26.2二次函数的图像与性质同步练习（含解析）

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26.2二次函数的图像与性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，抛物线C2是由抛物线C1沿x轴平移得到的，它们的交点坐标为（－1，a），若抛物线C1表达式为，则抛物线C2的顶点坐标为（ ）
A．（－4，n－9m） B．（－4，9m－n） C．（－5，n－9m） D．（－5，9m－n）
2．已知二次函数的图象经过两点，则下列关系式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线的图象的顶点，点，的坐标分别为，，将沿轴向下平移使点平移到点，再绕点逆时针旋转，若此时点，的对应点，恰好落在抛物线上，则的值为（ ）
A． B．－1 C． D．－2
4．在平面直角坐标系中，已知点A（4，2），B（4，4）抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t（t≥0），当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是（ ）
A．3≤t≤6 B．3≤t≤4或5≤t≤6
C．3≤t≤4，t＝6 D．5≤t≤6
5．二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线的图象与x轴交于点，，若以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．抛物线不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．已知P（，）是平面直角坐标系的点，则点P的纵坐标随横坐标变化的函数解析式是（　　）
A． B． C． D．
9．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则m的取值范围为（ ）
A． B．或
C． D．或
11．关于函数．下列说法正确的是（ ）
A．无论m取何值，函数图像总经过点和
B．当时，函数图像与x轴总有2个交点
C．若，则当时，y随x的增大而减小
D．当时，函数有最小值
12．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8cm，CH是AB边上的高，正方形DEFG的边DE在高CH上，F，G两点分别在AC，AH上．将正方形DEFG以每秒1 cm的速度沿射线DB方向匀速运动，当点G与点B重合时停止运动．设运动时间为ts，正方形DEFG与△BHC重叠部分的面积为S cm2，则能反映S与t的函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数解析式是 ．
14．如图，二次函数的图象与轴交于点，点是点关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数的图象经过该二次函数图象上点及点，则关于的方程的解是 ．
15．抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是 ．
16．下列关于二次函数（a，m为常数，）的结论：
①当时，其图象与x轴无交点；
②其图象上有两点，其中，，；
③无论m取何值时，其图象的顶点在一条确定的直线上；
④若，当时，其图象与y轴交点在和之间．其中正确的结论是 （填写序号）．
17．已知点P(x1，y1)和Q(3，y2)在二次函数y=(x+k)(x k 2)的图象上，其中k≠0．若y1>y2，则x1的取值范围为 ．
三、解答题
18．已知二次函数y＝﹣x2＋2mx﹣m2﹣m＋2（m是常数）．
(1)若该函数图象与x轴有两个不同的公共点，求m的取值范围：
(2)求证：不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数y＝﹣x＋2的图象上：
(3)P（x1，y1），Q（x2，y2）是该二次函数图象上的点，当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，则m的取值范围是 　 　．
19．下表给出了代数式与x的一些对应值：
x …… 0 1 2 3 ……
…… 5 n c 2 ……
(1)根据表格中的数据，确定b，c，n的值．
(2)设，直接写出当时y的最大值．
20．二次函数的图象与轴只有一个交点；另一个二次函数的图象与轴交于两点，这两个交点的横坐标都是整数，且是小于的整数．
求：
(1)的值；
(2)二次函数的图象与轴交点的坐标．
21．在如图所示的网格平面直角坐标系中，每个网格的单位长度均为1，点A，B，C，D，E均在网格中的格点上，请回答下列问题．
(1)与一次函数图象有关
一次函数
坐标系中的一条“斜直线”
①正比例函数的图象　　　　　　（填“能”或“不能”）经过点A；
②若正比例函数的图象经过图中的某一点，则k　　　　　　0（填“”或“”）；
③一次函数的图象　　　　　　（填“能”或“不能”）同时经过点D和点E；
④若一次函数的图象经过其中的三点，则这三个点分别是　　　　　　．
(2)与反比例函数图象有关
反比例函数
分别居于两个象限的“双曲线”
①反比例函数的图象一定不经过点　　　　　　；
②反比例函数的图象　　　　　　（填“能”或“不能”）同时经过点D和点E；
③若反比例函数的图象经过点B和点C，则还可以经过点　　　　　　．
(3)与二次函数图象有关
二次函数
坐标系中的一条“抛物线”
①二次函数的图象　　　　　　（填“能”或“不能”）同时经过点A，点C和点E；
②抛物线一定经过点A和点　　　　　　；
③若二次函数的图象经过点D和点E，则a，b满足的关系式为　　　　　　；
