中小学教育资源及组卷应用平台
第二十七章圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可．
【详解】解：根据题意得，
解得，，
即该圆锥母线的长为3cm．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
2．下列说法：①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③圆是中心对称图形；④任何一条直径都是圆的对称轴，其中说法正确的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据圆的性质依次判断即可得到答案.
【详解】①直径是圆中最长的弦，故正确；
②在同圆或等圆中，能够完全重合的两条弧是等弧，故②错误；
③圆是中心对称图形，故正确；
④任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故④错误，
正确的有2个，
故选：B.
【点睛】此题考查圆的性质，正确掌握弦、等弧的定义，圆的对称性是解题的关键.
3．圆锥的底面半径为6，母线长为10，则圆锥的侧面积是（ ）
A．36π B．60π C．96π D．100π
【答案】B
【分析】圆锥的侧面积=×底面半径×母线长，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：∵圆锥的底面半径为6，母线长为10，
∴圆锥的侧面积=
故选：B．
【点睛】考查圆锥的侧面积的计算公式，熟记关于底面半径和母线长的圆锥的侧面积公式是解决本题的关键．
4．中心角为30°的圆内接正n边形的n等于( )
A．10 B．12
C．14 D．15
【答案】B
【详解】正n边形的n=360°÷30°=12，故选B．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角，解题的关键是要知道正多边形的中心角相等，一个周角为360度．
5．有一个矩形ABCD其长为4cm，宽为3cm，以D点为圆心作圆，使A，B，C三点其中有两点在圆内，一点在圆外，则⊙D的半径r的取值范围为( )
A．3【答案】C
【详解】∵在矩形ABCD中，长为4cm，宽为3cm，
∴对角线BD=5cm，
∴在A、B、C三个点中，到圆心D的距离最远的点是B，
∴要使A，B，C三点其中有两点在圆内，一点在圆外，则一定是点B在圆外，点A，C在圆内，
∴⊙D的半径r的取值范围为4
故选C．
6．如图1，点M表示我国古代水车的一个盛水筒．如图2，当水车工作时，盛水筒的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆．若被水面截得的弦长为，则在水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点作半径于E，如图，利用垂径定理得到再利用勾股定理计算出，然后计算出的长即可．
【详解】解：过点作半径于E，
m，
在中，，
．
答：水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度为．
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理以及垂径定理，关键是掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
7．大圆的半径是4厘米，小圆的直径是4厘米，大圆的面积是小圆面积的（ ）
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍
【答案】B
【分析】根据题意分别求出大圆和小圆的面积，然后列式求解即可．
【详解】解：由题意得：
大圆的面积为；
小圆的面积为；
则有，即大圆的面积是小圆面积的4倍；
故选B．
【点睛】本题主要考查圆的面积计算公式，熟练掌握圆的面积计算公式是解题的关键．
8．如图，在⊙O中，C为弦AB上一点，AC＝2，BC＝6，⊙O的半径为5，则OC＝（ ）
A． B．4 C．3 D．
【答案】A
【分析】过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，先根据垂径定理求出AD的长，再由勾股定理求出OD的长，在Rt△OCD中根据勾股定理即可得出OC的长．
【详解】解：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
∵AC＝2，BC＝6，
∴AB=8，
∴AD=AB=4，
在Rt△AOD中，OA=5，AD=4，
∴OD==3，
在Rt△COD中，OD=3，CD=AD-AC=4-2=2，
∴OC=，
故选：A．
【点睛】此题考查圆的垂径定理，勾股定理，根据题意引出辅助线，利用垂径定理和勾股定理进行计算是解题的关键．
9．如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）．
A．60° B．45° C．30° D．22．5°
【答案】C
【详解】设正六边形每个内角是a，(6-2)a, a=120°，所以∠DAB=60°，AD是直径，∠ADB=30°，所以选C.
10．下列说法①直径是弦 ②半圆是弧 ③弦是直径 ④弧是半圆，其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】根据弦和弧的有关定义判断.
【详解】直径是弦，①正确；半圆是弧，②正确；连接圆上任意两点间的部分叫做弦，③错误；圆上任意两点间的部分叫做弧，④错误.故选B.
