】根据销售利润为销量每件利润进而得出答案．
【详解】解：由于每块滑板降价元，商店一星期销售这种滑板的利润是元，
则与之间的函数表达式为：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，解题的关键是掌握利用利润销量每件商品利润进而得出利润与定价之间的函数关系式．
14．
【分析】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点为（-1，-2），
将抛物线先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2），
旋转后的抛物线为，
再向下平移5个单位，即．
∴新抛物线的顶点（1，-3）
故答案是：（1，-3）．
【点睛】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，熟知函数图象旋转与平移的法则是解答此题的关键．
15．
【分析】根据抛物线与x轴的交点个数，推出值的性质，即列出关于字母系数的方程(或不等式)，通过方程(或不等式)求解．
【详解】∵抛物线，
∴当，即时，
抛物线与轴有两个公共点；
当，即时，抛物线与轴有一个公共点；
当，即时，抛物线与轴没有公共点．
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式时，二次函数与轴有两个公共点；当判别式时，二次函数与轴有1个公共点；当判别式时，二次函数与轴没有公共点．
16．/
【分析】抛物线在直线下方部分对应的x的值即为所求．
【详解】解：观察图形可知，当时，抛物线在直线下方，
因此若，则x的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查根据图象求不等式的解集，利用数形结合思想是解题的关键．
17．
【分析】将（1，2）代入y=x2+2x+c，解得c=-1，设将抛物线y=x2+2x-1=（x+1）2-2，向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y=（x+1-m）2-2，然后将（1，2）代入得到关于m的方程，通过解方程求得m的值即可．
【详解】解：将（1，2）代入y=x2+2x+c，得12+2×1+c=2，
解得c=-1．
设将抛物线y=x2+2x-1=（x+1）2-2，向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y=（x+1-m）2-2，
将（1，2）代入，得（1+1-m）2-2=2．
整理，得2-m=±2．
解得m1=0（舍去），m2=4．
故新抛物线的表达式为y=（x-3）2-2．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法确定函数关系式，解题的关键是理解“关联点”的含义．
18．(1)抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标为
(2)不存在．理由见解析
【分析】本题考查抛物线的图象和性质，全等三角形的性质等：
（1）抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为；
（2）假设存在一点M，使，则点M和O关于直线对称，
求出点M的坐标，再判断点M是否在抛物线上即可．
【详解】（1）解：该抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标为．
（2）解：不存在．理由如下：
对于，令，则，
解得，，
点A的坐标为，点B的坐标为．
则，
是等腰直角三角形．
假设存在一点M，使，
为公共边，，
点M和O关于直线对称，
四边形是正方形，
点M的坐标为．
当时，，
即点M不在抛物线上，
在抛物线上不存在一点M，使．
19．(1)抛物线的解析式为y=x2+4x；
(2)能越过，理由见解析；
(3)米
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+12，将点（0，0）代入，求出a，得到抛物线解析式；
（2）由坡比求出AE，将x=9代入函数解析式，与3+5=8比较可得结论；
（3）由（2）知A的坐标为（9，3），求出直线OA的解析式，作直线MNy轴，交抛物线于点M，交直线OA于点N，设点M（x，x2+4x），则点N的坐标为（x，x），求出MN=-x2+4x-x=，利用二次函数的性质求出最大值即可．
【详解】（1）解：由题意设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+12，
将点（0，0）代入，得36a+12=0，
解得a=，
∴抛物线的解析式为y=（x-6）2+12=x2+4x；
（2）能越过，理由如下：
∵山坡OA的坡度为1:3，
∴AE：OE=1：3，
∵OE=9米，
∴AE=3米，
当x=9时，y=（9-6）2+12=9，
∵3+5=8<9，
∴小刚投出的手榴弹能越过这棵树；
（3）由（2）知A的坐标为（9，3），
∴直线OA的解析式为，
作直线MNy轴，交抛物线于点M，交直线OA于点N，
设点M（x，x2+4x），则点N的坐标为（x，x），
∴MN=-x2+4x-x=，
∴当x=时，MN有最大值，最大值为，
∴飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是米．
【点睛】此题考查了求二次函数的解析式，二次函数的最值，二次函数的性质，属于二次函数的综合题，正确掌握二次函数的知识是解题的关键．
20．(1)，
(2)
(3)黑、白两球的最小距离为，大于0，黑球不会碰到白球
【分析】（1）根据黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，设表达式为v=kt+b，代入两组数值求解即可；根据运动距离与运动时间之间成二次函数关系，设表达式为，代入三组数值求解即可；（2）当黑球减速后运动距离为时，代入（1）式中关于的函数解析式求出时间t，再将t代入关于的函数解析式，求得速度v即可；（3）设黑白两球的距离为，得到，化简即可求出最小值，于是得到结论．