④若二次函数的图象经过其中的三点，当a最大时，经过的点是　　　　　　；当a最小时，经过的点是　　　　　　．
22．已知二次函数图象经过点A（1，－2）和B（0，－5）．求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
23．如图在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为（1，0）和．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围．
24．已知．
(1)求S与t的函数关系式；
(2)当时，求S的值；
(3)求S的最大值或最小值．
《26.2二次函数的图像与性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A B A A C B B A
题号 11 12
答案 D B
1．C
【分析】先把抛物线C1表达式化为顶点式，得到顶点坐标，然后把交点坐标代入求得a的值，根据平移规律设抛物线C2的表达式，再把交点坐标代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴抛物线C1的顶点坐标为（3，n－9m），
∵（－1，a）在抛物线C1的图象上，
∴，解得，
∵抛物线C2是由抛物线C1沿x轴平移得到的，
∴设抛物线C2的解析式为，
∵（－1，a）也在抛物线C2的图象上，
∴，
∴，
∵，
∴解得或，
∴抛物线C2的顶点坐标为（－5，n－9m）或（3，n－9m）（点C1，舍去），
故选：C
【点睛】本题考查了抛物线的平移规律，根据平移规律设出平移后抛物线的解析式是解题的关键．
2．C
【分析】本题考查了二次函数图像的性质，根据性质即可作答．
【详解】关于轴的对称点为．
中二次项系数
当时，值随值的增大而增大
和的横坐标
故选：C．
3．A
【分析】先根据题意确定抛物线顶点的坐标，过作于，得到，的长，再根据题意，与重合，进而得到和的长，于是得到的坐标，由于在抛物线上，进而求解．
【详解】过作于，如图
∵抛物线的解析式：，
∴其顶点是，对称轴
∵
∴，
根据题意，与重合，
∵
∴
∴，
∴
∵，在抛物线上
∴
∴
故选：A
【点睛】本题考查了二次函数与几何图形的综合，几何图形的平移与旋转的性质，掌握数形结合的思想方法和灵活运用所学知识是解本题的关键．
4．B
【分析】根据题意知线段AB平行于y轴，先根据二次函数经过点A与点B构建方程，进而得出二次函数与线段交点解集即可．
【详解】解：根据题意知：
∵点，，
故对于二次函数与线段有公共点时，
即当x=4时，，
即，
当时，解得，
当时，解得，
∴的解集为或；
故选：B．
【点睛】此题考查二次函数与线段交点问题，主要理解函数图像与线段有交点的真实含义，难度一般，主要是计算．
5．A
【分析】本题考查二次函数的性质，懂得从二次函数顶点式中解出顶点坐标是解题的关键．
根据题目中函数的解析式即可直接得出此二次函数的顶点坐标．
【详解】，
∴二次函数的图象的顶点坐标为，
故选：A．
6．A
【详解】把，代入得，解得．抛物线的解析式为，设抛物线的顶点为点P，∴抛物线的顶点P坐标为，对称轴为直线，设C为AB的中点，则C点坐标为，∵以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，∴，∴，，即，∴．
7．C
【分析】求出抛物线的图像和轴、轴的交点坐标和顶点坐标，再根据二次函数的性质判断即可．
【详解】解：∵，其中二次项系数，
∴抛物线的图像开口向上，顶点坐标是且在第四象限，
当时，，解得：，，
∴抛物线的图像与轴的交点坐标是和，都在轴的正半轴上，当时，，
∴抛物线的图像与轴的交点坐标是，在轴的正半轴上，
∴抛物线的图像过第一、二、四象限，不过第三象限．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数图像上点的坐标特征．理解和掌握二次函数的性质是解题的关键．
8．B
【分析】由题意得，，然后消去m得到y与x关系式即可．
【详解】解：∵P（，）是平面直角坐标系中的点，
∴，，
∴，
∴
则点P的纵坐标随横坐标变化的函数解析式是，
故选：B．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，用含m的式子表示出x是解答本题的关键．
9．B
【分析】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质，可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致，反之也可，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．
【详解】解：A、由一次函数的图象可知 由二次函数的图象可知，两者相矛盾，故选项不符合题意；
B、由一次函数的图象可知 ，由二次函数的图象可知，两者相吻合，故选项符合题意；
C、由一次函数的图象可知由二次函数的图象可知，两者相矛盾，故选项符合题意；
D、由一次函数的图象可知由二次函数的图象可知，两者相矛盾，故选项符合题意；
故选：B．
10．A
【详解】由题意，∵当时，或，∴抛物线开口向上，且对称轴是直线，∴当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小，∵，，是抛物线上的两点，且，∴，∴，∴，∴．
11．D
【分析】根据函数的性质逐个求解即可．
【详解】解：A．∵ 当x＝1时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝0，
当x＝﹣1时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝2，
