27.2与圆有关的位置关系同步练习（含解析）

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27.2与圆有关的位置关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，是的直径，是的切线，，，三点在同一条直线上，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，分别切于点A，B，C．若的半径为的长为，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点D在AB上，点E，F分别在线段PA和PB上，且AD＝BF，BD＝AE．若∠P＝α，则∠EDF的度数为（ ）
A．90°﹣α B．α C．2α D．90°﹣α
4．已知点P在半径为的圆内，则点P到圆心的距离可以是（ ）
A． B． C． D．
5．中，，，，若以点C为圆心，以r为半径的圆与所在直线相交，则r可能为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
6．在平面直角坐标系中，以原点为圆心的半径是10，点的坐标是，则点与的位置关系是（ ）
A．点在内上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定
7．圆O内切于三角形，在斜边上的切点为D，，，则内切圆的半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，，分别是的切线，，分别为切点，点是上一点，且，则为（ ）

A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，为上一点，若点的坐标为，则线段的最小值为（　　）
A．3 B．2 C．4 D．2
10．如图， 中， ， ，它的周长为．若 与 ， ， 三边分别切于 ， ， 点，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．用反证法证明时，假设结论“点在圆上”不成立，那么点与圆的位置关系可能是（　　）
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．点在圆内或圆外
12．已知的半径为3， ，则点A和的位置关系是（　　）
A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．不确定
二、填空题
13．已知点到上各点的最大距离为，最小距离为，则的半径为 ．
14．已知点A、B、C、D在圆O上，且切圆O于点D，于点E，对于下列说法：①圆上是优弧；②圆上是优弧；③线段是弦；④和都是圆周角；⑤是圆心角，其中正确的说法是 ．
15．如图，内接于为直径，为的切线，连接，若，，则 ．
16．如图，是的直径，是的弦，、的延长线交于点．若，，则的度数为 ．
17．如图，是外一点，、分别和切于、，是弧上任意一点，过作的切线分别交、于、，若的周长为，则长为 ．
三、解答题
18．如图所示，在的内接中，，，作于点P，交于另一点B，C是上的一个动点（不与A，M重合），射线交线段的延长线于点D，分别连接和，交于点E．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
(3)在点C运动过程中，当时，求的值．
19．如图，中，，CO平分交AB于O点，以OA为半径的圆O与AC相切于点A，D为AC上一点且．
(1)求证：BC所在直线与圆O相切；
(2)若，，求圆O的半径．
20．如图，在边长为的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点，，的坐标分别是，，．

(1)将绕点逆时针旋转至，画出旋转后的；
(2)请直接写出点与过，，三点的圆的位置关系：__________（填“在圆外、在圆上或在圆内”）．
21．如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°．
(1)求AB的长；
(2)若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线．
22．已知内接于，过点A作直线，若是非直径的弦，添加，还是的切线吗？若是，请说明理由；若不是，请解释原因．

23．已知点是外一点，分别与相切于点．
(1)如图①，若，则______；
(2)如图②，连接，若，则______°；
(3)如图③，点是优弧上一点，连接，若，则______°．
24．如图，是的内接三角形，，，连接并延长交于点，过点作的切线，与的延长线相交于点．
(1)求证：；
(2)求线段的长．
《27.2与圆有关的位置关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D A D A A B D A
题号 11 12
答案 D C
1．B
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质．连接，根据切线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
故选：B．
2．C
【分析】连接，根据切线长定理得到，得到的周长等于，再用勾股定理求出的长，就可以算出周长．
【详解】解：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
同理，，
，
在中，，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查切线长定理，解题的关键是掌握切线长定理并能够熟练运用．
3．D
【分析】根据切线性质，证得≌，通过等量代换得出，再根据等腰三角形的性质，由∠P＝α，求得即可．
【详解】解： ∵PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴PA=PB，
∴，即
在与中，
∵
∴≌（SAS），
∴，
在中，
,
∵，
∴，
∵，
∴，
∵∠P＝α，PA=PB，
∴
∴在中，，即，
∵，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的性质以及等腰三角形的性质，通过全等证明，等量代换求得是解题关键．
4．A
【分析】由圆点的半径是，根据点与圆的位置关系的性质，结合点P在圆内，得到点P到圆心的距离的范围，再根据各选项进行判断即可．
【详解】解： ∵点P在半径为的圆内，
∴点P到圆心的距离小于，
∴四个选项中只有A选项符合题意，
故选：A．
【点睛】本题 考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点在圆上时，点到圆心的距离等于半径；点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径．
5．D
【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求出 ，再利用面积法求出的长，即可得到答案．
【详解】解：如图，中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴当时，以点C为圆心r为半径的圆与所在直线相交，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积法求斜边上的高线，直线与圆的位置关系，理解以点C为圆心r为半径的圆与所在直线相交先求出最短距离进行判断是解题的关键．
6．A
【分析】先利用勾股定理求出点P到原点的距离，再判断与半径r的大小关系，从而得出答案．
【详解】解：∵点的坐标是，
∴由勾股定理可得，
又半径是10，
∴点在内上，
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系有3种，设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外，点P在圆上，点P在圆内．
7．A
【分析】先证得四边形为正方形；再设的半径为r，由勾股定理得，解此方程即可求得答案．
【详解】解：由题意得，是直角三角形，且，设内切圆与三边分别切于点D，E，F，连接，，如图，
∵是的内切圆，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴矩形为正方形；
设的半径为r，
∵四边形为正方形，
∴，
∵是的内切圆，
∴，，
∴，，，
在中，，
∴，
解得：（舍去），
∴的半径为2；
故选：A．
【点睛】此题考查了三角形的内切圆的性质、切线长定理、正方形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
8．B
【分析】本题考查了切线的性质以及圆周角定理，利用了四边形的内角和为360度求解．连接，，由圆周角定理知可知，、分别切于点、，利用切线的性质可知，根据四边形内角和可求得．
【详解】解：连接，；
，
，
．
故选：B
9．D
【分析】根据N的坐标可确定其为直线上一点，进而通过直线和圆的位置关系结合图象得出的最小值．
【详解】解：∵点的坐标为，
∴点为直线上任意一点，
如下图，