【详解】（1）根据黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，设表达式为v=kt+b，代入（0，10），（1，9.5）得，
，解得，
∴，
根据运动距离与运动时间之间成二次函数关系，设表达式为，代入（0，0），（1，9.75），（2，19）得
，解得，
∴;
（2）依题意，得，
∴，
解得，，；
当时，；当时，（舍）；
答：黑球减速后运动时的速度为．
（3）设黑白两球的距离为，
，
∵，∴当时，的值最小为6，
∴黑、白两球的最小距离为，大于0，黑球不会碰到白球．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，解决本题的关键是明确题意求出函数表达式．
21．(1)a的值为4，b的值为4
(2)（1，3）；
(3)0≤xM≤4且xM≠1
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）求出点B的坐标为(-1，3)，再观察函数图象即可求解；
（3）分类求解确定MN的位置，进而求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的图象过点A（4，0）
∴解得：
∵直线的图象过点A（4，0）
∴解得：
答：a的值为4，b的值为4
（2）解：由（1）得，抛物线解析式为，一次函数解析式为
∴解得：或（舍去）
∴点C坐标为（1，3）
由图象得不等式的解集为：
（3）解：∵抛物线的对称轴是x=2，
∴当点M在点C时，M点（1，3）恰好与M点向右移动2个单位得到的N点（3，3）对称，
此时线段MN与抛物线有两个交点，
∴，
当点M在线段AB上，且M不在C点时，
∵M，N的距离为2，而A、B的水平距离4，故此时线段MN与抛线只有一个公共点，
∴，且
当点M在点B的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点；
当点M在点A的右侧时，线段MN与抛物线没有公共点；
综上所述， ，且
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、不等式的性质等，其中（3）分类求解确定MN的位置是解题的关键．
22．(1)m=﹣1；y=x2﹣3x+2
(2)x＜1或x＞3
【分析】（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c求解即可；
（2）根据图象即可得出答案．
【详解】（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得：
0=1+m， ，
∴m=﹣1，b=﹣3，c=2，
所以抛物线的解析式为：y=x2﹣3x+2；
（2）由图可知，当x2﹣3x+2＞x﹣1时，
x＜1或x＞3．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式及图象法解不等式，熟练掌握知识点是解题的关键．
23．；；；；支柱的长度是；其他方法见解析
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后利用待定系数法求出表达式，然后将代入求出，进而得到的长度．
【详解】解：以点为原点建立平面直角坐标系，如图所示．
由题意得，，．
设抛物线的解析式为．
把代入，得到，
抛物线的解析式为．
当时，，
；
如图所示，以中点为原点建立平面直角坐标系，
根据题目条件，，，，
将，代入，得
解得：，
，
设，故，
∴，
∴支柱的长度是．
∵第一种方法得到的表达式只有二次项，第一种方法得到的表达式有二次项和常数项，
∴第一种方法更简单．
【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，求出二次函数解析式时关键．
24．(1)y＝﹣10x+540；
(2)当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元
【分析】（1）设函数关系式为y＝kx+b，由销售单价为28元时，每天的销售量为260个；销售单价为30元时，每天的销量为240个；列方程组求解即可；
（2）由每天销售利润＝每个遮阳伞的利润×销售量，列出函数关系式，再由二次函数的性质求解即可；
【详解】（1）解：设一次函数关系式为y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴函数关系式为y＝﹣10x+540；
（2）解：由题意可得：
w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣10x+540）＝﹣10（x﹣37）2+2890，
∵﹣10＜0，二次函数开口向下，
∴当x＝37时，w有最大值为2890，
答：当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
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第二十六章二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：；；③当时，y随x的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为， ；⑤若m， n为方程的两个根，则且，其中正确的结论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．二次函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线 经过一次平移可得到抛物线．对这一平移过程描述正确的是（ ）
A．向右平移a个单位长度 B．向左平移a个单位长度
C．向上平移a个单位长度 D．向下平移a个单位长度
4．一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（ ）
A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5