【点睛】本题主要考查弦和弧的定义，属基础题，掌握这些知识点是解题的关键.
11．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．
【详解】解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；
②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；
③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；
④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．
故选：B．
12．如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过上一点T作⊙O的切线TC，且TC⊥AD于点C．若∠DAB＝58°，求∠ATC的度数是（ ）
A．51° B．58° C．61° D．58°
【答案】C
【分析】连接OT，根据切线的性质可得OT⊥CT，结合已知条件即可求出∠ATC的度数．
【详解】解：（1）如图，连接OT，如图所示：
∵CT为⊙O的切线，
∴OT⊥CT，
∵TC⊥AC，
∴OT∥AC，
∴∠DAT=∠OTA，
∵OA=OT，
∴∠OAT=∠OTA，
∵∠DAB=58°，
∴∠DAT=∠OAT=DAB=29°，
∵TC⊥AC，
∴∠ACT=90°，
∴∠ATC=90°﹣29°=61°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，作出辅助线，求出是解题的关键．
二、填空题
13．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，O为圆心，OD⊥AB，垂足为D，OE⊥AC，垂足为E，若DE=3，则BC= ．
【答案】6
【详解】解：∵O为圆心，OD⊥AB，垂足为D，OE⊥AC，垂足为E，
∴根据垂径定理，得AD=BD，AE=CE.
∴DE是△ABC的中位线.
∵DE=3，
∴BC=2DE=6.
14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F分别是边BC、DC上的动点，且EF＝4，Q为EF中点，P是边AD上的一个动点，则PQ+PB的最小值是 ．
【答案】
【分析】延长BA到B′，使B′A＝AB，PB+PQ＝PB′+PQ，当B′，P，Q三点共线时，PB′+PQ的值最小，根据题意，点Q的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆弧上，圆外一点B′到圆上一点Q距离的最小值B′Q＝B′C﹣2，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图所示：要，
延长BA到B′，使B′A＝AB，
PB+PQ＝PB′+PQ，
当B′，P，Q三点共线时，PB′+PQ的值最小，
根据题意，点Q的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆弧上，
圆外一点B′到圆上一点Q距离的最小值B′Q＝CB′﹣2，
∵BC＝AB＝4，
∴BB′＝8，
∴B′C＝＝＝4，B′Q＝B′C﹣2＝4﹣2，
∴PB′+PQ的值最小是4﹣2，
即PQ+PB的最小值是4﹣2，
故答案为：4﹣2．
【点睛】本题考查了正方形的性质、轴对称-最短路线问题，勾股定理，正确的找到P点的位置是解题的关键．
15．如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在 上，且与点A，B 不重合，若∠P=26°，则∠C的度数为 °．
【答案】32
【分析】连接OA，根据切线的性质和直角三角形的性质求出∠O=64°．再根据圆周角的定理，求解即可．
【详解】解：连接OA，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAO=90°，
∴∠O=90°-∠P，
∵∠P=26°，
∴∠O=64°，
∴∠C=∠O=32°．
故答案为：32．
【点睛】此题考查了切线的性质以及圆周角定理，解题的关键是正确利用切线的定理，作出辅助线，求出∠O的度数．
16．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 m．
【答案】4
【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，由垂径定理得到AE=BE=8，再利用勾股定理计算出OE，然后即可计算出DE的长．
【详解】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE=BE=AB=×16=8，
在Rt△AEO中，OE=，
∴ED=OD-OE=10-6=4（m），
故答案为：4
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练应用垂径定理是解决问题的关键．
17．如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P(x，0)，则x的取值范围是 ．
【答案】，且x≠0
【分析】由题意得有两个极值点，过点与相切时，取得极值，作出切线，利用切线的性质求解即可．
【详解】由题意得x有两个极值点，过点P与⊙O相切时，x取得极值，作出切线，利用切线的性质求解即可：
如图，连接OD，
由题意得，OD＝1，∠DOP'＝45°，∠ODP'＝90°，
