26.3实践与探索同步练习（含解析）
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26.3实践与探索
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
2．某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面，拱桥最高处点C到水面的距离为，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），警示灯F距水面的高度是，则这两盏灯的水平距离是（ ）
A． B． C． D．
3．已知关于x的方程的两个根分别是-1和3，若抛物线与y轴交于点A，过A作轴，交抛物线于另一交点B，则AB的长为（ ）
A．2 B．3 C．1 D．1.5
4．2019年在武汉市举行了军运会．在军运会比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1米，球落地点A到O点的距离是（ ）
A．1米 B．3米 C．4米 D．米
5．如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图像如图2，则下列说法正确的是（ ）
A．矩形的最大面积为8平方米 B．与之间的函数关系式为
C．当时，矩形的面积最大 D．的值为12
6．如图，点P，Q从边长为2的等边三角形的点B出发，分别沿着，两边以相同的速度在的边上运动，当两点在边上运动到重合时停止．在此过程中，设点P，Q移动过程中各自的路程为x，所得的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．在某圆形喷水池的池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若喷出的抛物线形水柱解析式为（0≤x≤3），则水管长为( )
A．1m B．2m C．m D．3m
8．北京冬奥会跳台滑雪项目比赛其标准台高度是90m．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（ ）
A．10m B．15m
C．20m D．22.5m
9．如图，铅球运动员掷铅球的高度与水平距离之间的函数关系式是，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
A． B． C． D．
10．小明以二次函数的图象为灵感为某葡萄酒大赛设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（ ）
A．12 B．11 C．6 D．3
11．某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A．6s B．7s C．8s D．9s
12．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据、根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
二、填空题
13．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是，则飞机着陆滑行到停止，最后6s滑行的路程 m．
14．某商品的进货单价为30元/个，当销售单价为40元/个时，每天能卖出40个．若销售单价每上涨1元/个，则每天的销量就减少1个．设该商品的销售单价上涨元/个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为 ．
15．用一根长为20米的绳子，围成一个矩形，设矩形一边长x米，则面积 ，围成的矩形的最大面积是 ．
16．乐乐要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为（单位：）的边与这条边上的高之和为，这个三角形的面积（单位：）随的变化而变化．
（1）与之间的函数解析式为 （写出自变量的取值范围）；
（2）当 时，这个三角形的面积最大，最大面积是 ．
17．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为 ．
三、解答题
18．已知：如图1，在矩形ABCD中，AC是对角线，．点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为．过点Q作，QE与BC相交于点E，连接PQ，设运动时间为，解答下列问题：
(1)连接BQ，当t为何值时，点E在线段BQ的垂直平分线上？
(2)设四边形BPQC的面积为，求y与t之间的函数关系式；并求四边形BPQC的面积为y是矩形ABCD面积的十二分之五时的t的值，
(3)如图2，取点E关于AC的对称点F，是否存在某一时刻t，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值（不需提供解答过程）；若不存在，请说明理由．
(4)t为何值时，Q、F、D三点共线？
19．为响应国家提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款可控温杯，每个的生产成本为18元，投放市场进行试销，经过调查得到每月销售量（万/个）与销售单价（元/个）之间的部分数据如下：
销售单价（元/个） … 20 25 30 35 …
每月销售量（万/个） … 60 50 40 30 …
(1)试判断与之间的函数关系，并求出函数关系式；
(2)设每月的利润为（万元），求与之间的函数关系式；
(3)该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定（产品利润率不高于50%），请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？求出最大利润．
20．丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/件） … 35 40 45 …
每天销售数量y（件） … 90 80 70 …
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
21．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)过点P作轴于点M，当和相似时，求点Q的坐标．
22．习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：
类型 占地面积 可供使用幢数 造价（万元）
A 15 18 1.5
B 20 30 2.1
(1)已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？
