27.1圆的认识同步练习（含解析）
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27.1圆的认识
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图1为某酒店的圆形旋转门，可看成如图2由外围的和3翼隔风玻璃组成，外围圆有通道和，且它们关于圆心中心对称，圆内的3翼隔风玻璃可绕圆心转动，且所成的夹角，3翼隔风玻璃在转动过程中，始终使大厅内外空气隔离，起到对大厅内保温作用．例如：当隔风玻璃转到如图2位置时，大厅内外空气被隔风玻璃，隔离．则通道所对圆心角的度数的最大值为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
2．如图是的半径，是的弦，且，若与互相垂直平分，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．如图，四边形是的内接四边形，E是延长线上一点．若，则的度数是（ ）
A．124° B．114° C．94° D．66°
5．如图，的弦交直径于E，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB=16，CM=16．则MD的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．如图，图中⊙O的弦共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
8．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．28° B．30° C．36° D．56°
9．如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作于点G，交于点D，若，则的半径长是（ ）
A．5 B．6.5 C．7.5 D．8
10．如图，等腰三角形ABC的顶角，以腰AB为直径作圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的度数是（ ）
A．18° B．36° C．72° D．80°
11．如图，在⊙O中，是直径，点C，D，E在圆上，，，，．以下结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．如图，为的直径，弦交于点E，，则（ ）
A． B．1 C． D．2
二、填空题
13．圆的半径为5，圆心到弦的距离为4，则 ．
14．如图，内接于，AD是的直径，，则 ．
15．如图，点A，B，C在上，，则 度．
16．如图，在半径为1的扇形AOB中，，点P是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），，垂足分别为C，D，则CD的长为 ．
17．一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径为 厘米．
三、解答题
18．如图，在中，直径垂直弦于点，连接，，，作于点，交线段于点（不与点，重合），连接．
(1)若，求的长；
(2)多解法：若，猜想的度数，并证明你的结论．
19．如图，是的直径，点C、D在上，，，垂足分别为E，F，且，与相等吗？为什么？
20．如图，中，，．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
21．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米，
(1)求圆弧所在的圆的半径r的长；
(2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米是否要采取紧急措施？
22．请使用直尺和圆规，按照下列作法完成作图，保留作图痕迹，并证明．
已知：如图，为的直径．
求作：的内接正方形．
作法：（1）分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M；
（2）作直线分别交于点B，点D；
（3）连接，，，．
∴四边形就是所求作的的内接正方形．
23．已知：∠MON，A为射线ON上一点．
求作：，使得点B在射线OM上，且．
作法：①以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线OM于点F，交射线ON的反向延长线于点E；
②以E为圆心，AF长为半径画弧，交弧EF于点P；
③连接AP，交射线OM于点B．
所以就是所求作的三角形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：连接EP，AF，OP，
∵点A，E，P在⊙O上，
∴．（______）（填写推理的依据）
∵在⊙O中，，
∴______．（______）（填写推理的依据）
∴．
24．如图，在中，，，求的度数．
《27.1圆的认识》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C B D B C A A B
题号 11 12
答案 B B
1．B
【分析】由题意得可得与的最大值的和为，结合和关于圆心中心对称即可求解．
【详解】解：∵
∴与的最小值为
∴与的最大值的和为
∵和关于圆心中心对称
∴
∴，最大值为
故选：B
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．得出与的最大值的和为是解题关键．
2．B
【分析】连接，设交于，则由题可得，，利用勾股定理求得的长，．
【详解】连接，设交于点．
与互相垂直平分，
，，
又，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的性质，垂直平分线的定义，以及勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解决本题的关键．
3．C
【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小，由此求解即可．
【详解】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．
∵∠DHC=90°，
∴∠AHD＝90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝12，
∴BM＝＝＝13，
∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．
故选：C．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
4．B
【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解即可；
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，E是延长线上一点．
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质的应用，注意：圆内接四边形的对角互补，并且一个外角等于它的内对角．
5．D
【分析】过点O作于点F，先根据已知条件求出，则，再根据垂径定理得到，则，利用勾股定理求出即可求出．
【详解】解：过点O作于点F，
∵，，
∴，
∴，
∴由垂径定理可知：，
∴，
∴由勾股定理可知：，