∴OP'＝，即x的极大值为．
同理当点P在y轴左边时也有一个极值点，
此时x取得极小值，x＝－．
综上可得x的范围为：－≤x≤，且x≠0．
【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，得出直线与圆相切时的长是解决问题的关键，难度一般，注意两个极值点的寻找．
三、解答题
18．（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP．
（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立．说明理由．
（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）1秒或5秒．
【分析】（1）由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=3，根据勾股定理可得DE=4，由题可得DC=DE=4，则有BC=5-4=1．易证∠DPC=∠A=∠B．根据ADBC=APBP，就可求出t的值．
【详解】解：（1）如图1，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∠BPC+∠APD=90°，
∴∠APD=∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴，
∴ADBC=APBP；
（2）结论ADBC=APBP仍成立；
证明：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，
又∵∠BPD=∠A+∠APD，
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，
∵∠DPC=∠A=θ，
∴∠BPC=∠APD，
又∵∠A=∠B=θ，
∴△ADP∽△BPC，
∴，
∴ADBC=APBP；
（3）如下图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD=BD=5，AB=6，
∴AE=BE=3
∴DE==4，
∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，
∴DC=DE=4，
∴BC=5-4=1，
∵AD=BD，
∴∠A=∠B，
又∵∠DPC=∠A，
∴∠DPC=∠A=∠B，
由（1）（2）的经验得AD BC=AP BP，
又∵AP=t，BP=6-t，
∴t（6-t）=5×1，
∴t=1或t=5，
∴t的值为1秒或5秒．
【点睛】本题考查圆的综合题．
19．如图所示，，．
（1）已知，求以为直径的半圆面积及扇形的面积；
（2）若的长度未知，已知阴影甲的面积为16平方厘米，能否求阴影乙的面积？若能，请直接写出结果；若不能，请说明理由．
【答案】（1）半圆面积为157，扇形的面积为157；（2）能，16平方厘米．
【分析】（1）我们运用圆的面积公式求出半圆的面积，用扇形的面积公式求出扇形的面积即可．
（2）我们借助第一题的解答结果，运用等量代换的方法可以求出阴影乙的面积．
【详解】（1）因为OB＝20，
所以S半圆＝×（20÷2）2，
＝×100，
≈157；
S扇形BOC＝××R2，
＝××202，
≈157；
答：半圆面积是157，扇形COB的面积是157．
（2）能求阴影乙的面积：
因为，∠AOB＝90°，∠COB＝45°，
所以半圆的直径OB，△BOD的底是OB，
高是半圆的半径即OB，
所以S半圆＝×OB×OB，
＝OB2；
S扇形BOC＝××OB2，
＝××OB2；
＝OB2；
所以S半圆＝S扇形BOC，
S半圆 ①＝S扇形 ①，
所以S甲＝S乙，
因为S甲＝16平方厘米，
所以S乙＝16平方厘米，
答：阴影乙的面积是16平方厘米．
【点睛】此题主要考查圆及扇形的面积，解题的关键是熟知公式的运用．
20．如图，⊙是的内切圆，D，E，F为切点，且，求，，的长．
【答案】
【分析】设，根据切线长定理列出方程即可．
【详解】解：设，
根据切线长定理得：，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了切线长定理，三元一次方程组的应用，根据切线长定理列出方程组是解本题的关键．
21．如图，为的直径，，交于点D，交于点E，．
(1)求的大小；
(2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得到，推出，根据等腰三角形的性质得到，最后利用求解，即可解题；
（2）连接，得到，再利用扇形面积公式和三角形面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：为的直径，
．
又，
．
又，
，
．
（2）解：连接．
，
．
，
．
，
．
【点睛】本题主要考查了扇形面积公式，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
22．如图，AB是的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF．
(1)求证：；
(2)猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)，理由详见解析
【分析】（1）连接OE，由于AM、DE是的切线，，
,而，于是可证，从而有，根据圆周角定理有，那么，从而有；
（2）连接OC，由（1）得，而，于是可得，再由（1）得，易证，从而可知是直角三角形，而F是斜边上的中点，于是．
【详解】（1）证明：连接OE，即有，