5．已知点，均在抛物线上，则、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线，其对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
7．若是关于的二次函数，则的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．
8．由抛物线平移而得到抛物线，下列平移正确的是（ ）
A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
9．如图，在菱形中，，，矩形的四个顶点分别在菱形的四边上，，则矩形的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
10．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2
11．二次函数的图象与一次函数的图象没有交点，则b的取值范围是( )
A． B． C．或 D．
12．已知二次函数中的满足下表：
… …
… …
根据表中信息，下列判断正确的是（ ）
A．开口向下 B．当时，
C．图像的对称轴是直线 D．函数最小值是
二、填空题
13．某体育用品商店购进一批涓板，每块滑板利润为30元，一星期可卖出80块.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价1元，则一星期可多卖出4块，设每块滑板降价x元，商店一星期销售这种滑板的利润是y元，则y与x之间的函数表达式为 ．
14．在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ．
15．已知抛物线，当 时，抛物线与轴有两个公共点；当 时，抛物线与轴有一个公共点；当 时，抛物线与轴没有公共点．
16．如图，直线与抛物线交于点和点，若，则x的取值范围是 ．
17．平移二次函数的图象，如果有一个点既在平移前的函数图象上，又在平移后的函数图象上，我们把这个点叫做“关联点”．现将二次函数（c为常数）的图象向右平移得到新的抛物线，若“关联点”为，则新抛物线的函数表达式为 ．
三、解答题
18．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上．
(1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标；
(2)在抛物线上是否存在一点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
19．手榴弹作为一种威力较大，体积较小，方便携带的武器，在战争中能发挥重要作用，然而想把手榴弹扔远，并不是一件容易的事．军训中，借助小山坡的有利地势，小刚在教官的指导下用模拟弹进行一次试投：如图所示，把小刚投出的手榴弹的运动路线看做一条抛物线，手榴弹飞行的最大高度为12米，此时它的水平飞行距离为6米，山坡OA的坡度为1:3．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)山坡上A处的水平距离OE为9米，A处有一棵树，树高5米，则小刚投出的手榴弹能否越过这棵树？请说明理由；
(3)求飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是多少米．
20．在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处．
小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：）、运动距离（单位：）随运动时间（单位：）变化的数据，整理得下表．
运动时间 0 1 2 3 4
运动速度 10 9.5 9 8.5 8
运动距离 0 9.75 19 27.75 36
小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间之间成二次函数关系．
(1)直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）
(2)当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度；
(3)若白球一直以的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．
21．如图，抛物线与直线交于点和点C．
(1)求a和b的值；
(2)求点C的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
(3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向右平移2个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的取值范围．
22．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．
(1)求m的值和抛物线的解析式；
(2)求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）
23．一座拱桥的轮廓是抛物线（如图所示），拱高，跨度，相邻两支柱间的距离均为．求支柱的长度．
建立坐标系：
我们可以以点为原点建立平面直角坐标系，则三点的坐标分别为_________，_________，_________．根据图象可以设抛物线的解析式为_________，将两点中的任意一点的坐标代入解析式即可确定函数解析式，进而求出支柱的长度．你还有其他建立直角坐标系的方法吗？试一试，然后对比一下哪种更简单．
24．某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．
(1)求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
(2)设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
《第二十六章二次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B A A B C D D D
题号 11 12
答案 C C