在中，由勾股定理可知：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理相关知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
6．B
【分析】连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，根据垂径定理得到AM=BM=8，再根据勾股定理得到82+（16-r）2=r2，解方程求出r=10，然后计算CD-CM即可．
【详解】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，
∵AB⊥CD，
∴AM=BM=AB=8，
在Rt△AOM中，82+（16-r）2=r2，解得r=10，
∴MD=CD-CM=20-16=4．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
7．C
【分析】根据弦的定义即可求解． 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦．
【详解】解：图中有弦共3条，
故选C．
【点睛】本题考查了弦的定义，理解弦的定义是解题的关键．
8．A
【分析】设半圆圆心为O，连OA，OB，则∠AOB＝86° 30°＝56°，根据圆周角定理得∠ACB＝∠AOB，即可得到∠ACB的大小．
【详解】设半圆圆心为O，连OA，OB，如图，
∵∠AOB＝86° 30°＝56°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×56°＝28°．
故选A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
9．A
【分析】先根据垂径定理和点C是弧的中点得出，从而得出，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】连接，如图，设的半径为r，
∵，
∴，，
∵点C是弧BE的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，解得，
即的半径为5．
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理，弧、圆心角、弦之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
10．B
【分析】设圆心为，连接、，根据等腰三角形的性质推出，得到，再平行线的性质得到，从而得到，可得弧的度数．
【详解】解：设圆心为，连接、，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即弧的度数为，
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，连接圆心角、弧、弦之间的关系，掌握等腰三角形的性质是正确解答的前提．
11．B
【分析】连接、，由，得到，所以①错误；由是直径，得到，利用勾股定理求出的长，进而可判断，，故②③正确，由得到，所以④正确．
【详解】解：连接、，如图，
，，
，即，
而，
，
，所以①错误；
∵是直径，
，
，
，
，所以②正确；
，所以③正确；
，
，所以④正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查同弧或等弧所对的弦相等，解题的关键是弧长与弦长的相互转化．
12．B
【分析】根据为的直径，可证出，再根据已知和三角函数即可得出和，进而即可得解．
【详解】解：∵为的直径，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，垂径定理推论的应用，锐角三角函数的应用，熟练的运用锐角三角函数求解的长是解本题的关键．
13．6
【分析】首先根据题意画出图形，然后连接，根据垂径定理得到平分，即，而在中，根据勾股数得到，这样即可得到的长．
【详解】解：如图所示，过点O作于C，连接，
∵圆心到弦的距离为4，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
故答案为：6．
【点睛】此题考查了垂径定理与勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
14．55°
【分析】根据圆周角定理，得∠ADC＝∠ABC＝35°，再根据AD是⊙O的直径，则∠ACD＝90°，由三角形的内角和定理即可求得∠CAD的度数．
【详解】解：∵∠ABC＝35°，
∴∠ADC＝35°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣35°＝55°．
故答案为：55°．
【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角等于90°，以及三角形的内角和定理等知识，解题的关键是：根据圆周角定理，求得∠ADC＝∠ABC＝35°．
15．31
【分析】根据圆周角定理进行求解即可；
【详解】解：由圆周角定理可知：
故答案为：31．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
16．
【分析】连接AB，如图，先计算出AB=，再根据垂径定理得到AC=PC，BD=PD，则可判断CD为△PAB的中位线，然后根据三角形中位线定理求解．
【详解】解：连接AB，如图，
∵OA=OB=1，∠AOB=90°，
∴AB=OA=，
∵OC⊥AP，OD⊥BP，
∴AC=PC，BD=PD，
∴CD为△PAB的中位线，
∴CD=AB=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了三角形的中位线定理．
17．26
【分析】令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，根据勾股定理求出OC2+BC2=OB2，进而求出半径．
【详解】解：如图，由题意，得OD垂直平分AB，
∴BC=10厘米，
令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，
在Rt△BOC中
OC2+BC2=OB2，
∴（r-2）2+102=r2，
解得r=26．
故答案为：26．
【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理求线段长，熟练地掌握圆的基本性质是解决问题的关键．
18．(1)1
(2)，证明见解析
【分析】（1）由垂径定理得出，结合得出，由圆周角定理得，推出，再证明，即可得解；
（2）解法一：如图①，延长交于点，连接，证明是等腰直角三角形，即可得解；解法二：如图②，连接，证明，得出，设，，则，，再证明，得出，即，求出，即可得解．
【详解】（1）解：直径垂直弦，
，
，
，
，
由圆周角定理得，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，证明如下：
解法一：如图①，延长交于点，连接，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．
解法二：如图②，连接，
，
，
直径垂直弦，
，，
，
，
，
设，，
则，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，即，
，
．
【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
19．，理由见解析
