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27.3圆中的计算问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，是的直径，是弦，，，，则的长为( )
A． B． C． D．
2．如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点A，B，C为圆心，以长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆的半径为扇形的圆心角为，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，等边的边在轴正半轴上，点，，点、分别从、以相同的速度向、运动，连接、，交点为，是轴上一点，则的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．
6．如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点，已知AB＝4，AD＝2，△GEF与△AEF关于直线EF成轴对称．当点F沿AD边从点A运动到点D时，点G的运动路径长为（ ）
A．2 B．4π C．2π D．
7．75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
8．如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
9．三角形的外心是（ ）．
A．各内角的平分线的交点
B．各边中线的交点
C．各边垂线的交点
D．各边垂直平分线的交点
10．在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是（ ）
A．π B．2π C．4π D．6π
11．以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是（ ）
A．8，8，8 B．4，10，10 C．5，12，13 D．6，8，10
12．如图，在正方形铁皮中剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少，用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥．若圆的半径记为，扇形的半径记为R，则与R之间的数量关系为( )
A． B． C． D．
二、填空题
13．在半径为的圆中，所对的圆周角为，则的长为 ．
14．已知扇形的半径是2，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是 .
15．如图，两个同心圆的半径分别为1和2，，则阴影部分面积是 .
16．若扇形的弧长为，圆心角为，则它的半径为 ．
17．如图，△ABC中，∠C是直角，AB＝12cm，∠ABC＝60°，将△ABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB的延长线上的点D处，则AC边扫过的图形(阴影部分)的面积是 ．
三、解答题
18．如图，是半圆的直径，弦，过点作圆的切线，与延长线相交于点，连接、，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，求围成阴影部分图形的周长．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．
20．已知三角形的三边长分别为2cm，2cm，2cm，求它的外接圆半径.
21．如图，是的高，为的中点．试说明点在以点为圆心的同一个圆上．
22．小明家房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.
(1)请帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹).
(2)若中，AB=8米，AC=6米，，试求小明家圆形花坛的面积.
23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CF=1，DF=，求图中阴影部分的面积．
24．下列每个正方形的边长为2，求下图中阴影部分的面积．
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27.3圆中的计算问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，是的直径，是弦，，，，则的长为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质得出，再根据圆周角定理得出，然后根据弧长的计算公式即可得．
【详解】如图，连接OC，则
，
则的长为
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质、圆周角定理、弧长公式，依据平行线的性质和圆周角定理求出的度数是解题关键．
2．如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点A，B，C为圆心，以长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据此三角形是由三段弧组成，所以根据弧长公式可得半径，即正三角形的边长，根据曲边三角形的面积等于三角形的面积与三个弓形的面积和，边长为的等边三角形的面积为，即可求解．
【详解】解：设等边三角形ABC的边长为r，
解得，即正三角形的边长为2，
此曲边三角形的面积为
故选A
【点睛】本题考查了扇形面积的计算．此题的关键是明确曲边三角形的面积等于三角形的面积与三个弓形的面积和，然后再根据所给的曲线三角形的周长求出三角形的边长．
3．已知圆的半径为扇形的圆心角为，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】扇形面积公式为： 利用公式直接计算即可得到答案．
【详解】解： 圆的半径为扇形的圆心角为，
故选：
【点睛】本题考查的是扇形的面积的计算，掌握扇形的面积的计算公式是解题的关键．
4．正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率．
【详解】解：如图，连接PA、PB、OP，
则S半圆O=，S△ABP=×2×1=1，
由题意得：图中阴影部分的面积=4（S半圆O﹣S△ABP）
=4（﹣1）=2π﹣4，
∴米粒落在阴影部分的概率为，
故选A．
【点睛】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积．
