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27.4正多边形和圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
【答案】B
【分析】正多边形的内切圆的半径，即为每个边长为2的正三角形的高，从而构造直角三角形即可解．
【详解】
由题意得，∠AOB==60°，
∴∠AOC=30°，
∴OC=2 cos30°=2×=，
故选B．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，解答这类题往往通过连接半径和作边心距把问题转化为解直角三角形的问题．
2．如图，已知的内接正方形的边长为1，则的半径为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】利用正方形的性质结合勾股定理得出的半径．
【详解】解：连接，如图所示，
∵的内接正方形的边长为1，
∴，
在中，，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了正多边形和圆、勾股定理，正确掌握正方形的性质是本题的关键．
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（ ）
A．80° B．100° C．60° D．40°
【答案】A
【详解】试题解析：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=180°-140°=40°．
∴∠AOC=2∠ABC=80°．
故选A．
考点：1．圆内接四边形的性质；2．圆周角定理．
4．已知：如图，点是的内心，连接并延长交于点，则下列命题中正确的（ ）
A．是的平分线 B．是边上的高
C．是边上的中线 D．是边上的中垂线
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的内心的定义，根据三角形内心的定义直接判断即可；解答此题的关键是掌握内心的定义．
【详解】解：∵点是的内心，连接并延长交于点，
是的角平分线．
故选：．
5．如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是( )
A．R B．R C．R D．R
【答案】A
【分析】由题意可得第一个的半径是R，△AOC是等腰直角三角形，则可求得第二个圆的半径，同理求得第三个圆的半径，继而可得规律：第n个圆的半径是，又由第n个内切圆恰好是第n+1个圆，求得答案．
【详解】如图，连接OA，OB，OC，
∵第一个的半径是R，△AOC是等腰直角三角形，
∴OC=OA=R，
即第二个圆的半径是R，
同理，第三个的半径是，
∴依此类推得到第n个圆，它的半径是
∵第n个内切圆恰好是第n+1个圆，
∴第n个内切圆，它的半径是，
故选A．
【点睛】此题考查了正多边形与圆的知识．此题难度适中，属于规律性题目，注意得到规律：第n个圆的半径是是关键．
6．如图，正五边形的边长为2，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了多边形的内角和问题、求扇形面积，由题意得出，，再由扇形面积公式计算即可得出答案．
【详解】解：正五边形的边长为2，
，，
阴影部分的面积为，
故选：D．
7．如图，正六边形内接于，，则的长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到，得到为等边三角形，进而得到，判断出为等边三角形是解题的关键．
【详解】解： ∵是正六边形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
故选：C．
8．正方形的外接圆与内切圆的周长比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据题意画出图形，然后由圆的内接多边形的性质与切线的性质，得到是等腰直角三角形，推出，根据周长比等于半径比可得答案．
【详解】解：如图，
根据题意得：，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
正方形的外接圆半径与内切圆的周长之比为：，
故选：A．
【点睛】本题考查正多边形的内切圆与外接圆，勾股定理，解题的关键是通过推导得出内切圆与外接圆的半径之比．
9．已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形的内角和和外角和，正多边形的中心角，根据题意列出方程求得边数，即可求得中心角的度数．
【详解】解：根据题意，得，
解得，
∴这个正n边形的中心角为，
故选：D．
10．如图，在中，,于D，⊙O为的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别与的三边切于，，，连接，利用求出，进一步得出结论．
【详解】如图，令分别与的三边切于，，，连接
∴
∴
=
=
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形的内切圆与内心，解答的关键是，充分利用已知条件将问题转化为求几个三角形面积的和．
11．正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是( )
A．10 B．8 C．6 D．5
【答案】A
【详解】试题分析：设这个正多边形的边数是n，
∵正多边形的中心角是36°，
∴=36°，
解得n=10．
故选A．
考点：正多边形和圆．
12．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（ ）
A．2mm B． C． D．4mm
【答案】D
【分析】如图，连接CF与AD交于点O，易证△COD为等边三角形，从而CD=OC=OD=AD，即可得到答案．
【详解】连接CF与AD交于点O，
∵为正六边形，
∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm，
∴△COD为等边三角形，
∴CD=CO=DO=4mm，
即正六边形的边长为4mm，
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键．
二、填空题
13．如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE= °．
【答案】n
【分析】利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解．
【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠DCB=180°，
又∵∠DCE+∠DCB=180°
∴∠DCE=∠A=n°
故答案为n
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质．解决本题的关键是掌握：圆内接四边形的对角互补．
14．在正六边形ABCDEF中，对角线AC，BD相交于点M，则的值为 ．
【答案】2
【分析】根据多边形的内角和公式即可得出∠ABC，∠BCD的度数，再根据等腰三角形的性质证明，设 则则 从而可得答案．
【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BCD=∠ABC= （6-2）×180°=120°，AB=BC=CD，
∴∠BAC=∠ACB=∠CBD=∠CDB=（180°-120°）=30°，
∠ABM =90°，
设 则
故答案为2．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、多边形的内角与外角以及等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质等知识，熟记多边形的内角和公式是解答本题的关键．
15．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S= ．（结果保留根号）
【答案】
【详解】分析：根据正多边形的定义可得出△ABO为等边三角形，根据等边三角形的性质结合OM的长度可求出AB的长度，再利用三角形的面积公式即可求出S的值．
详解：依照题意画出图象，如图所示．
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴△ABO为等边三角形，
∵⊙O的半径为1，
∴OM=1，
∴BM=AM=，
∴AB=，
∴S=6S△ABO=6×××1=2．
故答案为2.