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质及圆心角、弧、弦的关系．在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．连接，欲证与相等，先证、关系，证明即可．
【详解】，连接
∵
∴
又∵
∴
∴，
∵，
∴．
20．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据垂径定理可得，即可求解；
（2）根据圆周角定理，求解即可．
【详解】（1）解：∵，为圆心，
∴；
（2）解：由圆周角定理可得：．
【点睛】此题考查了圆周角定理，垂径定理，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
21．(1)米
(2)不需要采取紧急措施，理由见解析
【分析】（1）连接，利用表示出的长，在中根据勾股定理求出的值即可；
（2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长，据此可得出结论．
【详解】（1）连接，
由题意得：，
在中，由勾股定理得：，
解得，；
（2）连接，
，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：．
．
，
不需要采取紧急措施．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
22．见解析
【分析】根据作法画出对应的几何图形，根据作图过程可得是的垂直平分线，然后根据圆心角、弧、弦定理证明四边形是菱形，再根据直径所对圆周角是直角可判断四边形是正方形．
【详解】解：如图所示：
证明：由作图可知：∵是的垂直平分线，
∴．
∴．（同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等），
∴四边形是菱形．
又∵是的直径，
∴．（直径所对圆周角是直角），
∴四边形是正方形．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和正方形的判定方法．
23．(1)见解析
(2)同弧(或等弧)所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半；；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等
【分析】(1)根据题意即可作出图；
(2)根据圆周角定理及弦、弧、圆心角之间的关系即可解答．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）证明：连接EP，AF，OP，
∵点A，E，P在⊙O上，
∴．（同弧(或等弧)所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半）
∵在⊙O中，，
∴．（在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等）
∴．
故答案为：同弧(或等弧)所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半；；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等．
【点睛】本题考查了圆周角定理及弦、弧、圆心角之间的关系，准确作出图是解决本题的关键．
24．
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．根据，得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
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27.1圆的认识
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图1为某酒店的圆形旋转门，可看成如图2由外围的和3翼隔风玻璃组成，外围圆有通道和，且它们关于圆心中心对称，圆内的3翼隔风玻璃可绕圆心转动，且所成的夹角，3翼隔风玻璃在转动过程中，始终使大厅内外空气隔离，起到对大厅内保温作用．例如：当隔风玻璃转到如图2位置时，大厅内外空气被隔风玻璃，隔离．则通道所对圆心角的度数的最大值为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
2．如图是的半径，是的弦，且，若与互相垂直平分，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．如图，四边形是的内接四边形，E是延长线上一点．若，则的度数是（ ）
A．124° B．114° C．94° D．66°
5．如图，的弦交直径于E，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB=16，CM=16．则MD的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．如图，图中⊙O的弦共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
8．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．28° B．30° C．36° D．56°
9．如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作于点G，交于点D，若，则的半径长是（ ）
A．5 B．6.5 C．7.5 D．8
10．如图，等腰三角形ABC的顶角，以腰AB为直径作圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的度数是（ ）
A．18° B．36° C．72° D．80°
11．如图，在⊙O中，是直径，点C，D，E在圆上，，，，．以下结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．如图，为的直径，弦交于点E，，则（ ）
A． B．1 C． D．2
二、填空题
13．圆的半径为5，圆心到弦的距离为4，则 ．
14．如图，内接于，AD是的直径，，则 ．
15．如图，点A，B，C在上，，则 度．
16．如图，在半径为1的扇形AOB中，，点P是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），，垂足分别为C，D，则CD的长为 ．
17．一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径为 厘米．
三、解答题
18．如图，在中，直径垂直弦于点，连接，，，作于点，交线段于点（不与点，重合），连接．
(1)若，求的长；
(2)多解法：若，猜想的度数，并证明你的结论．
19．如图，是的直径，点C、D在上，，，垂足分别为E，F，且，与相等吗？为什么？
20．如图，中，，．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
21．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米，
(1)求圆弧所在的圆的半径r的长；
(2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米是否要采取紧急措施？