∴图像过（1，0）和（﹣1，2），
故选项错误，不符合题意；
B．∵当m＝0时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝1﹣x，
∴该函数与x轴只有一个交点，
故选项错误，不符合题意；
C．∵ 当m＞时，函数为开口向上的抛物线，则y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝m（x+）（x﹣1），
∴该函数的对称轴为直线x＝（1+）＝＜1，
∴当x＜1时，y随x的增大而可能减小也可能增大，
故选项错误，不符合题意；
D．∵若m＞0时，二次函数在顶点处取得最小值，
∴当x＝时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝﹣m+1，
故选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，二次函数的增减性，熟悉二次函数与坐标轴的交点坐标、对称轴，顶点坐标等求法，是解题的关键．
12．B
【分析】分当时，当时，当时三个阶段，分别求出三个阶段的函数关系式即可得到答案．
【详解】解：由题意得AH=CH=BH=4cm，FE=FG=GH=EH=2cm，
当时，如图1所示，设EF与CH交于K，则；
当时，如图2所示，设EF与BC交于M，则；
当时，如图3所示，设GF与BC交于L，则；
故选B．
【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，解题的关键在于能够根据题意得到三个阶段的函数表达式．
13．
【分析】设出二次函数的顶点式解析式，把（0，3）代入计算即可；
【详解】解：设二次函数解析式为，
把代入得：，
解得：，
则二次函数解析式为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
14．，
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，熟练掌握并理解函数图象的交点与方程的解的意义是关键．依据题意，当时，，从而点，又由抛物线为，可得对称轴，进而可得的坐标，再由方程的解可以看作与交点的横坐标，最后结合、的坐标可以判断得解．
【详解】解：由题意，当时，，
∴点．
又由抛物线为，
∴对称轴是直线，
∵点是点关于该二次函数图象的对称轴对称的点，
∴，
∵方程的解可以看作与交点的横坐标，，，
∴方程的解是，．
故答案为：，
15．或
【分析】先求出抛物线与轴另一交点的坐标，再利用函数图象即可而出结论．
【详解】解：抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，
抛物线与轴另一交点的坐标是，
当时，或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是二次函数与不等式，能根据题意利用数形结合求出的取值范围是解答此题的关键．
16．①③④
【分析】当时，则为正，从而可判断①正确；举反例即可判断②错误；抛物线的顶点坐标为(m，m+1)，即顶点的横坐标比纵坐标少1，即y=x+1，从而可判断③正确；求出抛物线与y轴的交点，根据，当时，可判断抛物线与y轴交点纵坐标的范围，从而可确定④正确．
【详解】当时，m+1>0，且，即，表明对任意x的取值，函数值都为正，也即抛物线始终位于x上方，从而抛物线与x轴无交点，故①正确；
当时，满足，但，此时函数值随自变量的增大而增大，即，故②错误；
抛物线的顶点坐标为(m，m+1)，即顶点的横坐标比纵坐标少1，即y=x+1，表明抛物线的顶点在直线y=x+1上运动，故③正确；
在中，当x=0时，，即抛物线与y轴的交点为；当时，，所以抛物线与y轴的交点在和之间，故④正确．
故答案为：①③④
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与坐标轴交点问题等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
17．x1＞3或x1＜-1
【分析】先求得二次函数y=(x+k)(x k 2)的图象与x轴的交点坐标，求得其对称轴为x=1，再求得点Q(3，y2)关于x=1的对称点为Q1(-1，y2)，利用数形结合思想即可解答．
【详解】：令(x+k)(x k 2)=0，解得：x=-k，x=k+2，
∴对称轴为x==1，
∴Q(3，y2)关于x=1的对称点为Q1(-1，y2)，
∵a=1>0，
∴抛物线开口向上，
画出草图，如图：
若y1>y2，则x1的取值范围为：x1＞3或x1＜-1．
故答案为：x1＞3或x1＜-1．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合思想．
18．(1)m＜2
(2)证明见详解
(3)m≤0或m＝1
【分析】（1）考查函数图象与x轴的交点问题，直接求解即可：
（2）求出函数解析式的顶点坐标，然后代入一次函数解析式y＝﹣x＋2判断即可：
（3）根据二次函数图象的对称轴和顶点去判断增减性，得到m的取值范围．
【详解】（1）令y＝0，则﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2＝0，
∵a＝﹣1，b＝2m，c＝﹣m2﹣m+2，
∴b2﹣4ac＝（2m）2+4（﹣m2﹣m+2）＝﹣4m+8，
∵函数图象与x轴有两个不同的公共点，
∴方程﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2＝0有两个不同的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，即﹣4m+8＞0，
解得：m＜2，
∴m＜2时该函数图象与x轴有两个不同的公共点．