(2)当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似的表示为：，若每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？（精确到0.1）
23．广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币）
24．如图，已知抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若直线经过B，C两点，则________；_________；
(3)在抛物线对称轴上找一点E，使得的值最小，直接写出点E的坐标；
(4)设点P为x轴上的一个动点，是否存在使为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
《26.3实践与探索》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A C D A C B D A
题号 11 12
答案 A B
1．B
【分析】根据降价x元，则售价为元，销售量为件，由题意可得等量关系：总销售额为销量售价，根据等量关系列出函数解析式即可．
【详解】解：降价x元，则售价为元，销售量为件，
根据题意得，，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出函数表达式，是解题的关键．
2．A
【分析】根据题意，可以设抛物线的解析式为，然后根据题意可得点A的坐标，再代入抛物线解析式，即可求得a的值，再将代入，即可求得相应的x的值，从而即可求解．
【详解】解：解：设该抛物线的解析式为，
由题意可得，点A的坐标为，
将代入得，，
解得，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得，，
∴，，
∴这两盏灯的水平距离是：（米），
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想求解．
3．A
【分析】根据方程的两根求出b、c的值，代入抛物线解析式，求出点A坐标，A、B两点纵坐标相同，从而求出B点坐标，AB的长即可求出．
【详解】将-1，3分别代入，
，
解得，
∴抛物线解析式为：，
∴与y轴交点为：A（0，6），
∵AB⊥y轴，∴B的纵坐标为6，
代入抛物线解得，，
∴B（2，6）
∴AB=2-0=2．
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线与y轴的交点，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握根与系数的关系是解题的关键．
4．C
【分析】令y=0，则=0，解方程得出点A坐标，即可求解．
【详解】解：令y=0，则，
化简整理，得，
解得：，，
∵点A在x轴的正半轴上，
∴A(4，0)，
∴OA=4米，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握求抛物线与坐标轴的交点是解题的关键．
5．D
【分析】观察图2，得出当时，函数值最大，根据题意确定a的值，并可求出二次函数解析式，即可做出正确判断．
【详解】解：由图2可知，函数图像最高点为，经过原点，
设二次函数解析式为，
代入，解得，
由此判断：A．矩形最大面积是4平方米，选项错误；
B．二次函数解析式为，选项错误；
C．矩形面积最大时，，选项错误；
D．当时，矩形面积取最大值，，，选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图像和性质，解题的关键是识别函数图像，确定自变量的取值为何值时函数取得最大值，并利用待定系数法求得函数解析式．
6．A
【分析】分0≤x≤2和2＜x≤3两部分讨论，当0≤x≤2时，得到，由于当2＜x≤3时，四个选项图象相同，根据二次函数图象与性质即可求解．
【详解】解：如图，当0≤x≤2时，作QD⊥BP，垂足为D，
由题意得△BPQ是等边三角形，
∴BD=BP=x，
∴QD，
∴，
∴当0≤x≤2时，y是x的二次函数，且开口向上，对称轴为y轴，
由于当2＜x≤3时，图象相同，
∴A选项符合条件．
故选：A
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，二次函数的图象与性质等知识，理解题意，分类讨论，得到y与x的函数关系式进而确定图象是解题关键．
7．C
【分析】根据函数解析式，令，可求出对应的y值，即为水管的长度．
【详解】解：函数解析式
令，则
则水管的长度为
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，利用数形结合的思想根据函数表达式求解出对应的函数值是解决本题的关键．
8．B
【分析】将点（0，90.0）、（40，82.2）、（20，93.9）分别代入函数解析式，求得系数的值，然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．
【详解】解：根据题意知，抛物线（）经过点（0，90.0）、（40，82.2）、（20，93.9），
则，
解得：，
∴（m）．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用．熟练掌握抛物线的对称轴公式是解决本题的关键．此题也可以将所求得的抛物线解析式利用配方法求得顶点式方程，然后直接得到抛物线顶点坐标，由顶点坐标推知该运动员起跳后飞行到最高点时的水平距离即可．
9．D
【分析】
依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令，求x的正数值．
【详解】
解：把代入得：
，
解之得：．
又，解得．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
10．A
【分析】首先由求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为x=3，代入抛物线方程，得到y=14，所以CD=14-6=8，又DE=4，所以可知杯子高度．
【详解】∵，
∴D点的坐标为(1,6)，抛物线的对称轴为x=1，
∵AB=4，
∴CB=CA=2，
∴B点的横坐标为：2+1=3，
代入B点横坐标即可求出B点的纵坐标，
∴当x=3时，，
∴B点纵坐标为14，
∵D点的纵坐标为6，
∴CD=14-6=8，
∴CE=CD+DE=8+4=12，
则杯子的高度为12，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键．
11．A
【分析】把二次函数的一般式写成顶点式，找出顶点坐标，即可知道多长时间后得到最高点．
【详解】
∵，
∴二次函数的图象开口向下，
∴当时，升到最高点，
故选：A.