22．请使用直尺和圆规，按照下列作法完成作图，保留作图痕迹，并证明．
已知：如图，为的直径．
求作：的内接正方形．
作法：（1）分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M；
（2）作直线分别交于点B，点D；
（3）连接，，，．
∴四边形就是所求作的的内接正方形．
23．已知：∠MON，A为射线ON上一点．
求作：，使得点B在射线OM上，且．
作法：①以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线OM于点F，交射线ON的反向延长线于点E；
②以E为圆心，AF长为半径画弧，交弧EF于点P；
③连接AP，交射线OM于点B．
所以就是所求作的三角形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：连接EP，AF，OP，
∵点A，E，P在⊙O上，
∴．（______）（填写推理的依据）
∵在⊙O中，，
∴______．（______）（填写推理的依据）
∴．
24．如图，在中，，，求的度数．
《27.1圆的认识》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C B D B C A A B
题号 11 12
答案 B B
1．B
【分析】由题意得可得与的最大值的和为，结合和关于圆心中心对称即可求解．
【详解】解：∵
∴与的最小值为
∴与的最大值的和为
∵和关于圆心中心对称
∴
∴，最大值为
故选：B
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．得出与的最大值的和为是解题关键．
2．B
【分析】连接，设交于，则由题可得，，利用勾股定理求得的长，．
【详解】连接，设交于点．
与互相垂直平分，
，，
又，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的性质，垂直平分线的定义，以及勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解决本题的关键．
3．C
【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小，由此求解即可．
【详解】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．
∵∠DHC=90°，
∴∠AHD＝90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝12，
∴BM＝＝＝13，
∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．
故选：C．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
4．B
【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解即可；
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，E是延长线上一点．
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质的应用，注意：圆内接四边形的对角互补，并且一个外角等于它的内对角．
5．D
【分析】过点O作于点F，先根据已知条件求出，则，再根据垂径定理得到，则，利用勾股定理求出即可求出．
【详解】解：过点O作于点F，
∵，，
∴，
∴，
∴由垂径定理可知：，
∴，
∴由勾股定理可知：，
在中，由勾股定理可知：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理相关知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
6．B
【分析】连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，根据垂径定理得到AM=BM=8，再根据勾股定理得到82+（16-r）2=r2，解方程求出r=10，然后计算CD-CM即可．
【详解】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，
∵AB⊥CD，
∴AM=BM=AB=8，
在Rt△AOM中，82+（16-r）2=r2，解得r=10，
∴MD=CD-CM=20-16=4．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
7．C
【分析】根据弦的定义即可求解． 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦．
【详解】解：图中有弦共3条，
故选C．
【点睛】本题考查了弦的定义，理解弦的定义是解题的关键．
8．A
【分析】设半圆圆心为O，连OA，OB，则∠AOB＝86° 30°＝56°，根据圆周角定理得∠ACB＝∠AOB，即可得到∠ACB的大小．
【详解】设半圆圆心为O，连OA，OB，如图，
∵∠AOB＝86° 30°＝56°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×56°＝28°．
故选A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
9．A
【分析】先根据垂径定理和点C是弧的中点得出，从而得出，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】连接，如图，设的半径为r，
∵，
∴，，
∵点C是弧BE的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，解得，
即的半径为5．
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理，弧、圆心角、弦之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
10．B
【分析】设圆心为，连接、，根据等腰三角形的性质推出，得到，再平行线的性质得到，从而得到，可得弧的度数．
【详解】解：设圆心为，连接、，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即弧的度数为，
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，连接圆心角、弧、弦之间的关系，掌握等腰三角形的性质是正确解答的前提．
11．B
【分析】连接、，由，得到，所以①错误；由是直径，得到，利用勾股定理求出的长，进而可判断，，故②③正确，由得到，所以④正确．
【详解】解：连接、，如图，
，，
，即，
而，
，
，所以①错误；
∵是直径，
，
，
，
，所以②正确；
，所以③正确；
，
，所以④正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查同弧或等弧所对的弦相等，解题的关键是弧长与弦长的相互转化．
12．B
【分析】根据为的直径，可证出，再根据已知和三角函数即可得出和，进而即可得解．
【详解】解：∵为的直径，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，垂径定理推论的应用，锐角三角函数的应用，熟练的运用锐角三角函数求解的长是解本题的关键．
13．6