直线为函数的图象，则为直线上一点，为上一点，
由图象可知：过点作垂线，当、分别是垂线与、的交点时，的长度最小，
此时：＝，
由题意可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
此时，
故选：D．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握与圆相关的最值问题解决方法是解题关键．
10．A
【分析】本题主要考查了切线长定理的应用，解题的关键是求出的值．根据切线长定理求出，，，得出等边三角形，推出，根据，求出，进而求出，即可求出答案．
【详解】解：∵与三边分别切于三点，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
11．D
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【详解】解：反证法证明时，假设结论“点在圆上”不成立，那么点与圆的位置关系可能是点在圆内或圆外，
故选：D．
【点睛】本题考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．也考查了点和圆的位置关系．
12．C
【分析】由的半径为3，知点到圆心的距离小于半径，从而得出答案．
【详解】解：∵的半径为3，，
∴点到圆心的距离小于半径，
∴点A在圆内，
故选：C．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有 ①点P在圆外；②点P在圆上；③点P在圆内．
13．或/或
【分析】分类讨论，当点在圆外时，根据圆外一点到圆上各点的最大距离减去最小距离等于圆的直径，当点在圆内时，根据圆内一点到圆上各点的最大距离加上最小距离等于圆的直径即可求解．
【详解】解：当点在圆外时，∵外一点到上各点的最大距离为，最小距离为，
∴的直径为，
∴的半径为，
当点在圆内时，∵内一点到上各点的最大距离为，最小距离为，
∴的直径为，
∴的半径为，
故答案为：或．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，根据点到圆上各点的最大距离和最小距离求出直径是解答的关键．
14．①②③⑤
【分析】本题考查了圆有关的概念，切线的性质，熟练掌握圆的有关概念是解题的关键．由优弧，弦，圆周角的概念及切线的性质可得出答案．
【详解】解：由图可知圆上及圆上是优弧，故①②正确，
由弦的定义可知线段是弦，故③正确；
∵切圆O于点D，
∴不是圆周角，
故④错误；
∵A，C是圆上的点，
∴是圆心角，故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
15．6
【分析】过点B作于点E，则，根据切线的性质可得，进而得到，可得到，设，，可得， ，从而得到，在和中，根据勾股定理可得关于x，a的方程组，即可求解．
【详解】解：如图，过点B作于点E，则，
∵为直径，为的切线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，
∴， ，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
即，
①代入②整理得：，
即，
解得：（舍去），
即，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，根据题意得到是解题的关键．
16．
【分析】根据得等于圆的半径，在和中，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求解．
【详解】解：如图所示，
连接，
∵是的直径，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆的认识，等腰三角形的性质，三角形的外交，掌握等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，圆的基本知识是解题的关键．
17．/厘米
【分析】本题主要考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，掌握切线长定理是解题的关键．先根据切线长定理求得，，，再由的周长为，即可求解．
【详解】解：、、分别切于、、，
，，；
∵的周长为，
，
．
故答案为：．
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠CMA=∠ABC，再利用两角分别相等即可证明相似；
（2）连接OC，先证明MN是直径，再求出AP和NP的长，接着证明，利用相似三角形的性质求出OE和PE，再利用勾股定理求解即可；
（3）先过C点作CG⊥MN，垂足为G，连接CN，设出再利用三角函数和勾股定理分别表示出PB和PG，最后利用相似三角形的性质表示出EG，然后表示出ME和NE，算出比值即可．
【详解】（1）解：∵AB⊥MN，
∴∠APM=90°，
∴∠D+∠DMP=90°，
又∵∠DMP+∠NAC=180°，∠MAN=90°，
∴∠DMP+∠CAM=90°，
∴∠CAM=∠D，
∵∠CMA=∠ABC，
∴．
（2）连接OC，
∵，
∴MN是直径，
∵，
∴OM=ON=OC=5，
∵，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴OC⊥MN，
∴∠COE=90°，
∵AB⊥MN，
∴∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠COE，
又∵∠BEP=∠CEO，
∴
∴，
即
由，
∴，
∴，
，
∴．
（3）过C点作CG⊥MN，垂足为G，连接CN，则∠CGM=90°，
∴∠CMG+∠GCM=90°，
∵MN是直径，
∴∠MCN=90°，
∴∠CNM+∠DMP=90°，
∵∠D+∠DMP=90°，
∴∠D=∠CNM=∠GCM，
∵，
∴，
∵
∴设
∴
∴
∴
∴
∵，且，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵∠CGE=∠BPE=90°，∠CEG =∠BEP，
∴，
∴，
即
∴，
∴，，
∴，
∴的值为．
【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本题综合性较强，属于压轴题．
19．(1)见解析
(2)圆O的半径为
【分析】(1)过O作OE⊥BC于E，先由切线的性质得OA⊥AC，再由角平分线的性质得OE=OA，即可得出结论；
(2)由切线长定理得EC=AC=3，再证△OEB≌△OAD(AAS)，得EB=AD=2，OB=OD，则BC=EC+EB=5，AB=4，设OA=x，则OD=OB=4 x，然后在Rt△AOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）证明：如图：过点O作与点
与AC相切于点A
CO平分，
所在直线与相切
（2）解：，
、BC是的切线
在与中
，
设OA=x，则OD=OB=4-x
在中，
解得
即的半径为．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20．(1)作图见解析
(2)在圆上
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点、，从而得到；
（2）先利用圆周角定理的推论确定的外接圆的圆心为的中点，再利用勾股定理计算出，，然后根据点与圆的位置关系判断点与过，，三点的圆的位置关系．
【详解】（1）解：如图，为所作；