点睛：本题考查了正多边形和圆、三角形的面积以及数学常识，根据等边三角形的性质求出正六边形的边长是解题的关键．
16．如图，正六边形内接于，连接，则 ．
【答案】/度
【分析】此题考查了正多边形和圆，根据内角和定理求出，再根据正六边形的轴对称性可知平分，即可求出答案．
【详解】解：由正六边形可得，
∵正六边形是轴对称性图形，
∴平分，即．
故答案为：
17．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为 度．
【答案】115
【详解】解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣50°）=65°，
∴∠BOC=180°﹣65°=115°．
度答案是：115
三、解答题
18．如图，正六边形的中心为原点O，顶点在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标．
【答案】A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，）
【分析】过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE，得出△OED是正三角形，再利用Rt△OEG中，OG＝OE，EG＝，得出结论．
【详解】解：过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE，
∵OE=OD，∠EOD=，
∴△OED是正三角形，∠EOG＝60°，∠OEG＝30°，
∵OE＝2cm，∠OGE＝90°，
∴OG＝OE＝1cm，EG＝＝＝cm，
点E的坐标为（1，），
又由题意知点D的坐标为（2，0），
由图形的对称性可知A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），F（－1，）．
故这个正六边形ABCDEF各个顶点的坐标分别为A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，）．
【点睛】本题考查了正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识，解题的关键是熟练运用这些性质．
19．如图，在中，点E是内心，延长交的外接圆于点D，连接，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了圆周角定理，内心的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据内心的性质可得平分平分，可得，．从而得到，进而得到，再由三角形外角的性质可得，即可求证．
【详解】证明：如图，
连接，
∵为内心，
∴平分平分，
∴．
∴和所对的圆心角相等．
∴，，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴．
∴；
20．如图，把一个圆分成三个扇形，你能求出这三个扇形的圆心角吗？
【答案】．
【分析】根据扇形所占的百分比即可求出圆心角．
【详解】∵周角是360°，
∴，
，
．
【点睛】此题考查了扇形所占的百分比和扇形圆心角之间的关系，解题的关键是熟练掌握扇形所占的百分比和扇形圆心角之间的关系．扇形的圆心角=360°×百分比．
21．用等分圆周的方法画出下列图案：
【答案】见解析
【分析】把圆分成六等分，再根据弧与半径的关系特点，以r为半径画弧可得图案；
把圆分成六等分，再根据弧与半径的关系特点，以r为直径画弧可得图案；
把圆分成五等分，再根据弧与半径的关系特点，以r为半径画弧可得图案．
【详解】如图1，把圆分成六等分，分别以点B，D，F为圆心，AB为半径画弧可得图案；
如图2，把圆分成六等分，分别以线段AB，BC，CD，DE，EF，AF为直径，画弧可得图案；
如图3中把圆五等分，分别以五等分点A、B、C、D、E为圆心都以AB为半径画弧即可得到图案．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，利用圆画出正六边形，正五边形是本题的关键．
22．【问题提出】
如图1，为的一条弦，点在弦所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道的度数不变．爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点是不是在某个确定的圆上运动呢？
【问题探究】
为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若，线段上方一点满足，为了画出点所在的圆，小芳以为底边构造了一个，再以点为圆心，为半径画圆，则点在上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段的长度已知，的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
【模型应用】
（1）若，平面内一点满足，若点所在圆的圆心为，则________，半径的长为________．
（2）如图3，已知正方形以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点作于点，若点是的内心．
①求的度数；
②连接，若正方形的边长为，求的最小值．
【答案】（1）；（2）①；②
【分析】（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过作,求得，进而求得，根据即可求得；
（2）①根据已知条件可得，证明，即可求得；
②如图，作的外接圆，圆，连接，过作交的延长线于点，由题意的由“定弦定角”模型，可知,,作出的外接圆，圆，设圆的半径为，则的最小值即为，根据勾股定理即可求得，，从而求得最小值．
【详解】（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过作,
，，
，
，
，，
，
故答案为：；
（2）①，
，
，
点是的内心，
平分，
，
，
，
，
；
②如图，作的外接圆，圆，连接，过作交的延长线于点，
由题意的由“定弦定角”模型，可知,,
作出的外接圆，圆心为，设圆的半径为，则的最小值即为，
，
设优弧所对的圆心角优角为，
则，
，
，
，
，
，
，四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
．
的最小值为．