【分析】首先根据题意画出图形，然后连接，根据垂径定理得到平分，即，而在中，根据勾股数得到，这样即可得到的长．
【详解】解：如图所示，过点O作于C，连接，
∵圆心到弦的距离为4，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
故答案为：6．
【点睛】此题考查了垂径定理与勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
14．55°
【分析】根据圆周角定理，得∠ADC＝∠ABC＝35°，再根据AD是⊙O的直径，则∠ACD＝90°，由三角形的内角和定理即可求得∠CAD的度数．
【详解】解：∵∠ABC＝35°，
∴∠ADC＝35°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣35°＝55°．
故答案为：55°．
【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角等于90°，以及三角形的内角和定理等知识，解题的关键是：根据圆周角定理，求得∠ADC＝∠ABC＝35°．
15．31
【分析】根据圆周角定理进行求解即可；
【详解】解：由圆周角定理可知：
故答案为：31．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
16．
【分析】连接AB，如图，先计算出AB=，再根据垂径定理得到AC=PC，BD=PD，则可判断CD为△PAB的中位线，然后根据三角形中位线定理求解．
【详解】解：连接AB，如图，
∵OA=OB=1，∠AOB=90°，
∴AB=OA=，
∵OC⊥AP，OD⊥BP，
∴AC=PC，BD=PD，
∴CD为△PAB的中位线，
∴CD=AB=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了三角形的中位线定理．
17．26
【分析】令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，根据勾股定理求出OC2+BC2=OB2，进而求出半径．
【详解】解：如图，由题意，得OD垂直平分AB，
∴BC=10厘米，
令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，
在Rt△BOC中
OC2+BC2=OB2，
∴（r-2）2+102=r2，
解得r=26．
故答案为：26．
【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理求线段长，熟练地掌握圆的基本性质是解决问题的关键．
18．(1)1
(2)，证明见解析
【分析】（1）由垂径定理得出，结合得出，由圆周角定理得，推出，再证明，即可得解；
（2）解法一：如图①，延长交于点，连接，证明是等腰直角三角形，即可得解；解法二：如图②，连接，证明，得出，设，，则，，再证明，得出，即，求出，即可得解．
【详解】（1）解：直径垂直弦，
，
，
，
，
由圆周角定理得，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，证明如下：
解法一：如图①，延长交于点，连接，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．
解法二：如图②，连接，
，
，
直径垂直弦，
，，
，
，
，
设，，
则，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，即，
，
．
【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
19．，理由见解析
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质及圆心角、弧、弦的关系．在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．连接，欲证与相等，先证、关系，证明即可．
【详解】，连接
∵
∴
又∵
∴
∴，
∵，
∴．
20．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据垂径定理可得，即可求解；
（2）根据圆周角定理，求解即可．
【详解】（1）解：∵，为圆心，
∴；
（2）解：由圆周角定理可得：．
【点睛】此题考查了圆周角定理，垂径定理，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
21．(1)米
(2)不需要采取紧急措施，理由见解析
【分析】（1）连接，利用表示出的长，在中根据勾股定理求出的值即可；
（2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长，据此可得出结论．
【详解】（1）连接，
由题意得：，
在中，由勾股定理得：，
解得，；
（2）连接，
，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：．
．
，
不需要采取紧急措施．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
22．见解析
【分析】根据作法画出对应的几何图形，根据作图过程可得是的垂直平分线，然后根据圆心角、弧、弦定理证明四边形是菱形，再根据直径所对圆周角是直角可判断四边形是正方形．
【详解】解：如图所示：
证明：由作图可知：∵是的垂直平分线，
∴．
∴．（同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等），
∴四边形是菱形．
又∵是的直径，
∴．（直径所对圆周角是直角），
∴四边形是正方形．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和正方形的判定方法．
23．(1)见解析
(2)同弧(或等弧)所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半；；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等
【分析】(1)根据题意即可作出图；
(2)根据圆周角定理及弦、弧、圆心角之间的关系即可解答．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）证明：连接EP，AF，OP，
∵点A，E，P在⊙O上，
∴．（同弧(或等弧)所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半）
∵在⊙O中，，
∴．（在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等）
∴．
故答案为：同弧(或等弧)所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半；；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等．
【点睛】本题考查了圆周角定理及弦、弧、圆心角之间的关系，准确作出图是解决本题的关键．
24．
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．根据，得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
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