【点睛】本题考查二次函数的应用，判断出所求时间为二次函数的顶点坐标的横坐标的值是解决本题的关键．
12．B
【分析】本题主要考查二次函数的应用，先结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，将解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质可得答案．
【详解】解：由题意知，函数经过点，，，
则，
解得：，
，
最佳加工时间为3.75分钟，
故选：B．
13．18
【分析】求出飞机着陆滑行到停止所用的总时间，求出飞机滑行的总路程再减去最后6s之前所滑行的路程即为所求．
【详解】由题意可得∶当 时，飞机停下，
当时，
当时， ，
∴飞机着陆滑行到停止，最后6s滑行的路程为： ．
故答案为∶18．
【点睛】本题考查二次函数的应用，正确的理解题意，求出飞机着陆用的总时间是解题的关键．
14．
【分析】根据销售问题中数量关系：建立函数式．
【详解】解：，
故答案为：
【点睛】本题考查销售问题的数量关系，列函数关系式，理解销售问题的数量关系是解题的关键．
15．
【分析】直接利用矩形面积公式得出y与x之间的关系，再利用二次函数的性质解题即可．
【详解】解：设矩形的一边长为，则另一边长为：，
根据题意可得：
∵
当时，函数最大值为平方米．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，二次函数的性质，正确表示出矩形的边长是解题关键．
16． 20
【分析】（1）根据题意可知，这个三角形中一边为，这条边上的高为，然后根据三角形面积公式即可获得答案；
（2）根据，即可获得答案．
【详解】解：（1）根据题意，可知在这个三角形中，其中一边为，这条边上的高为，
则该三角形的面积；
（2）∵，
∴当时，这个三角形的面积最大，最大面积是．
故答案为：（1）；（2）20，．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，理解题意，正确得出二次函数解析式是解题关键．
17．2
【分析】本题考查了二次函数的应用，先根据长方形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果．
【详解】解：由题意得修改后的花园面积，
∵，
∴当时，修改后的花园面积达到最大，
故答案为：2．
18．(1)t=2
(2)；或
(3)或
(4)
【分析】（1）证明△ECQ∽△ACB，可得，可得EQ=，EC=，由题意点E在BQ的垂直平分线上，推出EB=EQ，由此构建方程，求解即可．
（2）如图2中，过点Q作QH⊥AB于H，则AQ=10-2t，QH=，根据y=S△ABC-S△APQ，求解即可得函数关系式，根据题意列出方程即可求解．
（3）分两种情形：①如图2-1中，当DC=DF时，连接DF，取AC的中点J，连接BJ，和点B作BH⊥AC于H，过点F作FK⊥CD于K．证明∠BJH=∠CFK，可得∠BJH=∠CFK，由此构建方程求解．②当CF=CD时，构建方程，求解即可．
（4）当Q、F、D三点共线时，根据,列出方程即可求解．
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵AB=6，BC=8，
∴AC=，
∵EQ⊥AC，
∴∠EQC=∠B=90°，
∵∠ECQ=∠ACB，
∴△ECQ∽△ACB，
∴，
∴，
∴EQ=，EC=
∵点E在BQ的垂直平分线上，
∴EB=EQ，
∴，
∴t=2．
（2）如图2中，过点Q作QH⊥AB于H，则AQ=10-2t，QH=，
∵AP=t，
∴S△APQ= AP QH= t （10-2t）=t2+4t，
∴y=S△ABC-S△APQ=×6×8-（-t2+4t）=t2-4t+24（0＜t≤）．
矩形的面积为
四边形BPQC的面积为y是矩形ABCD面积的十二分之五时，
解得或
（3）①如图2-1中，当FC=DF时，连接DF，取AC的中点J，连接BJ，和点B作BH⊥AC于H，过点F作FK⊥CD于K．
∵∠ABC=90°，AJ=JC，
∴BJ=AJ=JC=AC=5，
∴∠JBC=∠JCB，
∴∠BJH=∠BCJ+∠JCB=2∠JCB，
∵E，F关于AC对称，
∴∠ACE=∠ACF，CF=CE=t
∴∠FCE=2∠ACB=∠BJH，
∵FK⊥CD，CB⊥CD，
∴FK∥CB，
∴∠CFK=∠FCE=∠BJH，
∵BH⊥AC，
∴S△ACB= AB CB= AC BH，
∴BH=，
∵FD=FC，FK⊥CD，
∴CK=KD=3，
∵∠BJH=∠CFK，
∴sin∠BJH=sin∠CFK，
∴，
∴，
∴t=，
②当CF=CD时，，
∴t=，
综上所述，满足条件的t的值为或．
（4）当Q、F、D三点共线时，
，
，
，
，
即，
,，
，
解得．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
19．(1)是的一次函数，
(2)w=-2x2+136x-1800；
(3)当销售单价为27元时，公司每月获得的利润最大，最大利润为414万元．
【分析】（1）根据题意先判断为一次函数关系，再利用待定系数法即可得到结论；
（2）根据利润=销售量×（销售单价-成本），代入代数式求出函数关系式；
（3）根据产品利润率不得高于50%且成本价18元，得出销售单价的取值范围，进而利用二次函数的性质得出最大利润．
【详解】（1）解：由单价每增加5元，销售量减少10万个，可判断是的一次函数，
设销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y=kx+b，
把（20，60），（30，40）代入y=kx+b得
， 解得：，
∴每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y=-2x+100；
（2）由题意得，w=y（x-18）
=（-2x+100）（x-18）
=-2x2+136x-1800；
（3）∵销售利润率不能高于50%， 则x≤（1+50%）×18=27，
∵w=-2x2+136x-1800=-2（x-34）2+512，
∴图象开口向下，对称轴左侧w随x的增大而增大，
∴x=27时，w最大为：414万元． 当销售单价为27元时，公司每月获得的利润最大，最大利润为414万元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是得出销售利润的表达式，要求同学们熟练掌握配方法求二次函数最值的应用．
20．(1)y＝﹣2x+160
(2)销售单价应定为50元
(3)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元