1．C
【分析】由开口方向确定a，由与y轴交点判c，由对称轴及a判b，结合对称轴及的点即可判a，c关系，根据交点即对称性即可判方程的根，即可得到答案；
【详解】解：由函数图象可得，
，，，
则，故①正确；
，得，
∵时，，
∴，
∴，
∴，故②正确；
由图象可知，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故③错误；
∵抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，
∴的两个根为，，
∴的两个根为，，
∴一元二次方程的两根分别为， ，故④正确；
∵该函数与x轴的两个交点为，，
∴该函数的解析式可以为，
当时，，
∴当对应的x的值一个小于，一个大于2，
∴若m，为方程的两个根，则且，故⑤正确；
故选：C．
【点睛】本题考查根据二次函数图像判断各个式子的值，解题的关键是根据图像判断各项系数与0的关系，结合对称轴及与x轴交点确定方程的解．
2．D
【分析】先根据解析式确定抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴，然后对图象进行讨论选择．
【详解】解：，
抛物线开口方向向下，
二次函数解析式为，
顶点坐标为，对称轴为，
故选：D．
【点睛】判断图象的大体位置根据：（1）根据的正负确定开口方向；（2）根据顶点坐标或对称轴确定图象位于哪些象限．
3．B
【分析】本题考查了二次函数的平移规律，根据“左加右减、上加下减”进行作答即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为．
∵点向左平移a个单位长度可得到点，
∴将抛物线向左平移a个单位长度可得到抛物线．
故选B．
4．A
【分析】设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），然后由当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，得到a，b，c的三元一次方程组，解方程组确定a，b，c的值即可．
【详解】解：设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，
∴c＝﹣5①，
a﹣b+c＝﹣4②，
4a﹣2b+c＝5③，
解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝3，c＝﹣5，
所以二次函数的关系式为：y＝4x2+3x﹣5．
故选：A．
【点睛】本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式．设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），通过解方程组确定a，b，c的值．
5．A
【分析】确定抛物线的对称轴，根据两点离对称轴的远近，再结合抛物线的开口方向即可判断出、的大小关系．
【详解】解：∵二次函数的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵、，
∴点离直线远，点离直线近，
而抛物线开口向上，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，当抛物线开口向上时，抛物线上离对称轴越近的点，其函数值越小，反之则越大，掌握此特点是关键．当然，由于本题给出了具体的二次函数式及两点的横坐标，也可求得这两点的纵坐标，比较纵坐标即可．
6．B
【分析】直接根据抛物线的顶点式进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线对称轴为直线．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系．
7．C
【详解】根据二次函数的定义：形如（是常数，且）的函数叫做二次函数．据此可列出关于参数的方程与不等式，求解即可．令，解得或，又，故当时，这个函数是关于的二次函数，故选C．
【易错点分析】明确二次函数的定义是解题的关键，尤其需要注意的是二次项的系数应不等于零，忽略关于二次项系数取值范围的限制，容易导致错选D．
8．D
【分析】
根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，进行判断即可．
【详解】解：抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，即可得到：；
故选D．
【点睛】本题考查抛物线的平移．熟练掌握二次函数平移规律是解题的关键．
9．D
【分析】设，则，连接AC，交于点E，根据菱形的性质，矩形的性质，勾股定理计算，设矩形的面积为S，构造二次函数，根据二次函数的最值求解即可．
【详解】设，
因为四边形是菱形，，，
所以，
连接AC，交于点E，
因为四边形是菱形，四边形是矩形，，，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以
设矩形的面积为S，
所以，
所以当x=3时，S的面积最大，最大值为，
故选D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，等腰三角形的三线合一，勾股定理，二次函数的最值，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，二次函数的性质是解题的关键．
10．D
【分析】根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧百分比）2可得函数解析式．
【详解】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图像要根据自变量的取值范围来确定．
11．C
【分析】本题考查了二次函数以一次函数的综合，先根据一次函数的解析式求出和时，的值，再分，和三种情况，根据二次函数的图象与性质列出不等式，然后求解即可得．
【详解】对于一次函数，
当时，，
当时，，
二次函数的对称轴为，
由题意，分以下三种情况：
（1）当时，
若两个函数的图象没有交点，则当时，二次函数的函数值大于6；或当时，二次函数的函数值小于0，