【点睛】本题考查了“定弦定角”模型，圆周角定理，解直角三角形，线段最短距离，勾股定理正方形的性质，三角形全等的性质与判定，理解题意作出图形是解题的关键．
23．完成下表中有关正多边形的计算：
正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积
3
4 1
6
【答案】填表见解析．
【分析】首先根据题意画出图形，然后利用勾股定理等知识进行逐一求解即可．
【详解】解：如图（1）所示：中心角，内角∠A=60°
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴周长为：，面积为；
如图（2）所示：中心角， 内角∠A=90°
由题意可得△BOC和△OBE都是等腰直角三角形，
∵边心距为1
∴，
∴边长为2，半径为 ，
∴周长为8，面积为4；
如图（3）所示：内角为120°，中心角，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOM=30°，AM=BM，
∴AO=2AM
∵边心距为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴半径为2，边长为2，
∴周长为12，面积，
故答案为：
正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积
3
4 1
6
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
24．如图，在中，利用尺规作图，画出的外接圆或内切圆（任选一个．不写作法，必须保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】分别利用三角形外心的确定方法以及内心的确定方法得出圆心位置，进而得出即可．
【详解】解：如图所示：外接圆（图1），内切圆（图2）
【点睛】题目主要考查三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心及垂直平分线与角平分线的作法，熟练掌握三角形内心与外心的确定方法是解题关键．
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27.4正多边形和圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
2．如图，已知的内接正方形的边长为1，则的半径为（ ）
A． B． C．1 D．
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（ ）
A．80° B．100° C．60° D．40°
4．已知：如图，点是的内心，连接并延长交于点，则下列命题中正确的（ ）
A．是的平分线 B．是边上的高
C．是边上的中线 D．是边上的中垂线
5．如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是( )
A．R B．R C．R D．R
6．如图，正五边形的边长为2，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正六边形内接于，，则的长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
8．正方形的外接圆与内切圆的周长比为（ ）
A． B． C． D．
9．已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，,于D，⊙O为的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是( )
A．10 B．8 C．6 D．5
12．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（ ）
A．2mm B． C． D．4mm
二、填空题
13．如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE= °．
14．在正六边形ABCDEF中，对角线AC，BD相交于点M，则的值为 ．
15．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S= ．（结果保留根号）
16．如图，正六边形内接于，连接，则 ．
17．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为 度．
三、解答题
18．如图，正六边形的中心为原点O，顶点在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标．
19．如图，在中，点E是内心，延长交的外接圆于点D，连接，．求证：．
20．如图，把一个圆分成三个扇形，你能求出这三个扇形的圆心角吗？
21．用等分圆周的方法画出下列图案：
22．【问题提出】
如图1，为的一条弦，点在弦所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道的度数不变．爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点是不是在某个确定的圆上运动呢？
【问题探究】
为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若，线段上方一点满足，为了画出点所在的圆，小芳以为底边构造了一个，再以点为圆心，为半径画圆，则点在上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段的长度已知，的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
【模型应用】
（1）若，平面内一点满足，若点所在圆的圆心为，则________，半径的长为________．
（2）如图3，已知正方形以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点作于点，若点是的内心．
①求的度数；
②连接，若正方形的边长为，求的最小值．
23．完成下表中有关正多边形的计算：
正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积
3
4 1
6
24．如图，在中，利用尺规作图，画出的外接圆或内切圆（任选一个．不写作法，必须保留作图痕迹）
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