【分析】（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，用待定系数法可得y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得（x﹣30） （﹣2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，w＝（x﹣30） （﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【详解】（1）解：设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，
把（35，90），（40，80）代入得：，
解得，
∴y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得：（x﹣30） （﹣2x+160）＝1200，
解得x1＝50，x2＝60，
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，
∴x＝50，
答：销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，
w＝（x﹣30） （﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，
而x≤54，
∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【点睛】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．
21．(1)，，；
(2)点Q的坐标是或或．
【分析】（1）分别令和，求解即可得出答案；
（2）求出抛物线的对称轴，设，则，，，再分两种情况：①当时，②当时，分别利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：在中，令得，即，
令，得，解得或，即，；
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
设，则，，，
∵，，
∴，，，，
∵，
∴和相似只需或，
①当时，，
解得或，
∴或；
②当时，，
解得或（舍去），
∴，
综上所述，点的坐标是或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点问题、二次函数的图象和性质，、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
22．(1)当建造A型处理点9个，建造B型处理点11个时最省钱
(2)每个A型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低
【分析】（1）首先依据题意得出不等关系即可供建造垃圾初级处理点占地面积＜等于370m2，居民楼的数量大于等于490幢，由此列出不等式组；再根据题意求出总费用为y与A型处理点的个数x之间的函数关系，进而求解；
（2）分0≤x＜144、144≤x＜300两种情况，分别利用二次函数和反比例函数的性质求出函数的最小值，进而求解．
【详解】（1）解：设建造A型处理点x个，则建造B型处理点（20﹣x）个．
依题意得：，
解得6≤x≤9.17，
∵x为整数，
∴x＝6，7，8，9有四种方案；
设建造A型处理点x个时，总费用为y万元．则：y＝1.5x+2.1（20﹣x）＝﹣0.6x+42，
∵﹣0.6＜0，
∴y随x增大而减小，当x＝9时，y的值最小，此时y＝36.6（万元），
∴当建造A型处理点9个，建造B型处理点11个时最省钱；
（2）解：由题意得：每吨垃圾的处理成本为（元/吨），
当0≤x＜144时，＝（x3﹣80x2+5040x）＝x2﹣80x+5040，
∵>0，故有最小值，
当x＝﹣＝﹣＝120（吨）时，的最小值为240（元/吨），
当144≤x＜300时，＝（10x+72000）＝10+，
当x＝300（吨）时，＝250，即＞250（元/吨），
∵240＜250，
故当x＝120吨时，的最小值为240元/吨，
∵每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍且A型处理点9个，建造B型处理点11个，
∴每个A型处理点每月处理量＝×120×≈5.4（吨），
故每个A型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低．
【点睛】本题考查了二次函数、反比例函数和一元一次不等式组的应用，题目有效地将现实生活中的事件与数学思想联系起来，弄懂题意、列出函数关系式是解题的关键．
23．该果商定价为4.5万元/吨时才能使每天的“利润”或“销售收入”最大，其最大值为312.5万元
【详解】6．解：设该果商定价为万元/吨，每天的“利润”为万元，
，，
当时，有最大值，最大值为312.5．
答：该果商定价为4.5万元/吨时才能使每天的“利润”或“销售收入”最大，其最大值为312.5万元．
24．(1)；
(2)，；
(3)；
(4)存在，，，，
【分析】（1）把点两点的坐标分别代入抛物线解析式求出和的值即可；
（2）利用待定系数法可得和的值；
（3）由(2)知直线的解析式为，再确定抛物线的对称轴方程，设直线与直线相交于点，根据轴对称的最短路径可知此时的值最小，从而得到此时点的坐标；
（4）存在，分情况讨论：以为腰和底边，分别画图，进而即可求得点的坐标．
【详解】（1）解：抛物线过，
解得
抛物线的解析式为
（2）解： 把代入中得：
解得：
故答案为：1,6
（3）解：如图1，由(2)知：直线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线
直线与直线相交于点，则，此时最小，
此时点的坐标为
（4）解： ,
分三种情况：
①，如图2，此时点的坐标为或
②当，此时与重合时，也是等腰三角形，此时;
③当，此时垂直平分，如图3，此时点的坐标为
综上所述，点的坐标为，，，
【点睛】此题主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法求解析式、三点共线求最短路线的长度以及等腰三角形的性质，要求学生熟练掌握．
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26.3实践与探索
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