5．如图，在平面直角坐标系中，等边的边在轴正半轴上，点，，点、分别从、以相同的速度向、运动，连接、，交点为，是轴上一点，则的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】证明，推出，得到，点是经过点A，，的圆上的点，记圆心为，在上取一点，使点和点在弦的两侧，连接，，连接，，求出，设，求出，过点作，三角函数求出，设，得到只有时，最小为0，即最小为6．当时，即：时，最小，即可得到答案．
【详解】解：如图，是等边三角形，
，，
点、分别从、以相同的速度向、A运动，
，
在和中，，
(SAS)，
，
，
点是经过点A，，的圆上的点，记圆心为，在上取一点，使点和点在弦的两侧，连接，，
，
连接，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，，
，，
过点作，
，
在△中，，，
，
，，
设，
，
只有时，最小为0，即最小为6．
当时，即：时，最小，
．
故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，最短路径问题，等边三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
6．如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点，已知AB＝4，AD＝2，△GEF与△AEF关于直线EF成轴对称．当点F沿AD边从点A运动到点D时，点G的运动路径长为（ ）
A．2 B．4π C．2π D．
【答案】D
【分析】由轴对称性质可知，GE＝AE＝2是定长，故点G的运动路径为以E为圆心、AE长为半径的圆弧上，圆弧的最大角度即点F到达中点D时，∠AEG的度数．利用AD、AE的长可求tan∠AED的值，求得∠AED并进而求得∠AEG为特殊角．再代入弧长公式即求出点G的运动路径长．
【详解】∵矩形ABCD中，AB＝4，E是AB的中点，
∴AE＝AB＝2，
∵△GEF与△AEF关于直线EF成轴对称，
∴GE＝AE＝2，∠GEF＝∠AEF，
∴G在以E为圆心，AE长为半径的圆弧上运动，
如图，当点F与点D重合时，AD＝2，
∴tan∠AED＝，
∴∠AED＝60°，
∴∠AEG＝2∠AED＝120°，
∴G运动路径长为：2π×2×=，
故选D．
【点睛】本题考查了轴对称性质，圆的定义，三角函数，圆弧计算．解题关键是由轴对称性质得到GE＝AE＝2为定值，得到点G的运动轨迹为圆弧．
7．75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【答案】A
【分析】根据弧长公式计算即可．
【详解】解：∵75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，
由弧长公式l，
∴2.5π，
解得：r＝6，
故选：A．
【点睛】本题考查了由弧长求半径，熟练掌握和灵活运用弧长公式为解题的关键，弧长公式l．
8．如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出2023边形的外角和，即阴影部分的圆心角的和等于，再根据扇形的面积公式求出答案即可．
【详解】解：边形的外角和，
图中阴影部分的面积之和，
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角和扇形的面积计算，能求出阴影部分的圆心角的度数和是解此题的关键．
9．三角形的外心是（ ）．
A．各内角的平分线的交点
B．各边中线的交点
C．各边垂线的交点
D．各边垂直平分线的交点
【答案】D
【详解】解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．
故选D．
10．在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是（ ）
A．π B．2π C．4π D．6π
【答案】B
【分析】根据弧长的计算公式计算即可．
【详解】解：l===2π．
故选B．
【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的计算公式：是解题的关键．
11．以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是（ ）
A．8，8，8 B．4，10，10 C．5，12，13 D．6，8，10
【答案】A
【分析】分别求出各三角形的外接圆半径，比较即可．
【详解】A、∵是等边三角形，设O是外心，
∴，平分，
∴，
∴，
∴的外接圆的半径为，
B、∵是等腰三角形，
过点A作于D，延长交于E，
∵，
∴，，
∴是的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴外接圆半径为，
C、∵，
∴此三角形是直角三角形，
∴此三角形外接圆的半径为，
D、∵，
∴此三角形是直角三角形，
∴此三角形外接圆的半径为5，
∴其外接圆半径最小的是A选项，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
12．如图，在正方形铁皮中剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少，用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥．若圆的半径记为，扇形的半径记为R，则与R之间的数量关系为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】让扇形的弧长等于圆的周长即可．
【详解】因为拼成一个圆锥，所以底面圆的周长等于扇形的弧长，即，
整理得.
故选D.
【点睛】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
二、填空题
13．在半径为的圆中，所对的圆周角为，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了弧长公式，直接根据弧长公式计算即可．
【详解】的长为．
故答案为：．
14．已知扇形的半径是2，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是 .
【答案】
【分析】将数值代入弧长公式即可计算得到答案.
【详解】∵R=2，n=120，
∴=.
故答案为：.
【点睛】此题考查弧长公式，熟记公式并掌握字母的含义即可正确解题.
15．如图，两个同心圆的半径分别为1和2，，则阴影部分面积是 .