（2）证明：∵二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2＝﹣（x﹣m）2﹣m+2，
得顶点坐标为（m，﹣m+2），
将x＝m代入y＝﹣x+2得：y＝﹣m+2，
∴不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数y＝﹣x+2的图象上．
（3）由（2）可知抛物线的顶点为（m，﹣m+2），
当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
又∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，
∴得出m≤1，
当x＞1时，y＜﹣m2+m+1．
要使y2＜y1＜1恒成立，
则﹣m2+m+1≤1，
∴m2﹣m≥0，
解得：m≥1或m≤0，
综上所述：m≤0或m＝1,
故答案为：m≤0或m＝1．
【点睛】本题考查了二次函数图象问题，二次函数与一元二次方程的关系，正确理解二次函数图象和一元二次方程的关系，数形结合思想的熟练应用是解题的关键．特别是根据二次函数最值与对称称来判断函数增减性是难点，也是易错点，必要的数形结合加以理解很重要．
19．(1)
(2)y的最大值是5
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）根据时，代数式的值可得一个关于b，c的二元一次方程组，解方程组可得b，c的值，再将代入代数式即可得n的值；
（2）先将二次函数化成顶点式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：根据表格数据可得，
解得：，
，
当时，，
；
（2）解：由（1）可知：，
，
当时，y随x的增大而减小，
当时，y最大．
20．(1)；
(2)，
【分析】（）利用抛物线图象与轴交点个数得出求出即可；
（）根据（）中所求以及，得出的取值范围，进而利用图象与轴交点的横坐标都是整数得出的值，进而得出答案；
此题主要考查了抛物线与轴交点问题与判别式的关系和一元二次方程的解法等知识，熟练掌握时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点是解题的关键．
【详解】（1）∵二次函数的图象与轴只有一个交点，
∴，
解得：；
（2）将代入二次函数解析式得：，
∵二次函数的图象与轴交于两点，
∴，
解得：，
∵是小于的整数，
∴，
∴或，
∵二次函数的图象与x轴交点的横坐标都是整数，
∴当时，即与轴交点坐标为：，，
当时，，与轴交点坐标为，不合题意舍去，
∴二次函数与轴交点坐标为：，．
21．(1)①不能；②；③不能；④A，C，E
(2)①A；②不能；③E
(3)①不能；②B；③；④A，D，E；A，B，D
【分析】题目主要考查正比例函数、反比例函数及二次函数的图像和性质，熟练掌握三个函数的图像及性质是解题关键．
（1）根据正比例函数的图像和性质依次判断求解即可；
（2）根据反比例函数的图像和性质依次求解即可；
（3）根据二次函数的基本性质及图像求解即可．
【详解】（1）解：①正比例函数的图象经过原点，所以不能经过点A；
②∵图中的点在一象限，
∴若正比例函数的图象经过图中的某一点，则k>0；
③一次函数的图象不能同时经过点D和点E；
④若一次函数的图象经过其中的三点，则这三个点分别是A，C，E，在同一直线上，
故答案为：①不能；②；③不能；④A，C，E；
（2）①反比例函数与坐标轴无交点，
故的图象一定不经过点A；
②反比例函数的图象不能同时经过点D和点E；
③若反比例函数的图象经过点B和点C，则还可以经过点E；
故答案为：①A；②不能；③E；
（3）①二次函数的图象不能同时经过点A，点C和点E；
②抛物线的对称轴为：，
点A和点B关于对称，
∴一定经过点A和点B；
③若二次函数的图象经过点D和点E，即，
代入得：，
两式相减整理得：，
∴a，b满足的关系式为；
④若二次函数的图象经过其中的三点，当a最大时，表示开口越大，经过的点是A，D，E；；当a最小时，开口最小，经过的点是A，B，D．
故答案为：①不能；②B；③；④A，D，E；A，B，D．
22．图象的顶点坐标为（－1，－6）
【详解】把点A（1，－2）和B（0，－5）代入，
得解得
∴二次函数的表达式为，
∵，∴图象的顶点坐标为（－1，－6）．
23．(1)
(2)或
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）分别求出图象对称轴及时x的值，结合图象即可得到x的取值范围．
【详解】（1）将（1，0）和代入中，得
，
解得，
∴此二次函数的表达式为；
（2）∵，
∴图象的对称轴为直线，
∵图象与y轴交点为，
∴点关于对称轴对称的点的坐标为，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当时，或．
【点睛】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，配方法将函数解析式化为顶点式，确定函数图象的顶点坐标，对称轴，利用函数图象求函数值，熟记二次函数的性质是解题的关键．
24．(1)
(2)25
(3)S有最小值-11
【分析】（1）将x和y的表达式代入S的表达式即可；
（2）将代入（1）中得到的函数表达式求解即可；
（3）将（1）中的函数表达式化为顶点式即可解答．
【详解】（1）解：将代入得：
，
∴S与t的函数关系式为：．
（2）将代入得：，
∴当时．
（3），
∴当时，函数S有最小值-11．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是将函数表达式化为顶点式，得出函数的最值．
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