∵AM、DE是的切线，
∴，，
又∵，
在△AOD和△EOD中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
（2），
理由：连接OC，
∵BC、CE是的切线，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，
∴，
即，
在Rt△DOC中，
∵F是DC的中点，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，直角三角形的斜边中线等于斜边的一半等知识，掌握圆的切线的性质是解答本题的关键．
23．如图，已知．
求作：的内接等边．
小丽同学的作法及证明过程如下：
作法：①作直径；
②作半径的垂直平分线，垂足为，交于两点；
③连接，．
所以即为的内接等边三角形．
∵在中，垂直平分
∴，
∵
∴（①）
∵
∴为等边三角形
∴
∴（②）
∴为的内接等边三角形．
（1）在小丽同学的证明过程中，①、②两处的推理依据分别是 ； ．
（2）请你再给出一种作图方法．（尺规作图，保留作图痕迹）
【答案】（1）垂直平分线的性质；同弧所对圆周角相等；（2）见解析
【分析】（1）根据前面的证明条件以及结论可以求得所用的推理依据；
（2）以圆周上一点为圆心，以圆的半径长为半径画圆弧，交圆于一点，再以此点为圆心，继续画圆弧，以此类推，将圆周六等分，连接不相邻的两个交点即可．
【详解】解：（1），，∴为的垂直平分线，因此，理论依据为：垂直平分线的性质；
和都是弦所对的圆周角，因此，理论依据为：同弧所对的圆周角相等；
（2）以圆周上一点为圆心，以圆的半径长为半径画圆弧，交圆于一点，再以点为圆心，保持半径不变，继续画圆弧，交圆于点，以此类推，依次得到点，则即为所求，如下图：
【点睛】此题考查了圆的有关性质，涉及了同弧所对的圆周角相等，熟练掌握并应用圆的有关性质是解题的关键．
24．在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出发，沿边DC以1cm/s的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿边CB以1cm/s的速度向点B运动，当点E达到点C时，两点同时停止运动，连接AE、DF交于点P，设点E． F运动时间为t秒．回答下列问题：
(1)如图1，当t为多少时，EF的长等于cm
(2)如图2，在点E、F运动过程中，
①求证：点A、B、F、P在同一个圆(⊙O)上；
②是否存在这样的t值，使得问题①中的⊙O与正方形ABCD的一边相切 若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
③请直接写出问题①中，圆心O的运动的路径长为_________．
【答案】（1）t=4或8；（2）①证明见解析；②存在，t=3或12；③6cm．
【分析】（1）由题意易得DE=CF=t，则有EC=12-t，然后利用勾股定理求解即可；
（2）①由题意易证△ADE≌△DCF，则有∠CDF=∠DAE，然后根据平行线的性质可得∠APF=90°，进而可得∠B+∠APF=180°，则问题得证；
②由题意可知当⊙O与正方形ABCD的一边相切时，可分两种情况进行分类讨论求解：一是当圆与AD相切时，一是当圆与边DC相切时；
③由动点E、F在特殊位置时得出圆心O的运动轨迹，进而求解即可．
【详解】解：（1）由题意易得：DE=CF=t，
四边形ABCD是正方形，
AB=CD=BC=AD=12cm，∠C=∠B=∠ADC=∠DAB=90°，
EC=12-t，
EF的长等于cm，
在Rt△CEF中，，即
解得；
（2）①由（1）可得AB=CD=BC=AD=12cm，∠C=∠B=∠ADC=∠DAB=90°，DE=CF=t，
△ADE≌△DCF，
∠CDF=∠DAE，
∠CDF+∠PDA=90°，
∠DAE+∠PDA=90°，
∠ADP=∠APF=90°，
∠APF+∠B=180°，
由四边形APFB内角和为360°可得：∠PAB+∠PFB=180°，
点A、B、F、P在同一个圆(⊙O)上；
②由题意易得：当⊙O与正方形ABCD的一边相切时，只有两种情况；
a、当⊙O与正方形ABCD的边AD相切时，如图所示：
由题意可得AB为⊙O的直径，
t=12；
b、当⊙O与正方形ABCD的边DC相切于点G时，连接OG并延长交AB于点M，过点O作OH⊥BC交BC于点H，连接OF，如图所示：
OG⊥DC，GM⊥AB，HF=HB，
四边形OMBH、GOHC是矩形，
OH=BM=GC，OG=HC，
AB=BC=12cm，
OH=6，
CF=t，BF=12-t，
，
在Rt△FOH中，，即，
解得：；
综上所述：当或t=12时，⊙O与正方形ABCD的边相切；
③由（1）（2）可得：当点E与点D重合及点F与点C重合时，圆心在正方形的中心上；当点E与点C重合及点F与点B重合时，圆心在AB的中点上，故圆心的运动轨迹为一条线段，如图所示：
OP即为圆心的运动轨迹，即OP=6cm．
故答案为6cm．
【点睛】本题主要考查圆的综合，熟练掌握圆的性质及切线定理解题的关键，注意运用分类讨论思想解决问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第二十七章圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为（ ）．
A． B． C． D．
2．下列说法：①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③圆是中心对称图形；④任何一条直径都是圆的对称轴，其中说法正确的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．圆锥的底面半径为6，母线长为10，则圆锥的侧面积是（ ）