2．某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面，拱桥最高处点C到水面的距离为，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），警示灯F距水面的高度是，则这两盏灯的水平距离是（ ）
A． B． C． D．
3．已知关于x的方程的两个根分别是-1和3，若抛物线与y轴交于点A，过A作轴，交抛物线于另一交点B，则AB的长为（ ）
A．2 B．3 C．1 D．1.5
4．2019年在武汉市举行了军运会．在军运会比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1米，球落地点A到O点的距离是（ ）
A．1米 B．3米 C．4米 D．米
5．如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图像如图2，则下列说法正确的是（ ）
A．矩形的最大面积为8平方米 B．与之间的函数关系式为
C．当时，矩形的面积最大 D．的值为12
6．如图，点P，Q从边长为2的等边三角形的点B出发，分别沿着，两边以相同的速度在的边上运动，当两点在边上运动到重合时停止．在此过程中，设点P，Q移动过程中各自的路程为x，所得的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．在某圆形喷水池的池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若喷出的抛物线形水柱解析式为（0≤x≤3），则水管长为( )
A．1m B．2m C．m D．3m
8．北京冬奥会跳台滑雪项目比赛其标准台高度是90m．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（ ）
A．10m B．15m
C．20m D．22.5m
9．如图，铅球运动员掷铅球的高度与水平距离之间的函数关系式是，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
A． B． C． D．
10．小明以二次函数的图象为灵感为某葡萄酒大赛设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（ ）
A．12 B．11 C．6 D．3
11．某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A．6s B．7s C．8s D．9s
12．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据、根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
二、填空题
13．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是，则飞机着陆滑行到停止，最后6s滑行的路程 m．
14．某商品的进货单价为30元/个，当销售单价为40元/个时，每天能卖出40个．若销售单价每上涨1元/个，则每天的销量就减少1个．设该商品的销售单价上涨元/个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为 ．
15．用一根长为20米的绳子，围成一个矩形，设矩形一边长x米，则面积 ，围成的矩形的最大面积是 ．
16．乐乐要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为（单位：）的边与这条边上的高之和为，这个三角形的面积（单位：）随的变化而变化．
（1）与之间的函数解析式为 （写出自变量的取值范围）；
（2）当 时，这个三角形的面积最大，最大面积是 ．
17．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为 ．
三、解答题
18．已知：如图1，在矩形ABCD中，AC是对角线，．点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为．过点Q作，QE与BC相交于点E，连接PQ，设运动时间为，解答下列问题：
(1)连接BQ，当t为何值时，点E在线段BQ的垂直平分线上？
(2)设四边形BPQC的面积为，求y与t之间的函数关系式；并求四边形BPQC的面积为y是矩形ABCD面积的十二分之五时的t的值，
(3)如图2，取点E关于AC的对称点F，是否存在某一时刻t，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值（不需提供解答过程）；若不存在，请说明理由．
(4)t为何值时，Q、F、D三点共线？
19．为响应国家提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款可控温杯，每个的生产成本为18元，投放市场进行试销，经过调查得到每月销售量（万/个）与销售单价（元/个）之间的部分数据如下：
销售单价（元/个） … 20 25 30 35 …
每月销售量（万/个） … 60 50 40 30 …
(1)试判断与之间的函数关系，并求出函数关系式；
(2)设每月的利润为（万元），求与之间的函数关系式；
(3)该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定（产品利润率不高于50%），请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？求出最大利润．
20．丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/件） … 35 40 45 …
每天销售数量y（件） … 90 80 70 …
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
21．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)过点P作轴于点M，当和相似时，求点Q的坐标．
22．习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：
类型 占地面积 可供使用幢数 造价（万元）
A 15 18 1.5
B 20 30 2.1
(1)已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？
(2)当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似的表示为：，若每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？（精确到0.1）
