6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 课件（共17张PPT）-2024-2025学年高一下学期数学（人教A版2019必修第二册）

(共17张PPT)
第六章
平面向量及其应用
6.3.4 平面向量数乘运算的
坐标表示
学习目标
课堂导入
探究新知
课堂练习
知识总结
课后作业
考点 学习目标 重、难点 核心素养
向量数乘运算的坐标 掌握平面向量数乘运算的坐标表示 重点 数学运算
向量共线 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 难点 数学抽象
能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线 逻辑推理
学习目标
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1
问题1
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
知识点1：数乘运算的坐标表示
已知a=(x，y)，你能得出λa的坐标吗？
　λa=λ(xi+yj)=λxi+λyj，
即λa=(λx，λy).
课前思考
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2
例1：已知向量 求 的坐标.
解：
总结：平面向量数乘运算的坐标关键在于利用公式进行程序化的代数运算.
(2)3a-b.
练习1：设向量a，b的坐标分别是(-1，2)，(3，-5)，求下列各向量的坐标：
(1)2a+5b；
解:2a+5b=2(-1，2)+5(3，-5)
=(-2，4)+(15，-25)=(13，-21).
解:3a-b=3(-1，2)-(3，-5)=(-6，11).
消去λ时能不能两式相除？
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3
向量a与非零向量b共线的充要条件是什么？如何用坐标表示两个向量共线？
问题2
口诀：交叉相乘差为0.
知识点2：向量共线的坐标表示及应用
向量a与非零向量b共线的充要条件是存在实数λ，使a=λb，
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，
其中b≠0，若向量a与b共线，则有(x1，y1)=λ(x2，y2)，
即
消去λ，得x1y2-x2y1=0.
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4
一、向量数乘运算的定义
例1：已知向量 且 求y.
解：因为
所以
解得
练习1.已知向量a＝(1，－2)，b＝(3，4).若(3a－b)∥(a＋kb)，则k＝____．
解：3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，
因为(3a－b)∥(a＋kb)，
所以0－(－10－30k)＝0，解得k＝－ .
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5
二、向量数乘运算的性质
例2：已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)，判断A,B,C三点之间的位置关系.
解：在平面直角坐标系中作出A,B,C三点，猜想三点共线
又直线AB,直线AC有公共点A
所以A,B,C三点共线.
-1
O
x
y
A
B
C
3
1
1
2
5
4
2
三点共线，则由这三个点组成的任意两个向量共线.
三点共线的证明步骤
(1)证明向量平行；
(2)证明两个向量有公共点.
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6
例3：设P是线段P1P2上的一点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2) .
(1)当P是线段P1P2的中点，求点P的坐标；
∴点P的坐标为
解：(1)由向量线形运算可知
三、中点坐标公式
思考：若知道两点坐标，那么它的中点坐标如何表示？
若点P1P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则
(中点坐标公式)
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7
例3：设P是线段P1P2上的一点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2) .
三、中点坐标公式
(2)当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
有两种情况，即
或
如果
点P的坐标为
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8
例3：设P是线段P1P2上的一点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2) .
三、中点坐标公式
(2)当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
那么点P的坐标为
如果
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9
当 时，点P的坐标是什么？
(定比分点公式)
问题3
题型一 向量数乘运算的坐标表示
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10
1.已知向量a=(1，2)，2a+b=(3，2)，则b等于 （ ）
A.(1，-2) B.(1，2) C.(5，6) D.(2，0)
A
解1：(待定系数法)设b=(x，y)，则2a+b=2(1，2)+(x，y)=(2+x，4+y)=(3，2)，
即所以b=(1，-2).
解2：b=(2a+b)-2a=(3，2)-2(1，2)=(3，2)-(2，4)=(1，-2).
题型二 向量共线的坐标表示
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11

1.已知a=(λ+1，1)，b=(6，2)，且a∥b，则实数λ=　　.
解：∵a∥b，∴2(λ+1)-1×6=0，∴λ=2.
2.已知向量m=(2，λ)，n=(-1，3)，若(2m+n)∥(m-n)，则实数λ的值为 ( )
A.6 B.3 C.-3 D.-6
解：根据题意，向量m=(2，λ)，n=(-1，3)，则2m+n=(3，2λ+3)，m-n=(3，λ-3).
若(2m+n)∥(m-n)，则λ-3=2λ+3，解得λ=-6.
D
1.利用向量共线定理，由a=λb(b≠0)推出a∥b.
2.利用向量共线的坐标表示，由x1y2-x2y1=0(a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，b≠0)直接判断是否a∥b.
2
题型三 三点共线问题
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12

1.已知=(k，2)，=(1，2k)，=(1-k，-1)，且相异三点A，B，
C共线，则实数k=　　　.
-
解：由题知，=-=(1-k，2k-2)，=-=(1-2k，-3).
因为相异三点A，B，C共线，所以∥，则-3(1-k)-(2k-2)(1-2k)=0，
解得k=-或k=1，
当k=1时，=，点A与点B重合，不符合题意，故k=-.
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课堂小结
13
平面向量数乘运算的坐标表示
数乘运算的坐标表示
定比分点的坐标与中点坐标公式
平面向量共线的坐标表示
课后作业
学习目标
课堂导入
探究新知
课堂练习
知识总结
课后作业
14
1.完成本节练习
2.完成习题6.3第12、13、14题
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