（2）由（1）可知：，，
∴为等腰直角三角形，
∴的外接圆的圆心为的中点，
又∵网格中的小正方形的边长为，
∴，
，，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在过，，三点的圆上，
故答案为：在圆上．

【点睛】本题考查作图—旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，点和圆的位置关系．掌握点和圆的位置关系是解题的关键．
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出的度数，进而根据特殊的锐角三角函数值求得AD的长，最后由垂径定理可得AB的长．
（2）由于点B在圆上，可根据“连半径，证垂直”可证得PB是⊙O的切线．
【详解】（1）
解：如图所示，连接OA、OB，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
由OP⊥AB于D，则，
又∵OP⊥AB
∴，
（2）证明：由（1）知∠BOC=60°，从而∠OBC=∠OCB=60°，
C是OP的中点，CP=CO=CB，从而．
∴∠OBP=90°（OB⊥BP），
∴PB是⊙О的切线．
【点睛】本题主要考查了圆的性质，其中熟知圆的垂径定理以及圆的切线常用证明方法是解决本题的关键．
22．还是的切线，理由见解析
【分析】作直径，连接，由为直径得，根据圆周角定理得，而，所以，根据切线的判定定理得到为的切线．
【详解】解：还是的切线．
理由如下：作直径，连接，，

∵为直径，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∴，
∴为的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理．
23．(1)1
(2)56
(3)60
【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线．
（1）根据切线长定理即可解答；
（2）根据切线的性质得出，进而得出，即可解答；
（3）连接，根据切线的性质得出，进而得出为等边三角形，推出，根据三角形的内角和定理和圆周角定理即可解答．
【详解】（1）解：∵分别与相切于点，，
∴，
故答案为：1．
（2）解：是的切线，
，
，
，
，
．
故答案为：56．
（3）解：连接，如图，
是的切线，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
．
故答案为：60．
24．(1)见解析
(2)+3
【分析】（1）连接CD，OC，证明△ACD是等腰直角三角形，得到OC⊥AD，再根据切线的性质得到EC⊥OC，故可求解；
（2）作AF⊥EC于F点，证明四边形AOCF是正方形，再根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）如图，连接CD，∵，
∴∠ADC=，
∵AD是直径，
∴AC⊥CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
连接OC，∴OC⊥AD，
∵EC是的切线，
∴EC⊥OC，
∴；
（2）∵，△ACD是等腰直角三角形，
∴AO=OC=3，AC=，
如图，作AF⊥EC于F点，
∴四边形AOCF是矩形，∵OA=OC，
∴四边形AOCF是正方形，
∴AF=CF=3，
∴EF=，
∴EC=EF+CF=+3．
【点睛】此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是根据题意作出辅助线求解．
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