【答案】
【分析】阴影部分的面积=大扇形-小扇形，所以依面积公式计算即可．
【详解】阴影部分的面积==π．
【点睛】根据扇形面积公式计算即可．
16．若扇形的弧长为，圆心角为，则它的半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查了弧长公式，掌握弧长公式：是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
解得：；
故答案：．
17．如图，△ABC中，∠C是直角，AB＝12cm，∠ABC＝60°，将△ABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB的延长线上的点D处，则AC边扫过的图形(阴影部分)的面积是 ．
【答案】36πcm2 ．
【详解】解：∵∠C是直角，∠ABC=60°，
∴∠BAC=90°﹣60°=30°，
∴BC=AB=×12=6cm．
∵△ABC以点B为中心顺时针旋转得到△BDE，
∴S△BDE=S△ABC ，∠ABE=∠CBD=180°﹣60°=120°，
∴阴影部分的面积=S扇形ABE+S△BDE﹣S扇形BCD﹣S△ABC
=S扇形ABE﹣S扇形BCD= =48π﹣12π=36πcm2 ．
故答案为：36πcm2 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，扇形的面积计算，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，求出阴影部分的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键．
三、解答题
18．如图，是半圆的直径，弦，过点作圆的切线，与延长线相交于点，连接、，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，求围成阴影部分图形的周长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，根据等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定定理证明结论；
（2）根据弧长公式求出的长，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：（1）证明：连接，
是圆的切线，
，
由圆周角定理得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2），
，，
，
的长，
围成阴影部分图形的周长．
【点睛】本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）连接，易得，由，易得，等量代换得，利用平行线的判定得，由切线的性质得，得出结论；
（2）连接，利用（1）的结论得，易得，得出，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC．
∵DF是⊙O的切线，
∴DF⊥OD．
∴DF⊥AC．
（2）连接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°．
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∴∠BAC=45°．
∵OA=OE，
∴∠AOE=90°．
的半径为4，
，，
．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．
20．已知三角形的三边长分别为2cm，2cm，2cm，求它的外接圆半径.
【答案】cm.
【分析】根据勾股定理先求出斜边长，再除以2就是外接圆的半径.
【详解】（2）2+（2）2=20=（2）2
根据勾股定理可知，这个三角形为直角三角形,
又∵直角三角形外接圆直径为斜边边长,
∴ 直径为2cm
它的外接圆半径是:2÷2=cm.
答: 它的外接圆的半径是cm.
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形外接圆与圆心，解题的关键是掌握勾股定理和三角形外接圆的概念.
21．如图，是的高，为的中点．试说明点在以点为圆心的同一个圆上．
【答案】见解析
【分析】先连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，即可证结论．
【详解】证明：连接，．
分别是的高，为的中点，
，
∴点在以点为圆心的同一圆上．
【点睛】本题主要考查了直角三角形和圆的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质是关键．
22．小明家房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.
(1)请帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹).
(2)若中，AB=8米，AC=6米，，试求小明家圆形花坛的面积.
【答案】（1）见解析（2）25π米2
【分析】(1)运用线段垂直平分线性质，求三角形的外接圆；（2）根据勾股定理求斜边，斜边的一半就是圆的半径，即可求圆的面积.
【详解】解: (1)如图所示：
(2)∵∠BAC＝90°，
∴BC是⊙O的直径．
∵AB＝8米，AC＝6米，
∴BC＝10米，
∴△ABC外接圆的半径为5米，
∴小明家圆形花坛的面积为25π米2.
【点睛】本题考核知识点：求三角形的外接圆.解题关键点：利用直角三角形外接圆的圆心在斜边的中点.
23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CF=1，DF=，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）2﹣
【分析】（1）连接AD、OD，由AB为直径可得出点D为BC的中点，由此得出OD为△BAC的中位线，再根据中位线的性质即可得出OD⊥DF，从而证出DF是⊙O的切线；
（2）CF＝1，DF＝，通过解直角三角形得出CD＝2、∠C＝60°，从而得出△ABC为等边三角形，再利用分割图形求面积法即可得出阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：连接AD、OD，如图所示．
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，∵AC=AB，
∴点D为线段BC的中点．
∵点O为AB的中点，
∴OD为△BAC的中位线，
∴ODAC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线．
（2）解：在Rt△CFD中，CF=1，DF=，
∴tan∠C==，CD=2，
∴∠C=60°，
∵AC=AB，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=4．
∵ODAC，
∴∠DOG=∠BAC=60°，
∴DG=OD tan∠DOG=2，
∴S阴影=S△ODG﹣S扇形OBD=DG OD﹣×OB2=2﹣．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、切线的判定、扇形面积的计算以及三角形面积的计算，解题的关键是：（1）证出OD⊥DF；（2）利用分割图形求面积法求出阴影部分的面积．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用分割图形求面积法求面积是解题的难点，在日常练习中应加强训练．
24．下列每个正方形的边长为2，求下图中阴影部分的面积．
【答案】2.28
【分析】由图形可知阴影面积=半圆面积-两个小三角形面积和，根据公式计算即可．
【详解】πr2÷2-2×2÷2×2
=3.14×2×2÷2-4
=2.28．
【点睛】本题考查了圆的面积公式，解题的关键是熟练掌握间接法求阴影部分图形的面积．
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