23．广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币）
24．如图，已知抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若直线经过B，C两点，则________；_________；
(3)在抛物线对称轴上找一点E，使得的值最小，直接写出点E的坐标；
(4)设点P为x轴上的一个动点，是否存在使为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
《26.3实践与探索》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A C D A C B D A
题号 11 12
答案 A B
1．B
【分析】根据降价x元，则售价为元，销售量为件，由题意可得等量关系：总销售额为销量售价，根据等量关系列出函数解析式即可．
【详解】解：降价x元，则售价为元，销售量为件，
根据题意得，，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出函数表达式，是解题的关键．
2．A
【分析】根据题意，可以设抛物线的解析式为，然后根据题意可得点A的坐标，再代入抛物线解析式，即可求得a的值，再将代入，即可求得相应的x的值，从而即可求解．
【详解】解：解：设该抛物线的解析式为，
由题意可得，点A的坐标为，
将代入得，，
解得，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得，，
∴，，
∴这两盏灯的水平距离是：（米），
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想求解．
3．A
【分析】根据方程的两根求出b、c的值，代入抛物线解析式，求出点A坐标，A、B两点纵坐标相同，从而求出B点坐标，AB的长即可求出．
【详解】将-1，3分别代入，
，
解得，
∴抛物线解析式为：，
∴与y轴交点为：A（0，6），
∵AB⊥y轴，∴B的纵坐标为6，
代入抛物线解得，，
∴B（2，6）
∴AB=2-0=2．
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线与y轴的交点，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握根与系数的关系是解题的关键．
4．C
【分析】令y=0，则=0，解方程得出点A坐标，即可求解．
【详解】解：令y=0，则，
化简整理，得，
解得：，，
∵点A在x轴的正半轴上，
∴A(4，0)，
∴OA=4米，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握求抛物线与坐标轴的交点是解题的关键．
5．D
【分析】观察图2，得出当时，函数值最大，根据题意确定a的值，并可求出二次函数解析式，即可做出正确判断．
【详解】解：由图2可知，函数图像最高点为，经过原点，
设二次函数解析式为，
代入，解得，
由此判断：A．矩形最大面积是4平方米，选项错误；
B．二次函数解析式为，选项错误；
C．矩形面积最大时，，选项错误；
D．当时，矩形面积取最大值，，，选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图像和性质，解题的关键是识别函数图像，确定自变量的取值为何值时函数取得最大值，并利用待定系数法求得函数解析式．
6．A
【分析】分0≤x≤2和2＜x≤3两部分讨论，当0≤x≤2时，得到，由于当2＜x≤3时，四个选项图象相同，根据二次函数图象与性质即可求解．
【详解】解：如图，当0≤x≤2时，作QD⊥BP，垂足为D，
由题意得△BPQ是等边三角形，
∴BD=BP=x，
∴QD，
∴，
∴当0≤x≤2时，y是x的二次函数，且开口向上，对称轴为y轴，
由于当2＜x≤3时，图象相同，
∴A选项符合条件．
故选：A
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，二次函数的图象与性质等知识，理解题意，分类讨论，得到y与x的函数关系式进而确定图象是解题关键．
7．C
【分析】根据函数解析式，令，可求出对应的y值，即为水管的长度．
【详解】解：函数解析式
令，则
则水管的长度为
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，利用数形结合的思想根据函数表达式求解出对应的函数值是解决本题的关键．
8．B
【分析】将点（0，90.0）、（40，82.2）、（20，93.9）分别代入函数解析式，求得系数的值，然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．
【详解】解：根据题意知，抛物线（）经过点（0，90.0）、（40，82.2）、（20，93.9），
则，
解得：，
∴（m）．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用．熟练掌握抛物线的对称轴公式是解决本题的关键．此题也可以将所求得的抛物线解析式利用配方法求得顶点式方程，然后直接得到抛物线顶点坐标，由顶点坐标推知该运动员起跳后飞行到最高点时的水平距离即可．
9．D
【分析】
依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令，求x的正数值．
【详解】
解：把代入得：
，
解之得：．
又，解得．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
10．A
【分析】首先由求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为x=3，代入抛物线方程，得到y=14，所以CD=14-6=8，又DE=4，所以可知杯子高度．
【详解】∵，
∴D点的坐标为(1,6)，抛物线的对称轴为x=1，
∵AB=4，
∴CB=CA=2，
∴B点的横坐标为：2+1=3，
代入B点横坐标即可求出B点的纵坐标，
∴当x=3时，，
∴B点纵坐标为14，
∵D点的纵坐标为6，
∴CD=14-6=8，
∴CE=CD+DE=8+4=12，
则杯子的高度为12，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键．
11．A
【分析】把二次函数的一般式写成顶点式，找出顶点坐标，即可知道多长时间后得到最高点．
【详解】
∵，
∴二次函数的图象开口向下，
∴当时，升到最高点，
故选：A.