即或，
不等式可化为，
利用因式分解法解方程得：，
由二次函数的性质可知，当时，或(舍去)，
同理可得：不等式无解，
综上，此时的取值范围为；
（2）当时，
若两个函数的图象没有交点，则无解，
即关于的方程无解，
则方程的根的判别式，
解得，
则此时的取值范围为；
（3）当时，
当时，二次函数的函数值为，
所以二次函数的图象与一次函数的图象没有交点，
则此时的取值范围为；
综上，的取值范围为或，
故选：C．
12．C
【分析】将的值代入二次函数中，确定的值，从而确定答案．
【详解】解：根据题意得，
当时，；当时，；当时，，
∴，解方程组得，，
∴二次函数的解析式是，函数图像如下所示，
∴图像的开口向上，选项不符合题意；
当时，，选项不符合题意；
图像的对称轴是，选项符合题意；
函数最小值是，不是，选项不符合题意，
故选：．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，并判断二次函数图像的特点，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，分析二次函数图像的特点是解题的关键．
13．
【分析】根据销售利润为销量每件利润进而得出答案．
【详解】解：由于每块滑板降价元，商店一星期销售这种滑板的利润是元，
则与之间的函数表达式为：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，解题的关键是掌握利用利润销量每件商品利润进而得出利润与定价之间的函数关系式．
14．
【分析】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点为（-1，-2），
将抛物线先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2），
旋转后的抛物线为，
再向下平移5个单位，即．
∴新抛物线的顶点（1，-3）
故答案是：（1，-3）．
【点睛】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，熟知函数图象旋转与平移的法则是解答此题的关键．
15．
【分析】根据抛物线与x轴的交点个数，推出值的性质，即列出关于字母系数的方程(或不等式)，通过方程(或不等式)求解．
【详解】∵抛物线，
∴当，即时，
抛物线与轴有两个公共点；
当，即时，抛物线与轴有一个公共点；
当，即时，抛物线与轴没有公共点．
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式时，二次函数与轴有两个公共点；当判别式时，二次函数与轴有1个公共点；当判别式时，二次函数与轴没有公共点．
16．/
【分析】抛物线在直线下方部分对应的x的值即为所求．
【详解】解：观察图形可知，当时，抛物线在直线下方，
因此若，则x的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查根据图象求不等式的解集，利用数形结合思想是解题的关键．
17．
【分析】将（1，2）代入y=x2+2x+c，解得c=-1，设将抛物线y=x2+2x-1=（x+1）2-2，向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y=（x+1-m）2-2，然后将（1，2）代入得到关于m的方程，通过解方程求得m的值即可．
【详解】解：将（1，2）代入y=x2+2x+c，得12+2×1+c=2，
解得c=-1．
设将抛物线y=x2+2x-1=（x+1）2-2，向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y=（x+1-m）2-2，
将（1，2）代入，得（1+1-m）2-2=2．
整理，得2-m=±2．
解得m1=0（舍去），m2=4．
故新抛物线的表达式为y=（x-3）2-2．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法确定函数关系式，解题的关键是理解“关联点”的含义．
18．(1)抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标为
(2)不存在．理由见解析
【分析】本题考查抛物线的图象和性质，全等三角形的性质等：
（1）抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为；
（2）假设存在一点M，使，则点M和O关于直线对称，
求出点M的坐标，再判断点M是否在抛物线上即可．
【详解】（1）解：该抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标为．
（2）解：不存在．理由如下：
对于，令，则，
解得，，
点A的坐标为，点B的坐标为．
则，
是等腰直角三角形．
假设存在一点M，使，
为公共边，，
点M和O关于直线对称，
四边形是正方形，
点M的坐标为．
当时，，
即点M不在抛物线上，
在抛物线上不存在一点M，使．
19．(1)抛物线的解析式为y=x2+4x；
(2)能越过，理由见解析；
(3)米
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+12，将点（0，0）代入，求出a，得到抛物线解析式；
（2）由坡比求出AE，将x=9代入函数解析式，与3+5=8比较可得结论；
（3）由（2）知A的坐标为（9，3），求出直线OA的解析式，作直线MNy轴，交抛物线于点M，交直线OA于点N，设点M（x，x2+4x），则点N的坐标为（x，x），求出MN=-x2+4x-x=，利用二次函数的性质求出最大值即可．
【详解】（1）解：由题意设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+12，
将点（0，0）代入，得36a+12=0，
解得a=，
∴抛物线的解析式为y=（x-6）2+12=x2+4x；
（2）能越过，理由如下：
∵山坡OA的坡度为1:3，
∴AE：OE=1：3，
∵OE=9米，
∴AE=3米，
当x=9时，y=（9-6）2+12=9，
∵3+5=8<9，
∴小刚投出的手榴弹能越过这棵树；