A．36π B．60π C．96π D．100π
4．中心角为30°的圆内接正n边形的n等于( )
A．10 B．12
C．14 D．15
5．有一个矩形ABCD其长为4cm，宽为3cm，以D点为圆心作圆，使A，B，C三点其中有两点在圆内，一点在圆外，则⊙D的半径r的取值范围为( )
A．36．如图1，点M表示我国古代水车的一个盛水筒．如图2，当水车工作时，盛水筒的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆．若被水面截得的弦长为，则在水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
7．大圆的半径是4厘米，小圆的直径是4厘米，大圆的面积是小圆面积的（ ）
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍
8．如图，在⊙O中，C为弦AB上一点，AC＝2，BC＝6，⊙O的半径为5，则OC＝（ ）
A． B．4 C．3 D．
9．如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）．
A．60° B．45° C．30° D．22．5°
10．下列说法①直径是弦 ②半圆是弧 ③弦是直径 ④弧是半圆，其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
11．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过上一点T作⊙O的切线TC，且TC⊥AD于点C．若∠DAB＝58°，求∠ATC的度数是（ ）
A．51° B．58° C．61° D．58°
二、填空题
13．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，O为圆心，OD⊥AB，垂足为D，OE⊥AC，垂足为E，若DE=3，则BC= ．
14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F分别是边BC、DC上的动点，且EF＝4，Q为EF中点，P是边AD上的一个动点，则PQ+PB的最小值是 ．
15．如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在 上，且与点A，B 不重合，若∠P=26°，则∠C的度数为 °．
16．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 m．
17．如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P(x，0)，则x的取值范围是 ．
三、解答题
18．（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP．
（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立．说明理由．
（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值．
19．如图所示，，．
（1）已知，求以为直径的半圆面积及扇形的面积；
（2）若的长度未知，已知阴影甲的面积为16平方厘米，能否求阴影乙的面积？若能，请直接写出结果；若不能，请说明理由．
20．如图，⊙是的内切圆，D，E，F为切点，且，求，，的长．
21．如图，为的直径，，交于点D，交于点E，．
(1)求的大小；
(2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
22．如图，AB是的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF．
(1)求证：；
(2)猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由．
23．如图，已知．
求作：的内接等边．
小丽同学的作法及证明过程如下：
作法：①作直径；
②作半径的垂直平分线，垂足为，交于两点；
③连接，．
所以即为的内接等边三角形．
∵在中，垂直平分
∴，
∵
∴（①）
∵
∴为等边三角形
∴
∴（②）
∴为的内接等边三角形．
（1）在小丽同学的证明过程中，①、②两处的推理依据分别是 ； ．
（2）请你再给出一种作图方法．（尺规作图，保留作图痕迹）
24．在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出发，沿边DC以1cm/s的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿边CB以1cm/s的速度向点B运动，当点E达到点C时，两点同时停止运动，连接AE、DF交于点P，设点E． F运动时间为t秒．回答下列问题：
(1)如图1，当t为多少时，EF的长等于cm
(2)如图2，在点E、F运动过程中，
①求证：点A、B、F、P在同一个圆(⊙O)上；
②是否存在这样的t值，使得问题①中的⊙O与正方形ABCD的一边相切 若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
③请直接写出问题①中，圆心O的运动的路径长为_________．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