【点睛】本题考查二次函数的应用，判断出所求时间为二次函数的顶点坐标的横坐标的值是解决本题的关键．
12．B
【分析】本题主要考查二次函数的应用，先结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，将解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质可得答案．
【详解】解：由题意知，函数经过点，，，
则，
解得：，
，
最佳加工时间为3.75分钟，
故选：B．
13．18
【分析】求出飞机着陆滑行到停止所用的总时间，求出飞机滑行的总路程再减去最后6s之前所滑行的路程即为所求．
【详解】由题意可得∶当 时，飞机停下，
当时，
当时， ，
∴飞机着陆滑行到停止，最后6s滑行的路程为： ．
故答案为∶18．
【点睛】本题考查二次函数的应用，正确的理解题意，求出飞机着陆用的总时间是解题的关键．
14．
【分析】根据销售问题中数量关系：建立函数式．
【详解】解：，
故答案为：
【点睛】本题考查销售问题的数量关系，列函数关系式，理解销售问题的数量关系是解题的关键．
15．
【分析】直接利用矩形面积公式得出y与x之间的关系，再利用二次函数的性质解题即可．
【详解】解：设矩形的一边长为，则另一边长为：，
根据题意可得：
∵
当时，函数最大值为平方米．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，二次函数的性质，正确表示出矩形的边长是解题关键．
16． 20
【分析】（1）根据题意可知，这个三角形中一边为，这条边上的高为，然后根据三角形面积公式即可获得答案；
（2）根据，即可获得答案．
【详解】解：（1）根据题意，可知在这个三角形中，其中一边为，这条边上的高为，
则该三角形的面积；
（2）∵，
∴当时，这个三角形的面积最大，最大面积是．
故答案为：（1）；（2）20，．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，理解题意，正确得出二次函数解析式是解题关键．
17．2
【分析】本题考查了二次函数的应用，先根据长方形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果．
【详解】解：由题意得修改后的花园面积，
∵，
∴当时，修改后的花园面积达到最大，
故答案为：2．
18．(1)t=2
(2)；或
(3)或
(4)
【分析】（1）证明△ECQ∽△ACB，可得，可得EQ=，EC=，由题意点E在BQ的垂直平分线上，推出EB=EQ，由此构建方程，求解即可．
（2）如图2中，过点Q作QH⊥AB于H，则AQ=10-2t，QH=，根据y=S△ABC-S△APQ，求解即可得函数关系式，根据题意列出方程即可求解．
（3）分两种情形：①如图2-1中，当DC=DF时，连接DF，取AC的中点J，连接BJ，和点B作BH⊥AC于H，过点F作FK⊥CD于K．证明∠BJH=∠CFK，可得∠BJH=∠CFK，由此构建方程求解．②当CF=CD时，构建方程，求解即可．
（4）当Q、F、D三点共线时，根据,列出方程即可求解．
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵AB=6，BC=8，
∴AC=，
∵EQ⊥AC，
∴∠EQC=∠B=90°，
∵∠ECQ=∠ACB，
∴△ECQ∽△ACB，
∴，
∴，
∴EQ=，EC=
∵点E在BQ的垂直平分线上，
∴EB=EQ，
∴，
∴t=2．
（2）如图2中，过点Q作QH⊥AB于H，则AQ=10-2t，QH=，
∵AP=t，
∴S△APQ= AP QH= t （10-2t）=t2+4t，
∴y=S△ABC-S△APQ=×6×8-（-t2+4t）=t2-4t+24（0＜t≤）．
矩形的面积为
四边形BPQC的面积为y是矩形ABCD面积的十二分之五时，
解得或
（3）①如图2-1中，当FC=DF时，连接DF，取AC的中点J，连接BJ，和点B作BH⊥AC于H，过点F作FK⊥CD于K．
∵∠ABC=90°，AJ=JC，
∴BJ=AJ=JC=AC=5，
∴∠JBC=∠JCB，
∴∠BJH=∠BCJ+∠JCB=2∠JCB，
∵E，F关于AC对称，
∴∠ACE=∠ACF，CF=CE=t
∴∠FCE=2∠ACB=∠BJH，
∵FK⊥CD，CB⊥CD，
∴FK∥CB，
∴∠CFK=∠FCE=∠BJH，
∵BH⊥AC，
∴S△ACB= AB CB= AC BH，
∴BH=，
∵FD=FC，FK⊥CD，
∴CK=KD=3，
∵∠BJH=∠CFK，
∴sin∠BJH=sin∠CFK，
∴，
∴，
∴t=，
②当CF=CD时，，
∴t=，
综上所述，满足条件的t的值为或．
（4）当Q、F、D三点共线时，
，
，
，
，
即，
,，
，
解得．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
19．(1)是的一次函数，
(2)w=-2x2+136x-1800；
(3)当销售单价为27元时，公司每月获得的利润最大，最大利润为414万元．
【分析】（1）根据题意先判断为一次函数关系，再利用待定系数法即可得到结论；
（2）根据利润=销售量×（销售单价-成本），代入代数式求出函数关系式；
（3）根据产品利润率不得高于50%且成本价18元，得出销售单价的取值范围，进而利用二次函数的性质得出最大利润．
【详解】（1）解：由单价每增加5元，销售量减少10万个，可判断是的一次函数，
设销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y=kx+b，
把（20，60），（30，40）代入y=kx+b得
， 解得：，
∴每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y=-2x+100；
（2）由题意得，w=y（x-18）
=（-2x+100）（x-18）
=-2x2+136x-1800；
（3）∵销售利润率不能高于50%， 则x≤（1+50%）×18=27，
∵w=-2x2+136x-1800=-2（x-34）2+512，
∴图象开口向下，对称轴左侧w随x的增大而增大，
∴x=27时，w最大为：414万元． 当销售单价为27元时，公司每月获得的利润最大，最大利润为414万元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是得出销售利润的表达式，要求同学们熟练掌握配方法求二次函数最值的应用．
20．(1)y＝﹣2x+160
(2)销售单价应定为50元