（3）由（2）知A的坐标为（9，3），
∴直线OA的解析式为，
作直线MNy轴，交抛物线于点M，交直线OA于点N，
设点M（x，x2+4x），则点N的坐标为（x，x），
∴MN=-x2+4x-x=，
∴当x=时，MN有最大值，最大值为，
∴飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是米．
【点睛】此题考查了求二次函数的解析式，二次函数的最值，二次函数的性质，属于二次函数的综合题，正确掌握二次函数的知识是解题的关键．
20．(1)，
(2)
(3)黑、白两球的最小距离为，大于0，黑球不会碰到白球
【分析】（1）根据黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，设表达式为v=kt+b，代入两组数值求解即可；根据运动距离与运动时间之间成二次函数关系，设表达式为，代入三组数值求解即可；（2）当黑球减速后运动距离为时，代入（1）式中关于的函数解析式求出时间t，再将t代入关于的函数解析式，求得速度v即可；（3）设黑白两球的距离为，得到，化简即可求出最小值，于是得到结论．
【详解】（1）根据黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，设表达式为v=kt+b，代入（0，10），（1，9.5）得，
，解得，
∴，
根据运动距离与运动时间之间成二次函数关系，设表达式为，代入（0，0），（1，9.75），（2，19）得
，解得，
∴;
（2）依题意，得，
∴，
解得，，；
当时，；当时，（舍）；
答：黑球减速后运动时的速度为．
（3）设黑白两球的距离为，
，
∵，∴当时，的值最小为6，
∴黑、白两球的最小距离为，大于0，黑球不会碰到白球．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，解决本题的关键是明确题意求出函数表达式．
21．(1)a的值为4，b的值为4
(2)（1，3）；
(3)0≤xM≤4且xM≠1
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）求出点B的坐标为(-1，3)，再观察函数图象即可求解；
（3）分类求解确定MN的位置，进而求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的图象过点A（4，0）
∴解得：
∵直线的图象过点A（4，0）
∴解得：
答：a的值为4，b的值为4
（2）解：由（1）得，抛物线解析式为，一次函数解析式为
∴解得：或（舍去）
∴点C坐标为（1，3）
由图象得不等式的解集为：
（3）解：∵抛物线的对称轴是x=2，
∴当点M在点C时，M点（1，3）恰好与M点向右移动2个单位得到的N点（3，3）对称，
此时线段MN与抛物线有两个交点，
∴，
当点M在线段AB上，且M不在C点时，
∵M，N的距离为2，而A、B的水平距离4，故此时线段MN与抛线只有一个公共点，
∴，且
当点M在点B的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点；
当点M在点A的右侧时，线段MN与抛物线没有公共点；
综上所述， ，且
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、不等式的性质等，其中（3）分类求解确定MN的位置是解题的关键．
22．(1)m=﹣1；y=x2﹣3x+2
(2)x＜1或x＞3
【分析】（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c求解即可；
（2）根据图象即可得出答案．
【详解】（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得：
0=1+m， ，
∴m=﹣1，b=﹣3，c=2，
所以抛物线的解析式为：y=x2﹣3x+2；
（2）由图可知，当x2﹣3x+2＞x﹣1时，
x＜1或x＞3．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式及图象法解不等式，熟练掌握知识点是解题的关键．
23．；；；；支柱的长度是；其他方法见解析
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后利用待定系数法求出表达式，然后将代入求出，进而得到的长度．
【详解】解：以点为原点建立平面直角坐标系，如图所示．
由题意得，，．
设抛物线的解析式为．
把代入，得到，
抛物线的解析式为．
当时，，
；
如图所示，以中点为原点建立平面直角坐标系，
根据题目条件，，，，
将，代入，得
解得：，
，
设，故，
∴，
∴支柱的长度是．
∵第一种方法得到的表达式只有二次项，第一种方法得到的表达式有二次项和常数项，
∴第一种方法更简单．
【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，求出二次函数解析式时关键．
24．(1)y＝﹣10x+540；
(2)当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元
【分析】（1）设函数关系式为y＝kx+b，由销售单价为28元时，每天的销售量为260个；销售单价为30元时，每天的销量为240个；列方程组求解即可；
（2）由每天销售利润＝每个遮阳伞的利润×销售量，列出函数关系式，再由二次函数的性质求解即可；
【详解】（1）解：设一次函数关系式为y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴函数关系式为y＝﹣10x+540；
（2）解：由题意可得：
w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣10x+540）＝﹣10（x﹣37）2+2890，
∵﹣10＜0，二次函数开口向下，
∴当x＝37时，w有最大值为2890，
答：当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
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