(3)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元
【分析】（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，用待定系数法可得y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得（x﹣30） （﹣2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，w＝（x﹣30） （﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【详解】（1）解：设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，
把（35，90），（40，80）代入得：，
解得，
∴y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得：（x﹣30） （﹣2x+160）＝1200，
解得x1＝50，x2＝60，
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，
∴x＝50，
答：销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，
w＝（x﹣30） （﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，
而x≤54，
∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【点睛】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．
21．(1)，，；
(2)点Q的坐标是或或．
【分析】（1）分别令和，求解即可得出答案；
（2）求出抛物线的对称轴，设，则，，，再分两种情况：①当时，②当时，分别利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：在中，令得，即，
令，得，解得或，即，；
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
设，则，，，
∵，，
∴，，，，
∵，
∴和相似只需或，
①当时，，
解得或，
∴或；
②当时，，
解得或（舍去），
∴，
综上所述，点的坐标是或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点问题、二次函数的图象和性质，、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
22．(1)当建造A型处理点9个，建造B型处理点11个时最省钱
(2)每个A型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低
【分析】（1）首先依据题意得出不等关系即可供建造垃圾初级处理点占地面积＜等于370m2，居民楼的数量大于等于490幢，由此列出不等式组；再根据题意求出总费用为y与A型处理点的个数x之间的函数关系，进而求解；
（2）分0≤x＜144、144≤x＜300两种情况，分别利用二次函数和反比例函数的性质求出函数的最小值，进而求解．
【详解】（1）解：设建造A型处理点x个，则建造B型处理点（20﹣x）个．
依题意得：，
解得6≤x≤9.17，
∵x为整数，
∴x＝6，7，8，9有四种方案；
设建造A型处理点x个时，总费用为y万元．则：y＝1.5x+2.1（20﹣x）＝﹣0.6x+42，
∵﹣0.6＜0，
∴y随x增大而减小，当x＝9时，y的值最小，此时y＝36.6（万元），
∴当建造A型处理点9个，建造B型处理点11个时最省钱；
（2）解：由题意得：每吨垃圾的处理成本为（元/吨），
当0≤x＜144时，＝（x3﹣80x2+5040x）＝x2﹣80x+5040，
∵>0，故有最小值，
当x＝﹣＝﹣＝120（吨）时，的最小值为240（元/吨），
当144≤x＜300时，＝（10x+72000）＝10+，
当x＝300（吨）时，＝250，即＞250（元/吨），
∵240＜250，
故当x＝120吨时，的最小值为240元/吨，
∵每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍且A型处理点9个，建造B型处理点11个，
∴每个A型处理点每月处理量＝×120×≈5.4（吨），
故每个A型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低．
【点睛】本题考查了二次函数、反比例函数和一元一次不等式组的应用，题目有效地将现实生活中的事件与数学思想联系起来，弄懂题意、列出函数关系式是解题的关键．
23．该果商定价为4.5万元/吨时才能使每天的“利润”或“销售收入”最大，其最大值为312.5万元
【详解】6．解：设该果商定价为万元/吨，每天的“利润”为万元，
，，
当时，有最大值，最大值为312.5．
答：该果商定价为4.5万元/吨时才能使每天的“利润”或“销售收入”最大，其最大值为312.5万元．
24．(1)；
(2)，；
(3)；
(4)存在，，，，
【分析】（1）把点两点的坐标分别代入抛物线解析式求出和的值即可；
（2）利用待定系数法可得和的值；
（3）由(2)知直线的解析式为，再确定抛物线的对称轴方程，设直线与直线相交于点，根据轴对称的最短路径可知此时的值最小，从而得到此时点的坐标；
（4）存在，分情况讨论：以为腰和底边，分别画图，进而即可求得点的坐标．
【详解】（1）解：抛物线过，
解得
抛物线的解析式为
（2）解： 把代入中得：
解得：
故答案为：1,6
（3）解：如图1，由(2)知：直线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线
直线与直线相交于点，则，此时最小，
此时点的坐标为
（4）解： ,
分三种情况：
①，如图2，此时点的坐标为或
②当，此时与重合时，也是等腰三角形，此时;
③当，此时垂直平分，如图3，此时点的坐标为
综上所述，点的坐标为，，，
【点睛】此题主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法求解析式、三点共线求最短路线的长度以及等腰三角形的性质，要求学生熟练掌握．
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